精品解析：辽宁大连市高新技术产业园区2025-2026学年 第二学期适应性练习 九年级数学（4月）

适应性练习（数学） 本试卷共23小题满分120分考试时长120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：抛物线的顶点坐标是． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，是由一个球体和一个正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查组合体的三视图，关键是明确左视图是从物体左面观察得到的平面图形．从左面观察该几何体，下方的正方体呈现为正方形，上方的球体呈现为圆，且圆位于正方形的正上方，选出符合此特征的选项即可． 【详解】解：从左面看，该几何体下方是正方形，上方是圆，且圆在正方形的正上方； 故选：C． 2. 清明假期期间，某市共接待海内外游客约15.67万人次，将数据156700用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 3. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各选项图形进行判断即可．轴对称图形是指沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指绕一个点旋转后能与自身重合的图形 【详解】解：A、选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B、选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；  C、选项不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；  D、选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项法则、积的乘方运算法则、完全平方公式和同底数幂的除法运算法则逐项判断即可解答． 【详解】解：A、和不是同类项，不能加减，故原计算错误，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、，故原计算错误，不符合题意； D、，故原计算错误，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，直线，直线分别与直线，交于点，，点在直线上，．若，则的大小为（ ） A. 55° B. 45° C. 35° D. 25° 【答案】C 【解析】 【详解】因为，， 所以， 又因为，即， 所以． 6. 如图，在矩形中，，，平分交于点E，连接，取的中点F，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，，结合平分，可以推出，在中，先使用勾股定理计算出斜边的长，再用直角三角形的性质算出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵点F是的中点， ∴是斜边上的中线， ∴． 7. 某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强P（）与木板面积满足反比例函数关系，它的图象如图所示，当压强P（）是时，木板面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据图象上的已知点求出反比例函数解析式，再将给定的压强值代入解析式求出对应的木板面积 【详解】解：设压强与木板面积的函数解析式为． ∵函数图象过点， ∴， ∴， ∴函数解析式为． 当时， ， ∴． 8. 在一个口袋中，有4个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，4从中随机摸出两个小球，则一次摸出的两个小球的标号之积为奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的结果数和“一次摸出的两个小球的标号之积为奇数”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图知所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，其中摸出的两个小球上的数字积为奇数的结果有2种，分别是， 所以“一次摸出的两个小球的标号之积为奇数”的概率． 故选：D． 9. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸：瓠生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢？瓜、瓠各长几何？大意是：已知墙高9尺，长在墙头的瓜蔓每天向下长7寸；同时，长在墙下的葫芦每天向上长1尺，问经过多少天两蔓相遇，此时瓜蔓、葫芦蔓的长度各为多少？（注：）设两蔓相遇时瓜蔓的长度为寸，葫芦蔓的长度为寸，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是行程问题中的相遇，读懂题意，找出数量关系，列出二元一次方程组是解答关键． 设两蔓相遇时瓜蔓的长度为寸，葫芦蔓的长度为寸，根据两蔓相遇时，它们的长度之和等于高度寸，两蔓生长天数相同来列出方程求解． 【详解】解：1尺寸， 高9尺就是寸， 所以． 故选：D． 10. 如图，在菱形中，连接．若，，以点C为圆心，长为半径作弧，交边于另一点F，再分别以B，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，连接交边于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据尺规作图痕迹可知，即为菱形的高，利用菱形对角线互相垂直平分及勾股定理求出另一条对角线长，再利用等面积法求解即可 【详解】解：设与交于点，连接，  四边形是菱形，  ， 在中，， ， 由作图可知，，且垂直平分，  ， ，  ， ． 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 王老师采用一种新的计分方法如下：以优秀成绩分为标准，小强考了分记为分，小刚考试成绩记为分，那么小刚这次考试的实际分数为______分． 【答案】 【解析】 【分析】由正负数的实际意义，根据给定的标准分，结合有理数的减法运算计算即可． 【详解】解：以优秀成绩分为标准，小刚考试成绩记为分，则小刚这次考试的实际分数为（分）． 12. 在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点N，则点N的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中点的平移规律，向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减，计算即可得解． 【详解】解：点先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， ，， 点的坐标为． 13. 甲，乙，丙，丁四名射击运动员进行射击测试.每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环）如下表所示，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择_______． 甲 乙 丙 丁 9 8 9 9 【答案】丁 【解析】 【分析】本题考查的是方差和算术平均数，根据平均环数比较成绩的优劣，根据方差比较数据的稳定程度，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键． 【详解】解：由表知甲、丙、丁射击成绩的平均数相等，且大于乙的平均数， 从甲、丙、丁中选择一人参加竞赛， 丁的方差较小， 选择丁参加比赛， 故答案为：丁． 14. 如图，课外兴趣小组测量公园内古塔的高度，在距离该古塔塔底B点的C处，用测角仪测得塔顶部A的仰角为，则该古塔的高度约为_____．（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】 37 【解析】 【分析】根据题意构建直角三角形模型，在中，利用锐角三角函数中正切的定义，结合已知边长和角度即可求出的长 【详解】解：根据题意可知，为直角三角形，且 ，，  在  中，      ． 15. 如图，在矩形中，，，对角线交于点O，点E是的中点，连接交于点F，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】在矩形中，，得到，，，再根据得到，求出，结合，得到，再根据即可求解． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴，，，， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 某校为迎接“2025年元旦校内足球赛”，计划购买甲、乙两种品牌的足球．已知甲品牌足球的单价比乙品牌足球的单价多20元，且购买12个甲品牌足球和10个乙品牌足球共需2000元． （1）甲、乙两种品牌足球的单价各为多少元？ （2）学校决定购买甲品牌足球和乙品牌足球共60个，总费用不超过5300元，那么最多可以购买多少个甲品牌足球？ 【答案】（1）甲品牌足球的单价为100元，乙品牌足球的单价为80元 （2）最多可以购买25个甲品牌足球 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）乙品牌足球的单价为x元，则甲品牌足球的单价为元，根据“购买12个甲品牌足球和10个乙品牌足球共需2000元”列方程求解即可； （2）设购买m个甲品牌足球，则购买个乙品牌足球，根据“总费用不超过5300元”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：乙品牌足球的单价为x元，则甲品牌足球的单价为元， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：甲品牌足球的单价为100元，乙品牌足球的单价为80元； 【小问2详解】 解：设购买m个甲品牌足球，则购买个乙品牌足球， 根据题意，得， 解得， 答：最多可以购买25个甲品牌足球． 18. 为了提高学生的科学素养，某校举办中学生科技知识竞赛．现从七年级学生中随机抽取部分学生成绩进行整理与分析（测试满分100分且成绩均为整数，成绩用表示，分为四个等级：D：，C：，B：，A：），部分信息如下： 信息一： 信息二：被抽取的学生成绩在B等级中的具体分数为： ，，，，，，，，，，， 请根据上述信息解决下列问题： （1）求所抽取学生成绩为C等级的人数； （2）求所抽取的学生成绩的中位数； （3）若全校七年级有400名学生，请估计成绩在范围内的学生人数． 【答案】（1）人 （2）分 （3）人 【解析】 【分析】（1）由条形统计图可知：等级的人数有人，由扇形统计图可知：等级的人数占抽查总人数的，即可求出抽查的总人数为人，用总人数减去、、等级的人数，即可得到等级的人数； （2）把抽到的学生的成绩按照按从小到大排序，第个数据为分，第个数据为分，这两个分数的平均数即为这组数据的中位数； （3）用样本百分比估计总体百分比，求出全校七年级有名学生成绩在范围内的学生人数． 【小问1详解】 解：由条形统计图可知：等级的人数有人，由扇形统计图可知：等级的人数占抽查总人数的， 抽查总人数为：（人）， 等级的人数：（人）， 答：所抽取学生成绩为等级的人数为人； 【小问2详解】 解：将这组个数据按从小到大排序，第个数据为分，第个数据为分， 中位数为， 答：被抽取的学生成绩的中位数为分； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计成绩在范围内的学生人数约人． 19. 春节期间，小明要在家里的落地窗户上悬挂彩带．为此，小明开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 在落地窗户上悬挂彩带 活动准备 1．找出家里购买的彩带； 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 如图1是小明家的落地窗户，其左右两部分关于立柱所在的直线成轴对称，其右侧底部为矩形，上部为一条抛物线L，测得，，两条抛物线的顶点A，与点D构成等腰直角三角形（，）．家里购买的彩带总长约为．彩带全部挂到窗户上． 设计方案 小明在抛物线L上选取点E，过点E作，交抛物线于点，过点E作，垂足为F，过点作，垂足为，线段，，为所挂彩带．为了更美观，彩带尽可能的悬挂高一些． 确定思路 小明经过思考，如图2，确定以的中点O为坐标原点，线段所在的直线为x轴建立平面直角坐标系．根据是等腰直角三角形求出点A坐标，根据顶点式求出抛物线L的表达式，利用抛物线的表达式表示出彩带的总长，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线L的表达式； （2）求点E的坐标， 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意建立平面直角坐标系，得出关键点、对称轴；利用等腰直角三角形性质，求出抛物线顶点A坐标；设抛物线顶点式，代入已知点D坐标，求a；写出抛物线解析式． （2）设点E横坐标为x，结合轴对称表示、、、长度；根据彩带总长列一元二次方程； 解方程得两个x值；依据悬挂更高，结合抛物线对称轴取舍x；代入解析式，求出纵坐标，确定E坐标． 【小问1详解】 解：由题意可得： 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． ∵ ． ∵，窗户左右对称， 抛物线的对称轴为直线． 为等腰直角三角形，，， 顶点横坐标为， 竖直方向：， 即． 设抛物线解析式为： 将代入得： 解得： 抛物线的表达式为： 化为一般式：； 【小问2详解】 解：设点 由轴对称得：． ， ． 由彩带总长为，得： 化简得： 整理得： 解得：． 要求彩带悬挂尽可能高，抛物线开口向下， 横坐标越靠近对称轴，位置越高， 取． 将代入解析式： 点坐标为． 20. 小王开车从A地出发，以的平均速度驶向B地，小张在小王出发后，沿同一条公路开车从B地出发，以的平均速度驶向A地，两人与A地距离，关于小王行驶时间的函数图象如图所示，请根据图象回答下列问题： （1）小张比小王晚出发_____； （2）求小张与A地的距离与小王行驶时间之间的函数关系式； （3）小张出发多久与小王相遇？ 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象可得答案； （2）当时，小张没有出发，当时，用A、B两地的距离减去小张行驶的距离可得答案； （3）两人相遇时，二者的路程之和为200千米，据此建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：由函数图象可知，小张比小王晚出发； 【小问2详解】 解：由题意得，时，， 当时，； 综上所述，； 【小问3详解】 解：由题意得，， 解得， ， 答：小张出发与小王相遇． 21. 如图，四边形内接于，，过点D作的切线与的延长线相交于点E，连接， （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴是的直径， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）4 【解析】 【分析】（1）连接，因为是的切线，所以，再根据圆周角定理求出，则，从而得到，又由等弧所对的圆周角相等得，即可得出结论； （2）连接，先由垂径定理得到，则由勾股定理求解得到，设半径为，对运用勾股定理求解半径，再解求出半径，再证明为等边三角形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设半径为， ∴． ∵， ∴， 解得 ∴在中，， ∴ ∵ ∴为等边三角形， ∴． 22. 如图，在中，，． （1）点D在边上，连接． ①如图1，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，求证：； ②如图2，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，若，，求的面积； （2）如图3，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，过点A作交于点H，求证：． 【答案】（1） ①证明：∵线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， 又∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴； ②4 （2） 过点A作且，连接，如图所示： ∵线段绕点C逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 又 ， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵ ∴． 【解析】 【分析】（1）①根据旋转得到，，即可得到，从而得到，即可得到证明； ②过点D作交BC的延长线于点M，，根据等腰三角形的判定和性质得出，再由旋转的性质得出，利用全等三角形的判定和性质得出，，，得出，再由直角三角形斜边中线的性质即可求解； （2）过点A作且，连接，根据旋转的性质及各角之间的关系得出，确定，再由全等三角形的判定和性质得出，，利用正方形的判定和性质得出，确定为等边三角形，即可证明． 【小问1详解】 解：①略 ②过点D作交的延长线于点M，于点，如图所示： ∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵线段绕点D逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴ ， ∴， ∴， ， ∴，， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 略 23. 定义；如果二次函数图象的顶点在直线上，我们称这样的二次函数为“双正二次函数”．如图，二次函数的顶点为A，二次函数是“双正二次函数”，其顶点为B，且图象过点A（点A与点B不重合）． （1）判断二次函数是否为“双正二次函数”，并说明理由； （2）求二次函数的解析式； （3）点M在二次函数的图象上，过点M作轴交二次函数的图象于点N（点M与点N不重合），直线交直线于点Q，设点M的横坐标为m． ①求证：点Q是线段的中点； ②当时，求线段的最大值． （4）二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最大值为，最小值为，求n的取值范围． 【答案】（1） 二次函数是“双正二次函数”，理由如下： ∵， ∴点A的坐标为， 对于，当时，， ∴点A在直线上，即二次函数是“双正二次函数”； （2） （3）①∵点M的横坐标为m， ∴点， ∵轴， ∴点，， ∴，， ∴，即点Q是线段的中点； ②5 （4） 【解析】 【分析】（1）求出二次函数的顶点A的坐标，再判断点A是否在直线上，即可求解； （2）求出点B的坐标，再利用待定系数法解答即可； （3）①用m表示出点M，N，Q的坐标，可得到的长，即可解答；②用m表示出的长度，再结合二次函数的性质解答即可； （4）根据题意可得当时，二次函数的最大值为12，可得到当时，函数的最大值为22，从而得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴该函数图象的顶点坐标为点， ∵二次函数是“双正二次函数”，其顶点为B，且图象过点A， ∴，解得：或（舍去）， ∴二次函数的解析式为； 【小问3详解】 解：①略 ② 当时，随m的增大而减小，当时，随m的增大而增大，当时，随m的增大而减小， ∵当时，，当时，，当时，， ∴当时，线段的最大值为5； 【小问4详解】 解：如图， 由（2）得二次函数的图象的顶点坐标为， 即当时，二次函数的最大值为12， 对于，当时，y随x的增大而减小， 当时，， ∴当时，函数的最大值为22， ∵函数的最大值为， ∴，即， ∴此时函数的最小值为， 对于，当时， ，解得：， ∴，即， ∴n的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 适应性练习（数学） 本试卷共23小题满分120分考试时长120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：抛物线的顶点坐标是． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，是由一个球体和一个正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 清明假期期间，某市共接待海内外游客约15.67万人次，将数据156700用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，直线分别与直线，交于点，，点在直线上，．若，则的大小为（ ） A. 55° B. 45° C. 35° D. 25° 6. 如图，在矩形中，，，平分交于点E，连接，取的中点F，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强P（）与木板面积满足反比例函数关系，它的图象如图所示，当压强P（）是时，木板面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在一个口袋中，有4个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，4从中随机摸出两个小球，则一次摸出的两个小球的标号之积为奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸：瓠生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢？瓜、瓠各长几何？大意是：已知墙高9尺，长在墙头的瓜蔓每天向下长7寸；同时，长在墙下的葫芦每天向上长1尺，问经过多少天两蔓相遇，此时瓜蔓、葫芦蔓的长度各为多少？（注：）设两蔓相遇时瓜蔓的长度为寸，葫芦蔓的长度为寸，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，连接．若，，以点C为圆心，长为半径作弧，交边于另一点F，再分别以B，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，连接交边于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 12 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 王老师采用一种新的计分方法如下：以优秀成绩分为标准，小强考了分记为分，小刚考试成绩记为分，那么小刚这次考试的实际分数为______分． 12. 在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点N，则点N的坐标为_____． 13. 甲，乙，丙，丁四名射击运动员进行射击测试.每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环）如下表所示，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择_______． 甲 乙 丙 丁 9 8 9 9 14. 如图，课外兴趣小组测量公园内古塔的高度，在距离该古塔塔底B点的C处，用测角仪测得塔顶部A的仰角为，则该古塔的高度约为_____．（结果保留整数，参考数据：，，） 15. 如图，在矩形中，，，对角线交于点O，点E是的中点，连接交于点F，则的长为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 某校为迎接“2025年元旦校内足球赛”，计划购买甲、乙两种品牌的足球．已知甲品牌足球的单价比乙品牌足球的单价多20元，且购买12个甲品牌足球和10个乙品牌足球共需2000元． （1）甲、乙两种品牌足球的单价各为多少元？ （2）学校决定购买甲品牌足球和乙品牌足球共60个，总费用不超过5300元，那么最多可以购买多少个甲品牌足球？ 18. 为了提高学生的科学素养，某校举办中学生科技知识竞赛．现从七年级学生中随机抽取部分学生成绩进行整理与分析（测试满分100分且成绩均为整数，成绩用表示，分为四个等级：D：，C：，B：，A：），部分信息如下： 信息一： 信息二：被抽取的学生成绩在B等级中的具体分数为： ，，，，，，，，，，， 请根据上述信息解决下列问题： （1）求所抽取学生成绩为C等级的人数； （2）求所抽取的学生成绩的中位数； （3）若全校七年级有400名学生，请估计成绩在范围内的学生人数． 19. 春节期间，小明要在家里的落地窗户上悬挂彩带．为此，小明开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 在落地窗户上悬挂彩带 活动准备 1．找出家里购买的彩带； 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 如图1是小明家的落地窗户，其左右两部分关于立柱所在的直线成轴对称，其右侧底部为矩形，上部为一条抛物线L，测得，，两条抛物线的顶点A，与点D构成等腰直角三角形（，）．家里购买的彩带总长约为．彩带全部挂到窗户上． 设计方案 小明在抛物线L上选取点E，过点E作，交抛物线于点，过点E作，垂足为F，过点作，垂足为，线段，，为所挂彩带．为了更美观，彩带尽可能的悬挂高一些． 确定思路 小明经过思考，如图2，确定以的中点O为坐标原点，线段所在的直线为x轴建立平面直角坐标系．根据是等腰直角三角形求出点A坐标，根据顶点式求出抛物线L的表达式，利用抛物线的表达式表示出彩带的总长，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线L的表达式； （2）求点E的坐标， 20. 小王开车从A地出发，以的平均速度驶向B地，小张在小王出发后，沿同一条公路开车从B地出发，以的平均速度驶向A地，两人与A地距离，关于小王行驶时间的函数图象如图所示，请根据图象回答下列问题： （1）小张比小王晚出发_____； （2）求小张与A地的距离与小王行驶时间之间的函数关系式； （3）小张出发多久与小王相遇？ 21. 如图，四边形内接于，，过点D作的切线与的延长线相交于点E，连接， （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 如图，在中，，． （1）点D在边上，连接． ①如图1，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，求证：； ②如图2，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，若，，求的面积； （2）如图3，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，过点A作交于点H，求证：． 23. 定义；如果二次函数图象的顶点在直线上，我们称这样的二次函数为“双正二次函数”．如图，二次函数的顶点为A，二次函数是“双正二次函数”，其顶点为B，且图象过点A（点A与点B不重合）． （1）判断二次函数是否为“双正二次函数”，并说明理由； （2）求二次函数的解析式； （3）点M在二次函数的图象上，过点M作轴交二次函数的图象于点N（点M与点N不重合），直线交直线于点Q，设点M的横坐标为m． ①求证：点Q是线段的中点； ②当时，求线段的最大值． （4）二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最大值为，最小值为，求n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $