第十一章 不等式与不等式组 单元测试 2025-2026学年人教版七年级数学下册

2025-2026学年七年级数学下册 第十一章 不等式与不等式组 单元测试培优卷 人教版 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知a，b满足a－b＋1＝0，0＜a＋b＋1＜1，则下列判断正确的是（　　) A．－＜a＜0 B．＜b＜1 C．－2＜2a＋4b＜1 D．－1＜4a＋2b＜0 2．定义新运算F：．若关于正数x的不等式组恰有三个整数解，则m的取值范围 (　　) A．6≤m<7 B．8≤m<9 C．10≤m<11 D．11≤m<12 3．规定：表示，中较小的数（，均为实数，且），例如：．若则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．某射击运动员在一次比赛中前6次射击共中55环，如果他要打破92环（10次射击）的纪录，第7次射击起码要超过（　　） A．6环 B．7环 C．8环 D．9环 5．如果不等式组无解，那么m的取值范围是 A．m=2 B．m＞2 C．m＜2 D．m≥2 6．已知实数x，y满足，，则下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 7．若关于 x 的不等式组 恰好只有 2 个整数解，则所有满足条件的整数 a 的值之和是（　　） A．3 B．4 C．6 D．1 8．已知关于x的不等式，下列四个结论： ①若它的解集是，则； ②当，不等式组无解； ③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是； ④若它有解，则． 其中正确的结论个数（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．若关于x的不等式组恰好有3个整数解，且关于y的方程的解是非负数，则符合条件的所有整数m之和是（　　） A． B． C． D． 10．关于x的不等式组只有两个整数解，且，要使的值是整数，则符合条件的a个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 11．如果不等式组的所有整数解之和为12，那么m的取值范围是　 　． 12．设[x]表示不超过的最大整数，，（如：．则方程的解集是　 　. 13．若关于的不等式的整数解是1，2，3，4，则的取值范围为　 　． 14．点在x轴的上方，将点A向上平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度后得到点B，点B到x轴的距离大于点B到y轴的距离，则x的取值范围是　 　． 15．关于的方程的解为非负数，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数的值的和为　 　． 三、解答题：本大题共8小题，共75分。 16．已知关于的不等式组． （1）当时，求该不等式组的解集． （2）若该不等式组有且只有个整数解，求的所有整数解的和． （3）在（）的条件下，已知关于的方程组的解满足不等式，求的取值范围． 17．我们用[a]表示小于等于 a的最大整数，例如：[[2.5]=2，[3]=3，[-2.5]=-3，请解决下列问题： （1）　 　，　 　； （2） 若[x]=3，则x的取值范围是　 　； （3）若[x-2]=-1，求x的取值范围. 18．某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客 60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满. （1）原计划租用 A 种客车多少辆?这次研学去了多少人? （2）若该校计划租用A，B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案? （3）在（2）的条件下，若A 种客车租金为每辆220元，B种客车租金为每辆 300元，应该怎样租车才最合算? 19．数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： （1）当辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为________（用含的代数式表示）； （2）求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车； （3）若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由． 20．开学前，学校要购买、两种消毒液，用于校园消毒，迎接同学们的到来．若购买3桶A消毒液和2桶B消毒液，共需资金205元；若购买2桶A消毒液和3桶B消毒液，共需资金195元． （1）每桶A消毒液、每桶B消毒液的价格分别是多少元？ （2）该校计划购买、两种消毒液共30桶，其中A消毒液的数量至少比B消毒液的数量多5桶，且不超过B消毒液的数量的2倍．请问学校共有几种购买方案，并通过计算说明，哪一种购买方案能使总费用最少？并求出最少费用． （3）开学后，李老师再次购买消毒液，回来说：“、两种消毒液都涨价了，两种消毒液涨价金额相同，且都是整数元．今天购买、两种消毒液共35桶，共需资金1505元．”请你算一算，、两种消毒液涨价金额可能是多少元？ 21．若一个不等式组A有解且解集为，则称为A的解集中点值，若A的解集中点值是不等式组B的解(即中点值满足不等式组)，则称不等式组B对于不等式组A中点包含． （1）已知关于的不等式组：，以及不等式：，请判断不等式对于不等式组是否中点包含，并写出判断过程； （2）已知关于的不等式组：和不等式组：，若对于不等式组中点包含，求的取值范围． （3）关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之和为，求的取值范围． 22．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． （1）在方程①；②；③中， 不等式组的“相依方程”是 ；（填序号） （2）若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； （3）若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求m的取值范围． 23．如图1，在平面直角坐标系中，将线段平移至对应线段，已知点，，其中m，n满足． （1）直接写出：______，______，点的坐标为______； （2）如图2，连接，，若为线段延长线上一点，过点作于点，作于点，请探究线段，之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，线段向左平移个单位，若的面积为，且，求的取值范围． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：∵a－b＋1＝0， ∴b＝a＋1. ∵ 0＜a＋b＋1＜1， ∴0＜a＋a＋1＋1＜1，即0＜2a＋2＜1. ∴－1＜a＜－，故选项A错误； ∵ b＝a＋1，－1＜a＜－， ∴0＜b＜，故选项B错误； 由－1＜a＜－，得－2＜2a＜－1，－4＜4a＜－2. 由0＜b＜，得0＜4b＜2，0＜2b＜1. ∴－2＜2a＋4b＜1，故选项C正确； －4＜4a＋2b＜－1，故选项D错误． 故答案为：C. 【分析】根据题意，借助不等式的基本性质对各选项逐一作出判断. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：∵， 对于： ∵， ∴， 即， 对于： ∵， ∴， 即， ∴不等式组解为 要求恰有三个整数解，即 ∴需， ∴． 故选：B． 【分析】根据新运算定义，分别计算两个不等式，得到解集为. 要求恰有三个整数解，即，故需，解得m的取值范围即可． 3．【答案】B 【解析】【解答】解：由题意得：， 解得：； 故答案为：B． 【分析】先根据新定义得到，再利用一元一次不等式求解法则进行计算即可． 4．【答案】B 【解析】【解答】解：设第7次射击的成绩为环，由于最后三次射击最多共中30环，要破纪录则需有：， 解得：， ∴第7次射击要超过7环才有可能破纪录． 故答案为：B． 【分析】根据本第8，9，10次的成绩最高都为10环，列出不等式，求解即可． 5．【答案】D 【解析】【解答】解： 解①得，x＜2， ∵不等式组无解， ∴m≥2， 故答案为：D． 【分析】先求出不等式组的解集，再结合“不等式组无解”可得m≥2，从而得解. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故A选项错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故B选项错误，不符合题意； ∵，， ∴，故C选项正确，符合题意； ∵，， ∴，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【分析】A、先利用等式的性质可得 ，再代入到不等式中得； B、同A先得，再代入到不等式得； C、由和可得； D、同C可得． 7．【答案】C 【解析】【解答】解：对不等式组 ， 解不等式①，得x＜2， 解不等式②，得 ， ∵不等式组只有2个整数解， ∴这两个整数解只能是1，0， ∴ ，解得： ， 则整数a的值是0，1，2，3，和为6． 故答案为：C． 【分析】先解不等式组中的每个不等式，然后由不等式组有2个整数解可得关于a的不等式组，解不等式组即可求得a的取值范围，进而可确定a的整数值，进一步即可求出答案． 8．【答案】C 【解析】【解答】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为：， 若它的解集是，则， 解得：，故①符合题意； ②当时，，不等式无解，故②符合题意； ③若它的整数解仅有3个，则整数解为：2、3、4， ∴， 解得：，故③不符合题意； ④若它有解，则， 解得：，故④符合题意； 综上所述，符合题意的有①②④，共个， 故答案为：C． 【分析】先利用一元一次不等式的定义及计算方法求出不等式组的解集，再逐项分析判断即可. 9．【答案】B 【解析】【解答】解： 不等式组 ，恰好有3个整数解，它们应该是3，2，1，故 又关于y的方程 解得 得到关于m的不等式组 解得 符合条件的所以m值：-3，-2，-1，0，1 它们的和是-5 故答案为：B 【分析】根据题意解不等式组和方程，找到公共解集；公共解集又组成新的不等式组，再次求解即能找到符合条件的所有整数。 10．【答案】B 【解析】【解答】解： 解①得：； 解②得：， 由题意知不等式组的解集为：， 由于不等式组只有两个整数解，则； 由得：， ∴， 解得：； ∵的值是整数， ∴或3， ∴或， 所以a的取值共有4个． 故答案为：B． 【分析】由不等式组只有两个整数解可确定t的取值范围，再由可确定a的取值范围，根据的值是整数即可确定符合条件a的个数． 11．【答案】或 【解析】【解答】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为， 不等式组的所有整数解之和为12，， 中含有的整数解为5，4，3或5，4，3，2，1，0，，， 当中含有的整数解为5，4，3，则； 当中含有的整数解为5，4，3，2，1，0，，，则； 综上所述，m的取值范围是或． 故答案为：或． 【分析】本题主要考查不等式组的整数解问题，关键在于正确求解不等式组的解集。首先解不等式组得到解集为。根据题目条件，不等式组的所有整数解之和为12，需要分两种情况讨论： 当整数解为5、4、3时；当整数解为5、4、3、2、1、0、、时。通过这两种情况的讨论，即可得出最终的答案。 12．【答案】或 【解析】【解答】解：设， 当时，则 则成立 即是方程的一个解； 当时 若，则为正整数， 即 解得不等式组无解； 若，则， 即方程无解； 当时，则， 当时，； 即 当时， 即 解得不等式组无解. 故答案为：或. 【分析】为便于计算，可设，其中是不超过的最大整数，此时再分类讨论，当时，再分别讨论当或时两种情况；当时；当时，再分别讨论当时或时两种情况，再分别把和代入到方程中，逐一计算议程或不等式（组）即可. 13．【答案】 【解析】【解答】解：∵， ∴， （1）当a=0时，得，不成立； （2）当a＞0时，得 ∵关于的不等式的整数解是1，2，3，4， ∴ 解得与a＞0不符； ∴当时，得， 同理∵不等式的整数解是1，2，3，4， ∴； 故答案为： 【分析】首先需要将不等式0≤ax+5≤4进行分解，得到关于ax的不等式。然后，根据a的正负情况进行讨论，分别求出a的取值范围。最后，通过整数解的条件，进一步确定a的具体范围。 14．【答案】 【解析】【解答】解∶ ∵点向上平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度后得到点B， ∴B的坐标为， ∵点在x轴的上方，点B到x轴的距离大于点B到y轴的距离， ∴， ∴ ∴ 解得， 故答案为∶． 【分析】先利用点坐标平移的特征可得B的坐标为，再结合“点在x轴的上方，点B到x轴的距离大于点B到y轴的距离”可得，再求出x的取值范围即可. 15．【答案】5 【解析】【解答】解：k-2x=3（k-2）， k-2x=3k-6， 2x=6-2k， x=3-k， ∵k-2x=3（k-2）的解为非负数， ∴3-k≥0， 解得：k≤3， 解不等式x-2（x-1）≤3，得：x≥-1， 解不等式≥x，得：x≤k， ∵不等式组有解， ∴k≥-1， 则-1≤k≤3， ∴符合条件的整数k的值的和为-1+0+1+2+3=5， 故答案为：5． 【分析】先求出方程的解及不等式组的解集，根据不等式组有解即可求出k的取值范围，再根据题目要求求出答案。 16．【答案】（1）解：当时，不等式组为， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为； （2）解：， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且只有个整数解，为﹣1和0， ∴， 即， 解得， ∴的整数解为，，， ∴； （3）解：， 整理方程组可得，， 得，， 解得， 把代入得，， ∴， ∴方程组的解为， 把以及代入不等式，得， ， 解得． 【解析】【分析】（）把代入不等式组，再求解不等式组即可求解； （）求出不等式组的解集，根据不等式组只有两个整数解确定的取值范围，继而可得的整数解，相加即可求出的值； （）求出方程组的解，把方程组的解和的值代入不等式，解不等式即可求解。 17．【答案】（1）-5；2 （2） （3）解：∵[x-2]=-1， ∴-1≤x-2<0， ∴-1+2≤x-2+2<0+2， ∴1≤x<2. 【解析】【解答】解：（1）由题意得：[-5]=-5，， 故答案为：-5，2. （2）∵[x]=3 ∴x的取值范围是3≤x<4， 故答案为：3≤x<4. （3）∵[x-2]=-1， ∴-1≤x-2<0， ∴-1+2≤x-2+2<0+2， ∴1≤x<2. 【分析】（1）根据题目所给信息求解； （2）已知[x]=3，根据定义确定x的取值范围； （3）已知[x-2]=-1，先根据定义确定x-2的取值范围，再求解x的取值范围. 18．【答案】（1）解：设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了(45x+30)人. 根据题意，得45x+30=60(x-6)， 解得x=26， ∴45x+30=45×26+30=1200. 答：原计划租用 A 种客车26 辆，这次研学去了1200人 （2）解：设租用B种客车y辆，则租用A种客车(25-y)辆， 根据题意，得， 解得5≤y≤7. 又∵y为正整数， ∴y可以为5，6，7， ∴有3种租车方案： 方案1：租用 5 辆 B 种客车，20 辆 A 种客车； 方案2：租用 6 辆 B 种客车，19 辆 A 种客车； 方案3：租用 7 辆 B 种客车，18 辆 A 种客车 （3）解：选择方案1的总租金为300×5+220×20=5900(元)； 选择方案2的总租金为300×6+220×19=5980(元)； 选择方案3的总租金为300×7+220×18=6060(元)； ∵5900<5980<6060 ∴租用 5 辆 B 种客车，20辆 A 种客车最合算 【解析】【分析】(1)设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了(45x+30)人根据这次去研学的人数不变，可得出关于x的一元一次方程，解方程即可； (2)设租用B种客车y辆，则租用A种客车(25-y)辆，根据“租用的25辆客车可乘坐人数不少于1200，且租用的B种客车不超过7 辆”，可得出关于y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出各租车方案； (3)利用总租金=每辆A种客车的租金×租用A种客车的辆数+每辆B种客车的租金×租用B种客车的辆数，可分别求出选择各方案所需的总租金，比较后，即可得出结论. 19．【答案】（1）解：根据题意，可得 1.2+0.2（n-1） =1.2+0.2n-0.2 =1+0.2n（m） 答：当n辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为（1+0.2n）m （2）解：当L=2.6时，0.2n+1=2.6 解得，n=8 2×8=16（辆） 答：该超市直立电梯一次最多能转运16辆购物车． （3）解：有3种方案， 设用扶手电梯运输x次，则直立电梯运输（5-x）次， 由（2）得：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车， 解得： 因为x为正整数， 所以x=3，4，5， 所以共有3种运输方案： ①扶手电梯运3次，直立电梯运2次； ②扶手电梯运4次，直立电梯运1次； ③扶手电梯运5次。 【解析】【分析】（1）根据图①可知，一辆购物车车身长1.2m，每增加一辆购物车，车身增加0.2m，列出函数关系式； （2）把L=2.6代入（1）中的解析式，求出n的值即可； （3）设用扶手电梯运输x次，则直立电梯运输（5-x）次，根据题意得到，求出m的取值范围，然后再根据x的取值，最后再确定据此方案即可 （1）解：根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加， 所以辆购物车叠放时长， 故答案为：． （2）解：因为该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列， 因此由（1）可得， 解得， （辆） 答：该超市直立电梯一次最多能转运16辆购物车． （3）解：有3种方案， 设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次， 由（2）得：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车， ， 解得：， 为正整数， ，4，5， 共有3种运输方案： ①扶手电梯运3次，直立电梯运2次； ②扶手电梯运4次，直立电梯运1次； ③扶手电梯运5次． 20．【答案】（1）解：设每桶A消毒液的价格是元，每桶B消毒液的价格是元， 由题意可得∶， 解得， 答∶每桶A消毒液的价格为45元，每桶B消毒液的价格为35元； （2）解：设学校决定购买A种消毒液桶，则购买B种消毒液桶． 由题意得∶， 解得， 取整数，即； 学校共有三种购买方案∶ 方案1∶购买A种消毒液18桶，购买B种消毒液12桶； 方案2∶购买A种消毒液19桶，购买B种消毒液11桶； 方案3∶购买A种消毒液20桶，购买B种消毒液10桶； 方案1总费用是∶元； 方案2总费用是∶元； 方案3总费用是∶元； 方案1能使总费用最少，且最少费用是1230元； （3）解：设两种消毒液涨价金额是元，李老师今天购买A种消毒液桶， 则购买B种消毒液桶． 由题意可得∶， ， 均为正整数， 答∶A、B两种消毒液涨价金额可能是2元、4元或6元． 【解析】【分析】 （1）等量关系式：购买3桶A消毒液的费用+购买2桶B消毒液的费用=205元；购买2桶A消毒液的费用+购买3桶B消毒液的费用元；据此列方程组，即可求解． （2）设学校决定购买A种消毒液桶，则购买B种消毒液桶，然后根据题意列不等式组，求解即可解答； （3）设两种消毒液涨价金额是元，李老师今天购买A种消毒液桶，则购买B种消毒液桶，根据共需资金1505元列二元一次方程再根据均为正整数，即可解答． （1）设每桶A消毒液的价格是元，每桶B消毒液的价格是元， 由题意可得∶， 解得， 答∶每桶A消毒液的价格为45元，每桶B消毒液的价格为35元； （2）设学校决定购买A种消毒液桶，则购买B种消毒液桶． 由题意得∶， 解得， 取整数，即； 学校共有三种购买方案∶ 方案1∶购买A种消毒液18桶，购买B种消毒液12桶； 方案2∶购买A种消毒液19桶，购买B种消毒液11桶； 方案3∶购买A种消毒液20桶，购买B种消毒液10桶； 方案1总费用是∶元； 方案2总费用是∶元； 方案3总费用是∶元； 方案1能使总费用最少，且最少费用是1230元； （3）设两种消毒液涨价金额是元，李老师今天购买A种消毒液桶， 则购买B种消毒液桶． 由题意可得∶， ， ； 均为正整数， 答∶A、B两种消毒液涨价金额可能是2元、4元或6元． 21．【答案】（1）解：不等式对于不等式组中点包含，判断过程如下： 解不等式组：，得， 的中点值为， 在范围内， 不等式对于不等式组中点包含； （2）解：对于不等式组中点包含， 不等式组和不等式组有解， 解不等式组：，得， 不等式组：，得， ， 解得：， 当时，不等式组的解集为，不等式组的解集为， 的中点值为， 对于不等式组中点包含， ， 解得：， 又， ． （3）解：解不等式组得，，解不等式组得，， 的中点值为， 不等式组对于不等式组中点包含， ， 解得：， 所有符合要求的整数之和为， 整数可取，、，，或整数可取、、、、、，． 或． 【解析】【分析】（1）先求出不等式组A的解集，再结合A的中点值为，最后判断即可； （2）先求出不等式组C和D的解集，再求出C的中点值为，结合D对于不等式组中点包含，可得，最后求出m的取值范围即可； （3）先求出不等式组E和F的解集，再结合不等式组对于不等式组中点包含，可得，求出m的取值范围，再求出n的取值范围即可. 22．【答案】（1）② （2）解： 由①得： 由②得： 所以不等式组的解集为： ， 根据“相依方程”的含义可得： 解得： （3）解： 由①得： 由②得： ∴不等式组的解集为： 此时不等式组有4个整数解， ∴整数解为2，3，4，5， ∴ 解得； 因为， 解得： 根据“相依方程”的含义可得： 即 解得：， 即 综上： 【解析】【解答】 （1）解：①， 解得： ②， 整理得： 解得： ③， 解得： 解不等式可得： 解不等式可得： 所以不等式组的解集为： 根据新定义可得：方程②是不等式组的“相依方程”． 故答案为：②； 【分析】（1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义即可求解； （2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组解不等式组可得答案； （3）先解不等式组可得， 再根据此时不等式组有4个整数解，求出；解得到，根据“相依方程”的含义求出即可求解． （1）解：①， 解得： ②， 整理得： 解得： ③， 解得： 解不等式可得： 解不等式可得： 所以不等式组的解集为： 根据新定义可得：方程②是不等式组的“相依方程”． 故答案为：②； （2）解： 由①得： 由②得： 所以不等式组的解集为： ， 根据“相依方程”的含义可得： 解得： （3）解： 由①得： 由②得： ∴不等式组的解集为： 此时不等式组有4个整数解， ∴整数解为2，3，4，5， ∴ 解得； 因为， 解得： 根据“相依方程”的含义可得： 即 解得：， 即 综上： 23．【答案】（1），4， （2）解：如图1，连接，设直线与轴相交于 ； ， 又； ； ； ； 即. （3）解：①当在轴右侧移动时， 如图2所示，过作轴的平行线，分别过作轴的平行线，交点分别为， 结合平移可得：， ； ； ； ； ； ； ； ； ②当在轴左侧移动时，如图3所示， 同理可得：； ； ， ； ； ； ； ， 综上可知：或. 【解析】【解答】（1）解：由题意可得，， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 【分析】（1）绝对值和算术平方根具有非负性，二者之和为0，只能二者同时为0，所以，再解方程组即可； （2）如图1，连接，设直线与轴相交于 ，观察图形，FH与FG之间没有明显的相等或倍数的数量关系，不妨试试求其具体长度，由；可得，由，可以得到，带入到上式，即可得到二者关系； （3）①当在轴右侧移动时，如图2所示，过作轴的平行线，分别过作轴的平行线，交点分别为，结合平移可得：，求解；结合，再解不等式组即可；②当在轴左侧移动时，如图3所示，同理可得：；同法进一步求解即可. （1）解：由题意可得，， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； （2）解：如图1，连接，设直线与轴相交于 ； ， 又； ； ； ； 即. （3）解：①当在轴右侧移动时， 如图2所示，过作轴的平行线，分别过作轴的平行线，交点分别为， 结合平移可得：， ； ； ； ； ； ； ； ； ②当在轴左侧移动时，如图3所示， 同理可得：； ； ， ； ； ； ； ， 综上可知：或. 学科网（北京）股份有限公司 $