7.4 .1二项分布课件2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.4.1 二项分布 第七章 随机变量及其分布 1.理解伯努利试验和n重伯努利试验的概念； 2.理解二项分布的概念并掌握随机变量服从二项分布的有关计算； 3.体会分类讨论的思想方法和归纳演绎的数学思想。 【课堂目标】 本节将研究两类重要的概率模型---二项分布和超几何分布. (1) P(A∪B) = P(A) + P(B) (当A与B互斥时); (3) P(AB) = P(A)·P(B|A) 前面我们学习了互斥事件、条件概率、相互独立事件的意义, 这些都是我们在具体求概率时需要考虑的一些模型, 吻合模型用公式去求概率简便. 那么求概率还有什么模型呢？ 特别地： 当A与B相互独立时，P(AB) = P(A)·P(B) 问题1 下列一次随机试验的共同点是什么？ 试验 出现的结果 共同点 1、掷一枚硬币 2、检验一件产品 3、飞碟射击 4、医学检验 正面朝上；反面朝上 合格；不合格 中靶；脱靶 阴性；阳性 只包含两个结果 我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. n重伯努利试验 我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. n重伯努利试验具有如下共同特征: (1)每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生； (2)每次试验是在同样条件下进行的； (3)各次试验中的事件是相互独立的； (4)每次试验，某事件发生的概率是相同的。 “重复”意味着各次试验的概率相同 问题2 下面3个随机试验是否为n重伯努利试验? 如果是，那么其中的伯努利试验是什么? 对于每个试验，定义“成功”的事件为A，那么A的概率是多大? 重复试验的次数是多少? (1) 抛掷一枚质地均匀的硬币10次. (2) 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次. (3) 一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件. 随机试验 伯努利试验 事件A P(A) 重复试验的次数n 各次试验是否独立 关注的随机变量X (1) (2) (3) 掷硬币 正面朝上 0.5 10 是 正面朝上的次数 射击 中靶 0.8 3 是 中靶的次数 有放回 抽产品 抽到次品 0.05 20 是 抽到次品的件数 在伯努利试验中，我们关注某个事件A是否发生，而在n重伯努利试验中，我们关注事件A发生的次数X. 进一步地求它的概率分布列. 问题3 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8. 连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的? 用Ai表示“第i次射击中靶”(i＝1, 2, 3)， 则X的概率分布列为: P(X=0) P(X=1) P(X=2) P(X=3)= P(A1A2A3) = 3×0.8×0.22 = 3×0.82×0.2 = 0.83 于是,中靶次数X的分布列可简写为: 问题4 如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些? 写出中靶次数X的分布列. （1）连续射击4次，中靶次数X＝2的结果有 共6个. (2)中靶次数X的分布列为 中靶次数X的分布列可简写为： 二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p (0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为 二项分布 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布， 记作X ~ B(n, p). 随机变量X服从二项分布的三个前提条件： (1) 每次试验都是在同一条件下进行的； (2) 每一次试验都彼此相互独立； (3) 每次试验出现的结果只有两个，即某事件要么发生，要么不发生. 只有这三个条件均满足时才能说明随机变量X服从二项分布，其事件A在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率可用下面公式计算. 问题5 如何判断一个随机变量X是否服从二项分布？ 解： 练：判断下列表述正确与否，并说明理由: (1) 12道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数X~B(12, 0.25)； (2) 100 件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，其中的次品数Y~B(6, 0.1). 每道题猜对答案与否是独立的，且每道题猜对答案的概率为0.25，故猜对答案的题目数X服从二项分布，即X~B(12, 0.25). (1) 正确. 理由如下： 每次抽到次品的概率为0.1，但由于是不放回抽样，所以每次是否抽到次品不独立，不满足二项分布的条件. (2) 错误. 理由如下： 例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求: (1) 恰好出现5次正面朝上的概率； (2) 正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内的概率. 解：设A＝“正面朝上”，则P(A)＝0.5. 用X表示 事件A发生的次数，则 X ~ B(10, 0.5). (2) 正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内等价于4≤X≤6，于是所求概率为 (1) 恰好出现5次正面朝上的概率为 ●其中的伯努利实验是什么？ ●重复实验次数是多少？ ●各次之间是否独立？ ●若定义每个实验中“成功”的事件为A，则A的概率是多少？ 例2 如图是一块高尔顿板的示意图. 在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃. 将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中. 格子从左到右分别编号为0, 1, 2, ‧‧‧, 10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列. ●其中的伯努利实验是什么？ ●重复实验次数是多少？ ●各次实验结果之间是否相互独立？ ●定义每个实验中“成功”的事件A是？ ●A发生的概率是多少？ ●事件A发生的次数与所落入格子的号码X的对应关系是什么？ 例2 如图是一块高尔顿板的示意图. 在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃. 将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中. 格子从左到右分别编号为0, 1, 2, ‧‧‧, 10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列. 于是，X的分布列为 方法归纳 一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下: (1) 明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p； (2) 确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性； (3) 设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X~B(n, p). 解： 1. 鸡接种一种疫苗后, 有80%不会感染某种病毒. 如果5只鸡接种了疫苗, 求: (1) 没有鸡感染病毒的概率； (2) 恰好有1只鸡感染病毒的概率. 解： 2.某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为0.6，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求: (1) 其中只在第一、三、五次击中目标的概率； (2) 其中恰有3次击中目标的概率； (3) 其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率. 课堂小结 二项分布： 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p (0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布， 记作X ~B(n，p). $