第五章 图形的轴对称 习题课件 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

第五章 图形的轴对称 第1课 轴对称及其性质 　　 　　1． (天津中考)在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个 汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　C　） A． B． C． D． C 　　2．下面的每组图形中，左右两个图形成轴对称的是（　C　） A． B． C． D． C 　　3．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的 点，下列判断错误的是（　B　） A． AM＝BM B． AP＝BN C． ∠MAP＝∠MBP D． ∠ANM＝∠BNM B 　　4．如图，△ABC是以直线m为对称轴的轴对称图形．若BC＝8， AD＝7，则阴影部分的面积是 ⁠． 14 　　5．如图是一个图案的一半，其中虚线是这个图案的对称轴，请你 画出这个图案的另一半． 　　解：如图，另一半即为所求． 　　 　　6． 有些图案，不仅是轴对称图形，而且颜色也“对称”，如图所 示的图案只有一条对称轴，把其中无色小正方形中的两个涂上红色，使 新图案是轴对称图形且只有一条对称轴，共有 ⁠种涂法． 6 　　7．如图，在△ABC中，∠B＝90°，沿直线DE折叠△ABC，使点 C落在点A处，已知∠AEB＝50°，△ABC的周长比△ABE的周长长12 cm. 　　(1)求∠C的度数； 　　解：由折叠可知，△AED与△CED关于直线DE成轴对称．所以△AED≌△CED． 所以∠CAE＝∠C． 　　因为∠AEB＋∠AEC＝180°，∠C＋∠CAE＋∠AEC＝180°， 　　所以∠AEB＝∠C＋∠CAE＝50°. 　　所以∠C＝25°. 　　(2)求线段AC的长． 　　因为△AED≌△CED，所以AE＝CE. 　　因为△ABC的周长比△ABE的周长长12 cm，即AC＋CB＋AB－ (AE＋EB＋AB)＝AC＋CE＋EB－(AE＋EB)＝AC＝12 cm， 　　所以线段AC的长为12 cm. 　　7．如图，在△ABC中，∠B＝90°，沿直线DE折叠△ABC，使点 C落在点A处，已知∠AEB＝50°，△ABC的周长比△ABE的周长长12 cm. 　　 　　8． 实践与操作：(1)画出下列正多边形的所有对称轴并完成下表． 正多边形的边数 3 4 5 6 … 对称轴的条数 3 4 5 6 … 　　应用与探索：(2)根据上表，猜想正十二边形有 ⁠条对称轴． 　　解：画对称轴如图． 3 4 5 6 12 $第五章 图形的轴对称 第3课 简单的轴对称图形(2)—— 线段的垂直平分线 　　 　　1． 如图所示，直线l是线段AB的垂直平分线，点O，P分别是直线l 上两点，则线段PA，PB，OA，OB的关系是（　D　） A． PA＝OA，PB＝OB B． PA＝PB＝OA＝OB C． PA＝OB，PB＝OA D． PA＝PB，OA＝OB D 　　2．(镇江中考)如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连 接BD． 若AC＝8，CD＝5，则BD＝ ⁠． 3 　　3．如图，在△ABC中，∠B＝65°，∠C＝30°，分别以点A和点 C为圆心、大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线 MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为 ⁠． 55° 　　4．(北师七下P130随堂练习T2变式)如图所示，在Rt△ABC中，利 用尺规作斜边AB上的中线． 　　解：如图所示，CD即为所求． 　　 　　5． 如图，在△ABC中，∠BAC＝106°，EF，MN分别是AB，AC 的垂直平分线，点E，N在BC上，则∠EAN＝ ⁠. 32° 　　6．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC＝2∠C，BC边的垂直 平分线交AC边于点D，交BC边于点E，连接BD，求∠ADB的度数． 　　解：因为∠ABC＝2∠C，∠A＋∠ABC＋∠C＝180°， 　　所以60°＋2∠C＋∠C＝180°. 　　所以∠C＝40°，∠ABC＝80°. 　　因为DE垂直平分BC，所以BD＝CD． 　　所以∠DBC＝∠C＝40°. 　　所以∠ABD＝40°. 　　所以∠ADB＝180°－∠A－∠ABD＝180°－60°－40°＝80°. 　　 　　7． 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为CD的中点，连接 AE，BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F. 　　(1)请说明：FC＝AD； 　　解：因为AD∥BC，所以∠ADE＝∠FCE. 　　因为点E为CD的中点，所以DE＝CE. 　　在△ADE和△FCE中， 　　所以△ADE≌△FCE(ASA)． 　　所以FC＝AD． 　　(2)请说明：AB＝BC＋AD． 　　解：由(1)，得△ADE≌△FCE. 　　所以AE＝FE，AD＝FC． 　　因为BE⊥AF，所以BE是线段AF的垂直平分线． 　　所以AB＝BF＝BC＋FC． 　　因为AD＝FC，所以AB＝BC＋AD． 　　7． 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为CD的中点，连接 AE，BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F. $第五章 图形的轴对称 第5课 问题解决策略—— 转化 　　 　　1． 如图，是一个轴对称图形，直线AB，CD是它的对称轴，如果 最大圆的半径为4，那么阴影部分面积是（　D　） A． 2π B． 4π C． 6π D． 8π D 　　2．如图，在单位长度为1的网格中有直线l和线段AB(点A，点B在 格点上)． 　　(1)作出线段AB关于直线l对称的线段A′B′； 　　解：(1)如图所示，线段A′B′即为所求． 　　(2)请在直线l上找到一点P，使点P到点A，B的距离之和最短．(不写作法) 　　解：(2)如图所示，点P即为所求． 　　 　　3． 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线， 点P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP＋EP最小值的是 （　B　） A． BC B． CE C． AD D． AC B 　　4．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的高，点 E是高AD上任意一点，点F是边AB上任意一点，AB＝5，BD＝3，AD ＝4，则BE＋EF的最小值是（　D　） A． 3 B． 5 C． D． D 　　 　　5． 已知点P在∠MON内． 　　(1)如图1，点P关于射线OM的对称点是点G，点P关于射线ON的对 称点是点H，连接OG，OH，OP. 　　①若∠MON＝50°，则∠GOH＝ ⁠． 　　②若PO＝5，连接GH，当∠MON为多少度时，GH＝10？请说明 理由． 　　解：②当∠MON＝90°时，GH＝10.理由如下： 　　由对称性，知GO＝PO＝HO＝5，∠GOM＝∠POM，∠PON＝∠HON. 所以∠GOH＝2∠MON. 　　当∠MON＝90°时，∠GOH＝180°. 　　所以点G，O，H在同一条直线上． 　　所以GH＝GO＋HO＝10. 100° 　　(2)如图2，若∠MON＝60°，A，B分别是射线OM，ON上的任意 一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数． 　　解：如图，分别作点P关于OM，ON的对称点P′，P″，连接OP′， OP″，P′P″，P′P″交OM，ON于点A，B，连接AP，BP，则AP′＝AP， BP″＝BP，此时△PAB的周长最小，最小值等于P′P″的长． 　　由轴对称的性质，得OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB ＝∠POB． 　　所以∠P′OP″＝2∠MON＝2×60°＝120°. 　　所以∠OP′P″＝∠OP″P′＝×(180°－120°)＝30°. 　　所以∠OPA＝∠OP′A＝30°. 　　同理可得∠OPB＝∠OP″B＝30°. 　　所以∠APB＝30°＋30°＝60°. $第五章 图形的轴对称 第4课 简单的轴对称图形(3)—— 角平分线 　　 　　1． 如图，将∠AOB对折，折痕为射线OP，若∠AOP＝15°，则 ∠AOB＝ ⁠°. 30 　　2．如图，∠B＝∠C＝90°，根据角平分线的性质填空： 　　(1)若∠1＝∠2，则BD＝ ⁠； 　　(2)若∠3＝∠4，则AB＝ ．⁠ CD AC 　　3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别 截取BE，BD，使BE＝BD；分别以点D，E为圆心、大于DE的长为半 径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G. 若CG＝1，P 为AB上一动点，则GP的最小值为 ⁠． 1 　　4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点 D，DE⊥AB，垂足为E. 若BC＝8，BE＝4，则△BDE的周长为 ⁠. 12 　　 　　5． 如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，线段AD 过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是 ⁠． 4 　　6．(北师七下P134习题T9改编)有两块大小一样并都含有30°角的 三角板，按照如图位置摆放，其中点M是AD与BC的交点．点M到AB的 距离等于MC吗？MC与MD相等吗？ 　　解：在Rt△ABC与 Rt△BAD中，∠ABC＝∠BAD＝30°， 　　所以∠BAC＝90°－30°＝60°. 　　所以∠MAC＝∠BAC－∠BAD＝30°， 　　即∠MAC＝∠BAM. 　　所以AM是∠CAB的平分线． 　　因为MC⊥AC，所以点M到AB的距离等于MC． 　　同理，可证BM是∠DBA的平分线． 　　所以点M到AB的距离等于MD． 　　所以MC＝MD． 　　 　　7． 感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B＝∠C＝90°，易知DB＝ DC． 　　探究：(1)如图2，在四边形ABDC中，AD平分∠BAC，∠B＝ 45°，∠C＝135°，DB与DC的数量关系为 ．⁠ DB＝DC 　　应用：(2)如图3，在四边形ABDC中，AD平分∠BAC，∠ABD＋ ∠ACD＝180°，∠ABD<90°，DB与DC的上述关系还成立吗？请说明 理由． 　　解：成立．理由如下： 　　如图3，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC交AC的延长线于点N. 　　因为AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC， 　　所以DM＝DN. 　　因为∠B＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠NCD＝180°，所以∠B＝ ∠NCD． 　　在△NCD和△MBD中， 　　所以△NCD≌△MBD(AAS)．所以DC＝DB． $第五章 图形的轴对称 第2课 简单的轴对称图形(1)—— 等腰三角形 　　 　　1． 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，则∠C＝ ⁠°. 70 　　2．在△ABC中，AB＝AC，点D为BC边的中点，以下结论：① AD⊥BC；②∠B＝∠C；③AD平分∠BAC． 其中正确的有（　D　） A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个 D 　　3．(镇江中考)等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长 为 ⁠． 　　4． 如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠B的度 数为 ⁠． 6 70° 　　解：因为AB＝AC，∠BAC＝120°，所以∠B＝∠C＝30°． 　　因为BD＝BE， 　　所以∠BDE＝∠BED＝×(180°－30°)＝75°. 　　因为AB＝AC，AD是BC边上的中线， 　　所以AD⊥BC，即∠ADB＝90°. 　　所以∠ADE＝∠ADB－∠BDE＝90°－75°＝15°. 　　5． 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上 的中线，且BD＝BE，求∠ADE的度数． 　　 　　6． (易错题)等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴有（　C　） A． 1条 B． 2条 C． 1条或3条 D． 不确定 　　7． (北师七下P127例1改编)等腰三角形两内角度数之比为1∶4，则 它的顶角度数为 ⁠. C 20°或120° 　　8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，点D为BC上一点， BF＝CD，CE＝BD，求∠EDF的度数． 　　解：因为AB＝AC，∠A＝50°， 　　所以∠B＝∠C＝65°. 　　在△BDF和△CED中， 　　所以△BDF≌△CED(SAS)． 　　所以∠BFD＝∠CDE. 　　因为∠BDF＋∠EDF＋∠CDE＝180°，∠B＋∠BFD＋∠BDF＝ 180°， 　　所以∠EDF＝∠B＝65°. 　　 　　9． 如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的高BD＝4，点P为BC 上一点，PE⊥AC于点E. PF⊥AB于点F，则PE＋PF的值为 ⁠． 4 $