精品解析：山东省枣庄市滕州市2024-2025学年高一下学期4月期中质量检测数学试题

2024～2025学年第二学期期中质量检测 高一数学 2025.4 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式即可. 【详解】. 故选：D. 2. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（ ） A. 四棱台 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 三棱柱 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何体结构特征直接判断即可. 【详解】记水面与三棱柱四条棱的交点分别为，如图所示， 由三棱锥性质可知，和是全等梯形， 又平面平面， 平面分别与平面和相交于， 所以，同理， 又，所以互相平行， 所以盛水部分的几何体是四棱柱. 故选：C 3. 用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中，，则原的周长为（ ） A. B. C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】由直观图画出原图的图像，分析求解边长，最后求解原的周长即可. 【详解】由直观图画出原图的图像，如图所示： ，， 所以， 所以原的周长为：. 故选：D 4. 已知复数，为虚数单位，则复数虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 分析】根据复数乘法运算化简复数，即可由虚部定义求解. 【详解】由可得， 故虚部为， 故选：D 5. 已知是不共线的向量，且，则（ ） A. A，B，C三点共线 B. A，B，D三点共线 C. B，C，D三点共线 D. A，C，D三点共线 【答案】B 【解析】 【分析】先得到，，然后得到即可判断B正确；对于ACD，说明对应的向量不共线即可排除. 【详解】因为， 所以，， 因为，所以A，B，D三点共线，故B符合题意； 因为是不共线的向量，，所以不共线，即A，B，C三点不共线，故A不符合题意； 因为是不共线的向量，，所以不共线，即B，C，D三点不共线，故C不符合题意； 因为是不共线的向量，，所以不共线，即A，C，D三点不共线，故D不符合题意； 故选：B. 6. 平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，与的夹角为45°，则的大小为（ ） A. B. 5N C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平衡状态得，结合向量的数量积求解即可． 【详解】由题意得，， 所以， 故选：C． 7. 已知圆锥的轴截面为为该圆锥的顶点，该圆锥内切球的表面积为，若，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】研究圆锥与内切球的轴截面，由题可得内切球半径，在轴截面中解直角三角形分别求出圆锥的高与底面半径即可. 【详解】如图所示，设内切球与相切于点，因为，所以， 由内切球的表面积为，可得球的半径， 在直角中得，则圆锥的高为， 在直角中得，即圆锥的底面半径为3， 所以该圆锥的体积． 故选：A． 8. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，，，O为其外心.若外接圆半径为，且，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量数量积及三角形外心的定义可知，，然后化简已知等式，得到的值. 【详解】由题意可知，， ， ， ， ， ， . 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. 若复数为实数，则 B. 若复数为纯虚数，则 C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复数的共轭运算，乘方运算，结合复数的概念即可判断． 【详解】对于A，依题意可得，即，故A正确； 对于B，依题意可得，故B错误； 对于C，依题意可得，所以，故C正确； 对于D，依题意可得，所以， 则，故D正确； 故选：ACD． 10. 我们把由平面内夹角成30°的两条数轴，构成的坐标系，称为“@未来坐标系”.，分别为，正方向上的单位向量.若向量，则把实数对叫做向量的“@未来坐标”，记（ ） A. 若向量，的“@未来坐标”分别为，，则 B. 若向量的“@未来坐标”为，则 C. 若向量，的“@未来坐标”分别为，，则的“@未来坐标”为 D. 若向量，的“@未来坐标”分别为，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由向量新定义，结合向量共线的基本定理，模长的计算，数量积的运算律，数量积的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，由题意，若向量，的“@未来坐标”分别为，， 则，则，故A正确； 对于B，若向量的“@未来坐标”为，则， 所以，故B错误； 对于C，，即的“@未来坐标”为，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：AC 11. 下列选项中，值为的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由三角恒等变换以及诱导公式逐一验算即可求解. 【详解】A选项：； B选项： ； C选项： ； D选项：因为，可得； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标运算即可. 【详解】由已知得：， 故答案为： 13. 已知，且，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出、的值，利用两角和的余弦公式求出的值，并求出的取值范围，由此可求得的值. 【详解】因为，，， 所以，， 所以， 因为，， 所以，所以， 所以. 故答案为： 14. 在圆内接四边形中，，，，则四边形面积为 ____． 【答案】． 【解析】 【分析】利用余弦定理可求，解得，结合范围，利用同角三角函数基本关系式可求，利用三角形面积公式即可计算得解． 【详解】解：因为为圆内接四边形， 所以，则， 利用余弦定理得，， 所以，解得， 所以， 由，，得， 因为，所以， 所以． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在高为2的正三棱柱中，，D是棱的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）设为棱的中点，为棱上一点，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接用三棱锥的体积公式即可； （2）将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示,当三点共线时，取得最小值，然后用勾股定理求解即可. 小问1详解】 ， 所以； 【小问2详解】 将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示． 当三点共线时，取得最小值，且最小值为． 16. 设复数，. （1）若是实数，求； （2）若复数满足，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数的概念求出参数，再计算两复数乘积即可； （2）利用复数模的运算得到参数表示，再计算含参的复数模的最小值即可. 【小问1详解】 由是实数， 所以， 则 【小问2详解】 设， 则由， 引入参数，可得， 所以 ，其中， 此时 17. 在中，角，，所对的边分别，，．已知． （1）求； （2）若，，设为延长线上一点，且，求线段的长． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式进行求解即可； （2）根据正弦定理，结合两角和的余弦公式进行求解即可. 【小问1详解】 ， 由正弦定理可得： ， ，，，； 【小问2详解】 由（1）知， ，， 由正弦定理可得，，即， ， 或（舍去）， ， ， ，， ， ． 18. 某居民小区内建有一块矩形草坪，，，为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路，和，考虑到小区整体规划，要求O是的中点，点E在边上，点F在边上，且. （1）设，试将的周长表示成的函数关系式； （2）求的周长的最小值. 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据三角函数定义及勾股定理，即可表示出长度，进而用表示出周长．根据点的极限位置，判断出角的大小范围得到定义域． （Ⅱ）利用三角函数换元，将周长转化为关于的函数，结合角的范围求得的范围，进而得到的最小值． 【小问1详解】 在中，， ， 在中，， ， 又， ， 即. 当点在点时，这时角最小，求得此时； 点在点时，这时角最大，求得此时. 所以的周长关于的函数关系式为：，. 【小问2详解】 由题意知，要求铺路总费用最低，只要求的周长最小值即可. 由（Ⅰ）得，，， 设，则， ， ， ，， ，， 从而， 当，即时，. 19. 在中，. （1）如图一，若，用，表示，你能得出什么结论?并加以证明. （2）如图二，若，，与交于，过点的直线与，分别交于点P，Q. ①用，表示； ②设，，求的最小值. 【答案】（1），结论即证明见详解； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得； （2）①依题意可得，，由三点共线，设，结合（1）的结论用，表示出，由三点共线，设，同理表示出，根据平面向量基本定理得到方程，求出、，再代入即可； ②依题意可得，，结合①的结论及共线定理结合基本不等式即可得求. 【小问1详解】 因为， 所以 . 结论：如图：在直线上，若，则. 证明如下： 因在直线上，所以存在实数，使， 所以，整理得， 若，则. 【小问2详解】 ①若，，则，， 因为三点共线，设， 则， 因为三点共线，设， 则， 因为与不共线，所以，解得， 所以. ②因为，， 所以，， 所以， 因为三点共线，所以，则， 所以， 当且仅当即时，取到最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年第二学期期中质量检测 高一数学 2025.4 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（ ） A. 四棱台 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 三棱柱 3. 用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中，，则原的周长为（ ） A. B. C. 10 D. 12 4. 已知复数，为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 5. 已知是不共线的向量，且，则（ ） A. A，B，C三点共线 B. A，B，D三点共线 C. B，C，D三点共线 D. A，C，D三点共线 6. 平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，与夹角为45°，则的大小为（ ） A. B. 5N C. D. 7. 已知圆锥的轴截面为为该圆锥的顶点，该圆锥内切球的表面积为，若，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，，，O为其外心.若外接圆半径为，且，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. 若复数为实数，则 B. 若复数为纯虚数，则 C. 当时， D. 当时， 10. 我们把由平面内夹角成30°两条数轴，构成的坐标系，称为“@未来坐标系”.，分别为，正方向上的单位向量.若向量，则把实数对叫做向量的“@未来坐标”，记（ ） A. 若向量，“@未来坐标”分别为，，则 B. 若向量的“@未来坐标”为，则 C. 若向量，的“@未来坐标”分别为，，则的“@未来坐标”为 D. 若向量，的“@未来坐标”分别为，，则 11. 下列选项中，值为有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则_______. 13. 已知，且，，则______. 14. 在圆内接四边形中，，，，则四边形面积为 ____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在高为2的正三棱柱中，，D是棱的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）设为棱的中点，为棱上一点，求的最小值. 16. 设复数，. （1）若是实数，求； （2）若复数满足，求的最小值. 17. 在中，角，，所对的边分别，，．已知． （1）求； （2）若，，设为延长线上一点，且，求线段长． 18. 某居民小区内建有一块矩形草坪，，，为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路，和，考虑到小区整体规划，要求O是的中点，点E在边上，点F在边上，且. （1）设，试将的周长表示成的函数关系式； （2）求的周长的最小值. 19. 在中，. （1）如图一，若，用，表示，你能得出什么结论?并加以证明. （2）如图二，若，，与交于，过点的直线与，分别交于点P，Q. ①用，表示； ②设，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $