2026年中考数学二轮专题复习： 新定义与新考法 课件

第10讲 新定义与新考法 【中考二轮复习专题】 01 考情分析 02 知识结构 03 典例精讲 目录 图片替换区 在近年中考数学命题革新中，新定义与新考法已成为考查学生核心素养的重要题型.这类题目通过创设陌生情境，要求学生现场理解并应用新概念，检验其知识迁移能力.从命题演进看，经历了从定义简单运算规则，到引入几何新元素，再到融合跨学科概念的层级跃迁，思维考查也从知识记忆转向概念生成、机械计算转向模型构建、单一解法转向策略优化. 考察方式 实验操作问题 逻辑推理型问题 实验操作问题 逻辑推理型问题 考情分析 3 新定义与新考法 阅读理解问题 方法 特点 方法 特点 运用图形的平移变换、翻折变换和旋转变换、位似变换等进行操作 动手辅助思考、挖掘隐含条件、运用知识推理、多角度探究 ①利用表格找到等量关系；②利用图表信息列举出所有的顺序情况；③利用文字信息分析其存在的规律和方法 开放性问题 实验操作问题 逻辑推理型问题 文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂 ①弄清材料中隐含的新的数学知识、结论、规律或新的解题方法；②展开联想，将获得的新知识进行迁移，建模应用 特点 方法 条件或结论给定不完全、答案不唯一 观察、比较、分析；归纳、类比、联想；将开放性问题转化为封闭性问题 方法 知识结构 例1 在多项式（其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，，下列说法： ①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 考点一 阅读理解问题-新定义型 解：，故说法①正确． 若使其运算结果与原多项式之和为0，必须出现，显然无论怎么添加绝对值，都无法使的符号为负，故说法②正确． 典例精讲 例1 在多项式（其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，，下列说法： ③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 考点一 阅读理解问题-新定义型 解：当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是 ；； ； 当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是；；．共有7种情况；有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．故选C． C 典例精讲 考点一 阅读理解问题-新公式应用型 例2 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．是以O为圆心，为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，．“会圆术”给出长l的近似值s计算公式：，当，时，= _______．（结果保留一位小数） 解：∵，∴， ∵C是弦的中点，D在上，， ∴延长可得O在上， ∴， ∴，， ∴．故答案为：． 0.1 典例精讲 考点一 阅读理解问题-新解题方法型 例3 阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴．则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则_____，_____； 解：(1)∵一元二次方程的两个根为，， ∴，． 故答案为：，； 典例精讲 考点一 阅读理解问题-新解题方法型 例3 阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴．则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； 解：(2)∵一元二次方程的两根分别为m、n， ∴，， ∴ ； 典例精讲 考点一 阅读理解问题-新解题方法型 例3 阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴．则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (3)提升：实数s，t满足且，求的值． 解：(3)∵实数s、t满足，∴s、t可以看作方程的两个根，∴，，∵，∴或，当时，，当时， 典例精讲 考点一 阅读理解问题-归纳概括型 例4 类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论。在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到 这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：。类比上述方法，解决以下问题． （1）猜想并写出：__________. 解：（1）∵ ∴ 典例精讲 考点一 阅读理解问题-归纳概括型 例4 类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论。在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到 这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：。类比上述方法，解决以下问题． （2）探究并计算：. 解：（2）由（1）可得， 典例精讲 考点一 阅读理解问题-跨学科综合 例5 一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变.甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力、、、，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是(     ) A.甲同学 B.乙同学 C.丙同学 D.丁同学 B 解：根据杠杆平衡原理：阻力×阻力臂=动力×动力 臂可得， ∵阻力×阻力臂是个定值，即水桶的重力和水桶对杆 的拉力的作用点到支点的杆长固定不变， ∴动力越小，动力臂越大，即压力最小，压力的作用点到支点的距离最远， ∵最小，∴乙同学到支点的距离最远．故选：B． 典例精讲 考点一 阅读理解问题 题型 解题策略 新定义型 新定义概念型 1.把握新概念的现实模型, 2.理解新概念的形成过程,以便于正确应用新概念进行分析、解决问题. 新定义运算型 正确理解新定义运算的含义,认真分析题目中的定义,严格按照新定义的运算顺序进行运算求解,不可脱离题目要求. 新公式应用型 1.通过对所给材料的阅读，从中获得新的数学公式或某种新的变换法则. 2.分析新公式的结构特征及适用范围. 3.将新公式转化为已学知识，寻找解决问题的突破口，进而利用新公式解决问题. 典例精讲 考点一 阅读理解问题 题型 解题策略 新解题方法型 1.认真阅读题目,理解掌握新的解题方法是解决新问题的关键； 2.体会转化思想在解新方法型阅读题中的作用，理解新方法并进行转化，用我们熟悉的知识来解决新问题. 归纳概括型 对给出的几个等式或代数式中数的变化，分析、类比、推断、猜测，归纳出等式或代数式存在的一般性规律，再用含字母的等式或代数式表示一般规律. 跨学科综合 对所跨其他学科要有一定的理解，从题目中抽离出所应用的数学理论，再利用数学知识进行解答、应用. 典例精讲 例6 如图，，且交于点，在原图形的基础上，要利用“SSS”证△AOB△DOC，可以添加的条件是       .（写出一个即可） 考点二 开放性问题-条件开放性型 解：当添加时，因为，所以，在△AOB和△DOC中具备三边对应相等，故根据“SSS”可知两个三角形全等． 同理可得，当添加时，根据“SSS”可证明两个三角形全等． OA=OD（或OB=OC） 典例精讲 考点二 开放性问题-结论开放性型 例7 如图，点E、F分别是AD上的两点，AB∥CD，AB=CD，AF=DE． 问：线段CE、BF有什么数量关系和位置关系？并加以证明． 解：数量关系：CE=BF，位置关系：CE∥BF， 证明如下：∵AB∥CD，∴∠A=∠D， ∵在△ABF和△DCE中 AB=CD，∠A=∠D，AF=DE ∴△ABF≌△DCE， ∴CE=BF，∠AFB=∠DEC，∴CE∥BF， 即CE和BF的数量关系是CE=BF，位置关系是CE∥BF． 典例精讲 考点二 开放性问题-条件和结论开放性型 例8 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2.点O是AC 的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α. (1)①当α=____度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为　　；　　　　 ②当α=　　度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为　　　；  30 1 60 1.5 典例精讲 考点二 开放性问题-条件和结论开放性型 例8 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2.点O是AC 的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α. (2)当α=90°时，判断四边形EDBC是否为菱形,并说明理由. 解：(2)当∠α=90°时,四边形EDBC是菱形. ∵∠α=∠ACB=90°,∴BC∥ED.∵CE∥AB,∴四边形EDBC是平行四边形. ∵点O是AC的中点,DE∥BC,∴OD是△ABC的中位线. ∴AD=BD=2.∴BD=BC. 又∵四边形EDBC是平行四边形, ∴四边形EDBC是菱形.   典例精讲 考点二 开放性问题-策略开放性 例9 如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上. (1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由； 解：（1）△ABC和△DEF相似. 根据勾股定理,得 ∵. ∴△ABC∽△DEF. 典例精讲 考点二 开放性问题-策略开放性 例9 如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上. (2)P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格 点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明理由). 解：（2）答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可.△P2P5D，△P4P5F，△P2P4D，△P4P5D，△P2P4P5，△P1FD. 典例精讲 考点二 开放性问题 题型 解题策略/考查目的 条件开放性型 由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向推理，逐步探寻.它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因. 结论开放性型 充分利用已知条件或图形特征，从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想、类比、猜测等，从而获得所求的结论. 条件和结论开放性型 类比、试验、创新和综合运用所学知识，建立合理的数学模型，解题方法一般不唯一或解题路径不明确，积极发散思维，优化解题方案和过程． 策略开放性 考查应用所学知识解决实际问题的能力. 典例精讲 例10 下列网格中的六边形ABCDEF是由边长为6的正方形左上角剪去边长为2的正方形所得，该六边形按一定的方法可剪拼成一个正方形. (1)根据剪拼前后图形的面积关系求出拼成的正方形的边长； (2)如图①，把六边形ABCDEF沿EH，BG剪成I，II，III三部分，请在图①中画出将II，III与I拼成的正方形，然后标出II，III变动后的位置，并指出II,III属于旋转、平移和轴对称中的哪一种变换； (3)在图②中画出一种与图①不同位置的两条裁剪线，并在图②中画出将此六边形剪拼成的正方形. 考点三 实验操作问题-裁剪与拼图类 解：(1)根据剪拼前后图形的面积相等,得出拼成的正方形的边长为 (2)如图①所示，Ⅱ、Ⅲ都属于平移. (3)如图②所示. 典例精讲 考点三 实验操作问题-折叠与对称类 例11 宽与长的比是(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感,世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示:MN=2) 第一步：在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平. 第二步：如图②,把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平. 第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处. 第四步：展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形. (1)图③中AB=　　　　(保留根号);  (2)如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由； 解：(1)在Rt△ABC中，AB= (2)结论:四边形BADQ是菱形. 理由:∵四边形ACBF是矩形，∴BQ∥AD，∴∠BQA=∠QAD， 由折叠可得∠BAQ=∠QAD，AB=AD，∴∠BAQ=∠BQA，∴AB=BQ，∴AD=BQ，∴四边形BADQ是平行四边形， ∵AB=AD，∴四边形BADQ是菱形. 典例精讲 考点三 实验操作问题-折叠与对称类 例11 宽与长的比是(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感,世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示:MN=2) 第一步：在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平. 第二步：如图②,把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平. 第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处. 第四步：展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形. (3)请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由； 解：(3)黄金矩形有矩形BCDE，矩形MNDE. 矩形BCDE是黄金矩形.理由如下: ∵AD=AB=，AN=AC=1，∴CD=AD-AC=-1， ∵BC=2，∴，∴矩形BCDE是黄金矩形； 矩形MNDE为黄金矩形.理由如下: ∵，∴矩形MNDE是黄金矩形. 典例精讲 考点三 实验操作问题-平移与旋转类 例12 如图①，等腰直角三角形OEF的直角顶点O为正方形ABCD的中心，点C，D分别在OE和OF上，现将△OEF绕点O逆时针旋转α角(0°<α<90°)，连接AF，DE(如图②). (1)在图②中，∠AOF=　　　　；(用含α的式子表示)  (2)在图②中猜想AF与DE的数量关系，并证明你的结论. 90°-α 解：(1)∵△OEF绕点O逆时针旋转α角，∴∠DOF=∠COE=α， ∵四边形ABCD为正方形，∴∠AOD=90°，∴∠AOF=90°-α. (2)AF=DE.证明如下: ∵四边形ABCD为正方形，∴∠AOD=∠COD=90°，OA=OD， ∵∠DOF=∠COE=α，∴∠AOF=∠DOE， ∵△OEF为等腰直角三角形，∴OF=OE， 在△AOF和△DOE中，AO=DO，∠AOF=∠DOE，OF=OE ∴△AOF≌△DOE(SAS)，∴AF=DE. 典例精讲 考点三 实验操作问题-作图与测量类 例13 如图，点和点在内部． （1）请你作出点，使点到点和点的距离相等，且到两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请说明作图理由． 解：（1）如图，点为的角平分线与线段的垂直平分线的交点，点到点和点的距离相等，且到两边的距离也相等； （2）理由：角的平分线上的点到角的两边的距离相等、垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．  典例精讲 考点三 实验操作问题 1.裁剪与拼图类：要审清题意,按照题目要求实际动手操作,弄明白裁剪前后图形的联系,即可正确画出图形,注意平时要养成善于动手的习惯,积累动手经验,才能快速解决问题. 2.折叠与对称类：①折叠前后的两个图形全等,图形在变换前后的形状、大小均不变;②折叠后的图形展开后成轴对称,折痕就是对称轴,对应点的连线要被对称轴垂直平分. 3.平移与旋转类：解答平移和旋转类问题,首先要掌握好平移前后、旋转前后的图形是全等形,旋转时图形上每一点的旋转角度相同;其次解答问题时要认真把握变换前后图形之间的对应关系,分类讨论,自主探究,合情推理. 典例精讲 考点三 实验操作问题 4.作图与测量类：掌握几种基本作图的方法,以及如作三角形、三角形的外接圆、内切圆等复杂作图的方法,需要进一步证明结论时,可利用所作图形,结合已知图形的性质进行推理.按要求设计图案时,要学会运用平移、轴对称、旋转、位似等图形变换知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题,结合已有的生活经验,把实际问题转化为我们熟悉的数学问题,从而使问题得到解决. 典例精讲 例14 学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下： ①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行； ②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序； ③各道工序所需时间如下表所示： 在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要        分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要        分钟． 工序 A B C D E F G 所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2 考点四 逻辑推理型问题-利用表格信息逻辑推理题 解:由题意得：9+9+7+9+7+10+2=53（分钟），即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟．假设这两名学生为甲、乙． 由题意，甲学生做工序A，乙学生同时做工序B，需要9分钟．然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G，需要9分钟．最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，需要10分钟，∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要9+9+10=28分钟，故答案为：53，28； 53 28 典例精讲 解：（1）∵小云参与了所有活动，且小云只挑战成功一个， ∴小云用活动前发放的一枚“π币”参与了鲁班锁，且挑战成功，赢得4枚“π币”，再次参与了其余四个活动，未挑战成功. 故答案为：鲁班锁. 考点四 逻辑推理型问题-利用图表信息逻辑推理题 例15 2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为π节”某校今年“π节”策划了五个活动，规则见下图： 小云参与了所有活动． （1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为      ； 鲁班锁 典例精讲 解：（2）∵小云共挑战成功两个， 且参与的第四个活动成功， ∴小云参与的第一个活动成功，且为华 容道、魔方或鲁班锁.若参与的第一个活 动为华容道，则参与的第四个活动可能 为24点、数独、魔方或鲁班锁，最终剩 下的“π币”数量可能是1枚、2枚或3枚;若参与的第一个活动为魔方，则参与的第四个活动可能为24点、数独、华容道或鲁班锁，最终剩下的“π币”数量可能是1枚、2枚或3枚;若参与的第一个活动为鲁班锁，则参与的第四个活动可能为24点、数独、华容道或魔方，最终剩下的“π币”数量可能是2枚或3枚. 考点四 逻辑推理型问题-利用图表信息逻辑推理题 例15 2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为π节”某校今年“π节”策划了五个活动，规则见下图： 小云参与了所有活动． （2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“π币”数量的所有可能取值为     ． 1枚、2枚或3枚 典例精讲 例16 小黄、小刘、小李三人进行乒乓球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现小李共当裁判9局，小刘、小黄分别进行了23局、13局比赛，在这半天的训练中，三人共进行了          局比赛，其中第9局比赛的裁判是          ． 解：∵小李共当裁判9局，∴小刘和小黄之间打了9局， ∵小刘、小黄分别进行了23局、13局比赛， ∴小刘和小李之间进行了23-9=14局比赛，小黄和小李之间进行了13-9=4局比赛，∴三人一共打了9+14+4=27局比赛， ∵小刘打了23局比赛、小黄打了13局比赛， ∴小刘当裁判4局，小黄当裁判14局，而小李当裁判9局，从1到27共14个奇数，13个偶数， ∵每一局都有胜负，∴不会出现连续做裁判的情况， ∴小黄当裁判的局为奇数局，∴第9局比赛的裁判是小黄， 故答案为：27；小黄 小黄 27 考点四 逻辑推理型问题-利用文字信息逻辑推理题 典例精讲 考点四 逻辑推理型问题 题型 方法 利用表格信息逻辑推理题 一般考查了方程相关的逻辑推理，利用表格找到等量关系，综合判断，最终选择最为合适的方案，找到问题的最优解. 利用图表信息逻辑推理题 主要考查了逻辑与推理，理解题意列举出所有的顺序情况是解题的关键．与图形结合增加了该题的趣味性，适当的作图可以帮助更好的找到该类题的解题思路. 利用文字信息逻辑推理题 解题的关键是根据题意，分析其存在的规律和方法. 典例精讲 $