第六章 变量之间的关系【期末复习讲义】培优版-2025-2026学年北师大版数学七年级下册

2025-2026学年北师大版新教材数学七年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第六章 变量之间的关系【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+4个题型讲练+真题实战练 共31题』（原卷版） 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 变量、自变量、因变量、常量 变量：在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。 自变量、因变量：如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。 【易错点拨】变量：在某一过程中发生变化的量，其中包括自变量与因变量。自变量是最初变动的量，它在研究对象反应形式、特征、目的上是独立的；因变量是由于自变量变动而引起变动的量，它“依赖于”自变量的改变。 常量：一个变化过程中数值始终保持不变的量叫做常量. 知识点二 函数的三种表示方法 （1）列表法（用表格） 采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。列表时要选取能代表自变量的一些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出因变量的对应值。列表法最大的特点是直观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值，但缺点是具有局限性，只能表示因变量的一部分。 （2）解析法（关系式） 关系式是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值 （3）图像法（用图象） 对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个图象就叫做平面直角坐标系）。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的。 三种方法的优缺点比较 知识点三 函数的表示方法：图像法 对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个图象就叫做平面直角坐标系）。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的。 理解图像：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义（坐标），特别是图像的起点、拐点、交点 知识点四 事物变化趋势的描述 对事物变化趋势的描述一般有两种： (1)随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐增加（大）（或者用函数语言描述也可：因变量y随着自变量x的增加（大）而增加（大））； (2)随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐减小（或者用函数语言描述也可：因变量y随着自变量x的增加（大）而减小）. 注意：如果在整个过程中事物的变化趋势不一样，可以采用分段描述.例如在什么范围内随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐增加（大）等等. 知识点五 估计（或者估算） 对事物的估计（或者估算）有三种： 1.利用事物的变化规律进行估计（或者估算）.例如：自变量x每增加一定量，因变量y的变化情况；平均每次（年）的变化情况（平均每次的变化量=（尾数－首数）/次数或相差年数）等等； 2.利用图象：首先根据若干个对应组值，作出相应的图象，再在图象上找到对应的点对应的因变量y的值； 3.利用关系式：首先求出关系式，然后直接代入求值即可. 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 变量在实际生活中的应用 【例1】（24-25七年级下·全国·单元测试）某学习小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度之间的关系的一些数据（如下表）： 温度 0 10 20 30 声速 318 324 330 336 342 348 下列说法中错误的是（    ） A．在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速 B．在一定范围内，温度越高，声速越快 C．当空气温度为时，内声音可以传播 D．在一定范围内，温度每升高，声速增加 【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）中国联通在某地的资费标准为包月86 元时，超出部分国内拨打0.25元．由于业务多，小明的爸爸打电话已超出了包月费．下表是超出部分国内拨打的收费标准： 时间 1 2 3 4 5 电话费/ 元 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 (1)这个表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量? (2)如果用x表示超出时间，y表示超出部分的电话费，那么y与x之间的关系式是什么? (3)如果打电话超出，需付多少电话费? (4)某月打电话的费用超出部分是54元，那么小明的爸爸打电话超出几分钟? 【变式2】（23-24七年级上·四川成都·开学考试）小丽的爸爸开车带一家回上海，如图表示汽车行驶的路程和耗油量的关系．    (1)根据图象判断，这辆汽车行驶的路程和耗油量成 比例．当汽车行驶20千米时，耗油量是 升：当耗油量达到6升时，汽车行驶 千米． (2)离目的地还有300千米时，汽车油箱里还剩30升汽油．这些油够这辆汽车开到目的地吗？ 【变式3】（23-24七年级下·四川成都·期中）科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律的变化．石室联中科学社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 气温 0 1 2 3 4 5 声音在空气中的传播速度 331 331.6 332.2 332.8 333.4 334 (1)在这个变化过程中，______是自变量，______是因变量； (2)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为______； (3)某日的气温为，小乐看到烟花燃放后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？ 题型讲练二 用表格表示变量间的关系 【例2】（24-25七年级下·陕西西安·期末）一辆汽车在公路上匀速行驶，其所走的路程和所用的时间可用如表表示： 时间/（分钟） … 路程/（千米） … (1)求汽车行驶的速度； (2)当行驶时间是分钟时，汽车行驶的路程是多少千米？ (3)请简略描述随着时间逐渐变大，路程的变化趋势是什么？ 【变式1】（23-24七年级下·重庆奉节·期末）一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如下表所示，下面说法不正确的是（   ） 放水时间 1 2 3 4 …… 水池中水量 45 40 35 30 …… A．放水时间是自变量，水池中水量是因变量 B．每分钟放水 C．放水后，水池中还有水 D．与的关系式为 【变式2】（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）科学家就蟋蟀每分钟鸣叫的次数与室外温度的数量关系做了如下记录： 室外温度/ 76 78 80 82 84 蟋蟀每分钟鸣叫的次数/次 144 152 160 168 176 根据以上信息，回答下列问题： (1)如表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)室外温度每增加，蟋蟀每分钟鸣叫的次数是怎样变化的？ (3)估计当室外温度为时，蟋蟀每分钟鸣叫的次数． 【变式3】在实验课上，小亮利用同一块木板测得小车从不同高度（）与下滑的时间（）的关系如下表： 支撑物高 10 20 30 40 50 … 下滑时间 3.25 3.01 2.81 2.66 2.56 … 以下结论错误的是（　　） A．当时，约2.66秒 B．随高度增加，下滑时间越来越短 C．估计当时，一定小于2.56秒 D．高度每增加，时间就会减少0.24秒 题型讲练三 用关系式表示变量间的关系 【例3】（24-25九年级上·江西赣州·期中）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成．已知篱笆长80m．设垂直于墙的边长为． (1)则________m（用含的代数式表示），矩形的面积________（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，围成的矩形花圃的面积最大，并求出这个最大值． 【变式1】（24-25七年级上·河南驻马店·期中）诗词是指以古体诗、近体诗和格律词为代表的中国汉族传统诗歌，亦是汉字文化圈的特色之一．一本《中华诗词集锦》，每天看的页数和需要的天数如下表． 每天看的页数/页 12 15 20 30 … 需要的天数/天 25 20 15 10 … (1)这本书共有多少页？ (2)需要的天数是怎样随着每天看的页数的变化而变化的？ (3)用m表示每天看的页数，n表示需要的天数，用式子表示m与n的关系．m与n成什么比例关系？ 【变式2】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）兴平市南市镇的苹果种植历史悠久，以红富士为主，种植规模达到万亩，深秋，这里的苹果迎来丰收，鲜红透亮，饱满圆润．鲜上鲜水果店刘老板购进一批红富士苹果销售，售价为每千克9元，如果一次购买4千克以上的这种苹果，超过4千克的部分按售价的七五折售卖．设（元）表示付款金额，（千克）表示购买的质量． (1)求出与之间的关系式；（提示：分两种情况） (2)隔壁的水果店也销售同样品质的这种苹果，售价为每千克9元，且全部按售价的八五折售卖．李阿姨和王阿姨分别在这两个水果店购买苹果，结果付款金额与购买苹果的质量都一样，那么她们各自买了多少千克苹果？各自花了多少钱？ 【变式3】如图，正方形边长cm，点在边上，且cm，点从点出发，以5cm/s的速度在、之间往返匀速运动，同时，点从点出发，以2cm/s的速度沿路径匀速运动，当点运动到点时，两点都停止运动，设运动时间为（单位：s）．在运动过程中的面积（单位：）随运动时间的变化而变化． (1)当点运动到点时，求值及此时的面积． (2)在整个运动过程中，求与的关系式． 题型讲练四 用图象表示变量间的关系 【例4】（23-24七年级下·河北保定·期末）如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（    ）    A． B．长方形的周长为 C．当秒时， D．当时，秒 【变式1】（23-24七年级下·广东清远·期末）人的大脑所能记忆的内容是有限的，随着时间的推移，记忆的东西会逐渐被遗忘，德国心理学家艾宾浩斯第一个发现了记忆遗忘规律．他根据自己得到的测试数据描绘了一条曲线（如图所示），这就是非常有名的艾宾浩斯遗忘曲线，观察图象并回答下列问题： (1)其中自变量是__________，因变量是__________； (2)在以下哪个时间段内遗忘的速度最快？填序号__________ ①    ②    ③    ④ (3)图中B点表示的意义是__________； (4)老师要求我们“堂堂清”、“日日清”，请结合艾宾浩斯遗忘曲线谈谈你的看法？ 【变式2】（23-24七年级下·江西九江·期末）甲骑自行车以20千米/时从地去地，乙骑摩托车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人之间的距离为（千米）与甲行驶的时间为（小时）之间的关系如图所示． (1)、两地之间的路程为 千米； (2)从点、点、点三个点中选择一个填在横线上：表示甲到达终点的是点 ；表示乙到达终点的是点 ；表示甲、乙相遇的是点 ． (3)求乙的速度和值； (4)求甲出发多长时间后，甲、乙两人相距30千米． 【变式3】（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）2024年“骑行中国”331国道最美边境线丹东起点出发仪式上，26个省份227名骑友从丹东出发，伴着碧波荡漾的鸭绿江水，踏上“骑行中国”的美好旅程．小华同学受此影响，每天放学后都骑自行车锻炼身体．某天，他从家出发骑车到鸭绿江断桥，当他以往常的速度骑行了一段路后，突然感到口渴，于是又折回到刚才经过的超市买水，喝完水后，小华继续骑车到鸭绿江断桥．已知小华家，超市，鸭绿江断桥在同一条笔直公路上，小华离家距离与所用时间的关系如图所示，根据图象回答下列问题： (1)小华家到鸭绿江断桥的距离是______米； (2)小华在超市停留了______分钟； (3)本次骑行途中，小华一共行驶了______米； (4)交通安全不容忽视，我们认为中学生骑自行车的速度超过320米/分就超过了安全限度．通过计算说明：在整个骑行途中哪个时间段小华的骑车速度最快，最快速度在安全限度内吗？ 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（2025·上海杨浦·一模）在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小华用“描点法”画它的图象，列出了如下表格： 那么下列说法中正确的是（   ） A．该函数的图象关于轴对称 B．该函数的图象没有最低点也没有最高点 C．该函数的图象经过第一、二、三、四象限 D．沿轴的正方向看，该函数的图象在对称轴左侧的部分是下降的 2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）某市出租车收费标准如下表：设行驶里程数为，收费为y元，则y与x（）之间的关系式为（   ） 里程数 收费/元 3以下（含3） 8 3以上每增加1 1.8 A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·贵州黔东南·期中）某市出租车的收费标准如表∶ 里程数 收费元 以下(含) 8.00 以上每增加 1.80 则收费y(元)与出租车行驶里程数之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）下图是某年部分节气对应的白昼时长示意图，白昼时长=（12-日出时刻）2=（日落时刻-12）2．下列结论中正确的是（   ） A．立夏这天的日出时刻是5:30 B．白昼时长在12 h～15 h的有10天 C．立冬这天的日落时刻是17:00 D．小满时白昼时间最长 5．如图，在四边形中，动点P从点A开始沿A→B→C→D的路径匀速前进到D为止．在这个过程中，的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·福建漳州·月考）在运动会200米跑比赛中，运动员甲因为起步摔跤，导致晚出发了几秒钟，甲．乙两人的路程与时间的关系如图所示．下列说法①乙的速度为； ②甲在时追上了乙；③甲的速度为；④甲比乙晚出发了3s．其中正确的是______．（填序号） 7．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，根据图象，有以下4个结论：①乙用11分钟追上甲；②乙追上甲后，再走1440米才到达终点；③甲乙两人之间的最远距离是300米；④甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟，其中正确的结论是______（填正确选项序号）． 8．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在一次自行车越野赛中，甲、乙两名选手所走的路程y（千米）随时间x（分钟）变化的图象（全程）分别用实线（）与虚线（）表示，那么在本次比赛过程中，乙领先甲时的x的取值范围是__________． 9．某商场销售某种商品，原价260元，随着不同幅度的降价(元)，日销售量(件)发生相应变化，关系如下表所示： 降价/元 5 10 15 20 日销售量/件 480 510 540 570 根据以上信息，当售价为260元时，该商品日销售量为________件；若设该商品的售价为元，日销售量为y件，则y与x之间的关系式是___________． 10．甲、乙两人匀速骑行，从地出发前往地．两人与地的距离与骑行的时间之间的关系图象如图所示．当时，甲、乙两人相距_____． 11．（25-26七年级上·广东惠州·期中）把一瓶果汁平均分成若干杯，分的杯数和每杯的果汁量如表． 分的杯数/杯 6 5 4 每杯的果汁量/ 100 120 150 (1)如果把这瓶果汁平均分成3杯，每杯的果汁量是多少？ (2)用表示分的杯数，用表示每杯的果汁量，用式子表示与的关系．与成什么比例关系？ 12．（25-26七年级上·广东广州·期末）某印刷厂装订一批练习本，每天装订的本数与需要的天数的关系如下表： 每天装订的本数 需要的天数 请回答以下问题： (1)需要的天数随着每天装订的本数的增大而_________（增大、不变、减少）； (2)这批练习本一共有多少本？ (3)用表示需要的天数，用表示每天装订的本数，用式子表示与的关系，并判断与成什么比例关系． 13．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）太原北齐壁画博物馆是全国首座原址建设的壁画专题博物馆．周末聪聪和家人一起驾车从家出发去北齐壁画博物馆，在馆内参观了1个小时，随后驾车去姑妈家．如图折线表示他们离开家的距离与离开家的时间之间的关系．根据图象解答下列问题： (1)上述过程中，自变量是________，因变量是________； (2)聪聪家与博物馆的距离是________千米，博物馆到姑妈家的距离是________千米； (3)图象中________； (4)求聪聪一家从博物馆到姑妈家驾车行驶的平均速度（不含在博物馆参观的时间）． 14．（24-25六年级下·山东烟台·期末）盘秤是一种常见的称量工具，它的工作原理是指针转过的角度与被称物体的重量存在着一定的数量关系，如表所示： 重量（单位：千克） 0 2 3 指针转过的角度 (1)请直接写出___________，___________； (2)设盘秤转过的角的数值为，物体的重量为，在忽略自变量取值范围的前提下，请直接写出与之间的关系式为___________； (3)指针转过的角度不得超过，否则盘秤会受损，称量18千克的物品会对盘秤造成损伤吗？说说你的理由； (4)某顾客在一家水果店购买水果，用这种盘秤称量两次，第二次的数量是第一次数量的2倍多3千克，且指针第二次转过的角度比第一次大，该顾客一共购买了多少千克水果． 15．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【图象问题】已知动点P 以每秒 的速度沿图1边框按的路线移动，相应的三角形 的面积S与时间t之间的关系如图2中的图象所示．若 ，则图1中的图形面积是 ，图2中的a和b的值分别是 和 ．（写出简要过程） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版新教材数学七年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第六章 变量之间的关系【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+4个题型讲练+真题实战练 共31题』（解析版） 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 变量、自变量、因变量、常量 变量：在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。 自变量、因变量：如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。 【易错点拨】变量：在某一过程中发生变化的量，其中包括自变量与因变量。自变量是最初变动的量，它在研究对象反应形式、特征、目的上是独立的；因变量是由于自变量变动而引起变动的量，它“依赖于”自变量的改变。 常量：一个变化过程中数值始终保持不变的量叫做常量. 知识点二 函数的三种表示方法 （1）列表法（用表格） 采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。列表时要选取能代表自变量的一些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出因变量的对应值。列表法最大的特点是直观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值，但缺点是具有局限性，只能表示因变量的一部分。 （2）解析法（关系式） 关系式是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值 （3）图像法（用图象） 对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个图象就叫做平面直角坐标系）。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的。 三种方法的优缺点比较 知识点三 函数的表示方法：图像法 对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个图象就叫做平面直角坐标系）。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的。 理解图像：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义（坐标），特别是图像的起点、拐点、交点 知识点四 事物变化趋势的描述 对事物变化趋势的描述一般有两种： (1)随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐增加（大）（或者用函数语言描述也可：因变量y随着自变量x的增加（大）而增加（大））； (2)随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐减小（或者用函数语言描述也可：因变量y随着自变量x的增加（大）而减小）. 注意：如果在整个过程中事物的变化趋势不一样，可以采用分段描述.例如在什么范围内随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐增加（大）等等. 知识点五 估计（或者估算） 对事物的估计（或者估算）有三种： 1.利用事物的变化规律进行估计（或者估算）.例如：自变量x每增加一定量，因变量y的变化情况；平均每次（年）的变化情况（平均每次的变化量=（尾数－首数）/次数或相差年数）等等； 2.利用图象：首先根据若干个对应组值，作出相应的图象，再在图象上找到对应的点对应的因变量y的值； 3.利用关系式：首先求出关系式，然后直接代入求值即可. 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 变量在实际生活中的应用 【例1】（24-25七年级下·全国·单元测试）某学习小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度之间的关系的一些数据（如下表）： 温度 0 10 20 30 声速 318 324 330 336 342 348 下列说法中错误的是（    ） A．在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速 B．在一定范围内，温度越高，声速越快 C．当空气温度为时，内声音可以传播 D．在一定范围内，温度每升高，声速增加 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了函数的表示方法和有理数的混合运算．根据图表里的信息，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可． 【规范解答】解：A. 在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速，正确，此选项不符合题意； B.根据数据表可知，在一定范围内，温度越高，声速越快，正确，此选项不符合题意； C、，当空气温度为时，声音可以传播，故选项不符合题意； D、∵，，，，， ∴当温度每升高，声速增加，正确，此选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）中国联通在某地的资费标准为包月86 元时，超出部分国内拨打0.25元．由于业务多，小明的爸爸打电话已超出了包月费．下表是超出部分国内拨打的收费标准： 时间 1 2 3 4 5 电话费/ 元 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 (1)这个表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量? (2)如果用x表示超出时间，y表示超出部分的电话费，那么y与x之间的关系式是什么? (3)如果打电话超出，需付多少电话费? (4)某月打电话的费用超出部分是54元，那么小明的爸爸打电话超出几分钟? 【答案】(1)这个表反映了超出部分国内拨打时间与电话费之间的关系．打电话超出时间是自变量，电话费是因变量 (2) (3)92.25（元）的电话费 (4) 【思路引导】本题主要考查用关系式表示变量间的关系，正确列关系式是解题的关键． （1）根据图表可以知道：超出的电话费随超出的时间的变化而变化，因而打电话超出时间是自变量、超出的电话费是因变量； （2）费用单价时间，即可写出关系式； （3）把代入关系式，然后加上包月费用即可求得答案； （4）令，求出x即可解题． 【规范解答】（1）这个表反映了超出部分国内拨打时间与电话费之间的关系．打电话超出时间是自变量，电话费是因变量； （2）由题意,可得 ； （3）当时，， 即如果打电话超出，需付（元）的电话费． （4）当时， ． 答：小明的爸爸打电话超出． 【变式2】（23-24七年级上·四川成都·开学考试）小丽的爸爸开车带一家回上海，如图表示汽车行驶的路程和耗油量的关系．    (1)根据图象判断，这辆汽车行驶的路程和耗油量成 比例．当汽车行驶20千米时，耗油量是 升：当耗油量达到6升时，汽车行驶 千米． (2)离目的地还有300千米时，汽车油箱里还剩30升汽油．这些油够这辆汽车开到目的地吗？ 【答案】(1)正；；50 (2)这些油不能够使这辆汽车开到目的地，理由见解析 【思路引导】本题考查了一次函数的应用，从图象中获取准确信息是关键． （1）根据图象信息直接填空即可； （2）先计算出汽车的油耗，再计算300公里所需的汽油量，与30升汽油比较即可． 【规范解答】（1）解：由函数图象可知，这辆汽车行驶的路程和耗油量成正比例．当汽车行驶20千米时，耗油量是升：当耗油量达到6升时，汽车行驶50千米． 故答案为：正；；50； （2）解：汽车的耗油量为（升/千米）， （升）， ∵， ∴这些油不能够使这辆汽车开到目的地． 【变式3】（23-24七年级下·四川成都·期中）科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律的变化．石室联中科学社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 气温 0 1 2 3 4 5 声音在空气中的传播速度 331 331.6 332.2 332.8 333.4 334 (1)在这个变化过程中，______是自变量，______是因变量； (2)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为______； (3)某日的气温为，小乐看到烟花燃放后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？ 【答案】(1)气温，声音在空气中的传播速度 (2) (3)小乐与燃放烟花所在地大约相距远 【思路引导】本题主要考查变量的表示方法，常量与变量，理解常量与变量的定义，求出函数关系式是解题的关键． （1）根据题意和表格中的两个量的变化关系得出答案； （2）根据表格中的数据求出关系式； （3）根据求出的关系式得到声音在空气中的传播速度，从而求出小乐与燃放烟花所在地的距离． 【规范解答】（1）解：由题意得，在这个变化过程中，气温是自变量，声音在空气中的传播速度是因变量， 故答案为：气温，声音在空气中的传播速度； （2）由题意得，气温每上升声音在空气中的传播速度增大， ∴声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为， 故答案为：； （3） ， 答：小乐与燃放烟花所在地大约相距远． 题型讲练二 用表格表示变量间的关系 【例2】（24-25七年级下·陕西西安·期末）一辆汽车在公路上匀速行驶，其所走的路程和所用的时间可用如表表示： 时间/（分钟） … 路程/（千米） … (1)求汽车行驶的速度； (2)当行驶时间是分钟时，汽车行驶的路程是多少千米？ (3)请简略描述随着时间逐渐变大，路程的变化趋势是什么？ 【答案】(1)千米/分钟； (2)56； (3)随着时间均匀变大，路程均匀增加． 【思路引导】（1）根据速度路程时间计算即可； （2）根据路程速度时间计算即可； （3）根据随的变化情况描述即可． 本题考查函数的表示方法，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键 【规范解答】（1）解：汽车行驶的速度为千米分钟． （2）千米． 答：当行驶时间是分钟时，汽车行驶的路程是千米． （3）随着时间均匀变大，路程均匀增加． 【变式1】（23-24七年级下·重庆奉节·期末）一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如下表所示，下面说法不正确的是（   ） 放水时间 1 2 3 4 …… 水池中水量 45 40 35 30 …… A．放水时间是自变量，水池中水量是因变量 B．每分钟放水 C．放水后，水池中还有水 D．与的关系式为 【答案】C 【思路引导】本题考查函数的应用，根据表格数据逐项判断即可得出答案，提取表格数据反映的信息是求解本题的关键． 【规范解答】解：由表格的数据可得：放水时间是自变量，水池中水量是因变量，每分钟水闸排水，故A、B正确，不符合题意； ∵一个蓄水池有水， ∴与的关系式为，放水后，水池中还有水，故D正确，C错误； 故选：C． 【变式2】（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）科学家就蟋蟀每分钟鸣叫的次数与室外温度的数量关系做了如下记录： 室外温度/ 76 78 80 82 84 蟋蟀每分钟鸣叫的次数/次 144 152 160 168 176 根据以上信息，回答下列问题： (1)如表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)室外温度每增加，蟋蟀每分钟鸣叫的次数是怎样变化的？ (3)估计当室外温度为时，蟋蟀每分钟鸣叫的次数． 【答案】(1)该表反映了室外温度与蟋蟀每分钟鸣叫的次数（次）两个变量之间的关系，其中室外温度是自变量，蟋蟀每分钟鸣叫的次数（次）是因变量 (2)室外温度每增加，蟋蟀每分钟鸣叫的次数增加8次 (3)当室外温度为时，蟋蟀每分钟鸣叫的次数为200次 【思路引导】此题考查了利用函数的概念解决实际问题的能力，关键是能准确理解并运用以上知识． （1）运用变量与常量的概念进行求解； （2）结合表中数据进行列式求解此题结果； （3）由题意进行列式、计算． 【规范解答】（1）解：由题意得，该表反映了室外温度()与蟋蟀每分钟鸣叫的次数两个变量之间的关系，其中室外温度（)是自变量，蟋蟀每分钟鸣叫的次数是因变量； （2）由题意得，(次)， 答：室外温度每增加，蟋蟀每分钟鸣叫的次数增加8次； （3）由题意得， 次， 答：当室外温度为时，蟋蟀每分钟鸣叫的次数为200次． 【变式3】在实验课上，小亮利用同一块木板测得小车从不同高度（）与下滑的时间（）的关系如下表： 支撑物高 10 20 30 40 50 … 下滑时间 3.25 3.01 2.81 2.66 2.56 … 以下结论错误的是（　　） A．当时，约2.66秒 B．随高度增加，下滑时间越来越短 C．估计当时，一定小于2.56秒 D．高度每增加，时间就会减少0.24秒 【答案】D 【思路引导】根据表格的数据，逐项分析即可得到答案． 【规范解答】解：A、由表格可知：当时，约2.66秒，故A选项正确，不符合题意； B、由表格可知：当由10逐渐增大到50时，的值由3.25逐渐减小到2.56，因此随高度增加，下滑时间越来越短，故B选项正确，不符合题意； C、由B可知：随高度增加，下滑时间越来越短，且当时，，所以估计当时，一定小于2.56秒，故C选项正确，不符合题意； D、由表格可知：时间的减少是不均匀的，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 【考点剖析】本题主要考查了用表格表示变量间的关系，依据表格反映的规律回答问题是解题的关键． 题型讲练三 用关系式表示变量间的关系 【例3】（24-25九年级上·江西赣州·期中）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成．已知篱笆长80m．设垂直于墙的边长为． (1)则________m（用含的代数式表示），矩形的面积________（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，围成的矩形花圃的面积最大，并求出这个最大值． 【答案】(1)， (2)， 【思路引导】本题主要考查二次函数的实际应用： （1）根据可求出，由矩形的面积公式即可表示出面积； （2）根据求根据二次函数的性质确定函数的最大值即可． 【规范解答】（1）解：∵篱笆长， ∴米，米， ∴米． ∴， 故答案为：，； （2）解：∵且， ∴， ， 有最大值， ∴当时，取得最大值，此时， 即当时，的最大值为． 【变式1】（24-25七年级上·河南驻马店·期中）诗词是指以古体诗、近体诗和格律词为代表的中国汉族传统诗歌，亦是汉字文化圈的特色之一．一本《中华诗词集锦》，每天看的页数和需要的天数如下表． 每天看的页数/页 12 15 20 30 … 需要的天数/天 25 20 15 10 … (1)这本书共有多少页？ (2)需要的天数是怎样随着每天看的页数的变化而变化的？ (3)用m表示每天看的页数，n表示需要的天数，用式子表示m与n的关系．m与n成什么比例关系？ 【答案】(1)300页 (2)需要的天数是随着每天看的页数的增加而减少 (3)；m与n成反比例关系； 【思路引导】本题主要考查了有理数混合运算，用关系式表示变量之间的关系，解题的关键是理解题意，读懂表格中的数据． （1）根据每天看的页数乘以时间即可得出结论； （2）由表中的数据可得需要的天数是随着每天看的页数的增加而减少； （3）根据总页数，表示每天看的页数m与需要的天数n之间的数量关系即可；根据关系式判断每天看的页数与需要的天数之间的比例关系即可． 【规范解答】（1）解：这本书共有（页） 答：这本书有300页； （2）解：需要的天数是随着每天看的页数的增加而减少； 答：需要的天数是随着每天看的页数的增加而减少； （3）解：每天看的页数m与需要的天数n之间的数量关系为：； 故答案为：； 可以得出：m与n成反比例关系； 【变式2】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）兴平市南市镇的苹果种植历史悠久，以红富士为主，种植规模达到万亩，深秋，这里的苹果迎来丰收，鲜红透亮，饱满圆润．鲜上鲜水果店刘老板购进一批红富士苹果销售，售价为每千克9元，如果一次购买4千克以上的这种苹果，超过4千克的部分按售价的七五折售卖．设（元）表示付款金额，（千克）表示购买的质量． (1)求出与之间的关系式；（提示：分两种情况） (2)隔壁的水果店也销售同样品质的这种苹果，售价为每千克9元，且全部按售价的八五折售卖．李阿姨和王阿姨分别在这两个水果店购买苹果，结果付款金额与购买苹果的质量都一样，那么她们各自买了多少千克苹果？各自花了多少钱？ 【答案】(1) (2)她们各自买了10千克苹果？各自花了元 【思路引导】本题主要考查了列函数关系式，一元一次方程的应用， （1）分和，两种情况根据所给苹果价格方案列式求解即可； （2）当时，李阿姨需付款元，王阿姨需要付款元，则在购买了苹果的前提下，两位阿姨的付款金额不可能相同，故，则，解方程即可得到答案． 【规范解答】（1）解：当时，； 当时，； ∴； （2）解：当时，李阿姨需付款元，王阿姨需要付款元， ∴在购买了苹果的前提下，两位阿姨的付款金额不可能相同， ∴， ∴， 解得， ∴， 答：她们各自买了10千克苹果？各自花了元． 【变式3】如图，正方形边长cm，点在边上，且cm，点从点出发，以5cm/s的速度在、之间往返匀速运动，同时，点从点出发，以2cm/s的速度沿路径匀速运动，当点运动到点时，两点都停止运动，设运动时间为（单位：s）．在运动过程中的面积（单位：）随运动时间的变化而变化． (1)当点运动到点时，求值及此时的面积． (2)在整个运动过程中，求与的关系式． 【答案】(1)当时，的面积为；当时，的面积为 (2)见解析 【思路引导】（1）分类讨论，当点第一次抵达点时，当点第二次抵达点时两种情况讨论，再根据三角形的面积公式即可得出答案； （2）分类讨论，①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，五种情况进行讨论即可． 【规范解答】（1）解：∵点的速度为2cm/s，，且当点运动到点时，两点都停止运动， ， ． ∵cm，点的速度为5cm/s， ∴， ∴当点第一次运动到点时，， ∴， ∴的面积； 当点第二次运动到点时，即，如图， 此时，的高为10cm， 的面积； 当点第三次运动到点时，即， 故点最多两次运动到点， 综上，当时，的面积为；当时，的面积为． （2）由（1）可知，， ①当时，，， ； ②当时，，， ； ③当时，，的高为10cm， ； ④当时，，的高为10cm， ； ⑤当时，，的高为10cm， ． 题型讲练四 用图象表示变量间的关系 【例4】（23-24七年级下·河北保定·期末）如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（    ）    A． B．长方形的周长为 C．当秒时， D．当时，秒 【答案】D 【思路引导】本题考查用图象法表示两个变量间的关系，能看懂图象，根据动点P所在的位置与图象的关系逐项判断即可． 【规范解答】解：A、根据题意，动点P在边上时，的面积y值不变， ∴，故A选项说法正确，不符合题意； B、由图象知，动点P在边上运动时间为4秒， ∴， ∴长方形的周长为， 故选项B说法正确，不符合题意； C、当秒时，动点P在边上，此时， 故选项C说法正确，不符合题意； D、当时，有两种情况： 当动点P在边上时，由得； 当动点P在边上时，由得， 综上，当时，秒或3秒， 故选项D说法错误，符合题意， 故选：D． 【变式1】（23-24七年级下·广东清远·期末）人的大脑所能记忆的内容是有限的，随着时间的推移，记忆的东西会逐渐被遗忘，德国心理学家艾宾浩斯第一个发现了记忆遗忘规律．他根据自己得到的测试数据描绘了一条曲线（如图所示），这就是非常有名的艾宾浩斯遗忘曲线，观察图象并回答下列问题： (1)其中自变量是__________，因变量是__________； (2)在以下哪个时间段内遗忘的速度最快？填序号__________ ①    ②    ③    ④ (3)图中B点表示的意义是__________； (4)老师要求我们“堂堂清”、“日日清”，请结合艾宾浩斯遗忘曲线谈谈你的看法？ 【答案】(1)时间，记忆保持量 (2)① (3)记忆9小时后记忆保持量约为 (4)见解析 【思路引导】本题主要考查了图象表示变量之间的关系． （1）根据自变量和因变量的定义分析判断即可； （2）结合图象可知，内曲线下降的最快，即可获得答案； （3）对照艾宾浩斯遗忘曲线的横纵轴代表的意义可得出结论； （4）可以结合我们实际学习生活回答即可． 【规范解答】（1）解：由图象可知，其中自变量是时间，因变量是记忆保持量． 故答案为：时间，记忆保持量； （2）由图象可知，在学习后内遗忘的速度最快． 故答案为：①． （3）结合图象可知，图中点表示的意义是：记忆9小时后记忆保持量约为； 故答案为：记忆9小时后记忆保持量约为； （4）如不复习，会很快忘掉很多，只能保持大约的记忆保持量；老师要求学生“堂清”、“日清”，提示我们学习后要及时复习． 【变式2】（23-24七年级下·江西九江·期末）甲骑自行车以20千米/时从地去地，乙骑摩托车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人之间的距离为（千米）与甲行驶的时间为（小时）之间的关系如图所示． (1)、两地之间的路程为 千米； (2)从点、点、点三个点中选择一个填在横线上：表示甲到达终点的是点 ；表示乙到达终点的是点 ；表示甲、乙相遇的是点 ． (3)求乙的速度和值； (4)求甲出发多长时间后，甲、乙两人相距30千米． 【答案】(1)120 (2)；； (3)乙的速度是（千米/时）， (4)甲出发1.5小时或2.5小时后，甲、乙两人相距30千米 【思路引导】本题考查用图象表示变量之间的关系，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）由图象可得，A、B两地之间路程为120千米； （2）根据图象中的数据可以解答本题； （3）根据图象知，根据相遇时间为2小时可得乙的速度，根据路程除以速度可求出乙行完全程所用时间； （4）分相遇前相距30千米和相遇后相距30千米，列方程求解即可 【规范解答】（1）解：根据函数图象可得，A、B两地之间路程为120千米， 故答案为：120； （2）解：表示甲到达终点的是点P；表示乙到达终点的是点N；表示甲、乙相遇的是点M， 故答案为： P；N ； M； （3）解：乙的速度是：（千米/时）； ， （4）解：相遇之前：， 解得， 相遇之后：， 解得， 即甲出发1.5小时或2.5小时后，甲、乙两人相距30千米． 【变式3】（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）2024年“骑行中国”331国道最美边境线丹东起点出发仪式上，26个省份227名骑友从丹东出发，伴着碧波荡漾的鸭绿江水，踏上“骑行中国”的美好旅程．小华同学受此影响，每天放学后都骑自行车锻炼身体．某天，他从家出发骑车到鸭绿江断桥，当他以往常的速度骑行了一段路后，突然感到口渴，于是又折回到刚才经过的超市买水，喝完水后，小华继续骑车到鸭绿江断桥．已知小华家，超市，鸭绿江断桥在同一条笔直公路上，小华离家距离与所用时间的关系如图所示，根据图象回答下列问题： (1)小华家到鸭绿江断桥的距离是______米； (2)小华在超市停留了______分钟； (3)本次骑行途中，小华一共行驶了______米； (4)交通安全不容忽视，我们认为中学生骑自行车的速度超过320米/分就超过了安全限度．通过计算说明：在整个骑行途中哪个时间段小华的骑车速度最快，最快速度在安全限度内吗？ 【答案】(1)2100 (2)4 (3)2700 (4)在分钟内，小华的骑车速度最快，最快速度在安全限度内 【思路引导】本题考查用图象表示两个变量之间的关系，解题的关键是利用数形结合的思想解答． （1）根据图象中的数据可以得到小明家到学校的路程和在书店停留的时间； （2）根据图象中的数据可以得到小明在书店停留的时间； （3）根据图象中的数据可以得到本次上学途中，小明一共行驶的路程； （4）根据题意和图象可以得到各段内对应的速度，从而可以解答本题． 【规范解答】（1）解：根据图象纵轴数据，小华家到鸭绿江断桥的距离是2100米， 故答案为：2100； （2）解：根据图象纵轴数据，小华在超市停留了分钟， 故答案为：4； （3）解：根据图象纵轴数据，本次骑行途中，小华一共行驶了（米）， 故答案为：2700； （4）解：当时间在分钟内，速度为（米/分）； 当时间在分钟内，速度为（米/分）； 当时间在分钟内，速度为（米/分）； ∵， ∴在整个骑行途中在分钟内，小华的骑车速度最快，最快速度在安全限度内． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（2025·上海杨浦·一模）在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小华用“描点法”画它的图象，列出了如下表格： 那么下列说法中正确的是（   ） A．该函数的图象关于轴对称 B．该函数的图象没有最低点也没有最高点 C．该函数的图象经过第一、二、三、四象限 D．沿轴的正方向看，该函数的图象在对称轴左侧的部分是下降的 【答案】D 【思路引导】本题考查了由表格法判断函数的图象，根据时，；时，，可得对称轴为直线，可判断；由当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，当时，取最小值，可判断；由可知，可判断；由函数图象的对称轴为直线，当时，随着的增大而减小，可判断，据此即可求解，看懂表格中的数值是解题的关键． 【规范解答】解：、∵时，；时，， ∴对称轴为直线，故选项错误； 、由表可知，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，当时，取最小值， ∴该函数的图象有最低点没有最高点，故选项错误； 、∵， ∴， ∴该函数的图像经过三、四象限，不经过第一、二象限，故选项错误； 、∵函数图象的对称轴为直线，当时，随着的增大而减小， ∴沿轴的正方向看，该函数的图像在对称轴左侧的部分是下降的，故选项正确； 故选：． 2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）某市出租车收费标准如下表：设行驶里程数为，收费为y元，则y与x（）之间的关系式为（   ） 里程数 收费/元 3以下（含3） 8 3以上每增加1 1.8 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了函数的关系式，审题是解题的关键． 根据3以下（含3）收费8元，3以上每增加1米收费1.8元，列出关系式即可． 【规范解答】解：由题意得，所付车费为：， 即． 故选：D． 3．（23-24七年级下·贵州黔东南·期中）某市出租车的收费标准如表∶ 里程数 收费元 以下(含) 8.00 以上每增加 1.80 则收费y(元)与出租车行驶里程数之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了函数的关系式，审题是解题的关键． 根据3千米以内收费8元，超过3千米，每增加1千米收费1.8元，列出关系式即可． 【规范解答】解：由题意得，所付车费为：， 即． 故选：D． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）下图是某年部分节气对应的白昼时长示意图，白昼时长=（12-日出时刻）2=（日落时刻-12）2．下列结论中正确的是（   ） A．立夏这天的日出时刻是5:30 B．白昼时长在12 h～15 h的有10天 C．立冬这天的日落时刻是17:00 D．小满时白昼时间最长 【答案】C 【思路引导】本题考查了从图象获得信息，解题的关键是能够从图象获得信息． 根据图象中的信息逐项求解判断即可. 【规范解答】解：A、由图象可得，立夏这天的白昼时长为14小时， 日出时刻． 解得日出时刻 立夏这天的日出时刻是故A选项中的结论错误，不符合题意； B、由图象可得，白昼时长在小时的有天，故B选项中的结论错误，不符合题意； C、由图象可得，立冬这天的白昼时长为10小时， 日落时刻 解得日落时刻 立冬这天的日落时刻是故C选项中的结论正确，符合题意； D、由图象可得，夏至时白昼时间最长，为15小时，故D选项中的结论错误，不符合题意． 故选：C． 5．如图，在四边形中，动点P从点A开始沿A→B→C→D的路径匀速前进到D为止．在这个过程中，的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查的是函数图象，解题的关键是根据点P到直线的距离来判断S与t的关系．根据点P的运动过程可知：的边始终不变，点P到直线的距离为的高，根据高的变化即可判断S与t的函数图象． 【规范解答】解：设点P到直线的距离为h， ∴的面积为：， 当P在线段运动时，此时h不断增大，S也不断增大； 当P在线段上运动时，此时h不变，S也不变； 当P在线段上运动时，此时h不断减小，S不断减少； 又因为匀速行驶且，所以在线段上运动的时间大于在线段上运动的时间． 故选：C． 6．（25-26八年级上·福建漳州·月考）在运动会200米跑比赛中，运动员甲因为起步摔跤，导致晚出发了几秒钟，甲．乙两人的路程与时间的关系如图所示．下列说法①乙的速度为； ②甲在时追上了乙；③甲的速度为；④甲比乙晚出发了3s．其中正确的是______．（填序号） 【答案】①②④ 【思路引导】本题考查从函数图象获取信息的能力，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键． ①根据速度路程时间计算即可； ②由图象可知，当乙的路程为时被甲追上，根据乙的时间=乙的路程÷乙的速度计算即可； ③根据②，利用速度路程时间计算即可； ④根据时间路程速度求出甲追上乙时所用的时间，从而求出甲比乙晚出发的时间． 【规范解答】解：乙的速度为，故①正确； 甲追上乙所用时间为，故②正确； 甲的速度为，故③错误； 甲比乙晚出发了，故④正确． 综上，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 7．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，根据图象，有以下4个结论：①乙用11分钟追上甲；②乙追上甲后，再走1440米才到达终点；③甲乙两人之间的最远距离是300米；④甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟，其中正确的结论是______（填正确选项序号）． 【答案】②④ 【思路引导】本题主要考查函数的图象．根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【规范解答】解：（分）， 乙用12分钟追上甲，故①说法错误，不符合题意； 甲的速度为（米/分）， 乙追上甲时，二人离终点的距离为（米）， 乙追上甲后，再走1440米才到达终点，故②说法正确，符合题意； 乙的速度为（米/分）， 乙到达终点所用的时间为（分）， 当乙到达终点时甲走的路程为（米）， 当乙到达终点时，甲、乙二人的距离最远，为（米）， 故③说法错误，不符合题意； 当乙到达终点时甲走的路程为2040米， 甲还需要（分）到达终点， 甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟，故④说法正确，符合题意； 故答案为：②④． 8．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在一次自行车越野赛中，甲、乙两名选手所走的路程y（千米）随时间x（分钟）变化的图象（全程）分别用实线（）与虚线（）表示，那么在本次比赛过程中，乙领先甲时的x的取值范围是__________． 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数的应用问题，解题的关键是看懂函数图象并掌握待定系数法求一次函数解析式的方法， 先求出第一次相遇的时间，再求出直线的解析式，联立直线的解析式即可得出第二次相遇的时间． 【规范解答】解：根据甲15-33分钟运动了2千米， 所以可得甲这段时间的速度为：/分， 故从5千米运动至6千米需要9分钟， 即6千米对应的时间为24分钟， 可得：第一次相遇的时间是第24分钟， 故乙的速度为：/分 的解析式为 点B的坐标为，点C的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 即直线的解析式为， 联立直线与直线的解析式可得：， 解得：， 即第二次相遇的时间是第38分钟， 所以乙领先甲时的x的取值范围是． 故答案为：． 9．某商场销售某种商品，原价260元，随着不同幅度的降价(元)，日销售量(件)发生相应变化，关系如下表所示： 降价/元 5 10 15 20 日销售量/件 480 510 540 570 根据以上信息，当售价为260元时，该商品日销售量为________件；若设该商品的售价为元，日销售量为y件，则y与x之间的关系式是___________． 【答案】 【思路引导】由表中可知，每降价5元，日销售量增加30件，即可解答． 【规范解答】解：由表中可知，每降价5元，日销售量增加30件， 则当售价为260元时，该商品日销售量为（件）； y与x之间的关系式是． 10．甲、乙两人匀速骑行，从地出发前往地．两人与地的距离与骑行的时间之间的关系图象如图所示．当时，甲、乙两人相距_____． 【答案】 【思路引导】本题考查了从函数的图象获取信息等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据题意和函数图象中的数据求出两人的速度，从而可以求当时甲、乙两人相距的路程． 【规范解答】解：甲的速度为：， 乙的速度为：， 当时，甲、乙两人相距：， 故答案为：． 11．（25-26七年级上·广东惠州·期中）把一瓶果汁平均分成若干杯，分的杯数和每杯的果汁量如表． 分的杯数/杯 6 5 4 每杯的果汁量/ 100 120 150 (1)如果把这瓶果汁平均分成3杯，每杯的果汁量是多少？ (2)用表示分的杯数，用表示每杯的果汁量，用式子表示与的关系．与成什么比例关系？ 【答案】(1) (2)，与成反比例关系 【思路引导】（）根据表格求出这瓶果汁的总量，再除以即可求解； （）根据果汁的总量不变求出与的关系，进而根据成反比例关系的定义即可求解； 本题考查了有理数除法的应用，列代数式，成反比例关系，理解题意是解题的关键． 【规范解答】（1）解：这瓶果汁共有， ∵， ∴如果把这瓶果汁平均分成3杯，每杯的果汁量是； （2）解：∵这瓶果汁共有， ∴，即， ∵与的乘积一定， ∴与成反比例关系． 12．（25-26七年级上·广东广州·期末）某印刷厂装订一批练习本，每天装订的本数与需要的天数的关系如下表： 每天装订的本数 需要的天数 请回答以下问题： (1)需要的天数随着每天装订的本数的增大而_________（增大、不变、减少）； (2)这批练习本一共有多少本？ (3)用表示需要的天数，用表示每天装订的本数，用式子表示与的关系，并判断与成什么比例关系． 【答案】(1)减少 (2)2000本 (3)，反比例关系 【思路引导】本题主要考查了反比例关系的判断、反比例函数的表达式以及总量的计算，熟练掌握反比例关系的定义（两个相关联的量，乘积一定则成反比例）是解题的关键． （1）观察表格中每天装订本数和对应天数的变化趋势，判断增减性． （2）根据“总本数=每天装订本数天数”，用表格中任意一组数据计算即可． （3）先根据总本数不变写出与的关系式，再依据反比例关系的定义判断比例类型． 【规范解答】（1）解：由表格可得需要的天数随着每天装订的本数的增大而减少， 故答案为：减少； （2）解：∵， ， ， ， ∴这批练习本一共有2000本． （3）解：由题意可得， ， ∴与成反比例关系． 13．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）太原北齐壁画博物馆是全国首座原址建设的壁画专题博物馆．周末聪聪和家人一起驾车从家出发去北齐壁画博物馆，在馆内参观了1个小时，随后驾车去姑妈家．如图折线表示他们离开家的距离与离开家的时间之间的关系．根据图象解答下列问题： (1)上述过程中，自变量是________，因变量是________； (2)聪聪家与博物馆的距离是________千米，博物馆到姑妈家的距离是________千米； (3)图象中________； (4)求聪聪一家从博物馆到姑妈家驾车行驶的平均速度（不含在博物馆参观的时间）． 【答案】(1)时间，离开家的距离 (2)15，25 (3) (4)60千米/时 【思路引导】本题考查函数的图象，正确理解题意、理解函数图象横、纵坐标表示的意义是解题的关键． （1）根据函数的定义解答即可； （2）根据函数图象解答即可； （3）根据题意列式计算即可； （4）根据“速度路程时间”可得答案． 【规范解答】（1）解：上述过程中，自变量是时间，因变量是离开家的距离， 故答案为：时间，离开家的距离； （2）解：由图象可知，聪聪家与博物馆的距离是15千米，博物馆到姑妈家的距离是：（千米）， 故答案为：15，25； （3）解：， 故答案为：； （4）解：（千米/时）． 答：聪聪一家从博物馆到姑妈家驾车行驶的平均速度为60千米/时． 14．（24-25六年级下·山东烟台·期末）盘秤是一种常见的称量工具，它的工作原理是指针转过的角度与被称物体的重量存在着一定的数量关系，如表所示： 重量（单位：千克） 0 2 3 指针转过的角度 (1)请直接写出___________，___________； (2)设盘秤转过的角的数值为，物体的重量为，在忽略自变量取值范围的前提下，请直接写出与之间的关系式为___________； (3)指针转过的角度不得超过，否则盘秤会受损，称量18千克的物品会对盘秤造成损伤吗？说说你的理由； (4)某顾客在一家水果店购买水果，用这种盘秤称量两次，第二次的数量是第一次数量的2倍多3千克，且指针第二次转过的角度比第一次大，该顾客一共购买了多少千克水果． 【答案】(1)45；10 (2) (3)不会，见解析 (4)12千克 【思路引导】本题考查了用关系式表示变量间的关系，一元一次方程的应用，通过表格观察数据建立变量间的关系，理解题意得到等量关系建立方程是解决本题的关键． （1）根据表格的数值可发现规律，重量每增加1千克，指针转过的角度增加由此可解； （2）根据重量每增加1千克，指针转过的角度增加，即可写出与之间的关系式； （3）将代入（2）中所得关系式中，求解出n的值即可判断； （4）设出第一次称重的重量，由条件“第二次的数量是第一次数量的2倍多3千克”可表示出第二次称重的重量，再根据转过的角与物体的重量之间的关系式表示出两次的旋转角度，由“指针第二次转过的角度比第一次大”建立等式即可． 【规范解答】（1）解：观察表格，重量每增加1千克，指针转过的角度增加， 重量为千克时，指针转过的角度为； 当指针转过的角度为，重量为千克， 故答案为：45；10； （2）解：∵重量每增加1千克，指针转过的角度增加， ∴转过的角的数值为与物体的重量为的关系式为； 故答案为：； （3）解：不会，理由如下： 当物品的重量为18千克时， 由（2）知，转过的角的数值为与物体的重量为的关系式为， 将代入中，得， ∴称量18千克的物品不会对盘秤造成损伤； （4）解：设第一次称重的重量为千克， ∵第二次的数量是第一次数量的2倍多3千克， ∴第二次称重的重量为千克， 由（2）知，转过的角的数值为与物体的重量为的关系式为， ∴第一次称重转过的角的数值为，第二次称重转过的角的数值为， ∵指针第二次转过的角度比第一次大， ∴，解得， ∴第一次称重的重量为3千克，第二次称重的重量为千克， （千克） 答：该顾客一共购买了12千克水果． 15．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【图象问题】已知动点P 以每秒 的速度沿图1边框按的路线移动，相应的三角形 的面积S与时间t之间的关系如图2中的图象所示．若 ，则图1中的图形面积是 ，图2中的a和b的值分别是 和 ．（写出简要过程） 【答案】；24；17 【思路引导】本题考查了从图象获取信息，面积的计算等，从图象获取准确的信息并利用路程等于速度乘时间得到各边的长是解题的关键．根据题意，利用路程速度时间，计算得到、、的长度，即可得到图形的面积和a的值，然后计算得到的长度和在上运动的时间，从而得到的长度和在上运动的时间，即可得到值． 【规范解答】解：根据题意可知， 动点P在上运动时，对应的时间为0到4秒，得， 动点P在上运动时，对应的时间为4到6秒，得， 动点P在上运动时，对应的时间为6到9秒，得， 因为， 所以， 所以上运动的时间为秒， 所以图1中的图形面积为，； 因为， 所以上运动时间为秒， 所以， 故答案为：；24；17． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $