精品解析：新疆乌鲁木齐市第101中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学(问卷)

乌鲁木齐市第101中学2025-2026学年第二学期期中考试 高二数学（问卷） （卷面分值：150分；考试时间：150分钟） 命题人：丁清清 审核人：牛红丽 注意事项： 1、本试卷为问答分离式试卷，由问卷和答题卡两部分组成，答案务必写或涂在答题卡指定位置上. 2、答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、准考证号等信息填写在答题卡的相应位置上. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共 40分） 1. 数列1,,,,,……的一个通项公式（ ） A. B. C. D. 2. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在等比数列中，，是方程的两根，则的值为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 4. 展开式中的第四项是 A. B. C. D. 5. 已知为函数的导函数，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知为等差数列，为等比数列，， ， 则 （ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 5 7. 从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为(　　) A. 300 B. 216 C. 180 D. 162 8. 已知函数 ，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3道小题，每小题6分，共 18分） 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. 数列是等差数列 B. C. 数列的前项的和为 D. 的前项的和小于 11. 已知为上的可导函数，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3道小题，每小题5分，共15分） 12. 若展开式的二项式系数之和为32，则_______ 13. 若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是_________ 14. 某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是_____________. 四、解答题（本大题共5个小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分） 15. 在等差数列中，已知 （1）该数列的公差d； （2）设数列的前n项和为，当n为何值时，取得最小值?并求出该最小值. 16. 已知函数 在处有极值. （1）求函数的单调区间 （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 17. 某青年志愿者协会共有5名男生和3名女生.现要从中选拔5人组成一个服务小队，分配到社区服务中心的5个不同岗位上（岗位分别为：接待、宣传、保洁、维修、后勤）.按要求回答下列问题： （1）若女生小红必须入选，且必须担任接待岗位，问有多少种不同的安排方法? （2）若男生小刚必须入选，但他不能担任维修岗位（其他岗位均可），问有多少种不同的安排方法? （3）若女生小红必须担任接待岗位，同时男生小刚必须入选但不能担任维修岗位，问有多少种不同的安排方法? 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：； （3）设函数，当时，讨论零点的个数. 19. 已知正项数列的前项和为，对任意，点都在函数的图像上. （1）求数列的首项和通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和； （3）已知数列满足.若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市第101中学2025-2026学年第二学期期中考试 高二数学（问卷） （卷面分值：150分；考试时间：150分钟） 命题人：丁清清 审核人：牛红丽 注意事项： 1、本试卷为问答分离式试卷，由问卷和答题卡两部分组成，答案务必写或涂在答题卡指定位置上. 2、答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、准考证号等信息填写在答题卡的相应位置上. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共 40分） 1. 数列1,,,,,……的一个通项公式（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分母的特征和每项的正负性特征,可以选出答案. 【详解】因为数列的正负交替,分母是正整数的次序,所以. 故选C 【点睛】本题考查了已知数列求数列的通项公式,本题也可采用根据四个选项中数列通项公式求出前几项,看是否符合已知的数列的前几项. 2. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由初等函数导数公式求导. 【详解】，A正确； ，B错误； ，C错误； ，D错误. 故选：A 3. 在等比数列中，，是方程的两根，则的值为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用韦达定理以及等比数列下标和性质化简求解即可． 【详解】解：等比数列中，，是方程的两根， 所以， 因为 所以， 故选：A 4. 展开式中的第四项是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：展开式中的第四项是.故选B． 考点：二项式定理． 5. 已知为函数的导函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对函数求导，再代入求值即可． 【详解】由，得， 所以，解得. 6. 已知为等差数列，为等比数列，， ， 则 （ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差、等比数列的基本量运算求出公差和公比，再由等差数列的通项公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则有，解得或（舍去）， 所以. 7. 从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为(　　) A. 300 B. 216 C. 180 D. 162 【答案】C 【解析】 【详解】分两类:一、当偶数取时，则有；二、当偶数取或时，考虑首位，只有三个数可排，故有，因此共有.所以应选C. 8. 已知函数 ，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求导找到函数唯一的极小值点，再代入极值点化简并结合函数单调性确定极值点范围，最后根据参数与极值点的关系及边界验证得出取值范围. 【详解】由题意知，定义域， 所以，令， 则，观察到在上严格递增， 在上严格递减，所以在上严格递增， 由于，， 所以存在唯一解使得，即是的唯一极小值点， 由极值点条件可得：，变形可得：， 即， ， 根据题意可得，所以，化简得：， 令，即， 所以严格递减，又因为，所以的解为， 即，由于，令，即， 所以严格递减，因为且递减，所以， 当时，，，满足， 当时，，，所以， 当时，，，所以，不满足条件， 综上，实数的取值范围是. 二、多选题（本题共3道小题，每小题6分，共 18分） 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】运用代入法，结合二项式的通项公式进行逐一判断即可. 【详解】令，有，选项A正确； 令，有 ， 因为，所以，选项C不正确； 令，有 ， 得，，所以选项D不正确； 设二项式的通项公式为：， 令，得， 令，得， 所以，因此选项B正确， 故选：AB 10. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. 数列是等差数列 B. C. 数列的前项的和为 D. 的前项的和小于 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由前项和，利用与求出通项，再逐一验证各选项：A 判断数列类型，B 比较​与​，C 求的前n项和，D 用裂项相消法求的前项和并判断范围，最终确定正确选项. 【详解】对于A：根据题意，，当时，， 所以满足，所以数列是等差数列，正确； 对于B：，显然，不正确； 对于C：因为，所以，所以其前项的和为，正确； 对于D：因为，所以， 所以的前项的和为，正确. 11. 已知为上的可导函数，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先构造函数，利用导数判断该函数的单调性；再利用单调性即可判断各个选项. 【详解】设，. 则. 因为所以， 则函数在区间上单调递增， 所以，即，； ，即，；而A无法确定；故BD正确，AC错误. 故选：BD. 三、填空题（本题共3道小题，每小题5分，共15分） 12. 若展开式的二项式系数之和为32，则_______ 【答案】5 【解析】 【分析】直接利用二项式系数和公式得到答案. 【详解】因为展开式的二项式系数之和为32， ∴，即. 故答案为：. 13. 若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是_________ 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用单调性条件列不等式，然后分离参数a并求出的最大值，最后根据不等式恒成立条件求解即可. 【详解】 因为函数在区间内单调递增， 所以对所有的恒成立，即对所有的恒成立， 因为在上单调递减，所以当时，， 所以. 故答案为： 14. 某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是_____________. 【答案】120 【解析】 【分析】先安排3个歌舞类节目，它们的次序有四种可能:1，3，5或2，4，6或1，3，6或1，4，6.然后分类得出每种情况的排法数，求和即可. 【详解】设节目的演出顺序为1,2,3,4,5,6这6个位置,如图. 先安排3个歌舞类节目，它们的次序位置有四种可能:1，3，5或2，4，6或1，3，6或1，4，6. 若3个歌舞类节目安排在1，3，5或2，4，6的位置时，有种排法 若3个歌舞类节目安排在1，3，6或1，4，6.的位置时，2个小品类节目不相邻. 则种排法 综上所述，共有72+48=120种排法. 故答案为：120. 四、解答题（本大题共5个小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分） 15. 在等差数列中，已知 （1）该数列的公差d； （2）设数列的前n项和为，当n为何值时，取得最小值?并求出该最小值. 【答案】（1）. （2）当时，取得最小值. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的前n项和公式列方程求解； （2）写出该数列的前n项和再利用二次函数的图像与性质进行求解. 【小问1详解】 已知. 由，得 ， ，解得， 故公差. 【小问2详解】 ， 当时，取得最小值. 16. 已知函数 在处有极值. （1）求函数的单调区间 （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）单调增区间：；单调减区间： （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，根据极值点求出参数的值，最后根据导数的正负来确定函数的单调区间. （2）根据（1）中得到的函数单调性，找出函数在区间上的极值点和端点值，然后比较这些值的大小，从而得到最大值和最小值. 【小问1详解】 因为，所以， 因为在处有极值，所以， 即，解得， 故，， 令，则或， 当时，，所以在上单调递减， 当或时，，所以在和上单调递增， 所以单调增区间：，单调减区间：， 【小问2详解】 由（1）知，在区间上，在上单调递减， 在上单调递增，所以在处取极小值， 即， ， ， 所以最大值为，最小值为. 17. 某青年志愿者协会共有5名男生和3名女生.现要从中选拔5人组成一个服务小队，分配到社区服务中心的5个不同岗位上（岗位分别为：接待、宣传、保洁、维修、后勤）.按要求回答下列问题： （1）若女生小红必须入选，且必须担任接待岗位，问有多少种不同的安排方法? （2）若男生小刚必须入选，但他不能担任维修岗位（其他岗位均可），问有多少种不同的安排方法? （3）若女生小红必须担任接待岗位，同时男生小刚必须入选但不能担任维修岗位，问有多少种不同的安排方法? 【答案】（1）种 （2）种 （3）种 【解析】 【分析】（1）根据特殊元素法计算即可. （2）方法一：根据特殊元素法，结合分步计数法计算即可.方法二：利用排除法，结合分步计数法计算即可. （3）根据特殊元素法，结合分步计数法计算即可. 【小问1详解】 小红固定在接待岗. 剩余4个岗位（宣传、保洁、维修、后勤）从剩下的7人（5男+2女）中选4人排列. 方法数：种. 【小问2详解】 方法一：小刚先选岗位，不能做维修，有种选择； 从剩下7人中选4人，安排到剩下4个岗位，有种. 总方法数：种. 方法二：小刚入选，再从剩余7人中选4人进行全排列，则有种， 小刚入选，且能担任维修岗位，此时全排列，有种， 所以总方法数为：种. 【小问3详解】 小红固定在接待岗位. 小刚不能去维修岗位，所以从剩下3个岗位（宣传、保洁、后勤）中选1个，有3种选法； 再从剩下6人中选3人，安排到剩下的3个岗位，有种， 总方法数：种. 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：； （3）设函数，当时，讨论零点的个数. 【答案】（1）； （2） 令， 则， 令，得， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 即， 所以； （3）当时，只有一个零点；当时，有两个零点. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）令，利用导数求得即可； （3）利用导数求得，令，利用导数求得，分、分别判断函数的零点即可. 【小问1详解】 因为，所以切点为， 又因为， 所以， 所以在点处的切线方程：， 即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 所以， 令，得， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 令， 则， 所以在上单调递减， 所以， 所以当时，， 此时只有一个零点； 当时，， 且趋于、时，趋于， 此时有两个零点； 综上，当时，只有一个零点；当时，有两个零点. 19. 已知正项数列的前项和为，对任意，点都在函数的图像上. （1）求数列的首项和通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和； （3）已知数列满足.若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）1；；（2）；（3）. 【解析】 【分析】 （1）求得，利用与的关系，求解通项公式； （2）由（1）中所得的，求得，利用乘公比错位相减法求和； （3）由（1）和（2）所得，求得，考虑的单调性，从而求得前项和的最大值，求出的最大值为，根据恒成立问题可得，即可求出的取值范围. 【详解】（1）由题知，当时，，所以. ，所以， 两式相减得到， 因为正项数列，所以， 数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以. （2）由（1）知，所以，， 因此， ， 两式相减得： ， 所以. （3）由（2）知， 所以， 令为的前项和，易得， 因为，，，， 当时，， 而， 得到， 所以时，，所以. 又，的最大值为. 因为对任意的，存在，使得成立. 所以，由此. 【点睛】本题主要考查了利用与的关系求数列的通项公式，考查了乘公比错位相减求和，考查了数列的单调性，以及恒成立问题，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $