上海市闵行中学东校2025-2026学年第二学期高二期中质量检测数学试卷

2025学年第二学期高二期中质量检测 数学试卷 完卷时间：120分钟 满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知是定义在上的可导函数，若，则__________. 2. 投掷一颗骰子，记事件，，则__________. 3. 已知随机变量，且，则__________. 4. 的展开式中含的项的系数是__________.（用数字作答） 5. 函数的极值点为__________. 6. 若随机变量服从二项分布，当且取得最大值时，则__________． 7. 若，则正整数的值为_____. 8. 袋中有大小､质地完全相同8个球，其中黑球5个､红球3个，从中任取3个球，则红球个数不超过1的概率为___________. 9. 已知函数 ，曲线 经过点的切线方程为________. 10. 记，，，，，为1，2，3，4，5，6的任意一个排列，则使得为奇数的排列共有___________个. 11. 如下图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边A处，乙工厂与甲工厂在河的同侧，且位于离河岸40km的B处，河岸边D处与A处相距50km（其中），两家工厂要在此岸边建一个供水站C，从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边距离A处______km才能使水管费用最省？ 12. 已知共有10项的数列是1，2，3，…，10的一个排列，若对于任意正整数，都有，则满足条件的不同数列的个数为______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13. 函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 的正负不确定 14. 设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（ ） 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 A. B. C. D. 15. 某校开展阳光体育活动，羽毛球筒的盖子如图呈圆锥漏斗形状，已知圆锥的母线长是R，它的值是固定的.当盖子的深度h为（ ）可使其体积最大. A. B. C. D. 16. 已知，则＂存在实数，使得既是函数的零点，又是函数的驻点＂是＂函数恰好有两个零点＂的（）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 某兴趣小组有10名学生，若从10名学生中选取3人，则选取的3人中恰有1名女生的概率为，且女生人数超过1人，则 （1）该小组中男生、女生各多少人？ （2）若10名学生排成一排，其中男生不相邻，且男生的左右相对顺序固定，问有多少种站队方法？（要求用数字作答） 18. 体育锻炼不仅可以使人们增强体质、增进健康，也有助于培养人们勇敢顽强的性格、超越自我的精神、迎接挑战的意志和承担风险的能力．为了提高身体素质，加强体育锻炼，甲乙两人决定每天早晚各进行一次体育运动，甲乙都选择了跳绳或跑步，对两人过去100天的锻炼安排统计如下： 项目选择（早上，晚上） （跳绳，跳绳） （跳绳，跑步） （跑步，跳绳） （跑步，跑步） 休息 甲 20天 20天 30天 20天 10天 乙 20天 25天 15天 30天 10天 假设甲乙两人运动项目相互独立，用频率估计概率． （1）请预测在今后的4天中甲恰有2天早上和晚上都选跳绳的概率； （2）试判断甲、乙在晚上跳绳的条件下，哪位更有可能早上选择跑步，并说明理由． 19. 已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线的焦点为，A、B是抛物线Γ上两个不同的点． （1）求抛物线Γ的方程； （2）若直线斜率为1，且过点F，求线段的长度； （3）设直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标． 20. 某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示. （1）求该样本中学生分数为优秀的人数； （2）从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； （3）根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取人，这名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值. 21. 设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个“美好区间”． 性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有． （1）已知，．分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由； （2）已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数的取值范围； （3）已知函数的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”． 2025学年第二学期高二期中质量检测 数学试卷 完卷时间：120分钟 满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 【1题答案】 【答案】2026 【2题答案】 【答案】## 【3题答案】 【答案】0.3 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】1 【6题答案】 【答案】10 【7题答案】 【答案】5或7 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】288 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】32 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 【13题答案】 【答案】C 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】B 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 【17题答案】 【答案】（1）女生有6人，男生4人 （2） 【18题答案】 【答案】（1）今后的4天中甲恰有2天早上和晚上都选跳绳的概率为： . （2） 设甲早上跑步为事件，甲晚上跳绳为事件， 乙早上跑步为事件，乙晚上跳绳为事件， 由题意可知， 甲在晚上跳绳的条件下，早上选择跑步的概率为： ， 乙在晚上跳绳的条件下，早上选择跑步的概率为： ， ，即， 所以甲更有可能早上选择跑步. 【19题答案】 【答案】（1）； （2）8 （3）证明如下： 由题意可知所在直线斜率不为0，所在直线方程． 联立抛物线Γ和直线的方程：，化简可得：， 则．由韦达定理可得， 又由已知，则． 此时直线恒过点． 【20题答案】 【答案】（1） （2）分布列 0 1 2 ， （3） 【21题答案】 【答案】（1） 区间是函数的“美好区间”，区间不是函数的“美好区间”，理由如下： 由， 当时，，所以区间是函数的“美好区间” 当时，，不是的子集且两集合交集非空， 所以区间不是函数的“美好区间” （2） （3） 对于任意区间，记， 因为对于任意，都有， 所以在区间上单调递减，故， 因为，即的长度大于的长度，故不满足性质①， 所以若为的“美好区间”必满足性质②，即， 即只需要或， 由显然不恒成立，所以存在常数使得， 如果，取，则区间满足性质②； 如果，取，则区间满足性质②； 综上，函数一定存在“美好区间”； 记，则的图象连续不断，下证明有零点， 由于在上单调递减，则在上是减函数，记 若，则是的零点； 若，则，记，， 由零点存在定理，可知存在，使得； 若，则，记，， 由零点存在定理，可知存在，使得； 综上，有零点，即， 因为所有“美好区间”都满足性质②，故，否则与性质②矛盾； 即存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”，证毕. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $