精品解析：山东滕州市第二中学等学校2025-2026学年高一第二学期期中质量检测数学试卷

2025~2026学年第二学期期中质量检测 高一数学 2026.4 注意事顶： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 2. 设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】根据基底的定义，结合共线向量的性质判断即可. 【详解】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成， C选项中，，即和为共线向量， 所以它们不能作为基底． 其他选项中的两个向量都不共线，所以可以作为基底． 故选：C 3. 下列几何体是棱台的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】棱锥的底面和平行于底面的一个截面间的部分，叫做棱台，只有D是棱台 4. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简求解即可. 【详解】. 5. 如图，正方形的边长为1，它是按“斜二测画法”得到的一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形的周长是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】因为正方形的边长为1， 所以，， 将直观图还原为原图形，如图： 由直观图的作法可知，中，，， 所以，， 所以原图形的周长是. 6. 在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】在中，由，有，所以. 又，故，所以. 7. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上由正东向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上（即）．行驶300m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山顶D相对公路所在平面的高度（ ）. A. B. 100m C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由正弦定理解得，再解直角三角形即可得解. 【详解】由题意， 而，由正弦定理可得，即，解得， 注意到， 从而. 故选：C. 8. 在任意四边形中，，分别是，的中点.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，化简得到，结合，求得的值，即可求解. 【详解】因为分别为的中点，则， 由向量的运算法则，可得， 两式相加，可得， 所以， 因为，所以，所以. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 长方体是平行六面体 B. 正四棱柱是正方体 C. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D. 棱台的侧面是梯形 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据各个几何体的结构特征，逐项进行分析即可. 【详解】对于A，平行六面体的定义是六个面均为平行四边形的棱柱，长方体的每个面都是矩形（属于平行四边形），且侧棱与底面垂直，因此长方体是特殊的平行六面体，故A正确. 对于B，正四棱柱要求底面为正方形且侧棱与底面垂直，但未限定侧棱长度必须等于底面边长.若侧棱长度与底面边长相等，则为正方体，否则仅为长方体.因此，正四棱柱不一定是正方体，故B错误. 对于C，侧面均为相交于一点的三角形，底面为多边形的几何体为棱锥，根据底面的边数，分为三棱锥、四棱锥等.若某棱锥有一个面为平行四边形，由棱锥定义可知，该面一定为棱锥的底面，因此有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥，故C正确. 对于D，棱台由平行于棱锥底面的平面截棱锥而得到，原棱锥的侧面为三角形，截后变为梯形，故D正确. 故选：ACD. 10. （多选）已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 的最大值为2 【答案】ABD 【解析】 【详解】设复数（a，），由可得，. 选项A：，正确； 选项B：，正确； 选项C：，只有当时才等于1，不是恒成立，错误； 选项D：， 因为，当时，的最大值为，正确. 11. 设是平面内相交的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，且它们的夹角为.若向量，则把有序实数对叫做在坐标系中的坐标，即.设，则（ ） A. B. C. 在上的投影向量的坐标为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由向量模的计算公式可得答案；对于B，由数量积的运算律计算可得答案；对于C，由向量投影向量计算公式可得答案；对于D，由向量减法坐标计算公式可得答案. 【详解】由题可得，，，， 对于A， ，故A正确； 对于B， ，故B错误； 对于C，在上的投影向量为，由B分析可得， 又， 则，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据及向量的复数表示运算得到答案. 【详解】复数与分别表示向量与， ，所以表示向量的复数为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了向量与复数的关系,向量的运算和复数的运算，属于基础题. 13. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝8．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．当底面ABC水平放置时，液面高为 __． 【答案】6 【解析】 【分析】利用相似得到水的体积和容器体积的比，再结合水的体积相等列等式，解方程即可求解. 【详解】当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形， 设△ABC的面积为S，则S梯形S， 水的体积V水S×AA1＝6S， 当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h， 则有V水＝Sh＝6S，得h＝6， 即当底面ABC水平放置时，液面高为6． 故答案为：6． 14. 在△ABC中，()⊥(＞1)，若角A的最大值为，则实数的值是_______． 【答案】3 【解析】 【分析】 把向量进行转化，用表示，利用基本不等式可求实数的值. 【详解】 ，解得＝3． 故答案为：3. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积应用，综合了基本不等式，侧重考查数学运算的核心素养. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 实数取什么值时，复数是 （1）实数； （2）纯虚数. 【答案】（1）或；（2）. 【解析】 【分析】依据复数的概念分别列等式求解即可. 【详解】解：（1）当复数是实数时，只需，即或； （2）当复数是纯虚数时，，解得：. 16. 圆锥的底面直径是2，其侧面展开图是一个顶角为120°的扇形. （1）一只蚂蚁从点A出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点A，求爬行的最短路程； （2）过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱（如图所示），求剩下几何体的表面积和体积. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）作出侧面的展开图，最短路程即为的长，由余弦定理可求解； （2）求得圆锥的高，进而计算剩下几何体的表面积和体积. 【小问1详解】 由题意，侧面展开图如图所示，最短路程即为的长，设为圆锥的母线长， 由，可得，即母线， 在中，由余弦定理可得 所以爬行的最短路程为； 【小问2详解】 因为圆锥的母线长为，所以圆锥的高为， 从而挖去的圆柱的高为，从而挖去的圆柱的侧面积为， 又圆锥的表面积为， 所以剩下几何体的表面积， 剩下几何体的体积为. 17. 已知是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求的坐标； （2）若，且与垂直，求向量与夹角的余弦值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先设出的坐标，再根据向量平行的坐标表示以及向量模的计算公式列出方程组，最后求解方程组即可得到的坐标； （2）先根据两向量垂直则其数量积为0列出方程，再结合向量模的计算公式求出，最后根据向量夹角的余弦值公式求出夹角的余弦值即可. 【小问1详解】 设，因为，且， 所以，即， 又因为，所以，即， 则联立方程组得：， 解得 ，或， 所以或. 【小问2详解】 因为与垂直， 所以，即：， 因为，， 所以，所以， ， 所以， 即，，解得， 所以：， 所以向量与夹角的余弦值为. 18. 记的内角的对边分别为，. （1）求； （2）若的面积为，，求边上的中线长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）条件式利用正弦定理化简，结合三角恒等变换求解； （2）由余弦定理结合三角形面积公式可得，，设为的中点，方法一，由结合余弦定理代入运算得解；方法二，利用向量关系，结合数量积运算得解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 即，化简得， 因为，所以， 则，解得. 【小问2详解】 由余弦定理可得， 又的面积为， 解得，则， 方法一：如图，设为的中点， 则，又， 则， 在和中，分别使用余弦定理可得， 化简得， 代入，解得（负值舍去）， 故边上的中线长为. 方法二：设为的中点，则， 所以. 故边上的中线长为. 19. 如图，在等边中，，点O在边BC上，且．过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N． （1）设，，试用，表示； （2）设，，求的最小值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用给定的基底表示向量. （2）利用共线向量的推论及基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 由，得，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，而，， 因此，而共线，则，又， 于是， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期期中质量检测 高一数学 2026.4 注意事顶： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 等于（ ） A. B. C. D. 2. 设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 3. 下列几何体是棱台的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，正方形的边长为1，它是按“斜二测画法”得到的一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形的周长是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ） A. B. C. D. 或 7. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上由正东向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上（即）．行驶300m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山顶D相对公路所在平面的高度（ ）. A. B. 100m C. D. 8. 在任意四边形中，，分别是，的中点.若，则（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 长方体是平行六面体 B. 正四棱柱是正方体 C. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D. 棱台的侧面是梯形 10. （多选）已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 的最大值为2 11. 设是平面内相交的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，且它们的夹角为.若向量，则把有序实数对叫做在坐标系中的坐标，即.设，则（ ） A. B. C. 在上的投影向量的坐标为 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为_________. 13. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝8．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．当底面ABC水平放置时，液面高为 __． 14. 在△ABC中，()⊥(＞1)，若角A的最大值为，则实数的值是_______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 实数取什么值时，复数是 （1）实数； （2）纯虚数. 16. 圆锥的底面直径是2，其侧面展开图是一个顶角为120°的扇形. （1）一只蚂蚁从点A出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点A，求爬行的最短路程； （2）过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱（如图所示），求剩下几何体的表面积和体积. 17. 已知是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求的坐标； （2）若，且与垂直，求向量与夹角的余弦值. 18. 记的内角的对边分别为，. （1）求； （2）若的面积为，，求边上的中线长. 19. 如图，在等边中，，点O在边BC上，且．过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N． （1）设，，试用，表示； （2）设，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $