3.9弧长及扇形的面积课堂练习2025-2026学年北师大版数学九年级下册

3.9弧长及扇形的面积 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．把一个弧长为10π cm的扇形AOC围成一个圆锥，测得母线OA＝13 cm，则圆锥的高h为(     )       A．12 cm B．10 cm C．6 cm D．5 cm 2．如图，将线段OA绕点O逆时针旋转45°，得到线段OB．若OA＝8，则点A经过的路径长度为（   ） A． B． C． D． 3．如图，中，，，在以的中点为坐标原点、所在直线为轴建立的平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转，使点旋转至轴正半轴上的处，则图中阴影部分面积为（        ） A． B． C． D． 4．一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的侧面积为(　  　) A．2π cm2 B．4π cm2 C．8π cm2 D．16π cm2 5．如图，点A，B，C是上的点，连接，且，过点O作交于点D．连接，已知半径为2，则图中阴影面积为(   ) A． B． C． D． 6．一个扇形的弧长是，半径是4，则该扇形的圆心角的度数是（    ） A． B． C． D． 7．如图，正方形的边长为4，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（    ）    A． B．1 C． D． 8．如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6．如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的长度可能是（    ） A．8 B．11 C．10 D．9 10．如图，在扇形中，，，若以点C为圆心，为半径画弧，与交于点D，则图中阴影部分的面积和是（    ） A． B． C． D． 11．如图，从一个边长为2m的正六边形ABCDEF铁皮上剪出一个扇形CAE，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 12．如图，矩形ABCD中，,以AB为直径作，与CD相交于E,F两点，则图中阴影部分的面积是（  ）     A． B． C． D． 二、填空题 13．如图，把一个圆分成甲，乙，丙，丁四个扇形．若圆的直径为厘米，扇形丁的面积是 平方厘米（计算结果保留）． 14．如图，在中，，，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留） 15．已知扇形的半径是30cm，圆心角是60°，则该扇形的弧长为 cm（结果保留π）． 16．如图，在扇形OAB中，点C在 上，∠AOB＝90°，∠ABC＝30°，AD⊥BC于点D，连接AC，若OA＝4，则图中阴影部分的面积为 ． 17．如图，正六边形的边长为6，点B，F在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为 ． 三、解答题 18．半径为5㎝，圆心角为72°的弧长是多少？ 19．如图，矩形中，，以上一点O为圆心，长为半径画恰与边相切，交于F点，连结，若将这个扇形围成一个圆锥，求这个圆锥的底面积S． 20．如图，在中，，以为直径的⊙O分别与、交于点D、E，过点D作于点F． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，，求阴影部分的面积． 21．如图，已知，为的直径，过点A作弦垂直于直径于F，点B恰好为弧的中点，连接，．    (1)求证：； (2)若，求的半径； (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 22．如图，已知的直径是的弦，过点作的切线交的延长线于点，连接．    (1)求证：； (2)已知，点在上从点开始按逆时针方向运动到点停止（点不与点重合），当与的面积相等时，求点所经过的弧长． 23．在如图，已知的半径为4，为的直径，为的弦，为延长线上的一点，，且．    (1)求证：是的切线． (2)求图中阴影部分的面积． 24．如图，在平面直角坐标系中，将绕原点顺时针旋转得到． (1)画出，并写出点的坐标， ， ； (2)在旋转变换过程中，线段扫过的图形面积为 ． 《3.9弧长及扇形的面积》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B B B B D B B C 题号 11 12 答案 B D 1．A 【分析】利用弧长求出底面圆的半径，然后运用勾股定理求出圆锥的高． 【详解】设底面圆的半径为r，则：2πr＝10π，得：r＝5． 圆锥的高为：cm． 故选A． 【点睛】本题考查的是圆锥的计算，先根据弧长可以求出底面圆的半径，再用勾股定理求出圆锥的高． 2．C 【分析】根据题意可得，再根据弧长公式，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴点A经过的路径长度为． 故选：C 【点睛】本题主要考查了求弧长公式，熟练掌握弧长公式为（其中为圆心角，为半径）是解题的关键． 3．B 【分析】先证明是等腰直角三角形，得到，进一步求得旋转角为，由即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：，， 是等腰直角三角形， ， 绕点顺时针旋转，使点旋转至轴正半轴上的处， ， ， ， 即， ， ，即旋转角为， ， 故选：B． 【点睛】此题考查了扇形面积、旋转的性质、等腰直角三角形的判定和性质、特殊角的三角函数等知识点，推导出是解题的关键． 4．B 【详解】试题解析：由三视图可知，这个几何体是圆锥. 圆锥的侧面积 故选B. 5．B 【分析】根据圆周角定理可得∠AOB=30°，再由，可得，从而得到阴影面积等于扇形AOB的面积，即可求解． 【详解】解：∵， ∴∠AOB=30°， ∴， ∵， ∴， ∴阴影面积等于扇形AOB的面积， ∴阴影面积等于． 故选：B 【点睛】本题考查了圆周角定理、扇形面积公式和同底等高的两个三角形的面积相等等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键． 6．B 【分析】利用弧长公式求解即可． 【详解】解：设圆心角为，根据题意得： ， 解得：， ∴该扇形的圆心角的度数是，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了弧长公式的应用，解题的关键是熟练掌握扇形的弧长公式． 7．D 【分析】根据题意，扇形ADE中弧DE的长即为圆锥底面圆的周长，即通过计算弧DE的长，再结合圆的周长公式进行计算即可得解． 【详解】∵正方形的边长为4 ∴ ∵是正方形的对角线 ∴ ∴ ∴圆锥底面周长为，解得 ∴该圆锥的底面圆的半径是， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，圆的周长公式，正方形的性质以及圆锥的相关知识点，熟练掌握弧长公式及圆的周长公式是解决本题的关键． 8．B 【分析】设AB=xcm，则DE=（6-x）cm，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可． 【详解】设，则DE=（6-x）cm， 由题意，得， 解得. 故选B． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，矩形的性质，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 9．B 【分析】设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为n．利用弧长公式构建方程求出n的值，连结AC，过B作BD⊥AC于D，求出AC的长即可判断； 【详解】解：设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为n． 底面圆的周长等于： 解得：n=120°； 连结AC，过B作BD⊥AC于D，则∠ABD=60°． AB=6， BD=3， ∴   AC=2AD=， 即这根绳子的最短长度是， 故这根绳子的长度可能是11， 故选：B． 【点睛】此题考查了圆锥的计算，勾股定理的应用，含30°角的直角三角形，解题的关键是记住圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 10．C 【分析】连接，根据等边三角形的判定得出是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，求出阴影部分的面积=扇形的面积，再根据扇形的面积公式求出扇形的面积即可． 【详解】解：连接， ∵以点C为圆心，为半径画弧，与交于点D，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，扇形的面积计算等知识点，能求出阴影部分的面积=扇形BAD的面积是解此题的关键． 11．B 【分析】先求出扇形的半径与弧长，再利用扇形弧长与所围成的圆锥的底面周长的关系求出圆锥的底面半径． 【详解】解：过作于， 六边形为正六边形， m，， ，， m，m， ，， m， ， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了正多边形内角和定理，圆、扇形、圆锥的相关计算，掌握扇形所围的圆锥与扇形之间的等量关系是解决本题的关键． 12．D 【分析】连接OF、OE，过点O作OH⊥CD于点H，利用勾股定理求出FH=1，得到∠FOH=45°，根据等腰三角形的三线合一的性质得到EF=2FH=2，∠EOF=90°，再利用扇形EOF的面积减去△EOF的面积即可得到答案. 【详解】如图，连接OF、OE，过点O作OH⊥CD于点H， ∵OF=AB=，OH=BC=1，∠OHF=90°， ∴， ∴FH=OH, ∴∠FOH=45°， ∵OF=OE， ∴EF=2FH=2，∠EOF=90°， ∴阴影部分的面积是. 故选：D 【点睛】此题考查矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一的性质，扇形的面积公式，熟记弓形面积的计算方法：扇形面积减去三角形的面积，是解题的关键. 13．/ 【分析】本题主要考查了扇形的面积计算公式，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键． 根据题意先求出扇形丁的圆心角，再利用扇形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：根据题意，得：扇形丁的圆心角的度数为：， 圆的直径为厘米， 圆的半径为厘米， 扇形丁的面积为（平方厘米）． 故答案为：． 14． 【分析】由，根据圆周角定理得出，根据S阴影=S扇形AOB－可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴S阴影=S扇形AOB－ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、扇形的面积计算，根据题意求得三角形与扇形的面积是解答此题的关键． 15． 【分析】根据弧长公式是l＝ ，代入半径和圆心角就可以求出弧长． 【详解】解：∵扇形的半径是30cm，圆心角是60°， ∴该扇形的弧长是：（cm）． 故答案为：10π． 【点睛】本题考查的是扇形的弧长公式的运用，正确记忆弧长公式是解题的关键． 16． 【分析】连接OC，过点C作于点M，由勾股定理可得，利用角所对直角边是斜边的一半可得，，根据三角形面积公式及扇形面积公式分别求出、、、，再计算即可求解． 【详解】解：连接OC，过点C作于点M，如图所示： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵，于点D， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查不规则图形的面积及扇形面积公式，勾股定理解三角形，圆周角定理，角所对直角边是斜边的一半，解题的关键是作辅助线，利用分割法求解． 17． 【分析】本题考查了正多边形的内角，圆锥的侧面展开图的弧长与底面圆的关系，母线、底面圆的半径和圆锥的高构成直角三角形的关系，弄清弧长与圆锥的底面圆的周长的关系及母线、底面圆的半径和高的关系是解题的关键． 根据正六边形的内角和，即可求得内角的度数，进而根据边长等于的半径，根据弧长公式求得弧的长，再根据底面圆的周长就是弧的长，求得底面圆的半径，进而根据母线、底面圆的半径和圆锥的高构成直角三角形，求解． 【详解】解：∵正六边形的边长为6， ∴， ∴弧的长为：， ∵图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图． ∴弧的长即为圆锥底面的周长， 设圆锥底面圆的半径为，则， 解得：， ∴圆锥的高， 故答案为：． 18．6.28cm． 【分析】根据弧长公式求解即可． 【详解】， 所以半径为5㎝，圆心角为72°的弧长是6.28cm． 【点睛】本题考查了弧长问题，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 19．16πcm2 【分析】连接EO，可得扇形的半径12cm，利用相应的三角函数可求得扇形的圆心角，进而得出底面圆的半径，代入圆的面积公式即可． 【详解】解：连接EO， ∵恰与边相切， ∴EO⊥DC， ∴EO＝BC＝BO＝FO＝12cm， AO＝AB﹣OB＝18﹣12＝6cm， ∴Rt△OFA中，cos∠FOA＝＝， ∴∠FOA＝60°，∴∠FOB＝120°， ∴弧BF长l＝， 圆锥的底面圆周长2πr＝， ∴r＝4（cm）． ∴S＝πr2＝16π（cm2）． ． 【点睛】此题主要考查了圆锥的有关计算，解答此题需熟练圆锥侧面展开图与扇形关系，得出FO＝EO＝BO是解题关键． 20．(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，根据，，得出，证明，根据平行线的性质进一步证明，根据切线的判定求出即可； （2）连接，，过O作于M，求出、的长和的度数，分别求出和扇形的面积，即可求出答案； 【详解】（1）证明：连接， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点O， ∴是的切线． （2）连接，过O作于M，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积； 【点睛】本题主要考查了切线的判定，平行线的判定以及性质，三角形内角和定理，垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，扇形的面积等知识点，正确作出辅佐线是解题的关键． 21．(1)见解析 (2)2 (3) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得出，，进而求得，得出，即可证得结论； （2）根据垂径定理和圆周角定理易求得，得出，解直角三角形求得，即可求得的半径； （3）根据求得即可． 【详解】（1）解：证明：连接， ，为的直径， ， 点恰好为的中点， ， ， ，， ， ， ； （2）过点作弦垂直于直径于，   ， ， ， ， ， 在中，， ， 的半径为2． （3）连接， ， ， 是等边三角形， ， ， ． 【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、扇形的面积以及解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形和等边三角形是解题的关键． 22．(1)见解析 (2)当与的面积相等时，点所经过的弧长是或或 【分析】（1）连接，由是的切线，得到，由是的直径，得到，于是得到结论； （2）当时，与的面积相等，分三种情况讨论，或或，利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接．   是的切线，为的半径， ， ． 是的直径， ， ， ． ， ， ； （2）解：如图，   ， ． 与的面积相等， ， 点所经过的弧长； 或者， 点所经过的弧长； 或者， 点所经过的弧长． 综上可知，当与的面积相等时，点所经过的弧长是或或． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，弧长的求法，熟练掌握定理和计算公式是解题的关键． 23．(1)见解析 (2)阴影部分的面积为． 【分析】（1）连接，求得，，由外角的性质求出的度数，在中，利用三角形的内角和定理求出，可得出为的切线； （2）根据阴影部分的面积，代入数据计算即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，    ∵，且 ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴，即． ∴是的切线； （2）解：∵，且， ∴是等边三角形， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 【点睛】本题考查了切线的判定，扇形的面积公式，三角形外角性质，掌握切线的判定方法，等腰三角形的边角关系是正确解答的前提． 24．(1)图见解析，， (2) 【分析】本题考查了作图—旋转变换，扇形的面积公式，勾股定理，熟练掌握旋转的性质以及扇形的面积公式是解此题的关键． （1）利用旋转变换的性质分别作出点的对应点，再顺次连接即可，由图即可得出点的坐标； （2）由勾股定理可得，再根据扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ， 由图可得：，， 故答案为：，； （2）解：由勾股定理得：， 线段扫过的图形面积为：， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $