精品解析：福建省永春玉斗中学等校2025—2026学年度八年级下学期期中综合评估 数 学

2025—2026学年度八年级下学期期中综合评估 数学 ▶下册第15~16章◀ 说明：共有三个大题，25个小题，满分150分，作答时间120分钟． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，将正确答案的代号填在下表中． 1. 下列式子中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的定义；根据分式定义判断选项即可． 【详解】解： ∵符合分式定义，是分式， ∴A符合题意， ∵属于整式，不符合分式定义， ∴B不符合题意， ∵是常数，分母不含有字母，不符合分式定义 ∴C不符合题意， ∵属于整式，不符合分式定义， ∴D不符合题意． 故选：A． 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据第四象限内的点的坐标特征解答. 【详解】解：∵，， 又∵第四象限的点的横坐标大于零，纵坐标小于零， ∴在第四象限， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特征，熟练掌握四个象限的符号特征是解题的关键. 3. 我国科学家基于嫦娥六号采回的月球背面月壤样品，首次研究获得月球背面月幔的水含量小于，为认识月幔水的时空演化提供了关键约束．数据0.000002用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 4. 一根蜡烛长，点燃后每小时燃烧，这根蜡烛点燃后剩下的长度h（单位：）与点燃时间t（单位：h）之间的关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵蜡烛原长为，点燃后每小时燃烧， ∴小时燃烧的长度为， 又∵剩下长度 = 原长 燃烧的长度， ∴，整理得． 5. 将分式约分，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分式的基本性质，找出分子分母的公因式，约去公因式即可得到结果． 【详解】解：． 6. 小明从家步行去书店买书，匀速走了一段时间后看到路旁有一辆共享单车，小明开锁后骑行到达书店（小明家和书店在同一条笔直的公路旁，距离为），如图所示的是小明离家的距离y与时间x的关系，则小明骑行的时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象分析小明的运动过程，确定骑行阶段的起始时间和结束时间，两者之差即为骑行时间． 【详解】解：由图象可知，小明在步行， 在停留开锁， 在骑行． 骑行的起始时刻为第，结束时刻为第． 骑行的时间为． 7. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，先判断三个点所在象限，确定的正负，再比较第四象限内的大小，即可得到结果． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大． ∵点的横坐标， ∴点在第二象限，可得． ∵点，的横坐标满足， ∴都在第四象限， ∴． 综上，． 8. 已知一次函数（，k、b是常数）的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 1 2 … y … 8 6 4 2 0 … 则下列结论正确的是（ ） A. y的值随x值的增大而增大 B. 图像不经过第一象限 C. 当时， D. 不等式的解集是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查运用待定系数法示一次函数解析式，一次函数的图象与性质，先求出一次函数的解析式，再根据函数的图象与性质求解即可． 【详解】解：把，代入得，， 解得，， 所以，一次函数解析式为， ∵ ∴y的值随x值的增大而减小，故选项A不正确； ∵， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项B不正确； 由表格中数据可知，当时，，故选项C不正确； 不等式的解集是，故选项D正确， 故选：D． 9. 如图，若x为正整数，则表示的值的点落在区间（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对分式进行变形，分离常数，再根据 为正整数确定的取值范围，进而求出代数式的取值范围，最后对照数轴选项即可得出答案． 【详解】解： 为正整数 即 观察选项可知，C选项表示的区间符合题意． 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题意可分： 当时，则，所以一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限，故B选项符合题意；A、D选项不符合题意； 当时，则，所以一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数经过第一、三象限，故C选项不符合题意． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若是正比例函数，则b的值是_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的定义，形如的函数为正比例函数．根据正比例函数的定义可得关于b的方程，解出即可． 【详解】解：∵是正比例函数， ∴，解得：， 故答案为：2． 12. 若关于x的分式方程无解，则k的值为______． 【答案】 1 【解析】 【分析】先将原分式方程去分母化为整式方程，分式方程无解说明原方程存在增根，增根使原方程分母为零，求出增根后代入整式方程即可求解． 【详解】解：， 两边同乘最简公分母得：， 关于的分式方程无解， 原分式方程有增根，增根使分母，即， 将代入得：． 13. 如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程(组)，熟知一次函数与二元一次方程组之间的关系是解题的关键．先求出点P的坐标，再根据二元一次方程组与一次函数之间的关系即可解决问题． 【详解】解∶将代入得，． 解得． 点P的坐标为． 方程组的解可看成函数与函数图象的交点坐标， 此方程组的解为 14. 对于实数m，n，定义两种新运算：，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据新运算的定义写出待求式的代数形式，再利用平方差公式因式分解，结合分式的除法法则化简即可． 【详解】解：根据新运算定义可得：， 15. 已知的位置如图所示，其中点B，C分别在x轴、y轴上，轴．反比例函数的图象经过点A，且，则该反比例函数的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设反比例函数的解析式为 ，先得到，再根据，求出的值即可． 【详解】解：连接，设反比例函数的解析式为， ∵轴， ∴轴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴反比例函数的解析式为． 16. 将正方形，，按如图所示的方式放置，点，，，…与点，，，…分别在直线与x轴上，则点的纵坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意写出前几个点的坐标，总结规律，代入计算即可． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 在中，当时，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 同理可得，，，，．．．．．．，，（为正整数）， ∴点的纵坐标为． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】1 【解析】 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】去分母将分式方程转化为一元一次方程求解，最后检验所得根是否使分母不为零，得到最终结果． 【详解】解：原方程变形为  ， 方程两边同时乘以得 ，   去括号得，   整理得 ， 解得 ， 检验∶ 当时，， ∴原分式方程的解为． 19. 将直线向上平移m个单位长度，得到的直线经过点，求m的值． 【答案】5 【解析】 【分析】先根据平移规则得到平移后直线的解析式，再将已知点的坐标代入解析式即可计算出的值． 【详解】解：由题意可得，平移后得到的直线解析式为， 将点代入得， 解得． 20. 南靖土楼作为世界文化遗产，承载着客家人的智慧和乡愁．福州市某旅行社组织游客从福州市到南靖土楼旅游． 信息一：福州市到南靖土楼的路程约为300千米； 信息二：乘坐A型车比乘坐B型车少用0.75小时； 信息三：A型车的平均速度是B型车平均速度的1.25倍． 问题解决：求B型车的平均速度． 【答案】80千米/时 【解析】 【分析】根据路程=速度×时间的关系，结合A型车比B型车少用0.75小时的等量关系，设未知数列分式方程求解即可． 【详解】解：设B型车的平均速度为千米/时，则A型车的平均速度为千米/时． 根据题意列方程得 解得 检验：当时，， 因此是原方程的解，且符合题意． 答：B型车的平均速度为千米/时． 21. 下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成任务： 化简：． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 ．…第四步 任务一： （1）以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，其依据是______． （2）第______步开始出现错误，出现错误的原因是______． 任务二： （3）请直接写出该分式化简后的正确结果：______． 【答案】（1） 一，分式的基本性质 （2） 二，去括号时，括号前为负号，括号内各项未全部变号 （3） 【解析】 【分析】（1）化简时把化为是通分把异分母分式化为同分母分式，通分时利用的是分式的基本性质； （2）第二步出现错误，分子中去第二个括号时，括号前是负号，只把第一项的符号改变了，后两项符号没有改变； （3）根据分式的性质进行计算得到正确结果． 【小问1详解】 解：化简步骤中，第一步是通分，依据是分式的基本性质； 【小问2详解】 解：第二步中，分子去括号出现错误， 错误原因是括号前面是负号，去括号时括号中各项符号没有全部变号； 【小问3详解】 解： ． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的表达式． （2）连接，求的面积． 【答案】（1）， （2）18 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求得反比例函数，再求得点的坐标，最后再根据待定系数法求得一次函数； （2）根据题意求出点的坐标为，得到，再由三角形面积公式求解． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ， ． 反比例函数的表达式为； ， 将点，代入，得， 解得 一次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，， 解得 点的坐标为， ∵ ． 23. 某地按照城市功能特点，建设城区特色消费中心，着力发展“夜经济”，打造“夜商都”等地方夜消费品牌升级版，允许市场经营主体在规范有序的条件下，采取“店铺外摆”、“露天市场”方式进行销售．个体业主小王响应号召，采取“店铺外摆”方式销售A，B两款特价商品，两款商品的进价与售价如表所示： 类型 A型 B型 进价/（元/件） 35 5 售价/（元/件） 45 8 小王计划购进A，B两种商品共100件进行销售，设小王购进A商品x件，A，B商品全部销售完后获得的总利润为y元． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）若B商品的进货件数不少于A商品件数的3倍，当购进A，B两种商品各多少件时，可使得A，B商品全部销售完后获得的总利润最大？并求出最大的总利润． 【答案】（1） （2）当购进A商品25件，B商品75件时，可使得A、B商品全部销售完后获得的利润最大，最大的总利润为475元 【解析】 【分析】（1）由商品利润商品利润，可得解析式； （2）根据购进B商品的件数不少于A商品件数的3倍列出不等式，求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性解决最大值问题． 【小问1详解】 解：由题意可得： ， ∴与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意，可得：， 解得：， ∵， ∴， ∴随增大而增大， ∴当时，y有最大值，最大的总利润 此时购进B商品的件数为， 答：当购进A商品25件，B商品75件时，可使得A、B商品全部销售完后获得的利润最大，最大的总利润为475元． 24. 综合与实践 问题背景：若两个分式与，满足，为整数且，则称为的“差整分式”，称为“差整值”．例如：分式，，，则为的“差整分式”，“差整值”． 探究：（）已知三个分式，，，则下列结论中，正确的是_____（填序号）． ①是的“差整分式”；②是的“差整分式”；③是的“差整分式”． 探究：（）已知分式，（是关于的整式），若为的“差整分式”，且“差整值”，求整式． 探究：（）已知分式，（为整数），若为的“差整分式”，请直接写出“差整值”的值． 【答案】 （）：③ （）： （）： 【解析】 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，理解题意是解本题的关键． （）根据“差整分式”逐个计算即可解答； （）根据为的“差整分式”，“差整值”，列出等式求出整式； （）根据题意，解方程组等式两边，比较系数即可解答． 【详解】解：（），结果含分母，不是整数，故①错误； ，结果含分母，不是整数，故②错误； ，结果为整数且非，故③正确； 故答案为：③； （）解：∵为的“差整分式”，“差整值”， ∴，即， 方程两边同时乘以得：， 展开得：， 移项得：， 故整式， （）解：根据题意， 即 通分合并分子得： 展开左边： 展开右边： 比较系数得方程组： 解得： ． 答：． 25. 如图1，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点和点． （1）求一次函数的表达式． （2）如图2，点C在线段上．将沿折叠，点O恰好落在直线上的点D处．求线段的长． （3）若点P在y轴上，且是以为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先由勾股定理求解，然后根据折叠的性质以及等面积法求解即可； （3）分两种情况讨论，画出图形，根据等腰三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点和点． ∴ 解得 ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵和 ∴ ∵ ∴， ∵翻折， ∴， 设，则， ∵ ∴ 解得 ∴线段的长为； 【小问3详解】 解：如图： 当时，∵ ∴点的纵坐标为或 ∴或 当时，由于， 则， ∴此时， 综上：当是以为腰的等腰三角形，点P的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度八年级下学期期中综合评估 数学 ▶下册第15~16章◀ 说明：共有三个大题，25个小题，满分150分，作答时间120分钟． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，将正确答案的代号填在下表中． 1. 下列式子中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 我国科学家基于嫦娥六号采回的月球背面月壤样品，首次研究获得月球背面月幔的水含量小于，为认识月幔水的时空演化提供了关键约束．数据0.000002用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 一根蜡烛长，点燃后每小时燃烧，这根蜡烛点燃后剩下的长度h（单位：）与点燃时间t（单位：h）之间的关系式是（ ） A. B. C. D. 5. 将分式约分，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 小明从家步行去书店买书，匀速走了一段时间后看到路旁有一辆共享单车，小明开锁后骑行到达书店（小明家和书店在同一条笔直的公路旁，距离为），如图所示的是小明离家的距离y与时间x的关系，则小明骑行的时间为（ ） A. B. C. D. 7. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知一次函数（，k、b是常数）的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 1 2 … y … 8 6 4 2 0 … 则下列结论正确的是（ ） A. y的值随x值的增大而增大 B. 图像不经过第一象限 C. 当时， D. 不等式的解集是 9. 如图，若x为正整数，则表示的值的点落在区间（ ） A. B. C. D. 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若是正比例函数，则b的值是_____________． 12. 若关于x的分式方程无解，则k的值为______． 13. 如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是________． 14. 对于实数m，n，定义两种新运算：，，则的值为______． 15. 已知的位置如图所示，其中点B，C分别在x轴、y轴上，轴．反比例函数的图象经过点A，且，则该反比例函数的表达式为______． 16. 将正方形，，按如图所示的方式放置，点，，，…与点，，，…分别在直线与x轴上，则点的纵坐标是______． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 将直线向上平移m个单位长度，得到的直线经过点，求m的值． 20. 南靖土楼作为世界文化遗产，承载着客家人的智慧和乡愁．福州市某旅行社组织游客从福州市到南靖土楼旅游． 信息一：福州市到南靖土楼的路程约为300千米； 信息二：乘坐A型车比乘坐B型车少用0.75小时； 信息三：A型车的平均速度是B型车平均速度的1.25倍． 问题解决：求B型车的平均速度． 21. 下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成任务： 化简：． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 ．…第四步 任务一： （1）以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，其依据是______． （2）第______步开始出现错误，出现错误的原因是______． 任务二： （3）请直接写出该分式化简后的正确结果：______． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的表达式． （2）连接，求的面积． 23. 某地按照城市功能特点，建设城区特色消费中心，着力发展“夜经济”，打造“夜商都”等地方夜消费品牌升级版，允许市场经营主体在规范有序的条件下，采取“店铺外摆”、“露天市场”方式进行销售．个体业主小王响应号召，采取“店铺外摆”方式销售A，B两款特价商品，两款商品的进价与售价如表所示： 类型 A型 B型 进价/（元/件） 35 5 售价/（元/件） 45 8 小王计划购进A，B两种商品共100件进行销售，设小王购进A商品x件，A，B商品全部销售完后获得的总利润为y元． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）若B商品的进货件数不少于A商品件数的3倍，当购进A，B两种商品各多少件时，可使得A，B商品全部销售完后获得的总利润最大？并求出最大的总利润． 24. 综合与实践 问题背景：若两个分式与，满足，为整数且，则称为的“差整分式”，称为“差整值”．例如：分式，，，则为的“差整分式”，“差整值”． 探究：（）已知三个分式，，，则下列结论中，正确的是_____（填序号）． ①是的“差整分式”；②是的“差整分式”；③是的“差整分式”． 探究：（）已知分式，（是关于的整式），若为的“差整分式”，且“差整值”，求整式． 探究：（）已知分式，（为整数），若为的“差整分式”，请直接写出“差整值”的值． 25. 如图1，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点和点． （1）求一次函数的表达式． （2）如图2，点C在线段上．将沿折叠，点O恰好落在直线上的点D处．求线段的长． （3）若点P在y轴上，且是以为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $