第3章 8 圆内接正多边形&9 弧长及扇形的面积-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（北师大版）

8 圆内接 课内基础闯关 -------------------------0 知识点个圆内接正多边形的有关计算 1.(2024德阳)已知正六边形ABCDEF的面 积为6√3，则正六边形的边长为 ( A.1 B.√3 C.2 D.4 2.中心角为30°的圆内接正n边形的n为 3.如右图，若⊙O的半径为1，求这个 圆内接正十二边形的面积. 知识点② 圆内接正多边形的作图 4.用尺规画出⊙O的内接正多边形（保留画图 痕迹，不写画法). (1)正三角形； (2)正八边形 .0 0 已课外拓展提高 5.(教材第99页题4变式)以半径为2的圆的 内接正三角形、正四边形、正六边形的边心 距为三边作三角形，则该三角形的面积 为 6.数学核心素养·推理能力如下图，M,N 分别是⊙O的内接正三角形ABC、内接正四 边形ABCD、内接正五边形ABCDE、…、 80 九年级数学BS版 正多边形 内接正n边形ABCDEF…的边AB,BC上 的点，且BM=CN,连接OM,ON. M 图① 图② 图③ 图 (1)求图①中∠MON的度数； (2)图②中∠MON的度数是 图③中∠MON的度数是 (3)直接写出∠MON的度数与⊙O的内接 正n边形的边数n的关系. 知识要点归纳 1.顶，点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多 边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆 2.一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边 形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径.正 多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中 心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边 形的边心距， 3.在正n边形中，每个内角都为n一2)·180：每 n 个外角都是360 ;有n个中心角，每个中心角都 n 为360 n 9 弧长及 已课内基础闯关 -------------------------0 知识点① 应用弧长公式 1.已知扇形的圆心角为100°，半径为9，则该扇 形的弧长为 A数 B.5π C.8π D.10元 变式题1已知孤长和圆心角，求半径 150°的圆心角所对的弧长是5π，则此弧所 在圆的半径是 ( A.1.5 B.3 C.6 D.12 变式题2已知孤长和半径，求圆心角 一个扇形的弧长是2π，半径是4，则该扇形 的圆心角的度数是 ( A.45° B.90° C.120° D.180° 2.新课标要求·跨物理学科如图，用一个半 径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转 了120°.假设绳索粗细不计，且与滑轮之间 没有滑动，则重物上升了 cm(结 果保留π). 第2题图 第3题图 3.如图，已知⊙O的半径为2，AB是⊙O的弦. 若AB=22,则劣弧AB的长为 4.如图，已知公路弯道标志R=m表示圆弧道 路所在圆的半径为m(单位：m).某车在标有 R=300处的弯道上从点A行驶了100πm 到达点B,则线段AB= m. R=300 第4题图 扇形的面积 知识点② 应用扇形面积公式 5.一个扇形的弧长为10πcm,圆心角为150°， 则该扇形的面积为 ( A.30πcm B.60πcm C.120πcm2 D.180πcm 6.数学核心素养·应用意识如图，边长为 20m的正方形池塘的四周是草场，池塘围栏 的M,N,P,Q处各有一根铁桩，QP=PN= MN=4m.用长20m的绳子将一头牛拴在 一根铁桩上.若要使牛的活动区域的面积最 大，则绳子应拴在 ( A.Q桩 B.P桩 C.N桩D.M桩 8 cm 4 B 0 A(B) V 2 cm 2 cm 第6题图 第7题图 7.如图，将长为8cm的铁丝首尾相接围成一个半 径为2cm的扇形，则S扇形= cm. 8.如图，C,D是以AB为直径的半 圆周的三等分点，CD=6,则阴影 部分的面积是 第8题图 9.中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文 化的一个组成部分，它与竹文化、佛教文化 有着密切关系.历来中国有“制扇王国”之 称.折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸 或绫绢做扇面的能折叠的扇子；用时须撒 开，成半规形，聚头散尾.如下图，折扇的骨 柄OA长为35cm,扇面的宽AC的长为 20cm,折扇完全展开时的圆心角为135°.求 此时扇面的面积（结果保留π）. 下册第三章 81△ 课外拓展提高 10.如图，⊙A,⊙B,⊙C,⊙D,⊙E互相外离 (任何两圆之间都不相交，也不包含)，它们 的半径都是1.顺次连接五个圆心得到五边 形ABCDE,则图中五个扇形（阴影部分）的 总面积是 () A.1.5πB.2.5πC.3.5π D.4.5元 D -21m 图① 图② 第10题图 第11题图 11.数学核心素养·应用意识图①中的三翼 式旋转门在圆柱形的空间内旋转，旋转门 的三片旋转翼把空间等分成三个部分.图 ②是旋转门的俯视图，显示了某一时刻旋 转翼的位置.根据图②中的数据可知，AB 的长为 m. 12.如图，在□ABCD中，E为 BC的中点，以点E为圆 心，CE的长为半径画弧交 第12题图 对角线BD于点F.若∠A=116°，∠BDC =39°，BC=4,则扇形CEF的面积为 13.如下图，在△ABC中，CA=CB=4,∠ACB =90°.以AB中点D为圆心，作圆心角为 90°的扇形DEF,点C恰好在弧EF上.求 图中阴影部分的面积. 2 九年级数学BS版 已综合能力提升 14.如下图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC 为直径，∠A=30°，BC=2,D是AB的中 点.连接DO并延长交⊙O于点P,过点P 作PF⊥AC于点F.求： (1)劣弧PC的长； (2)阴影部分的面积（结果保 留π). 知识要点归纳 1.圆可以看成圆心角为360°的孤，1°圆心角所对 1 孤的长等于圆周长的360，则n圆心角所对孤的长 l=n元R 180 2.半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形面积S扇形 =nR 360 或S扇形=2R.对于这两个扇形面积公式 1 要根据已知条件合理选用，公式Sa彩=2R可类 比三角形面积公式来理解.OC/AD.△B0C△EAD.- 设⊙0的半径为r则0E=15-15后=5， 解得=号BE=15-2=只 8 8圆内接正多边形 1.C2.12 3.解：如图，过点A作AC⊥OB于点C. “圆内接正十二边形的中心角为360 12 01 1 30,0A=1,AC=20A=2, Sa=20BAC=X1X=, ∴这个圆内接正十二边形的面积为12×1 =3 A 4.解：各内接正多边形如图所示. (1) (2) ? 2 6.解：(1)如图，连接OB,OC. .正三角形ABC内接于⊙O, .∠BO℃=120°，OB=OC, ∴.∠OBC=∠OCN=30°. ∠ABC=60°， .∴.∠OBM=∠OBC=∠OCN=30°. 又.BM=CN, ∴.△OBM≌△OCN(SAS),∴.∠BOM=∠CON, ∴.∠BOM+∠BON=∠CON+∠BON, ∴.∠MON=∠BOC=120°. (2)90°72 (3)∠M0N=360 9弧长及扇形的面积 1.B变式题1C变式题2B2.4π3.π4.3005.B 6.C7.48.6π 9.解：由题意可知，OC=OA-AC=35-20=15(cm), ∴5a6=135rX35-135rX15=3750m), 360 360 即扇面的面积是375πcm. 10.c11.号x12.哥 13.解：如图所示，连接CD. 在△ABC中，CA=CB=4,∠ACB= 90°，.AB=42. ,以AB中点D为圆心，作圆心角为90 的扇形DEF,点C恰好在弧EF上， ∴.CD=22,∠B=∠DCN=45°，CD= BD..∠ADC=∠BDC=∠EDF=90°，.∠EDC+∠CDF =90°，∠CDF+∠BDF=90°，.∠BDM=∠CDN. ∠B=∠DCN. 在△BDM和△CDN中，BD=CD, ∠BDM=∠CDN, 172 九年级数学BS版 .△BDM≌△CDN(ASA), .SADN十+SAmM=SACDM十SAHDM, 广.S四边形DNCM=S△CDB, .S用影福分 90×m×(22)222×2E=2x-4. 360 2 14.解：(1)AC是⊙O的直径，.∠ABC=90° D是AB的中点，PD经过圆心， :.0A=OC.AD=BD.:.PDLAB.OD=7BC=1. .∠A=30°， ∴.∠POC=∠AOD=90°-∠A=60°，OA=2OD=2, 即⊙0的半径为2，∴劣弧PC的长为0π×2=2 180=3元. (2).PF⊥AC,∴.∠OPF=90°-∠POC=30°， ∴OF=7OP=1,·PF=VOP-OF=B,·.Sm影= 360 教材变式专题和阴影部分面积有关的计算 1.C2.号x-53.4-元 4解：.四边形ABCD是菱形， AB=√（合BD)+(合AC-10 :∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB=360°， ·四个扇形合起来是一个以2AB的长为半径的圆， “题图中阴影部分的面积=号×12×16一元X5=96一25元： 5.D6.A7.C8.2π-49.5π 10.解：(1)如图，连接EF ,DF∥AB,DE⊥AB .∠EDF=∠ECB=90°， ∴EF为⊙O的直径. C为半径OA的中点， o0=20BimE-8%-2 .∠E=30°，∴.∠DAF=∠E=30° (2)如图，连接OD,则∠DOF=2∠E=60° .DF∥AB,∴.S△DF=S△Doe, .S阴影=S阳形0F, 0D=2AB=5 ∴S附s=60X52=25 360 元. 12.解：如图，过点D作DE⊥OB于点E. 由题意，得∠DCO=90°，∠AOB=90°， ∴.四边形OCDE是矩形，.DE=OC OA=6,C是OA的中点， “0C=0A=3,0D=0B=6, 2 ∴DB=3sn∠B0D-焉=寸， .∠BOD=30°， ∴S形0pSAD二30TX6号X6X3=3π9 360 由折叠，得剪下的纸片的面积之和为4×3×(3π一9)=36π -108.