精品解析：上海市闵行中学东校2025-2026学年第二学期高二期中质量检测数学试卷

2025学年第二学期高二期中质量检测 数学试卷 完卷时间：120分钟 满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知是定义在上的可导函数，若，则__________. 【答案】2026 【解析】 【详解】依题意，. 2. 投掷一颗骰子，记事件，，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件概率公式，代入求解，即可得答案. 【详解】投掷一颗骰子，样本空间为，则， 又，则， 所以 3. 已知随机变量，且，则__________. 【答案】0.3 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性，即可得答案. 【详解】由，得正态分布的对称轴， 又，所以. 4. 的展开式中含的项的系数是__________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】求出的展开式的通项公式，令，代入求解，即可得答案. 【详解】的展开式的通项公式， 令，得，则含的项的系数为. 5. 函数的极值点为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】求导，令导函数为0，可得极值点，分析单调性，即可得答案. 【详解】由题意得， 令，得或（舍）， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以为的极小值点，无极大值点. 6. 若随机变量服从二项分布，当且取得最大值时，则__________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据变量符合二项分布，写出试验发生次的概率的表示式，在表示式中，只有是一个变量，根据组合数的性质，当时，概率取到最大值． 【详解】， 当时，． 显然当时，取得最大值． 故答案为：10 7. 若，则正整数 的值为_____. 【答案】5或7 【解析】 【分析】根据组合数的性质化简，列出方程，并计算出结果. 【详解】由组合数的性质，可得， 则，可得或， 解得或 . 故答案为：5或7. 8. 袋中有大小､质地完全相同8个球，其中黑球5个､红球3个，从中任取3个球，则红球个数不超过1的概率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，所求为红球1个或没有红球的概率，根据概率公式，即可得答案. 【详解】由题意得，所求为红球1个或没有红球的概率， 所以. 故答案为： 9. 已知函数 ，曲线 经过点的切线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】设出切点坐标，通过导数求得切线斜率，再由直线的斜率公式求斜率，列出等式求解即可. 【详解】设切点坐标为， ， 由题意可得：， 整理可得，解得， 所以切点坐标为，切线的斜率， 所以切线方程为：，即. 故答案为：. 10. 记，，，，，为1，2，3，4，5，6的任意一个排列，则使得为奇数的排列共有___________个. 【答案】288 【解析】 【分析】由题设分析知：都为奇数，则每个式子在、中各取一个数即可，再利用分步计数法及组合数求排列的个数. 【详解】由为奇数：均为奇数， ∴三个代数式在、中各取一个， ∴共有个排列. 故答案为： 11. 如下图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边A处，乙工厂与甲工厂在河的同侧，且位于离河岸40km的B处，河岸边D处与A处相距50km（其中），两家工厂要在此岸边建一个供水站C，从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边距离A处______km才能使水管费用最省？ 【答案】 【解析】 【分析】设点距点， 得到，且，再设总的水管费用为元，求得，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解. 【详解】据题意知， 只有点在线段 上某一适当位置，才能使总运费最省， 设点距点， 如图所示， 则， 所以， 再设总的水管费用为元，则， 可得，令，解得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 所以，当时，函数取得极小值，也是最小值， 所以函数在处取得最小值，此时， 故供水站建立在之间距甲厂处，可使水管费用最省. 故答案为：20 12. 已知共有10项的数列是1，2，3，…，10的一个排列，若对于任意正整数，都有，则满足条件的不同数列的个数为______. 【答案】32 【解析】 【分析】根据题意，易得才能满足要求，通过不等式可知，故分类讨论和不同情况下其余八个数的排序情况，从而找到十个数排列情况，进而推出，而两个数的排列，以此递推进而求出答案. 【详解】注意到的各项之和， 所以必有. 将10个数划分为5组，每组的和为11，只能是，，，，. 由于，所以可得，进一步可得. 考虑 组数，，…，满足奇数项递减的所有情形，总数记为，要求： ①当时，，此时后四组排在，可以将后4组每组减去1，得，，，，将这四组排在，即为的情况，因此共种； ②当时，因为奇数项递减，故奇数项任意一项不可能等于，且，若,则，若,则不是第九个数，下一个奇数项存在且不满足奇数项递减，与题不符，则必然有，则，此时后四组排在，与①中类似可得方案数为；一般地，有递推关系，而，，所以. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13. 函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 的正负不确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象的增减性，分析判断即可. 【详解】由图象得，当时，单调递增，所以. 14. 设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（ ） 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】选项A，利用分布列的性质，即可求解：利用期望和方差的计算公式，即可判断出选项B和C的正误；选项D，利用期望和方差的性质，即可求解. 【详解】对于A，由分布列的性质可得， 解得，故A正确； 对于C，由分布列可得：， 故，故C正确， 对于B，D，因为， 所以，故B错误，D正确． 故选：B． 15. 某校开展阳光体育活动，羽毛球筒的盖子如图呈圆锥漏斗形状，已知圆锥的母线长是R，它的值是固定的.当盖子的深度h为（ ）可使其体积最大. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将圆锥的体积转化为关于深度的关系式，再利用导数求出函数的最大值即可. 【详解】依题意，羽毛球筒盖子的体积为，而， 则，，求导得， 由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则当时，函数取得最大值， 所以盖子的深度h为，其体积最大. 16. 已知，则＂存在实数，使得既是函数的零点，又是函数的驻点＂是＂函数恰好有两个零点＂的（）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】举特殊函数说明充分性不成立，利用三次多项式的因式分解性质说明必要性成立，从而得解. 【详解】设命题为“存在实数，使得既是的零点又是驻点”(即且)，命题为“恰好有两个零点”. 若成立，当时，， 则，满足且， 所以既是的零点又是驻点，但是只有一个零点，所以， 若成立，即恰好有两个不同的实零点，则根据三次多项式的因式分解性质可得： ，其中为函数的两个不同零点， 此时满足且，故成立，即. 所以是成立的必要不充分条件. 故选：B 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 某兴趣小组有10名学生，若从10名学生中选取3人，则选取的3人中恰有1名女生的概率为，且女生人数超过1人，则 （1）该小组中男生、女生各多少人？ （2）若10名学生排成一排，其中男生不相邻，且男生的左右相对顺序固定，问有多少种站队方法？（要求用数字作答） 【答案】（1）女生有6人，男生4人 （2） 【解析】 【分析】（1）根据组合数列方程，代入数据，化简整理，即可得答案. （2）利用插空法，结合条件，分析求解即可. 【小问1详解】 设女生人数为n，则男生人数为， 则从10名学生中选取3人，选取的3人中恰有1名女生的概率为， 则，即， 则，整理得， 所以， 因为，所以，即女生有6人，男生4人. 【小问2详解】 先排女生，共有种排法，女生排好后，共有7个空位， 男生不相邻，且男生的左右相对顺序固定，则有种排法， 则总的站队方法数为. 18. 体育锻炼不仅可以使人们增强体质、增进健康，也有助于培养人们勇敢顽强的性格、超越自我的精神、迎接挑战的意志和承担风险的能力．为了提高身体素质，加强体育锻炼，甲乙两人决定每天早晚各进行一次体育运动，甲乙都选择了跳绳或跑步，对两人过去100天的锻炼安排统计如下： 项目选择（早上，晚上） （跳绳，跳绳） （跳绳，跑步） （跑步，跳绳） （跑步，跑步） 休息 甲 20天 20天 30天 20天 10天 乙 20天 25天 15天 30天 10天 假设甲乙两人运动项目相互独立，用频率估计概率． （1）请预测在今后的4天中甲恰有2天早上和晚上都选跳绳的概率； （2）试判断甲、乙在晚上跳绳的条件下，哪位更有可能早上选择跑步，并说明理由． 【答案】（1）今后的4天中甲恰有2天早上和晚上都选跳绳的概率为： . （2）甲更有可能早上选择跑步，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意解得甲早晚都选跳绳的概率，接着利用二项分布公式即可； （2）利用条件概率的公式分别求出甲、乙在晚上跳绳的条件下，早上选择跑步的概率， 接着比较两个概率的大小即可. 【小问1详解】 解：依题意可知，设甲早晚都选跳绳为事件 ， 则 ， 设今后的4天中甲恰有2天早上和晚上都选跳绳为事件 ， ， 所以今后的4天中甲恰有2天早上和晚上都选跳绳的概率为： . 【小问2详解】 设甲早上跑步为事件，甲晚上跳绳为事件， 乙早上跑步为事件，乙晚上跳绳为事件， 由题意可知， 甲在晚上跳绳的条件下，早上选择跑步的概率为： ， 乙在晚上跳绳的条件下，早上选择跑步的概率为： ， ，即， 所以甲更有可能早上选择跑步. 19. 已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线的焦点为，A、B是抛物线Γ上两个不同的点． （1）求抛物线Γ的方程； （2）若直线斜率为1，且过点F，求线段的长度； （3）设直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标． 【答案】（1）； （2）8 （3）证明见解析，定点坐标为 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标为，故，所以抛物线为； （2）联立直线和抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦点弦长公式求出答案； （3）设出直线的方程，联立抛物线方程，得到两根之积，根据得到方程，求出，得到恒过的定点. 【小问1详解】 抛物线的焦点为， 则，即，所以抛物线为； 【小问2详解】 直线的方程为，联立抛物线Γ和直线l的方程：， 得．，设， 由韦达定理得， 故. 【小问3详解】 由题意可知所在直线斜率不为0，所在直线方程． 联立抛物线Γ和直线的方程：，化简可得：， 则．由韦达定理可得， 又由已知，则． 此时直线恒过点． 20. 某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示. （1）求该样本中学生分数为优秀的人数； （2）从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； （3）根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取人，这名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值. 【答案】（1） （2）分布列 0 1 2 ， （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据频率和样本容量计算可得； （2）由随机变量服从超几何分布，根据超几分布计算可得； （3）随机变量服从二项分布，再根据概率的增减性判断可得. 【小问1详解】 该样本中学生分数为优秀的频率 故优秀的人数为人; 【小问2详解】 从样本中得分不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座谈， 其中分数在的人数为. 若从座谈名单中随机抽取3人，则的所有可能取值为. 则的分布列为： 0 1 2 所以. 【小问3详解】 由题意知，，则，. 令， 当，解得. 因为，所以时，， 当时，，所以当时，最大. 21. 设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个“美好区间”． 性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有． （1）已知，．分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由； （2）已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数 的取值范围； （3）已知函数的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”． 【答案】（1） 区间是函数的“美好区间”，区间不是函数的“美好区间”，理由如下： 由， 当时，，所以区间是函数的“美好区间” 当时，，不是的子集且两集合交集非空， 所以区间不是函数的“美好区间” （2） （3） 对于任意区间，记， 因为对于任意，都有， 所以在区间上单调递减，故， 因为，即的长度大于的长度，故不满足性质①， 所以若为的“美好区间”必满足性质②，即， 即只需要或， 由显然不恒成立，所以存在常数使得， 如果，取，则区间满足性质②； 如果，取，则区间满足性质②； 综上，函数一定存在“美好区间”； 记，则的图象连续不断，下证明有零点， 由于在上单调递减，则在上是减函数，记 若，则是的零点； 若，则，记，， 由零点存在定理，可知存在，使得； 若，则，记，， 由零点存在定理，可知存在，使得； 综上，有零点，即， 因为所有“美好区间”都满足性质②，故，否则与性质②矛盾； 即存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”，证毕. 【解析】 【分析】（1）分别求出函数在区间和区间上的值域，结合“美好区间”的定义判断即可； （2）记，，根据“美好区间”的定义可得：或，利用导数研究在上的单调性，分，，以及四种情况讨论在区间上的值域，利用集合间的关系，即可得到实数 的取值范围； （3）对于任意区间，记，根据单调性得到，若为的“美好区间”必满足性质②，转化为或，得出函数一定存在“美好区间”，记，结合函数的单调性和零点存在定理，得到存在，使得，即可证明结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 记， 若区间是函数的一个“美好区间”，则或 由，可得， 所以当或时，，则的单调递增区间为：，； 当时，，则的单调递增区间为：， 且，，，得到在的大致图像如下： (i)当时，在区间上单调递减，且， 所以，则，即对于任意，都有，满足性质②, 故当时，区间是函数的一个“美好区间”； (ii)当，在区间上单调递减，在上单调递增，此时， 所以，，则当时，区间不是函数的一个“美好区间”； (iii)当时，在区间上单调递减，在上单调递增，且，此时， 所以，，则当时，区间不是函数的一个“美好区间”； (iv)当时，在区间上单调递减，在上单调递增，且，此时， 因为，则要使区间是函数的一个“美好区间”，则，即， 构造函数， 则， 由于，所以恒成立，则在区间上单调递增， 所以，则，不满足题意， 故当时，区间不是函数的一个“美好区间”， 综上，实数 的取值范围是 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：本题是新定义题，解题关键是理解“美好区间”的含义，对于区间是函数的一个“美好区间”，实质就是在区间上的值域满足或，这样就把新定义转化为一般函数及导数的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期高二期中质量检测 数学试卷 完卷时间：120分钟 满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知是定义在上的可导函数，若，则__________. 2. 投掷一颗骰子，记事件，，则__________. 3. 已知随机变量，且，则__________. 4. 的展开式中含的项的系数是__________.（用数字作答） 5. 函数的极值点为__________. 6. 若随机变量 服从二项分布，当且取得最大值时，则__________． 7. 若，则正整数的值为_____. 8. 袋中有大小､质地完全相同8个球，其中黑球5个､红球3个，从中任取3个球，则红球个数不超过1的概率为___________. 9. 已知函数 ，曲线 经过点的切线方程为________. 10. 记，，，， ，为1，2，3，4，5，6的任意一个排列，则使得为奇数的排列共有___________个. 11. 如下图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边A处，乙工厂与甲工厂在河的同侧，且位于离河岸40km的B处，河岸边D处与A处相距50km（其中），两家工厂要在此岸边建一个供水站C，从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边距离A处______km才能使水管费用最省？ 12. 已知共有10项的数列是1，2，3，…，10的一个排列，若对于任意正整数，都有，则满足条件的不同数列的个数为______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13. 函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 的正负不确定 14. 设离散型随机变量 的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（ ） 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 A. B. C. D. 15. 某校开展阳光体育活动，羽毛球筒的盖子如图呈圆锥漏斗形状，已知圆锥的母线长是R，它的值是固定的.当盖子的深度h为（ ）可使其体积最大. A. B. C. D. 16. 已知，则＂存在实数，使得既是函数的零点，又是函数的驻点＂是＂函数恰好有两个零点＂的（）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 某兴趣小组有10名学生，若从10名学生中选取3人，则选取的3人中恰有1名女生的概率为，且女生人数超过1人，则 （1）该小组中男生、女生各多少人？ （2）若10名学生排成一排，其中男生不相邻，且男生的左右相对顺序固定，问有多少种站队方法？（要求用数字作答） 18. 体育锻炼不仅可以使人们增强体质、增进健康，也有助于培养人们勇敢顽强的性格、超越自我的精神、迎接挑战的意志和承担风险的能力．为了提高身体素质，加强体育锻炼，甲乙两人决定每天早晚各进行一次体育运动，甲乙都选择了跳绳或跑步，对两人过去100天的锻炼安排统计如下： 项目选择（早上，晚上） （跳绳，跳绳） （跳绳，跑步） （跑步，跳绳） （跑步，跑步） 休息 甲 20天 20天 30天 20天 10天 乙 20天 25天 15天 30天 10天 假设甲乙两人运动项目相互独立，用频率估计概率． （1）请预测在今后的4天中甲恰有2天早上和晚上都选跳绳的概率； （2）试判断甲、乙在晚上跳绳的条件下，哪位更有可能早上选择跑步，并说明理由． 19. 已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线的焦点为，A、B是抛物线Γ上两个不同的点． （1）求抛物线Γ的方程； （2）若直线斜率为1，且过点F，求线段的长度； （3）设直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标． 20. 某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示. （1）求该样本中学生分数为优秀的人数； （2）从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为 ，求 的分布列和均值； （3）根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取人，这名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值. 21. 设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个“美好区间”． 性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有． （1）已知，．分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由； （2）已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数 的取值范围； （3）已知函数的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $