3.8 圆内接正多边形 课时练习2025-2026学年北师大版九年级下册数学

**基本信息** 同步练习通过选择、填空、解答三级分层，覆盖圆内接正多边形核心概念到综合应用，梯度合理，强化数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|中心角、边数、半径等核心概念|重概念辨析，如第1-4题考查中心角与边数关系，夯实抽象能力| |中档|边心距、阴影面积、圆心角计算|强计算应用，如第13题结合圆与正六边形面积，提升运算能力| |综合|切线证明、项目式估计π等|融推理与实践，如第21题通过几何模型估计π，发展模型意识与创新意识|

【北师大版九年级数学（下）课时练习】 §3.8 圆内接正多边形 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列正多边形中，绕其中心旋转后，能和自身重合的是（　　） A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形 2．（本题3分）下列说法中，错误的是（    ） A．正多边形的外接圆的圆心，就是它的中心 B．正多边形的外接圆的半径，就是它的半径 C．正多边形的内切圆的半径，就是它的边心距 D．正多边形的外接圆的圆心角，就是它的中心角 3．（本题3分）一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．（本题3分）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 5．（本题3分）如图，正六边形内接于，半径为，则边心距的长为（　　） A．2 B． C．4 D． 6．（本题3分）已知正六边形外接圆的半径为2，则该正六边形的边长是（   ） A． B．3 C．2 D． 7．（本题3分）如图，正五边形内接于，点是优弧上一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，五边形是的内接正五边形，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正九边形 B．正十边形 C．正十二边形 D．正十八边形 10．（本题3分）如图，正六边形的中心为原点O，顶点B，E在轴上，半径为4，则顶点F的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）如图，半径为的正六边形内接于，则该正六边形的边心距OM为 ． 12．（本题3分）如图,正五边形的外接圆为,点P是劣弧上一点,连接,则的度数是 . 13．（本题3分）相机镜头通过控制光圈叶片开合来调节进光孔的大小．如图，镜头半径为，若某时刻正六边形的进光孔的半径长为，则被光圈叶片挡住的阴影部分面积为 ． 14．（本题3分）古希腊时期，正九边形被认为是完美和神圣的象征，代表着和谐与平衡．第四套人民币中1角硬币采用了圆内接正九边形的独特设计，这个正九边形的中心角为 ．      15．（本题3分）“藻井”是中国古代建筑中的一种特色结构，图①是“藻井”纹样，由圆、正方形等图形组成．图②是纹样示意图，已知正方形内接于，且点E，F，G，H分别为正方形各边中点，则四边形与的面积之比为 ．（结果保留） 三、解答题（共55分） 16．（本题6分）一个多边形的所有内角与它的外角和的和是． (1)求该多边形的边数； (2)若该多边形为正多边形，求中心角的度数． 17．（本题7分）如图，已知正方形 ，以边为直径作，点E是边上一点（不与B，C重合），将正方形沿折叠，使得点C恰好落在上． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若正方形的边长为2，求线段的长． 18．（本题8分）如图，正六边形内接于，边长为2． (1)求的直径的长； (2)求的度数． 19．（本题8分）如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．    (1)求的度数； (2)若的半径为8，求正方形的边长． 20．（本题8分）如图，正六边形内接于，半径为．    (1)求的长度； (2)若G为的中点，连接，求的长度． 21．（本题9分）【项目主题】估计的值 【项目实施】 步骤一：画一个边长为2的正六边形，再画出它的内切圆（正六边形内切圆的直径等于正六边形的对边距离，正六边形对边距离为，即内切圆半径为）．设内切圆与正六边形的面积比值为p，求p的值． 步骤二：随机撒1000粒芝麻到正六边形及其内切圆的纸上，统计落在圆内的芝麻数为900，计算频率（记为q）． 落在正六边形内的芝麻粒数/粒 落在内切圆内的芝麻粒数/粒 频率q 1000 900 步骤三：利用p与q的关系，估计的值． （1）①_____；_____； ②当取1.7时，_____（结果保留整数）； 【项目反思】若想提高估计精度，给出一条合理化建议． （2）建议：_____． 22．（本题9分）如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形． (1)求该地基的周长； (2)求该地基的面积（结果保留根号形式）； (3)若正六边形的半径用表示，写出正六边形的面积与之间的函数关系式． 【北师大版九年级数学（下）课时练习】 §3.8 圆内接正多边形 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列正多边形中，绕其中心旋转后，能和自身重合的是（　　） A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形 解：∵ 正多边形的中心角， ∴旋转后能与自身重合，当且仅当是的整数倍时，符合题意， A、 正三角形：，，不符合题意； B、正方形：，，不符合题意； C、正六边形：，，符合题意； D、正八边形：，，不符合题意． 故选：C． 2．（本题3分）下列说法中，错误的是（    ） A．正多边形的外接圆的圆心，就是它的中心 B．正多边形的外接圆的半径，就是它的半径 C．正多边形的内切圆的半径，就是它的边心距 D．正多边形的外接圆的圆心角，就是它的中心角 解：正多边形的中心是外接圆和内切圆的共同圆心，故A正确，不符合题意． 正多边形的半径定义为外接圆的半径，故B正确，不符合题意． 正多边形的边心距是中心到边的距离，等于内切圆的半径，故C正确，不符合题意． 外接圆的圆心角是圆中任意的圆心角，正多边形的中心角是相邻顶点与圆心形成的角（），两者不等价，故D错误，符合题意． 故选：D． 3．（本题3分）一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 解：设正多边形的边数为n， 由题意可得：， 解得， 故选：C． 4．（本题3分）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 解：∵正多边形的中心角和为，中心角为， ∴， ∴这个正多边形的边数为5． 故选：D． 5．（本题3分）如图，正六边形内接于，半径为，则边心距的长为（　　） A．2 B． C．4 D． 解：连接， 正六边形内接于， ， ， ， 是等边三角形， ， 是边心距， ， ． 故选：B． 6．（本题3分）已知正六边形外接圆的半径为2，则该正六边形的边长是（   ） A． B．3 C．2 D． 解：∵正六边形外接圆的半径为2， ∴正六边形的中心角为， ∵外接圆半径相等， ∴每个分成的三角形均为等边三角形， ∴边长等于外接圆半径， ∵外接圆半径为2， ∴边长为2， 故选：C． 7．（本题3分）如图，正五边形内接于，点是优弧上一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 解：如图，连接， 正五边形内接于， ， ， 故选：B． 8．（本题3分）如图，五边形是的内接正五边形，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 解：连接, ∵是的内接正五边形， ∴，， ∴， 故选：． 9．（本题3分）如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正九边形 B．正十边形 C．正十二边形 D．正十八边形 解：连接， ， ， ，是正九边形的一条边．故选：A． 10．（本题3分）如图，正六边形的中心为原点O，顶点B，E在轴上，半径为4，则顶点F的坐标为（    ） A． B． C． D． 解：如图，连接，与轴的交点为， ∵六边形为正六边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 由勾股定理得，∴点F的坐标为，故选：B． 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）如图，半径为的正六边形内接于，则该正六边形的边心距OM为 ． 解：如图所示，连接、，过点作．如图： ∵多边形是正六边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故， ∴． 故答案为：． 12．（本题3分）如图,正五边形的外接圆为,点P是劣弧上一点,连接,则的度数是 . 解：∵正五边形的外接圆为, ∴， ∵点P是劣弧上一点, ∴观察图中，四边形是圆内接四边形， ∴， 故答案为：． 13．（本题3分）相机镜头通过控制光圈叶片开合来调节进光孔的大小．如图，镜头半径为，若某时刻正六边形的进光孔的半径长为，则被光圈叶片挡住的阴影部分面积为 ． 解：镜头的面积为：， 正六边形的半径（中心到顶点的距离）为，它可以分割为个边长为的等边三角形； 单个等边三角形面积为：， 因此正六边形面积为：， ． 故答案为：． 14．（本题3分）古希腊时期，正九边形被认为是完美和神圣的象征，代表着和谐与平衡．第四套人民币中1角硬币采用了圆内接正九边形的独特设计，这个正九边形的中心角为 ．      解：根据正多边形和圆的关系可得：正九边形的中心角为， 故答案为：． 15．（本题3分）“藻井”是中国古代建筑中的一种特色结构，图①是“藻井”纹样，由圆、正方形等图形组成．图②是纹样示意图，已知正方形内接于，且点E，F，G，H分别为正方形各边中点，则四边形与的面积之比为 ．（结果保留） 解：如图，连接， 设的半径为r， ∵正方形内接于， ∴，， ∵点E为的中点， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点E，F，G，H分别为正方形各边中点， ∴， ∴，， ∴四边形为菱形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴四边形与的面积之比为． 故答案为： 三、解答题（共55分） 16．（本题6分）一个多边形的所有内角与它的外角和的和是． (1)求该多边形的边数； (2)若该多边形为正多边形，求中心角的度数． （1）解：设该多边形的边数为， 由题意可得：， 解得：， ∴该多边形的边数为7. （2）解：由（1）可得该多边形是正七边形， 中心角的度数． 17．（本题7分）如图，已知正方形 ，以边为直径作，点E是边上一点（不与B，C重合），将正方形沿折叠，使得点C恰好落在上． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若正方形的边长为2，求线段的长． （1）解：与相切． 理由如下： 四边形为正方形， ， 正方形沿折叠，使得点恰好落在上， ， ， 在和中， ， ， ， 为的半径， 为的切线： （2）由（1）得， ， 点O、、E共线， 设，则， ， 为的直径， ， ， 在中，， 解得 即线段的长为． 18．（本题8分）如图，正六边形内接于，边长为2． (1)求的直径的长； (2)求的度数． （1）解：连接． ∵正六边形内接于， ∴， 又，∴△AOB是等边三角形． ∴．∴． （2）解：∵， ∴． 19．（本题8分）如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．    (1)求的度数； (2)若的半径为8，求正方形的边长． （1）解：连接，    由题意得：， ∴； （2）由（1）知：， 又∵， ∴， 即正方形的边长为：． 20．（本题8分）如图，正六边形内接于，半径为．    (1)求的长度； (2)若G为的中点，连接，求的长度． （1）解：连接，，如图：   六边形是正六边形， ， 又，是的半径，且半径为， ， 是等边三角形， ． （2）连接，，如图：    则为的直径， ，， 由（1）得：， 在中，， ， G为的中点，， 在中，， ． 21．（本题9分）【项目主题】估计的值 【项目实施】 步骤一：画一个边长为2的正六边形，再画出它的内切圆（正六边形内切圆的直径等于正六边形的对边距离，正六边形对边距离为，即内切圆半径为）．设内切圆与正六边形的面积比值为p，求p的值． 步骤二：随机撒1000粒芝麻到正六边形及其内切圆的纸上，统计落在圆内的芝麻数为900，计算频率（记为q）． 落在正六边形内的芝麻粒数/粒 落在内切圆内的芝麻粒数/粒 频率q 1000 900 步骤三：利用p与q的关系，估计的值． （1）①_____；_____； ②当取1.7时，_____（结果保留整数）； 【项目反思】若想提高估计精度，给出一条合理化建议． （2）建议：_____． 解：（1）①如图，连接，，过点O作， ∵正六边形由6个大小相同的等边三角形组成，其边长为2， ∴ 又∵的半径为，为的半径， ∴， ∴，， ∴， 由题意知，， 故答案为：，0.9． ②∵， ∴， 当取1.7时，得，解得， 故答案为：3． （2）建议：增加随机撒芝麻的数量， 因为当随机撒的芝麻数量越多时，落在圆内和正六边形内的芝麻数的频率就越接近理论上的概率，这样根据p与q的关系估计出的值就会更精确， 故答案为：增加随机撒芝麻的数量． 22．（本题9分）如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形． (1)求该地基的周长； (2)求该地基的面积（结果保留根号形式）； (3)若正六边形的半径用表示，写出正六边形的面积与之间的函数关系式． （1）解：连接、； 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， 正六边形的周长； （2）解：过作于， 是等边三角形，，， 于，， 在中，由勾股定理， ， ； （3）解：是等边三角形，， ， 于， ， 在中，由勾股定理， ， ． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $