3.9 弧长及扇形的面积 课时练习 2025-2026学年 北师大版数学九年级下册

**基本信息** 本练习针对北师大版九年级数学下§3.9弧长及扇形面积，分层设计清晰，知识巩固路径从公式直接应用到综合几何问题，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|弧长、扇形面积公式直接应用|单选1-5、填空11-13，直接套用公式计算，巩固概念理解| |提升层|公式与图形变换结合|单选6-10、填空14-15，结合旋转、圆与三角形综合，提升空间观念| |综合层|跨知识综合应用|解答题16-22，融入切线证明、概率计算及实际问题（如草帽制作），发展应用意识|

【北师大版九年级数学（下）课时练习】 §3.9弧长及扇形的面积 一、单选题（共30分） 1.(本题3分)如图，在△0AB中，∠0AB=65°，0A=4,以点0为圆心，OA的长为半径作O0,点B 恰好在o0上，则劣弧AB的长为() B A.10m B.20 9 C.80r 5π 9 D. 9 2.(本题3分)一个圆锥的底面半径为5cm,其侧面展开图的圆心角为150°，该圆锥的母线长为() A.8cm B.12cm C.13cm D.24cm 3.(本题3分)已知扇形的弧长为4π，半径为6，则其圆心角的度数为() A.60 B.90° C.120° D.150° 4.(本题3分)如图，在ABC中，BC=2V3,将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A'B'C,则点B转 过的路径长为() B A A.V3π B.2π C.2 D.23m 3 3 5.(本题3分)如图，扇形纸片圆心角∠ACB=120,半径AC=3cm,则扇形的面积为() C B A.πcm2 B.2πcm2 C.3xcm2 D.6πcm2 6.(本题3分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=1,AC=√5，将△ABC绕着点A逆时针旋转90°得到 ADE,则图中阴影部分的面积是() R B.πV5 c牙 D.π5 22 42 7.(本题3分)如图，已知⊙O的半径为2，点A和点B在⊙O上，若∠A0B=60°，则图中阴影部分的面 积为() 3-2 2 B.子x-5 3 6-9 D.2-5 2 3 3 8.(本题3分)如图，在扇形A0B中，∠A0B=60°，以A0为直径作半圆，若0C的长为2m,则阴影部 分的面积为()· A.(2π-25m2B. -m C. 3 D -w 9.(本题3分)已知一个圆锥底面圆的半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为() A.20 B.20元 C.16π D.12元 10.(本题3分)如图，矩形纸片ABCD中，AD=12cm,把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD 后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为() A.6cm B.8cm C.48 5 cm D.10cm 二、填空题（共15分） 11.(本题3分)已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图的圆心角的度数为120°，则圆锥的高 为 12.(本题3分)为了促进乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱.在制 作草帽时，用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为10πdm,侧面积为75πdm的圆锥形草帽，则扇形草 毡的圆心角为 13.(本题3分)如图，在直径BC为2√2的圆内有一个圆心角为90°的扇形ABC随机地往圆内投一粒米， 该粒米落在扇形内的概率为， 14.(本题3分)半径为√2的扇形0AB的圆弧和以AB为直径的半圆围成如图所示的阴影部分，己知 OA1OB,则阴影部分的面积为· B O 15.（本题3分)如图，在正方形ABCD中，以点B为圆心，AB长为半径画弧.连接AC,若AB=4,则 图中阴影部分的面积为 一·（结果保留刀） 3 D 三、解答题（共55分） 16.(本题6分)如图，O0是aABC的外接圆，BC是⊙0的直径，∠B=∠CAD. D B 0 (1)求证：AD是⊙0的切线： (2)连接OA,若∠B=30°，AC=3,求扇形0AC的面积. 17.(本题7分)如图，在△ABC中，LACB=90°，LB=20°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点 D,连接CD,且AC=4. B (1)求AD的长； (2)求扇形ACD的面积. 18.(本题8分)如图，点A,B,C,D在⊙0中，若BC=AD, B D (1)求证：AC=BD; (2)若∠ACB=30°，⊙0半径为1，则AB=一· 19.(本题8分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(5,5,B(1,3),C(2,1,将 ABC绕原点O逆时针旋转90°，得aA'B'C', 5 6 5 3 -6-5-4-3-2-1 0123456x -6 (1)在图中画出△A'B'C',并写出点C的坐标； (2)求点A经过的路径长； 20.(本题8分)如图，∠A0C=∠B0C=50°，0D平分∠A0B. 2 D 0 A (1)求∠AOB和∠COD的度数： (2)若0E=0F=2,求扇形E0F的面积. 21.(本题9分)△ABC在平面直角坐标x0y中的位置如图所示： 6 A(-2,3) C0,2) B(-1,1) 0 (1)△AB,C与△ABC关于原点O成中心对称，作出△AB,C; (2)将aABC绕0点顺时针方向旋转90°，作出△A,B,C2; (3)求出(2)过程中，点A走过的路径长； 22.(本题9分)如图，在⊙0中，点A是BAC的中点，0C平分∠ACB,∠BDC=60°，BC=2√5 D B (1)求∠ACB的度数； (2)求出⊙0的半径； (3)直接写出图中阴影部分的面积. 【北师大版九年级数学（下）课时练习】 §3.9弧长及扇形的面积 一、单选题（共30分） 1.(本题3分)如图，在△0AB中，∠0AB=65°，0A=4,以点0为圆心，OA的长为半径作⊙0，点B 恰好在O0上，则劣弧AB的长为() A.10元 B.20m C. 80π . 5π 9 9 9 解：OA、OB是⊙0的半径， 8 ∴.0A=0B=4, .∠0AB=∠0BA=65°， .∠A0B=180°-65°-65°=50°， 六劣弧☑B的长为50m×4_200m_10r 180180 9 故选：A 2.(本题3分)一个圆锥的底面半径为5cm,其侧面展开图的圆心角为150°，该圆锥的母线长为() A.8cm B.12cm C.13cm D.24cm 解：设圆锥的母线长为Rcm, 由题意得，2π×5=150mR 180 解得R=12cm, 故选：B. 3.(本题3分)已知扇形的弧长为4π，半径为6，则其圆心角的度数为() A.609 B.90° C.120° D.150 解：：弧长公式为：1=π ,1=4π，r=6, 180 4n =HIx6 180 180’即4= 整理得：4=6m =30’解得：1=4×30=120， 故选：C. 4.(本题3分)如图，在ABC中，BC=2√5，将aABC绕点C逆时针旋转60°得到△A'B'C,则点B转 过的路径长为() B A.√3元 B.2π c D. 2V3n 解：，将ABC绕点C逆时针旋转60°得到△AB'C, .∠BCB'=60°， ·点B转过的路径长为60π×2W5_23元 故选：D 180 3 5.(本题3分)如图，扇形纸片圆心角∠ACB=120,半径AC=3cm,则扇形的面积为() C A.πcm B.2πcm2 C.3ncm2 D.6ncm2 解：S 120元×32 =3πcm2,故选C. 360 360 6.(本题3分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=1,AC=√5，将aABC绕着点A逆时针旋转90°得到 ADE,则图中阴影部分的面积是() B D E A. B.πV5 2 22 c晋 D.π3 42 解：在△ABC中，∠ACB=90,BC=L,AC=V√3， AB=AC2+BC2=2, 由旋转的性质可得S△ADE=S△4BC,∠BAD=∠CAE=90° ∴.S阴影=S角形BHD+S△ADE-S扇形ACE-S△ABC =S期形BHD-S扇形ACE 90r×2290mxV5月 360 360 故选：C. 7.(本题3分)如图，已知⊙O的半径为2，点A和点B在⊙O上，若∠A0B=60°，则图中阴影部分的面 10 积为() A B A. 2 32 B. 2元-5 C. D. 2 3 解：∠AOB=60°，OA=OB=2, :△AOB是等边三角形， AB=2, ·S阴影=S扇形O4B-SoAB 60×π×221V3 ×2=2-5,故选：B. 360 22 3 8.(本题3分)如图，在扇形A0B中，∠A0B=60°，以A0为直径作半圆，若0C的长为2m,则阴影部 分的面积为(). A.(2π-2m2B. C. D. -Vm 解：如图，过点D作DE⊥OA于点E, B D .∵∠A0B=60°，0C=DC=2m, .△0CD为等边三角形，∠ACD=2∠A0B=120°，0A=20C=4m, ∴.CE=0C=lm, 2 11 ∴.DE=VCD2-CE2=5m, ∴.阴影部分的面积为S偏形4OB-S扇形4cD-S,ocD 60π×42120元×221 2/3 360 360 2 = 4r-5m2. 故选：B 9.(本题3分)已知一个圆锥底面圆的半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为() A.20 B.20π C.16π D.12π 解：，圆锥侧面积公式为S=πrl（其中r为底面半径，1为母线长)， 又，该圆锥底面半径r=4,母线长1=5. .S=元×4×5=20π. 故选B. 1O.(本题3分)如图，矩形纸片ABCD中，AD=12cm,把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD 后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为() F C. 48 A.6cm B.8cm 5 cm D.10cm 解：设AB的长为xCm, “四边形ABFE为正方形， 则AE=xCm,∠B=90°， AD =12cm, :DE =(12-x)cm, :扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面， 90rx=π12-x), 180 解得r=8cm, 12 故选：B. 二、填空题（共15分） 11.（本题3分)己知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图的圆心角的度数为120°，则圆锥的高 为 解：设侧面展开图的半径为， 2rx1=120mr 180 解得r=3, 设圆锥的高为h, 则h=V32-12=25, 故答案为：2√2 12.(本题3分)为了促进乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱.在制 作草帽时，用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为10πdm,侧面积为75πdm的圆锥形草帽，则扇形草 毡的圆心角为 解：设扇形的半径为r,则二×10πr=75π， 解得：r=15; 设扇形圆心角度数为度，则x5=10r, 180 解得：n=120, 即扇形圆心角为120°； 故答案为：120° 13.(本题3分)如图，在直径BC为22的圆内有一个圆心角为90°的扇形ABC随机地往圆内投一粒米， 该粒米落在扇形内的概率为 解：由题意得AB=AC,∠BAC=90°， 由勾股定理得BC=√AC2+AB2=√2AB, 3 ·AB=AC= C-2x22-2. 2 2 圆的面积为元 22 2 =2红，扇形面积为90π×2 360 该粒米落在扇形内的概率为 π1 22 1 故答案为： 2 14.(本题3分)半径为√2的扇形OAB的圆弧和以AB为直径的半圆围成如图所示的阴影部分，已知 0A⊥0B,则阴影部分的面积为一· 6 A 解：：0A⊥OB,且OA=OB=√2， Ssx2x5-1,AB=0r+08=2 ·:S扇形0AB 90πV2 360 2 1 :中间空白部分的面积为。π-1， ”以AB为直径的半圆面积为)π(=元， 1 1 阴影部分的面积为2-2-=1， 故答案为：1. 15.(本题3分)如图，在正方形ABCD中，以点B为圆心，AB长为半径画弧.连接AC,若AB=4,则 图中阴影部分的面积为 (结果保留刀) D B 14 解：在正方形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=4, ∴.图中阴影部分的面积为 S阴影=S扇形BMc-S。4BC 90元AB2_1AB-BC 3602 *4x4 90π×421 360 =4π-8. 故答案为：4π-8. 三、解答题（共55分） 16.(本题6分)如图，OO是△ABC的外接圆，BC是⊙0的直径，∠B=∠CAD. D (1)求证：AD是O0的切线： (2)连接OA,若∠B=30°，AC=3,求扇形0AC的面积. (1)证明：如图，连接OA, ,BC是O0的直径， ∴.∠BAC=90°， 0A=0B, LOAB=∠B, ,∠B=∠CAD, .∠OAB=LCAD, .∠OAB+∠OAC=∠CAD+∠OAC, 即∠BAC=∠OAD, 15 ∴.∠0AD=90°， :0A是00的半径， .AD是⊙O的切线； (2)解：，∠B=30°， .∠A0C=2∠B=60°， .0A=0C, .△OAC是等边三角形， .0A=AC=3, ∴扇形0AC的面积=60×π×3”=3 3602 17.(本题7分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，LB=20°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点 D,连接CD,且AC=4. B (1)求AD的长； (2)求扇形ACD的面积. (1)解：，在△ABC中，∠ACB=90°，LB=20°， .∠BAC=70°， 以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D, ∴.AC=CD, ∴.∠CDA=∠CAD=70°， .∠ACD=180°-2×70°=40°， . ×4=8m 40π 180 2)解：由1)知：。= 9 16 扇形4CD的面积=×8×4-16m 29 9 18.(本题8分)如图，点A,B,C,D在⊙0中，若BC=AD, B D (1)求证：AC=BD; (2)若∠ACB=30°，⊙0半径为1，则AB= (1)证明：BC=AD, :BC AD, .BC+AB=AD+AB, 六AC=BD, .AC =BD (2)解：连接0A,0B, B .∠ACB=30°， .∠A0B=2∠ACB=60°， AB的长为： 60π×1π 1803’ 故答案为： 19.(本题8分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(5,5),B(1,3,C(2,1,将 ABC绕原点O逆时针旋转90°，得△A'B'C'. 17 y个 6 5 4 3 -6-5-4-3-2-1 0123456x 3 6 (1)在图中画出△A'B'C',并写出点C的坐标； (2)求点A经过的路径长； (1)解：如图，△A'B'C'即为所求， y 6 A 5 3 B C -6-5-4-3-2-10123456x 2 由图，点C坐标为-1,2)： (2)解：由点A(5,5)得：0A=V52+52=5√2， :点A经过的路径长即AA的长为： 90π×5V25V2 180 2 20.(本题8分)如图，∠A0C∠B0C=50°，0D平分∠A0B 18 D B 0 A (1)求∠AOB和∠COD的度数； (2)若0E=0F=2,求扇形E0F的面积. (1)解：∠A0C=∠B0C=50 :∠B0C=100°：∠A0B=∠A0C+∠B0C=50°+100°=150° :0D平分∠A0B.∠A0D=∠B0D=x150°=75° ∠C0D=LA0D-∠A0C=75°-50°=25°； (2)解：LB0D=75 ·扇形E0F的面积为75××2=5 36061 21.(本题9分)△ABC在平面直角坐标xOy中的位置如图所示： y A(-2,3) C0,2) B(-1,1) (1)△AB,C与△ABC关于原点O成中心对称，作出△AB,C; (2)将△ABC绕0点顺时针方向旋转90°，作出△A,B,C2; (3)求出(2)过程中，点A走过的路径长： (1)解：如图所示，△A,BC即为所求： 19 A(-2,3) C0,2) B(1,1) (2)解：△4B,C即为所求； VA A(-2,3) C0,2)A2 B B-1,1)月 0 C (3)解：如图所示，连接OA,OA, 由旋转的性质可得∠AOA,=90°， :A-2,3, ∴.0A=V-2-0)2+(3-02=13, 一点A走过的路径长为90π×丽。V3】 180 2 4(-2,3 C0,2)42 B B-1,1) 22.(本题9分)如图，在⊙0中，点A是B4C的中点，0C平分∠ACB,∠BDC=60°，BC=2√5 20 (1)求∠ACB的度数： (2)求出⊙0的半径； (3)直接写出图中阴影部分的面积. (1)解：，点A是BAC的中点， :AB=AC, .AB=AC, .BC=BC, .LBAC=∠BDC=60°， .△ABC是等边三角形， .∠ACB=60°. (2)解：过点O作OE⊥BC于点E, D ,OE过圆心0， cE=8c=x25=5, ,0C平分∠ACB, .∠0CE=5∠ACB=云×60°=30°y 在RIACOE中，OE=OC, 2 21 :0E2+CE2=0C2, oc)+oc .0C=2, .00的半径为2. (3)解：连接OB, D 0 B 由2)可y0E=c0-x2=1, S.0c-7BC.OE=x23x1-3 由(1)可知：△ABC是等边三角形， .∠BAC=60°， .BC=BC, .∴.∠B0C=2∠BAC=2×60°=120°， 120π×22 ∴.S扇形B0C9 360 3, 4 5e=Sgc-5.ae--5. 22