第六章 变量之间的关系 复习讲义　2024—2025学年北师大版数学七年级下册

第六章 变量之间的关系 考点1: 变量与常量 变量、常量的定义：在某一变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量. · 注意事项： (1)变量与常量往往是相对的，是相对于某个变化过程而言的. (2)在某一变化过程中，可能有一个或几个常量，不可能没有变量，也不可能只有一个变量，一般有两个变量. (3)变量是指变化的量本身，不包括相应的指数或系数，例：如在圆的面积公式S＝πr2中，变量是S与r，而不是r2 · 常量与变量的判断方法：判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是看它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值是否发生变化. 考点2: 自变量与因变量 1. 自变量、因变量的定义：一般地，在某一变化过程中，如果有两个变量x，y，当其中一个变量x在一定范围内变化时，随x的变化而变化，那么，通常把前一个变量x称为自变量，后一个变量y称为自变量的因变量. · 识别自变量和因变量的三种方法：(例1) (1)看变化的先后顺序，自变量是先发生变化的量，因变量是后发生变化的量； (2)看变化的方式，自变量是一个主动变化的量，因变量是一个被动变化的量； (3)看因果关系，自变量是起因，因变量是结果. · 例1：圆柱的高h为10cm，固定不变当圆柱的底面半径r由小到大变化时，圆柱的体积V也发生了变化，在这个变化过程中r是自变量，V是因变量. 2. 自变量与因变量的区别与联系： 名称 自变量 因变量 区别 发生变化或主动发生变化的量 随着自变量的变化而变化的量 联系 ①两者都是某一变化过程中的变量； ②两者因研究的侧重点或先后顺序不同，自变量和因变量可以相互转化. (例2) · 例2：在t＝中，当路程一定时，时间随速度的变化而变化，这时速度为自变量，时间为因变量；而在v＝中，当路程一定时，速度随时间的变化而变化，这时时间就为自变量，速度就为因变量. 练习1. 1. 已知一个长方形的面积为15cm2，它的长为a cm，宽为b cm，下列说法正确的是( ) A．常量为15，变量为a，b B．常量为15，a，变量为b C．常量为15，b，变量为a D．常量为a，b，变量为15 2. 腌制咸鸭蛋，首先需要制作食盐水，一个容器中装有一定质量的水，向该容器中加入食盐，与食盐混合为食盐水，随着食盐的加入，食盐水的浓度将升高，这个问题中自变量和因变量分别是( ) A．水，食盐水的浓度 B．水，食盐水 C．食盐量，食盐水 D．食盐量，食盐水的浓度 考点3: 函数的三种表示方法 1. 列表法(用表格) 采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系.列表时要选取能代表自变量的一些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出因变量的对应值.列表法最大的特点是直观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值，但缺点是具有局限性，只能表示因变量的一部分. 2. 解析法(关系式) 关系式是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值. 3. 图像法(用图象) 对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象(这个图象就叫做平面直角坐标系).它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显著特点是非常直观.不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的. · 三种方法的优缺点比较 优点 缺点 备注 列表法(用表格) 对于表中自变量的每一个值可以不通过计算,直接把因变量的值找到,查询时很方便 只能列出部分自变量与因变量的对应值,难以反映变量间的变化全貌,而且从表中看不出变量间的对应规律 通常自变量表示在表格的上方，因变量表示在表格的下方 解析法(关系式) 简明扼要,规范准确 有些变量之间的关系很难或不能用关系式表示,求对应值也需要逐个计算,比较麻烦 通常自变量表示在式子的右边，因变量在表示式的左边 图像法(用图象) 形象直观,可以很形象地反映事物变化的全过程,变化的趋势和某些性质(因变量的增减性,点的对称,最大值或最小值)等 图象是近似的,局部的,观察或由图象确定的因变量的值往往是不准确的 通常自变量用水平方向的数轴(横轴)上的点来表示，因变量用竖直方向的数轴(纵轴)上的点来表示 考点4: 函数的表示方法：图像法 对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象(这个图象就叫做平面直角坐标系).它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显著特点是非常直观.不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的. 理解图像：①认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；②从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义(坐标)，特别是图像的起点、拐点、交点 考点5: 估计(或者估算) 对事物的估计(或者估算)有三种： 1.利用事物的变化规律进行估计(或者估算).例如：自变量x每增加一定量，因变量y的变化情况；平均每次(年)的变化情况(平均每次的变化量＝(尾数－首数)÷次数或相差年数)等等； 2.利用图象：首先根据若干个对应组值，作出相应的图象，再在图象上找到对应的点对应的因变量y的值； 3.利用关系式：首先求出关系式，然后直接代入求值即可. 考点6: 事物变化趋势的描述 对事物变化趋势的描述一般有两种： (1)随着自变量x的逐渐增加(大)，因变量y逐渐增加(大)(或者用函数语言描述也可：因变量y随着自变量x的增加(大)而增加(大))； (2)随着自变量x的逐渐增加(大)，因变量y逐渐减小(或者用函数语言描述也可：因变量y随着自变量x的增加(大)而减小). 注意：如果在整个过程中事物的变化趋势不一样，可以采用分段描述.例如在什么范围内随着自变量x的逐渐增加(大)，因变量y逐渐增加(大)等等. 练习2. 1. 一年365天，天安门广场的升旗仪式与太阳的节奏同步，唤醒一座城市的梦，唤醒一个国家的清晨．当升旗手匀速升旗时，旗子的高度h(米)与时间t(分)这两个变量之间的关系用图象可以表示为( ) A. B. C. D. 2. 如图是两圆柱形连通容器，向甲容器匀速注水，则下面可以近似地刻画甲容器的水面高度h(cm)随时间t(分)的变化情况的是( ) 3. 5G无人物品派送车现已应用于实际生活中.如图是派送车某次派送的路线，该车从圆心O出发，按箭头所示方向，依次沿线段 OA-半圆弧AB-线段BO勾速行驶，最后回到点O处，则5G无人物品派送车离出发点O的距离h与所用时间t之间的关系图象大致是( ) 4. 春暖花开，美丽顺峰山景色宜人，一位“驴友”路程从早晨8时从家出发到公园赏花，他所走的路程(千米)随时间(时)变化的情况如题图所示，则下面说法中错误的是( ) A. 他在途中休息了半小时 B. 10时所走的路程约9千米 C. 在这个变化过程中，自变量是时间，因变量是路程 D. 他从休息后直至到达目的地的平均速度约为5千米/时 5. 小乐放学后骑车从学校回家，中途在十字路口等红灯用了1分钟，然后继续以原来的速度骑车回家，小乐离家的路程s(单位：米)与时间t(单位：分钟)的关系如图所示，则从该十字路口到小乐家的路程为( ) A. 1500m B. 1200m C.900m D. 700m 6. 已知A、B两地是一条直路，甲骑自行车从A地到B地，乙骑自行车从B地到A地，两人同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离s(km)与运动时间t(h)的数关系大致如图所示，下列说法错误的是( ) A.两人出发2h后相遇 B.甲骑自行车的速度为60km/h C.乙骑自行车的速度为90 km/h D.乙比甲提前h到达目的地 7. 某校初一数学兴趣小组利用同一块木板，测量小车从不同高度沿斜放的木板从顶部滑到底部所用的时间，支撑物的高度h(cm)与小车下滑时间t(s)之间的关系如表所示： 根据表格提供的信息，下列说法错误的是( ) A.当支撑物的高度为40cm时，小车下滑时间为 2.13s B.支撑物高度h越大，小车下滑时间t越小 C.若小车下滑时间为2s，则支撑物高度在40cm至50cm之间 D.若支撑物的高度为80cm，则小车下滑时间可以是小于1.59s的任意值 8. 某生物实验小组研究发现，某种种子发芽率与浸泡时间有如下关系，下列说法正确的是( ) A.种子发芽率为自变量，种子浸泡时间为因变量 B.随着种子浸泡时间的加长，种子发芽率在提高 C.随着种子浸泡时间的加长，种子发芽率在降低 D.由表格可以看出，种子浸泡时间为12小时左右时，发芽率最高 9. 酗酒对人体有害吗?如表是某实验小组探究不同浓度的酒精对某种水蚤心率影响的实验数据(心率是心脏每分钟跳动的次数，因水蚤心跳太快，为减少误差，实验中计算10秒内心跳次数).根据表格，下列结论错误的是( ) 酒精浓度 0% 1% 5% 10% 15% 20% 10s内心跳次数 33 30 24 18 15 0 A.酒精浓度越高，水蚤心率越低 B.自变量是水蚤心率，因变量是酒精溶液浓度 C.酒精浓度达到 20%时水蚤10s内心跳次数为0 D.酗酒对人体的心跳可能有不利影响 10. 已知：如图(1)，长方形ABCD中，E是边AD上一点，且AE＝6cm，AB＝8cm，点P从B出发，沿折线 BE→ED→DC匀速运动，运动到点C停止，P的运动速度为2cm/s，运动时间为t(s)，△BPC的面积为y(cm2).y与t的函数关系式图象如图(2)，则下列结论正确的有( ) ①a＝7；②b＝10；③当t＝3时，△PCD为等腰三角形；④当t＝10s时，y＝12 cm2. A.①③ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 11. 某公司制作毕业纪念册的收费如下，设计费与加工费共300元，另外每册收取材料费4元，则总收费y(元)与制作纪念册的册数x(册)之间的关系式为： . 12. 正方形边长为9，若边长增加x，则面积增加y，则增加的面积y与增加的边长x之间的关系式为y＝ . 13. 晋祠是中国最美宗祠之一，周末两名老师带领x名学生到晋祠博物馆参观研学，已知成人票每张80元，学生票每张40元，设门票的总费用为y元，则y与x的关系式为： . 14. 快车与慢车分别从甲乙两地同时相向出发，速而行，快车到达乙地后停留1h，然后按原路原速返回，快车比慢车晚1h到达甲地，快慢两车距各自出发地的路程y(km)与所用的时x(h)的关系如图所示. (1)甲乙两地之间的路程为 km；快车的速度为 km/h；慢车的速度为 km/h； (2)出发 h，快慢两车距各自出发地的路程相等； (3)快慢两车出发 h，相距150 km. 15. 如图1，点G为BC边的中点，点H在AF上，动点P以每秒2cm的速度沿图1的边运动，运动路径为G→C→D→E→F→H，相应的△ABP的面积y(cm2)关于运动时间t(s)的函数图象如图2，若AB＝6cm，则下列结论正确的有 ．(填写序号) ①图1中BC长4cm； ②图1中DE的长是6cm； ③图2中点M表示4秒时的y值为24 cm2；④图2中的点N表示12秒时y值为15 cm2． 16. 小明骑自行车上学，某天他从家出发骑行了一段路程，想起要买一本书，于是折回到他刚经过的某书店，买到书后继续去学校．以下是他在本次上学离家的距离与所用的时间的关系示意图，根据图中提供的信息解答下列问题： (1)小明书店停留了 分钟； (2)本次上学途中，小明骑行的路程一共是 米； (3)小明骑行过程中哪个时间段的速度最快，最快的速度是多少? 17. 综合与实践： 综合实践小组探究香燃烧时剩余长度y(cm)与燃烧时间x(分)的关系．下面表格是他们实验过程中的相关数据，请利用表格中的信息解答下列问题： (1)将表格中空缺的数据补充完整： 燃烧时间x/分 0 5 10 15 剩余长度y/cm 20 16 ______ 8 (2)根据表中信息，分析香燃烧过程中剩余长度y(cm)随燃烧时间x(分)的变化规律（写出一个结论即可）； (3)求香的剩余长度y(cm)与燃烧时间x(分)之间的关系式，并求这只香多长时间后全部燃尽． 18. 一司机驾驶汽车从甲地到乙地，他以60 km/h的平均速度行驶4h到达目的地，并按照原路返回甲地． (1)返回过程中，汽车行驶的平均速度v与行驶的时间t有怎样的函数关系? (2)如果要在3h返回甲地，求该司机返程的平均速度； (3)如图，是返程行驶的路程s(km)与时间t(h)之间的函数图象，中途休息了30分钟，休息后以平均速度为85 km/h的速度回到甲地． ①自变量为 ；因变量为 ； ②求该司机返程所用的总时间． 19. 随着科技的飞速发展，人工智能(AI)已成为当今社会的热点话题，自动驾驶汽车是一种通过电脑系统实现无人驾驶的智能汽车.某公司为了解自主研发出的一款智能汽车，根据路况调节车速的功能进行了测试.如图表示一辆汽车从出发到最后停止，汽车的速度随时间变化而变化的情况.请根据图象回答下列问题： (1)汽车从出发到最后停止共经过的时间为 分钟； (2)汽车的最高时速是多少? (3)汽车在哪段时间保持匀速行驶?时速是多少? (4)汽车在哪些时间段速度在增加,哪些时间段速度在减小? 20. 电动汽车的电池容量与续航里程是用户最为关心的问题，对某型号电动汽车充满电后进行测试，其电池剩余电量y(度)与行驶里程x(千米)之间的关系如下表所示： (1)上表中自变量是 ，因变量是 ； (2)该型号电动汽车的电池容量为 度； (3)电动汽车在电量剩余20%~30%时充电最佳，请根据上表直接写出该电动汽车剩余电量y(度)与行驶里程x(千米)之间的关系式，并求剩余电量为30%时的已行驶里程. 21. 如图是我国青海湖最深处的某一截面图，一支潜水队测出了青海湖水面下任一点A的压强p(单位：cmHg)与其离水面深度h(单位：m)的几组数据，整理出表： 根据表格，回答下列问题： (1)自变量是 ，因变量是 ； (2)青海湖水面大气压强为 cmHg； (3)请直接写出p与h的关系式，并求出最深处32.8m处的压强值. 22. 在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B两地之间，甲、乙两人分别从A，C两地同时出发前往B地，甲匀速步行至B地，乙前15分钟匀速步行，中途休息了一段时间后，再匀速骑共享单车至B地已知，乙骑行的速度是自己步行速度的3倍，甲、乙两人同时到终点.甲、乙两人各自到A地的距离(米)与所用时间(分钟)的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)A，C两地之间的距离是 米； (2)求乙中途休息了多少分钟； (3)乙骑行前，甲步行多少分钟时甲、乙两人之间的距离为400 米. 23. 为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7m3时，每立方米收费1.0元，并加收0.2元的城市污水处理费；超过7 m3的部分每立方米收费1.5元，并加收0.4元的城市污水处理费，设某户每月用水量为x(m3)，应交水费为y(元)． (1)写出用水未超过7 m3时，y与x之间的函数关系式； (2)写出用水多于7 m3时，y与x之间的函数关系式． 24. 某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法： ①如果不超过500元，则不予优惠； ②如果超过500元，但不超过800元，则按购物总额给予8折优惠； ③如果超过800元，则其中800元给予8折优惠，超过800元的部分给予6折优惠． 促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款480元和520元；若合并付款，则她们总共只需付款多少元． 25. 某市电力公司为鼓励居民节约用电，采用分档计费的方法计算电费，各档次计费方法如表： 档次 标准 第一档 每月用电不超过210度时，按0.6元/度计费 第二档 每月用电超过210度但不超过400度时，其中的210度按0.6元/度计费，超过210度的部分按0.7元/度计费 第三档 每月用电超过400度时，其中的210度按0.6元/度计费，超过210度但不超过400度的部分按0.7元/度计费，超出400度的部分按0.9元/度计费 (1)小明家5月用电200度，需交电费 元； (2)若设某月用电量为x(210＜x≤400)度，应交电费为y元，求y与x之间的关系式； (3)若小明家8月交电费268元，求小明家8月用了多少度电? 26. 根据以下信息，探索完成任务： 如何选择合适的话费套餐 素材1 A套餐：月租费为58元/月，套餐内每月可拨打国内电话 150分钟，超出套餐部分拨打国内电话0.19 元/分钟. 素材2 B套餐：月租费为88元/月，套餐内每月可拨打国内电话 350 分钟，超出套餐部分拨打国内电话0.19元/分钟. 素材3 推出的A，B两种套餐都在全国范围内接听免费，含来电显示， 套餐收费说明：如A套餐计费方法中，若拨打国内电话时长小于等于150分钟，则只收月租费58元/月；若拨打国内电话时长为180分钟，则该月计费为58＋(180－150)×0.19＝63.7元. 任务一 某用户选择B套餐： 若该月拨打国内电话时长为200分钟，则该用户的月缴费为 元； 若该月拨打国内电话时长为380分钟，则该用户的月缴费为 元. 任务二 若选择A套餐计费方法，设某用户一个月的拨打国内电话时长为x分钟(x＞150)，该月话费为y1元，则y1与x的关系式是 ； 若选择B套餐计费方法，设某用户一个月的拨打国内电话时长为x分钟(x＞350)，该月话费为y2元，则y2与x的关系式是 . 任务三 若某用户某月拨打国内电话总时长为250分钟，你认为他应该选择上述两种套餐中的哪一种较为合算?请说明你的理由. 27. 如图 1，小明与妈妈购物结束后，同时从超市(点A)出发，沿 AB步行回家(点B)，小明先把部分物品送回家，然后立即沿原路返回，帮妈妈拿余下的物品，已知两人的速度大小均保持不变，设步行x(min)时两人之间的距离为y(m)，从出发到再次相遇，y与x的函数关系如图2所示，根据图象，解决下列问题. (1)图2中点P的实际意义为 ； (2)小明与妈妈的速度分别为多少? (3)当x为何值时，两人相距100m? 28. 如图，在△ABC中，BC边上的高是定值.当三角形的顶点C沿底边所在直线由点B向右运动时，三角形的面积随之发生变化，设底边长BC＝xcm，三角形面积为y cm2，变化情况如下表所示： 底边长x(cm) 1 2 三角形面积为y (cm2) 3 6 (1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ； (2)由上表可知，BC边上的高为 cm； (3)y与x的关系式可以表示为 ； (4)当底边长由3cm变化到12cm时，三角形的面积从 cm2变化到 cm2. 9 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$