精品解析：河南省南阳市桐柏县2026年春期九年级第一次模拟试卷 数 学

2026年春期九年级第一次模拟试卷 数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）．下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，下列关于位置的信息正确的是（ ） A. 烟台在驻马店的东北方向300千米处 B. 烟台在驻马店的西北方向300千米处 C. 驻马店在烟台的西南方向900千米处 D. 驻马店在烟台的东北方向900千米处 4. 小明想送给同桌一套迷你文具，他找到了一个长方体纸盒，其表面展开图及尺寸如图（单位：），为了确定能否装下这套文具，需要计算盒子的容积．这个盒子的容积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 15 5. 已知排球队6名上场队员的身高（单位：）分别是：． 现用两名身高是的队员分别换下场上身高为的队员，与换人前相比，现在计算结果不受影响的是（     ） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 6. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最小整数值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 7. 我市组织的一次文旅活动中安排有猴戏表演，每场设有4个固定节目： 主办方每日随机抽取2个不同节目展演，每个节目被抽中的概率均等．则抽取的节目中恰好含节目与节目的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，平行四边形的顶点、、在上，若点是圆周上任意一点且不与、、重合，则的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点在线段上，连接，．若点和点关于直线对称，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 10. 如图1，在中，点从点出发向点运动，在运动过程中，设表示线段的长，表示线段的长，与之间的关系如图2所示，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 单项式的系数是_______． 12. 若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围为______． 13. 石墨烯材料可能成为将来制造芯片的关键材料．下面各图是二维石墨烯的晶格结构，图中的黑色圆点是石墨烯二维晶格结构中的碳原子，第1个图形中有14个碳原子，第2个图形中有18个碳原子，第3个图形中有22个碳原子，按这样的规律，第n个图形中，碳原子的个数为________（用含n的式子表示） 14. 如图，边长均为6的正六边形和正五边形拼接在一起，以顶点为圆心，长为半径画弧，得到，则的长为______（结果保留）． 15. 如图，矩形中，，，点为轴上一个动点，以为对称轴将折叠得到，点的对应点为点，当点落在轴上时，点的坐标为______． 三、解答题：（共75分） 16. 计算与化简： （1）计算： （2）化简： 17. 为了鼓励同学们多读书、读好书，某校开展了主题为“走进图书馆·悦享书世界”的读书活动． “综合实践”小组的同学想要了解本校学生在这次活动中借阅图书的情况，于是从全校1200名学生中随机抽取200名学生，并对200名学生的图书借阅记录进行统计，形成了如下的调查报告（不完整）： ××中学学生借阅图书情况调查报告 调查主题 ××中学学生借阅图书情况 调查方式 抽样调查 调查对象 ××中学学生 数据的收集与整理 第一项 各类图书 借阅量统计 第二项学生 个人借阅量统计 图书借阅量/本 人数/名 调查结论 … 请根据以上调查报告，解答下列问题： （1）求被调查的200名学生在本次活动中借阅图书的总数量，并将条形统计图补充完整； （2）估计该校所有学生中，图书借阅数量为3本及以上的学生有多少名？ （3）在制定方案时，小兵给出的初步方案是随机抽取200名七年级学生，并对他们的图书借阅记录进行统计．小兵的方案合理吗？简要说明理由． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． （1）求反比例函数解析式； （2）若点在轴上，且，求点坐标； （3）若点在该反比例函数图象上，且它到轴距离大于3，请根据图象直接写出的取值范围． 19. 如图，过菱形的顶点，且切于点，的延长线交于点，交于点，且与的延长线交于点． （1）求证：为的切线； （2）求的正切值． 20. 某校数学实践活动小组要测量校园内一棵大树的高度，王华同学带领甲、乙、丙三位小组成员进行此项实践活动，并做出下面的实践报告单． 课题 测量校园内一棵大树的高度 测量工具 测角仪、皮尺 测量图例 测量方法 某一时刻，大树在太阳光下的影子末端落在地面上的点处，甲同学在点处竖立一根标杆，同一时刻标杆在太阳光下的影子末端落在地面上的点处；丙同学站在点处，他的眼睛在点处，观察得知，树顶的仰角为． 测量数据 标杆米，标杆的影长为2米，米，米，仰角． 说明 点在同一水平直线上，，图中所有的点都在同一平面内．（参考数据：） （1）请你根据所学知识用直尺和圆规在图中画出点的位置；（不写画法，保留作图痕迹） （2）根据报告单的测量数据，计算这棵大树的高度．（结果精确到0.1米） 21. 快递公司为了提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，甲种型号机器人每小时分拣的快递量比乙种型号机器人每小时分拣的快递量多件．甲种型号机器人分拣件快递的时间与乙种型号机器人分拣件快递的时间相同． （1）求甲、乙两种型号的机器人每小时各分拣多少件快递？ （2）已知甲种型号机器人每台万元，乙种型号机器人每台万元．该公司计划购买这两种型号的机器人共台，且这台机器人每小时分拣快递量的总和不少于件．求购买多少台甲种型号的机器人所花总费用最少？最少费用是多少？ 22. 设二次函数（，b是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … m 1 n 1 p … （1）若时，求二次函数的表达式； （2）当时，y有最小值为，求a的值； （3）若，求证：． 23. 综合与实践： 如图1，在中，，．点是外一点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段，连接． （1）试证明：； （2）如图2，点为正方形内一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，求出与之间的数量关系； （3）如图3，当时，点在的延长线上，连接，将线段绕点按逆时针向旋转，得到线段，连接，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期九年级第一次模拟试卷 数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）．下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题关键是正确确定和的值． 【详解】解：∵ 是12位整数，按科学记数法要求可得，符合，， ∴ ． 3. 如图所示，下列关于位置的信息正确的是（ ） A. 烟台在驻马店的东北方向300千米处 B. 烟台在驻马店的西北方向300千米处 C. 驻马店在烟台的西南方向900千米处 D. 驻马店在烟台的东北方向900千米处 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方位角的位置识别，熟练掌握方位角是解题的关键． 根据方位角判断出位置信息即可解答． 【详解】解：由图可得：烟台在驻马店的东北方向900千米处，驻马店在烟台的西南方向900千米处，故C正确； 故选：C． 4. 小明想送给同桌一套迷你文具，他找到了一个长方体纸盒，其表面展开图及尺寸如图（单位：），为了确定能否装下这套文具，需要计算盒子的容积．这个盒子的容积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 15 【答案】A 【解析】 【详解】解：， ∴这个盒子的容积为． 5. 已知排球队6名上场队员的身高（单位：）分别是：． 现用两名身高是的队员分别换下场上身高为的队员，与换人前相比，现在计算结果不受影响的是（     ） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查众数，中位数，平均数，方差，掌握相关知识是解决问题的关键．换人前后，数据总和增加导致平均数变化；众数从原数据无众数变为出现两次；方差因数据值改变而变化；中位数因中间两数仍为和而保持不变． 【详解】解：∵ 原始数据排序后为， 中位数 ； 换人后数据排序为， 中位数 ； ∴ 中位数不变， 换人前后，数据总和增加导致平均数变化；众数从原数据无众数变为出现两次；方差因数据值改变而变化 ∴不受影响的是中位数． 故选：D． 6. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最小整数值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程定义可得二次项系数不为0，结合方程有两个不相等的实数根，可得判别式，联立两个条件求出的取值范围，即可得到的最小整数值． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 其中 ，代入得， 解得， 结合，得的取值范围为且， 因此的最小整数值是， 故选：D． 7. 我市组织的一次文旅活动中安排有猴戏表演，每场设有4个固定节目： 主办方每日随机抽取2个不同节目展演，每个节目被抽中的概率均等．则抽取的节目中恰好含节目与节目的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中抽取的节目中恰好含节目与节目的结果数有2种， ∴抽取的节目中恰好含节目与节目的概率是． 8. 如图，平行四边形的顶点、、在上，若点是圆周上任意一点且不与、、重合，则的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】连接，可得平行四边形是菱形，和都是等边三角形，可得．因此或． 【详解】连接， ∵四边形是平行四边形，， ∴是菱形， ∴． 又， ∴和都是等边三角形， ∴． ∴． 若在优弧上：则； 若在劣弧上：则． ∴的度数为或． 9. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点在线段上，连接，．若点和点关于直线对称，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】易证为等边三角形，据此求解即可． 【详解】解：∵点B和点O关于直线对称， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， ∴， 故选：D． 10. 如图1，在中，点从点出发向点运动，在运动过程中，设表示线段的长，表示线段的长，与之间的关系如图2所示，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析当点P在点A处、点P到达边高（）的位置、点P到达点C处，P点的位置对应2个图中的位置关系，即可求解． 【详解】解：如图，过点B作于点H， ①当点P在点A处时，即当时，， ②当点P到达边高（）的位置时，，此时最小，即， ③当时，点P对应图2末端时，即，则， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 综上所述，选项A、C、D正确，不合题意；选项B错误，符合题意． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 单项式的系数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查单项式的系数．单项式中的数字因数叫做单项式的系数，据此进行解答即可． 【详解】解：单项式的系数是， 故答案为： 12. 若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由一元一次不等式组的解集情况求参数，根据不等式组无解的条件，推导得到的取值范围即可． 【详解】解：∵关于的一元一次不等式组无解， ∴两个不等式没有公共解集， 可得， 故答案为：． 13. 石墨烯材料可能成为将来制造芯片的关键材料．下面各图是二维石墨烯的晶格结构，图中的黑色圆点是石墨烯二维晶格结构中的碳原子，第1个图形中有14个碳原子，第2个图形中有18个碳原子，第3个图形中有22个碳原子，按这样的规律，第n个图形中，碳原子的个数为________（用含n的式子表示） 【答案】 【解析】 【详解】解：第1个图形中有个碳原子， 第2个图形中有个碳原子， 第3个图形中有个碳原子， 按这样的规律，第n个图形中，碳原子的个数为个． 14. 如图，边长均为6的正六边形和正五边形拼接在一起，以顶点为圆心，长为半径画弧，得到，则的长为______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算．根据正六边形、正五边形的性质求出它的内角的度数，进而求出的圆心角的度数，由弧长公式进行计算即可． 【详解】解：正六边形和正五边形， ，， ， 的长为． 故答案为：． 15. 如图，矩形中，，，点为轴上一个动点，以为对称轴将折叠得到，点的对应点为点，当点落在轴上时，点的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意得出，进而得出或，再根据，利用勾股定理列出方程，即可求解． 【详解】解：∵矩形中，以为对称轴将折叠得到，点B的对应点为点Q，， ∴，，， 设，， ∴， 解得：或， ∴或， 当时，由得， ， 解得：； 当时，得， ， 解得：， 综上，点P的坐标为或， 故答案为：或． 三、解答题：（共75分） 16. 计算与化简： （1）计算： （2）化简： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 17. 为了鼓励同学们多读书、读好书，某校开展了主题为“走进图书馆·悦享书世界”的读书活动． “综合实践”小组的同学想要了解本校学生在这次活动中借阅图书的情况，于是从全校1200名学生中随机抽取200名学生，并对200名学生的图书借阅记录进行统计，形成了如下的调查报告（不完整）： ××中学学生借阅图书情况调查报告 调查主题 ××中学学生借阅图书情况 调查方式 抽样调查 调查对象 ××中学学生 数据的收集与整理 第一项 各类图书 借阅量统计 第二项学生 个人借阅量统计 图书借阅量/本 人数/名 调查结论 … 请根据以上调查报告，解答下列问题： （1）求被调查的200名学生在本次活动中借阅图书的总数量，并将条形统计图补充完整； （2）估计该校所有学生中，图书借阅数量为3本及以上的学生有多少名？ （3）在制定方案时，小兵给出的初步方案是随机抽取200名七年级学生，并对他们的图书借阅记录进行统计．小兵的方案合理吗？简要说明理由． 【答案】（1）被调查的200名学生的借阅总量为720本， 补全统计图如下： （2）该校所有学生中，图书借阅数量为3本及以上的学生大约有528名 （3） 解：小兵的做法不合理，理由： 小兵仅随机抽取200名七年级学生的图书借阅量不具有代表性，这样的抽样调查的可靠性较低，所以小兵的做法不合理． 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图和条形统计图得，类书籍占总体书籍的，即可求出总体书籍；并补全条形统计图； （2）根据学生个人借阅量统计，求出图书借阅数量为本及以上的学生人数，再根据样本估计总体，即可； （3）根据抽样调查选择样本，即可． 【小问1详解】 解：借阅图书的总数量为：（本）； ∴类书籍的借阅量为：（本），类书籍的借阅量为：（本）， 图略； 答：被调查的200名学生的借阅总量为720本． 【小问2详解】 （名）， 答：该校所有学生中，图书借阅数量为3本及以上的学生大约有528名 【小问3详解】 略 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． （1）求反比例函数解析式； （2）若点在轴上，且，求点坐标； （3）若点在该反比例函数图象上，且它到轴距离大于3，请根据图象直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）将点代入一次函数，求出b的值，再将点代入反比例函数解析式求出k即可； （2）将点代入反比例函数解析式求出a的值，设一次函数与轴交于点，则点为，设点坐标为，根据列方程求解即可； （3）分别求出当或时，对应的x的值，再结合反比例函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：一次函数的图象经过点， ， 反比例函数的图象经过， ， 反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：反比例函数经过点， ， ， 点， 设一次函数与轴交于点，则点为， 设点坐标为， ， ， 解得或， 点坐标为或； 【小问3详解】 解：当时，即，解得， 当时，即，解得， 结合反比例函数图象可知，或． 19. 如图，过菱形的顶点，且切于点，的延长线交于点，交于点，且与的延长线交于点． （1）求证：为的切线； （2）求的正切值． 【答案】（1）证明：连接、，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∵切于点， ∴， ， 在和中， ， ∴， ， ∴， 又∵为的半径， ∴为的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，先根据菱形的性质可得，再由圆的切线的性质可得，然后证出，根据全等三角形的性质可得，即可得证为的切线； （2）连接、，先由同弧所对的圆周角相等得到，再由菱形性质、切线性质及平行线的判定与性质得到相关角度等量关系，进而确定，然后由等角对等边、圆的半径相等确定是等边三角形，即可得到，最后由特殊角的三角函数求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接、，如图所示： ， ， 在菱形中， ，则， ， 由（1）知为的切线，则， 在菱形中，，则， ， ， ， ， 又， ，则， 在中，，则，即是等边三角形， ， 则． 20. 某校数学实践活动小组要测量校园内一棵大树的高度，王华同学带领甲、乙、丙三位小组成员进行此项实践活动，并做出下面的实践报告单． 课题 测量校园内一棵大树的高度 测量工具 测角仪、皮尺 测量图例 测量方法 某一时刻，大树在太阳光下的影子末端落在地面上的点处，甲同学在点处竖立一根标杆，同一时刻标杆在太阳光下的影子末端落在地面上的点处；丙同学站在点处，他的眼睛在点处，观察得知，树顶的仰角为． 测量数据 标杆米，标杆的影长为2米，米，米，仰角． 说明 点在同一水平直线上，，图中所有的点都在同一平面内．（参考数据：） （1）请你根据所学知识用直尺和圆规在图中画出点的位置；（不写画法，保留作图痕迹） （2）根据报告单的测量数据，计算这棵大树的高度．（结果精确到0.1米） 【答案】（1） 如图，点即为所求． （2）这棵大树的高度约10.0米 【解析】 【分析】（1）在的左侧作，交于点，则点即为所求； （2）延长交于点，则米．由（1）知，可得，则，进而可得，设米，则米，米，米，在中，，求出x的值，进而可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：延长交于点，四边形是矩形，米， 由（1）知，， ， ， ，， 设米，则米， 米，米， 在中，， 解得， 米． 答：这棵大树的高度约10.0米． 21. 快递公司为了提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，甲种型号机器人每小时分拣的快递量比乙种型号机器人每小时分拣的快递量多件．甲种型号机器人分拣件快递的时间与乙种型号机器人分拣件快递的时间相同． （1）求甲、乙两种型号的机器人每小时各分拣多少件快递？ （2）已知甲种型号机器人每台万元，乙种型号机器人每台万元．该公司计划购买这两种型号的机器人共台，且这台机器人每小时分拣快递量的总和不少于件．求购买多少台甲种型号的机器人所花总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】（1）甲种型号机器人每小时分拣件快递，乙种型号机器人每小时分拣件快递； （2）购买台甲种型号的机器人所花总费用最少，最少费用是万元． 【解析】 【分析】（）设甲种型号机器人每小时分拣件快递，则乙种型号机器人每小时分拣件快递，根据题意得  ，然后解分式方程并检验即可； （）设购买台甲种型号机器人，则购买台乙种型号机器人，总费用为万元，根据题意得，得出的取值范围，再表示出总费用，然后根据一次函数的性质求出最小费用即可． 【小问1详解】 解：设甲种型号机器人每小时分拣件快递，则乙种型号机器人每小时分拣件快递， 根据题意得  ， ， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合实际意义， ∴（件）， 答：甲种型号机器人每小时分拣件快递，乙种型号机器人每小时分拣件快递； 【小问2详解】 解：设购买台甲种型号机器人，则购买台乙种型号机器人，总费用为万元， 根据题意得，  化简得， 解得， 总费用， ∵， ∴随的增大而增大， 又∵为整数， ∴的最小值为，此时最小值为：（万元）， 答：购买台甲种型号的机器人所花总费用最少，最少费用是万元． 22. 设二次函数（，b是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … m 1 n 1 p … （1）若时，求二次函数的表达式； （2）当时，y有最小值为，求a的值； （3）若，求证：． 【答案】（1）； （2）a的值为或； （3） 证明：由（2）知：二次函数的对称轴为直线， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴. 【解析】 【分析】（）利用表格数据以及待定系数法求解即可； （）由表可知，抛物线经过两点，进而得到抛物线的对称轴为直线,则，即，再分和两种情况解答即可； （）利用二次函数的解析式求出，结合二次函数的对称轴进而得到，利用一次函数的性质即可求证； 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得： ∴ ∴二次函数的表达式为：. 【小问2详解】 解：由题意得到：二次函数的对称轴为直线， ∴二次函数， ∵当时，y有最小值为， ①当时，当时，函数值取最小， ∴ ∴， ②当时，当或时，函数值取最小， ∴ ∴， 综上所述，a的值为或， 【小问3详解】 略 23. 综合与实践： 如图1，在中，，．点是外一点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段，连接． （1）试证明：； （2）如图2，点为正方形内一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，求出与之间的数量关系； （3）如图3，当时，点在的延长线上，连接，将线段绕点按逆时针向旋转，得到线段，连接，直接写出的值． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，证明，得出，从而可得，再证明，即可得出； （2）连接，由正方形的性质可得，，又，，从而得出，，，再证明△，即可得出结果； （3）由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，解直角三角形得出，再证明，得出，设交于点O，求出，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设交于点O， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $