精品解析：陕西榆林市佳县中学2025-2026学年高三下学期4月月考数学试题

数学 本试卷总分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图所示的Venn图中，A，B 是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若 ，，的子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求集合，根据Venn图求，进而求其子集个数. 【详解】因为集合， 集合， 可得，， 由Venn图可知即在中去掉的元素， 可得，所以的子集个数为. 故选：B. 2. 已知复数，，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数的除法求出即可判断得解. 【详解】依题意，，则， 所以复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A 3. 已知命题p：，，则命题p的否定为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可直接得到结论. 【详解】∵命题p：，的否定是“，”. 故选：A. 4. 已知数列的通项公式为，则数列的前项和（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用错位相减法及等比数列前n项和求. 【详解】由题设，则， 两式作差，有， 所以. 故选：B 5. 已知函数，则函数所有零点之和为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数证明函数的单调性，然后利用零点存在定理说明零点的存在性，最后证明函数为奇函数，根据奇函数图象的对称性即可得出结论. 【详解】由题意知，， 所以在和上单调递增， 又因为，当时，，所以在上必存在唯一的零点， 因为， 所以为奇函数，则在上必存在唯一的零点， 根据奇函数图象的对称性，可知的所有零点之和为. 故选：B 6. 已知函数的部分图象大致如图所示，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】要解决这个问题，我们需要根据函数的图象求出和，进而求出的值。 【详解】因为的图象过点，所以， 由图可知，点在减区间内，所以． 因为的图象过点，所以， 由图可知，点在减区间内，所以，即． 因为，所以，所以， 所以，所以. 故选：D 7. 已知正方体的棱长为2，平面过直线，且与平面ABCD所成的角为，则当分别取得最大值、最小值时，截正方体的截面面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设平面平面，过点C作于K，连接，得，则即为平面与平面ABCD所成的角，设，则，通过当分别取得最大值、最小值，进而确定截面计算面积即可； 【详解】设平面平面，易知平面ABCD，所以， 过点C作于K，连接，又平面，可得， 则即为平面与平面ABCD所成的角，设，则， 若，则，故，结合面面角的取值范围，可假想， 则取得最大值，此时平面即为平面ACGE，则截面面积为； 易知，所以当时，取得最小值，此时， 则平面，设BF，DH的中点分别为M，N，则平面必过MN， 所以截面面积为，所以截面面积之比为． 故选：A. 8. 某商店店庆，每个在店内消费到一定额度的顾客都可以参与抽奖活动.组织方准备了个盲盒，其中有个盲盒内有奖品.抽奖规则为：抽奖者从这个盲盒中随机抽取1个盲盒，兑奖后组织方会再补回一个相同的盲盒，充分混合后，再由下一位抽奖者抽奖.抽奖者甲先拿起了一个盲盒，在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为.抽奖者乙在选盲盒时不小心碰掉了一个盲盒，并且发现摔裂的盲盒内没有奖品，随后乙从剩下的盲盒中选定一个盲盒打开，记乙中奖的概率为，则（ ） A. B. C. D. 无法确定与的大小关系 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式求出，利用古典概率求出，再比较大小即可. 【详解】设事件为“抽奖者甲中奖”，事件为“甲最初选中的盲盒有奖”，则， 在组织方拿走无奖的盲盒后，若先选中的有奖，则剩余个盲盒中有个奖品， 甲更换盲盒后， 若甲先选中的盲盒无奖，则剩余个盲盒中有个奖品，则更换盲盒后， 因此， 由乙碰掉的盲盒无奖，则所有个盲盒中有个奖品，且每个盲盒被抽到的可能性相同，则， 于是，所以. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质及特殊值法逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得且，所以，故A正确； 对于B，由，得，所以，即，故B正确； 对于C，当时，满足，而，故C错误； 对于D，由，得且，所以，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知双曲线E与焦点在y轴上的椭圆C的离心率之积为1，点是其公共点，若双曲线E的渐近线方程为，则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线E的实轴长为2 B. 椭圆C的离心率为 C. 椭圆C的长轴长为 D. 椭圆C与双曲线E的焦距相同 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据渐近线得出离心率，再根据点在双曲线上计算判断A；再根据离心率之积计算判断B；再计算实轴及焦距判断CD. 【详解】因为双曲线E的渐近线方程为，则双曲线所以椭圆的离心率为，B选项正确； 设双曲线方程为，双曲线过，所以，所以，实轴长为，焦距为，A选项错误； 椭圆的离心率为，所以， 设椭圆方程为，椭圆也过，所以，所以，长轴长为，焦距为，C选项正确，D选项错误. 故选：BC. 11. 已知是上的单调函数，且，则（ ） A. B. 是奇函数 C. D. 不等式的解集是 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，则，令，得到关于的方程，得到的值，进而得到，然后根据选项依次判断即可. 【详解】令，则， 令，则， 根据幂函数的性质可知，函数在上单调递增， 且，则， 所以，即. 对于A，，故A正确； 对于B，，所以不是奇函数，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，函数在上单调递增，且， 由，则，即， 则不等式的解集是，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】由三角恒等变换求解． 【详解】，故，解得． 故答案为：1 13. 已知，若在方向上的投影向量为，则与的夹角为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据在方向上的投影向量为，进而得到，再根据求解即可． 【详解】因为在方向上的投影向量为， 所以， 又，且， 所以． 故答案为：． 14. 已知，两点，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出点的轨迹，问题转化为直线与圆有交点，利用直线与圆的位置关系列式即可求解. 【详解】设点，则由可得， 整理得，圆心为，半径， 由题意可知直线与圆有交点， 则圆心到直线的距离，解得或， 所以的取值范围为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 为了检测AI智能与手工制作同一种产品质量的差异性，现要求用这两种方式分别制作100件产品，产品质量情况统计如下表： 优良品 合格品 合计 AI智能 80 20 100 手工 60 40 100 合计 140 60 200 （1）记AI智能、手工制作的产品中优良品的概率分别为，求的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为AI智能与手工制作的产品质量有差异？ 附：，． 0.05 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）0.8；0.6 （2）能认为AI智能与手工制作的产品质量有差异 【解析】 【分析】（1）直接根据所给数据计算即可； （2）先计算，再与给出的数据进行比较，即可得出结论． 【小问1详解】 由题表可得， ． 【小问2详解】 零假设：AI智能与手工制作的产品质量无差异， ， 因为， 所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即能认为AI智能与手工制作的产品质量有差异． 16. 已知四棱锥，平面，，． （1）证明：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 证明：由平面，平面，故， 又，，、平面， 故平面，由，则平面， 又平面，故平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）借助线面垂直判定定理可得平面，再利用面面垂直判定定理即可得证； （2）可建立适当空间直角坐标系，再求出平面与平面的法向量后，利用空间向量夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，平面，故， 故、、两两垂直， 故可以为原点建立如图所示空间直角坐标系，设， 则、、、、， 则、、， 设平面与平面法向量分别为、， 则有，， 取，，则、，，， 即、， 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知，． （1）证明：为等差数列，并求的通项公式； （2）令，为的前项之积，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：因为，则， 所以， 令函数，求导得， 所以在上单调递增，，即， 取，则，于是， 所以， 则. 【解析】 【分析】（1）根据已知可得，且，由等差数列的定义写出通项公式即可； （2）利用导数证明，进而得到，可得，累加即可证. 【小问1详解】 由，又由题意知，， 左右同时除以得， 又因为，则，则， 故是以3为首项，3为公差的等差数列， 所以，可得. 【小问2详解】 略 18. 已知抛物线，焦点为，对于抛物线上一点，记，的最小值为1. （1）求的方程. （2）若为坐标原点，直线与的另一个交点为，设直线的斜率分别为，求的值. （3）将点向上平移个单位长度，得到点，记点到直线的距离为，证明：以为圆心，为半径的圆始终经过定点. 【答案】（1） （2） （3） 设，则，可得， 因为点到直线的距离为，可得， 则以点为圆心，半径为的圆的方程为：， 整理得， 则 即，解得， 所以以为圆心，为半径的圆始终经过定点. 【解析】 【分析】（1）设点，得到，结合，得到，即可求解； （2）设直线，联立方程组，求得，得到，结合斜率公式，即可求解； （3）设，得到，再由点到直线的距离公式，求得半径 ，得出圆的方程，结合系数对应相等，列出方程组，求得的值，即可求解. 【小问1详解】 解：如图所示：设点，根据抛物线的定义，可得， 因为，所以最小值为，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 解：由题意知，直线斜率不为，设直线，且，， 联立方程组，整理得， 则，且，可得， 所以. 【小问3详解】 略 19. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. （1）求证：； （2）设边上的中点为D. （ⅰ）若，，求； （ⅱ）记，求的最大值. 【答案】（1） ，则， 因，则，则， 又，则或者（舍），则； （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式化简，再结合三角函数求出； （2）（ⅰ）利用余弦定理以及即可； （ⅱ）在和中利用正弦定理，结合两角和差、倍角公式得出，令，结合辅助角公式和三角函数的最值求出最大值，并检验其存在性，即可求出的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）因，，，， 则在和中利用余弦定理可得， ， 得，则为等边三角形，故； （ⅱ）在和中利用正弦定理可得， ，， 两式联立可得，，即，即 则，即， 则， 因，则令， 则，其中， 则，得， 当时，， 因，则，则，则， 故当，即时，有最大值，此时， 故的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 本试卷总分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图所示的Venn图中，A，B 是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若 ，，的子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 2. 已知复数，，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知命题p：，，则命题p的否定为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知数列的通项公式为，则数列的前项和（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则函数所有零点之和为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 6. 已知函数的部分图象大致如图所示，则（ ） A. 0 B. C. D. 7. 已知正方体的棱长为2，平面过直线，且与平面ABCD所成的角为，则当分别取得最大值、最小值时，截正方体的截面面积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 某商店店庆，每个在店内消费到一定额度的顾客都可以参与抽奖活动.组织方准备了个盲盒，其中有个盲盒内有奖品.抽奖规则为：抽奖者从这个盲盒中随机抽取1个盲盒，兑奖后组织方会再补回一个相同的盲盒，充分混合后，再由下一位抽奖者抽奖.抽奖者甲先拿起了一个盲盒，在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为.抽奖者乙在选盲盒时不小心碰掉了一个盲盒，并且发现摔裂的盲盒内没有奖品，随后乙从剩下的盲盒中选定一个盲盒打开，记乙中奖的概率为，则（ ） A. B. C. D. 无法确定与的大小关系 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知双曲线E与焦点在y轴上的椭圆C的离心率之积为1，点是其公共点，若双曲线E的渐近线方程为，则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线E的实轴长为2 B. 椭圆C的离心率为 C. 椭圆C的长轴长为 D. 椭圆C与双曲线E的焦距相同 11. 已知是上的单调函数，且，则（ ） A. B. 是奇函数 C. D. 不等式的解集是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________． 13. 已知，若在方向上的投影向量为，则与的夹角为_________. 14. 已知，两点，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围为____________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 为了检测AI智能与手工制作同一种产品质量的差异性，现要求用这两种方式分别制作100件产品，产品质量情况统计如下表： 优良品 合格品 合计 AI智能 80 20 100 手工 60 40 100 合计 140 60 200 （1）记AI智能、手工制作的产品中优良品的概率分别为，求的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为AI智能与手工制作的产品质量有差异？ 附：，． 0.05 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 已知四棱锥，平面，，． （1）证明：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知，． （1）证明：为等差数列，并求的通项公式； （2）令，为的前项之积，求证：． 18. 已知抛物线，焦点为，对于抛物线上一点，记，的最小值为1. （1）求的方程. （2）若为坐标原点，直线与的另一个交点为，设直线的斜率分别为，求的值. （3）将点向上平移个单位长度，得到点，记点到直线的距离为，证明：以为圆心，为半径的圆始终经过定点. 19. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. （1）求证：； （2）设边上的中点为D. （ⅰ）若，，求； （ⅱ）记，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $