安徽芜湖皖江中学2025-2026学年高一下学期四月校内训练数学试卷

**基本信息** 融合数学文化（刘徽《海岛算经》）与现实情境（冰激凌组合体），梯度覆盖向量、立体几何、解三角形等高一核心知识，注重空间观念与推理能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数根、向量运算、解三角形测量方案|基础巩固，如第3题结合测量情境考查正弦定理应用| |多选题|3/18|斜二测画法面积、向量夹角|能力提升，如第9题综合直观图与面积计算| |填空题|3/15|解三角形面积、四棱锥截面|细节考查，如第13题运用余弦定理求面积| |解答题|5/60|斜坐标系创新应用、半球与棱柱组合体|创新应用，如第18题斜坐标系结合向量运算，第16题立体几何体积表面积综合|

2026年芜湖皖江中学高一四月校内训练数学卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知是实系数方程的一个复数根，则(    ) A. B. C. D. 2.如图，点为正六边形的中心，则(    ) A. B. C. D. 3.如图所示，为了测量某湖泊两侧，间的距离，李宁同学首先选定了与，不共线的一点，然后给出了三种测量方案的角，，所对的边分别记为，，： 测量，，；测量，，；测量，，． 则一定能确定，间距离的所有方案的个数为(    ) A. B. C. D. 4.冰激凌一直被众多青少年视为夏日解暑神器，图中冰激凌可近似地看作圆锥和半球的组合体若半球部分的体积为，圆锥部分的侧面展开图是半圆形，且用塑料外壳将该冰激凌密封固定，则所用塑料的面积至少为 A. B. C. D. 5.已知向量，，则，，则下列表述正确的是(    ) A. 存在唯一的实数对，使得 B. 存在唯一的实数对，使得 C. 存在唯一的实数对，使得 D. 存在唯一的实数对，使得 6.如图，将半径为的球与棱长为的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为(    ) A. B. C. D. 7.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，若的内角平分线的长为，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 8.魏晋时期的数学家刘徽撰写的海岛算经是中国最早的一部关于测量的数学著作，其中给出了测量建筑物高度的方法如图，是某球形建筑物与水平地面的接触点即切点，若在地面上与点共线的点处测得球形建筑物上点的最大仰角分别为和，且，则该球形建筑物的表面积为    参考数据：，． A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.如图，是用斜二测画法画出的直观图，则(    ) A. 是钝角三角形 B. 的周长为 C. 的面积为 D. 的面积为 10.已知向量，，，则下列说法正确的有(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为钝角，则 D. 在上的投影向量为 11.在中，角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是    ． A. 若，则 B. ，，，则无解 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，，则面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设，若复数，满足，，则          ． 13.在中，若，，，则的面积为          ． 14.如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，是棱上靠近点的三等分点，是的中点，平面交于点，则          ． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分如图，在中，点是的中点，点是的中点，设，．用，表示向量；若点在上，且，求． 16.本小题分 如图一个半球，挖掉一个内接直三棱柱棱柱各顶点均在半球面上，棱柱侧面是一个长为的正方形． 求挖掉的直三棱柱的体积； 求剩余几何体的表面积． 17.本小题分在中，，，分别为内角，，所对的边，且，内角的平分线交于点，．求角的大小若，求的长． 18.本小题分如图，设，是平面内相交成且角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为已知在斜坐标系中，，． 证明：； 当时，，求； 当时，若向量，，已知，求函数的最值． 19.本小题分如图，已知的面积为． 求的大小； 若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围； 记的面积为，若，求的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年芜湖皖江中学高一四月校内训练数学卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知是实系数方程的一个复数根，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】略 2.如图，点为正六边形的中心，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：由题设有， 则． 故选D． 3.如图所示，为了测量某湖泊两侧，间的距离，李宁同学首先选定了与，不共线的一点，然后给出了三种测量方案的角，，所对的边分别记为，，： 测量，，；测量，，；测量，，． 则一定能确定，间距离的所有方案的个数为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】对于，利用内角和定理先求出，再利用正弦定理解出对于，直接利用余弦定理即可解出对于，先利用内角和定理求出，再利用正弦定理解出故选A． 4.冰激凌一直被众多青少年视为夏日解暑神器，图中冰激凌可近似地看作圆锥和半球的组合体若半球部分的体积为，圆锥部分的侧面展开图是半圆形，且用塑料外壳将该冰激凌密封固定，则所用塑料的面积至少为 A. B. C. D. 【答案】A  【解析】设半球半径为，圆锥母线长为，由，得，又，，所以所用塑料的面积至少为故选A． 5.已知向量，，则，，则下列表述正确的是(    ) A. 存在唯一的实数对，使得 B. 存在唯一的实数对，使得 C. 存在唯一的实数对，使得 D. 存在唯一的实数对，使得 【答案】C  【解析】解：已知，， 则， ， 对于，若，则， 化简得，有无数组满足，故A错误； 对于，若，则， 整理得，有无数组满足，故B错误； 对于，若，则，解得， 存在唯一实数对满足，故C正确； 对于，若， 则， 展开得，有无数组满足，故D错误． 故选：． 6.如图，将半径为的球与棱长为的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了几何体体积的计算，属于基础题． 分析该组合体的组成可得该几何体体积是个球的体积与一个正方体体积之和，计算可得结果． 【解答】 解：该组合体的体积 ， 故选：． 7.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，若的内角平分线的长为，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】因为， 所以， 即， 所以． 又因为，所以． 由，得， 所以． 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为故选A． 8.魏晋时期的数学家刘徽撰写的海岛算经是中国最早的一部关于测量的数学著作，其中给出了测量建筑物高度的方法如图，是某球形建筑物与水平地面的接触点即切点，若在地面上与点共线的点处测得球形建筑物上点的最大仰角分别为和，且，则该球形建筑物的表面积为    参考数据：，． A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：如图，设球心为，连接， 设球的半径为， 在中，， 在中，， 所以， 则， 所以该球形建筑物的表面积为． 故选：． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.如图，是用斜二测画法画出的直观图，则(    ) A. 是钝角三角形 B. 的周长为 C. 的面积为 D. 的面积为 【答案】BC  【解析】作出如图所示由图可得是等腰直角三角形，A错误，，所以的周长为，B正确的面积为，C正确的面积为，D错误． 10.已知向量，，，则下列说法正确的有(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为钝角，则 D. 在上的投影向量为 【答案】BD  【解析】【分析】 本题考查平面向量共线的坐标表示及向量的模，平面向量的数量积运算，投影向量，属于基础题． 根据向量共线定理的坐标表示，向量的模的公式，向量数量积的运算，即可分别求解． 【解答】 解：选项A， ，选项错误； 选项B，由于， 则，， 若， 则，解得 ，选项正确；  选项C， 与 的夹角为钝角，则 ， 且两个向量不能反向共线，即 且，选项错误； 选项D，，所以在上的投影向量为，选项正确． 故选：． 11.在中，角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是    ． A. 若，则 B. ，，，则无解 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，，则面积的最大值为 【答案】AD  【解析】【分析】 本题考查了正弦定理及变形、利用正弦定理判定三角形解的个数、利用余弦定理判断三角形的形状、三角形面积公式、由基本不等式求最值或取值范围，属于中档题． 利用正弦定理可判断选项A的正误；利用正弦定理可判断选项B的正误；利用余弦定理可判断选项C的正误；利用余弦定理和基本不等式求得的最大值，根据三角形面积公式求得面积最大值可判断选项D的正误． 【解答】 解：因为，由正弦定理得，即，故A正确； 在中，，，，由正弦定理得， 则，又，则，所以有两解，故B错误； 若，则，故，由正弦定理得：， 由余弦定理得，则，为锐角，另外两个角不能确定为锐角还是钝角，故C错误； 在中，，，由余弦定理得，即， 因为，当且仅当时取等号，所以， 所以面积，即面积的最大值为，故D正确． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设，若复数，满足，，则          ． 【答案】  【解析】略 13.在中，若，，，则的面积为          ． 【答案】  【解析】略 14.如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，是棱上靠近点的三等分点，是的中点，平面交于点，则          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查空间几何体的位置关系，考查数学运算的核心素养，属于中档题． 【解答】 解：如图所示，由底面是平行四边形，可将四棱锥补成三棱柱 ，易知，且E. 因为是的中点，所以延长必过点． 连接，由题意易知必交于点． 因为在三棱柱中，四边形为平行四边形， 所以∽， 又因为是棱上靠近点的三等分点，所以， 则． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，在中，点是的中点，点是的中点，设，． 用，表示向量； 若点在上，且，求． 【答案】解：因为，点是的中点，所以，因为点是的中点，所以． 设，所以，又，所以，所以，所以．   【解析】略 16.本小题分 如图一个半球，挖掉一个内接直三棱柱棱柱各顶点均在半球面上，棱柱侧面是一个长为的正方形． 求挖掉的直三棱柱的体积； 求剩余几何体的表面积． 【答案】解：因为三棱柱为直三棱柱， 所以， 连接，取中点为球心，中点为，连接，，， 所以，即，因为，所以， 由球的性质知是所在小圆直径， 所以， 又是一个长为的正方形， 因此，球半径为， 挖掉的直三棱柱的体积； 由知，，，，， 所以剩余几何体表面积为 ．   【解析】本题考查三棱柱的体积，几何体的表面积，属于中档题． 直三棱柱的体积 剩余几何体表面积为． 17.本小题分 在中，，，分别为内角，，所对的边，且，内角的平分线交于点，． 求角的大小 若，求的长． 【答案】解：由和正弦定理，可得， 因为， 所以，即， 又，所以． 因为，所以． 因为平分，所以，所以因为， 所以，即，解得．   【解析】略 18.本小题分 如图，设，是平面内相交成且角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为已知在斜坐标系中，，． 证明：； 当时，，求； 当时，若向量，，已知，求函数的最值． 【答案】解：证明：， ， ， ； ，如图， 中 ； ， 由可得 ， 令，则， ， 当时，， 当时，．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.本小题分 如图，已知的面积为． 求的大小； 若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围； 记的面积为，若，求的值． 【答案】解：在中，由余弦定理可知：， 所以， 因为，所以， 化简得：，即， 因为，所以 因为，， 由正弦定理可得：，解得：， 因为，，所以， 则， 又因为为锐角三角形，所以，则， 则，，故， 又，所以， 即的面积的取值范围为 设，则，，， 在中，由正弦定理可得：， 在中，由正弦定理可得：，， 由于，， 所以化简可得：， 即， 即， 即，即，因为 所以或，解得：，或， 设，则， 在中，， 在中，， 所以， 当时，，，所以 当时，，，所以   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $