专题04因式分解压轴专项训练(题型突破+解题思路)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题04因式分解压轴专项训练 【温馨提示】10大高频压轴题型全覆盖，每类配经典母题精讲 + 梯度跟踪专练。所有题目附标准答案 + 思路分析 + 步骤详解，无基础题，学生提分、教师备课直接用，可编辑打印。 题型01.因式分解的综合运算 题型02.因式分解与整体代入求值 题型03.完全平方公式求参数 题型04.平方非负性求值计算 题型05.因式分解判定三角形形状 题型06.因式分解几何计算题 题型07.分组分解法综合应用 题型08.因式分解简便运算 题型09.新定义运算题 题型10.因式分解中配方法的综合应用 题型01.因式分解的综合运算 题型特征 1. 以因式分解为核心工具，简化纯数字/代数式的运算 2. 直接硬算大数、高次幂步骤繁琐，必须先因式分解再计算 3. 典型考法：大数平方差、乘法凑整、整体代入求值、多项式化简 4. 多为填空、选择题，也出现在解答题的计算部分 5. 不含几何、三角形等拓展场景，纯运算类问题 解题步骤 1. 审题：观察算式结构，判断适用的因式分解方法 2. 分解：按“先提公因式，再套公式”的顺序分解多项式 3. 计算：分解后凑整消元，简化运算步骤 4. 检查：核对分解是否彻底、计算无符号系数错误 【典例】已知，，那么______． 【跟踪专练1】分解因式：___________． 【跟踪专练2】在括号内填一个单项式，使多项式（   ）化简后能进行因式分解，在单项式①；②；③中，符合要求的有（   ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【跟踪专练3】若多项式可因式分解成，其中，，，均为整数，则的值是（   ） A．5 B．6 C．25 D．30 【跟踪专练4】因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型02.因式分解与整体代入求值 题型特征 1. 题干给出含未知数的多项式和关于未知数的条件式，不直接求单个未知数的值 2. 核心是通过因式分解变形多项式，凑出与已知条件式相同的整体 3. 常见形式：已知 a+b、ab、a2+b2 等整体，求高次多项式的值 解题步骤 1. 审题：明确已知条件的整体形式，确定目标多项式的结构 2. 变形：对目标多项式因式分解，凑出与已知条件相同的整体 3. 代入：将已知的整体值直接代入变形后的式子，计算结果 4. 检查：确认因式分解正确，代入过程无计算错误 【典例】已知，，则代数式________． 【跟踪专练1】已知，则____________________． 【跟踪专练2】若，则的值为（   ） A．8 B．10 C．16 D．20 【跟踪专练3】已知实数m、n、p满足，，，则的值等于（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【跟踪专练4】已知：，，，求的值． 题型03.完全平方公式求参数 题型特征 1. 题干给出形如二次三项式的多项式，说明其为完全平方式，求字母参数的值 2. 核心是利用完全平方公式的结构特征：a22ab+b2=(ab)2，匹配对应项的系数关系 3. 常见形式：一次项系数含参数、常数项含参数，或多项式含多个参数 4. 多为填空、选择题，部分出现在解答题的基础部分 5. 不掺杂复杂拓展应用，重点考查完全平方公式的结构理解 解题步骤 1. 审题：明确多项式为完全平方式，找准平方项与中间交叉项 2. 对应：将多项式与完全平方公式的标准形式 a22ab+b2 一一对应 3. 列等式：根据交叉项系数关系（中间项=±2×两个平方项底数的乘积）列出含参数的方程 4. 求解：解方程得到参数的值，注意正负两种情况 5. 验证：将参数代回原式，检查是否符合完全平方式的结构 【典例】若关于的二次三项式能被整除，则的值为_____． 【跟踪专练1】若多项式能用完全平方公式分解因式，则整数______． 【跟踪专练2】若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则______． 【跟踪专练3】若是完全平方式，则实数的值为（   ） A． B．或 C．5 D．4 【跟踪专练4】若一个数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为，所以10是“完美数”，再如：（、是整数），所以也是“完美数”． (1)通过计算判断45是否为“完美数”； (2)已知（、是整数），要使为“完美数”，试求出符合条件的的值． 题型04.平方非负性求值计算 题型特征 1. 题干给出含平方项的多项式等式，通过配方或因式分解，利用平方的非负性求字母的值 2. 核心原理：任何实数的平方都大于等于0，若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0 3. 常见形式：a2 + b2 + .... = 0 或可配方为多个平方和为0的形式 解题步骤 1. 审题：观察等式结构，判断是否能通过配方转化为多个平方和的形式 2. 配方：将多项式拆项、添项，凑成完全平方式的和 3. 利用非负性：根据平方≥0，且和为0，得出每个平方项的值为0 4. 求解：解出每个字母的值 5. 代入计算：将求出的字母值代入目标代数式，计算最终结果 【典例】若代数式的值等于0时，__________，__________． 【跟踪专练1】已知，则_______． 【跟踪专练2】若实数、满足等式，则的值为_______． 【跟踪专练3】若，则的值为___________． 【跟踪专练4】已知实数a，b满足，则的值为______． 题型05.因式分解判定三角形形状 题型特征 1. 给出三角形三边组成的多项式等式，不用分别求边长 2. 先因式分解变形式子，推出三边之间的数量关系 3. 用来判断是等腰、等边、直角三角形 4. 大多是解答题，也有少量填空选择题 解题步骤 1. 移项：把所有项统一移到等式左边，右边化为0 2. 分解：对左边多项式进行因式分解 3. 判关系：根据乘积为0，得出两条边相等或三边平方关系 4. 定形状：根据边的关系，确定三角形具体形状 【典例】已知a，b，c是的三边，且满足，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【跟踪专练1】一个三角形的两边长为x，y，且使 ，则此三角形的形状按边分一定为（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．无法判断 【跟踪专练2】已知的三边分别为a、b、c，若且，则的面积为________ 【跟踪专练3】按要求解答下列问题： (1)若关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围； (2)已知a，b，c是的三条边，且满足，请判断的形状并说明理由． 【跟踪专练4】课本复习题有道题是“如果，那么或利用所学知识，尝试求解方程”“如果，那么或”在数学中通常称为零乘积性质．方程可化为根据零乘积性质，若，则或，因此或，解得或所以方程的解为或，请利用零乘积性质完成下列各题 (1)求解方程； (2)已知，当，求的值； (3)已知的三边满足，请判断的形状，并说明理由． 题型06.因式分解几何计算题 题型特征 1. 结合正方形、长方形组合图形，求边长、面积相关计算 2. 给出图形面积多项式式子，需要用因式分解化简求解 3. 只考图形边长、面积基础计算，不考复杂证明 4. 填空、选择、基础解答题都会出现 解题步骤 1. 看图列式：根据图形边长，列出面积相关多项式 2. 因式分解：对列出的式子分解化简 3. 对应边长：把分解后的因式对应图形的长和宽 4. 代入数据，算出最终面积或边长结果 【典例】计算：图1为某校七（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分，分别表示七（1）（2）两个班级的基地面积．若，则________ ． 【跟踪专练1】边长分别为a和b的两个正方形按图的样式摆放，如果阴影部分的面积为58，，则_____． 【跟踪专练2】如图，有A、B、C三种不同规格型号的卡片若干张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，其中．从这些卡片中取出m张卡片（每种卡片至少取一张），无缝隙、无重叠地拼成一个正方形，则m的值可以是（    ） A．20 B．24 C．25 D．28 【跟踪专练3】.“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】 如图，有若干个边长为a的小正方形纸片（A类）、宽为a长为b的长方形纸片（B类）以及边长为b的大正方形纸片（C类）．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． (1)用若干个A类、B类、C类纸片拼成图1中的长方形，根据图形多项式可以因式分解得_________． (2)现用x张A卡片、y张B卡片、z张C卡片拼出一个长为，宽为的长方形，试求出的值=________； 【知识迁移】 (3)根据图2：若，则的值=_____． 【跟踪专练4】按照要求解答： (1)如图①，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为（）的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积；可以验证乘法公式是______． (2)类似地，在棱长为的正方体上挖去一个棱长为（）的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中几何体的体积．由此可以得到的因式分解的等式是______，并证明这个等式． (3)结合上述经验，将因式分解的结果是______． 题型07.分组分解法综合应用 题型特征 1. 多项式项数多，两项、三项常规方法无法直接分解 2. 需要先分组，再分别提公因式或套用公式分解 3. 只能用分组分解法才能彻底分解因式 4. 填空选择、基础解答计算题都会出现 解题步骤 1. 观察多项式项数，合理划分分组 2. 每组分别提公因式或用公式分解 3. 整体再次提取公共因式 4. 检查分解是否彻底，不能再分解为止 【典例】在对多项式进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解： 原式，这种方法叫做分组分解法．请你运用分组分解法，把分解因式的结果为___________． 【跟踪专练1】要把多项式分解因式，可以把它的前两项和后两项分别分成一组，并在前面一组提出a，后面一组提出b，从而得到．这时，由于中又有公因式，于是可提公因式，从而得到，因此有．这种分解因式的方法叫作“分组分解法”，仿照材料中提供的方法把分解因式，结果为______． 【跟踪专练2】在对多项式进行因式分解中，有一些多项式用提公因式法和公式分解法无法直接分解的．将一个多项式进行重新分组后，可用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组因式分解法．例如：．下列说法： ①因式分解：； ②若a，b，c是的三边长，且满足，则为等腰三角形； ③若a，b，c为实数且满足，则以a，b，c作为三边能构成三角形． 其中正确的个数有（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【跟踪专练3】在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解因式的方法称为“拆项添项法”．如： 例1：分解因式： 解：原式 例2：分解因式： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）上述材料中例2括号中应填入________； （2）运用拆项添项法分解因式：________． 【跟踪专练4.】阅读理解：常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有很多的多项式只用上述方法就无法分解，如，但我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边长a，b，c，满足，试判断的形状． 题型08.因式分解简便运算 题型特征 1. 都是大数乘法、平方数值计算，直接硬算麻烦易错 2. 能用因式分解、平方差、完全平方公式简化计算 3. 不用复杂步骤，分解后就能快速口算得出结果 4. 多为填空、选择题，少量基础解答计算题 解题步骤 1. 观察算式，匹配对应的因式分解公式 2. 套公式变形，把原式拆成乘积形式 3. 约分凑整，简化数值计算 4. 算出最终结果，检查计算对错 【典例】利用因式分解计算：_____． 【跟踪专练1】已知，， ∴， 计算______． 【跟踪专练2】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】设，则与最接近的正整数是(      ) A． B． C． D． 【跟踪专练4】利用因式分解计算：． 题型09.新定义运算题 题型特征 1. 题目自定义全新运算符号、运算规则 2. 按新定义列式后，必须用因式分解化简计算 3. 题型新颖，只考公式变形与分解基础运用 4. 多为填空、选择，少量基础解答题 解题步骤 1. 读懂题目给出的新定义运算规则 2. 严格按照定义，列出对应多项式式子 3. 对式子进行因式分解化简 4. 代入数值，算出最终结果 【典例】定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个“智慧优数”，可以利用进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，则第6个“智慧优数”是________． 【跟踪专练1】定义：若一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，，所以13是“和谐数”，下列说法不正确的是（    ） A．17是和谐数 B．（，是整数）不一定是和谐数 C．如果，都是和谐数（），则也是“和谐数” D．当时，（，是整数）是“和谐数” 【跟踪专练2】定义：如果一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1，我们把这样的正整数称为“平方优数”．例如，，那么24是平方优数，若将平方优数从小到大排列，则第3个平方优数是______；第48个平方优数是_______． 【跟踪专练3】对x、y定义一种新运算T，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，，则结论正确的个数为（    ） （1）a＝1，b＝2； （2）若，则； （3）若，m、n均取整数，则或或； （4）若，当n取s、t时，m对应的值为c、d，当时，； （5）若对任意有理数x、y都成立（这里T（x、y）和T（y、x）均有意义），则 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【跟踪专练4】定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，则8，16，24都是“和谐数”． (1)特例感知：32 “和谐数”，2026 “和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为199，求阴影部分的面积． 题型10.因式分解中配方法的综合应用 题型特征 1. 多项式无法直接提公因式、套公式分解 2. 需要拆项添项配方，凑成完全平方式再分解 3. 常用来求代数式最值、比较式子大小 4. 多为填空选择压轴题，也有解答小题 解题步骤 1. 观察多项式结构，确定需要配方的项 2. 拆项添项，凑出标准完全平方式 3. 配方后再利用公式因式分解变形 4. 根据题意求值、判大小或求最值 【典例】将多项式变形为的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：， ，，当时，多项式有最小值． 已知，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为，且，均为正整数，则当时，的最大值为______． 【跟踪专练1】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形，并结合非负数的意义来解决问题． 例如．可知当，即时，有最小值，最小值是2． 根据阅读材料，解决下列问题： (1)代数式的最小值为________； (2)已知的三边长a，b，c，且满足，求边c的取值范围； (3)已知，，试比较P，Q的大小． 【跟踪专练2】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：用配方法分解因式：， 解：原式 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：______； (2)用配方法分解因式：． 【跟踪专练3】阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．例如：． (1)解决问题，运用配方法将下列的形式进行因式分解：； (2)深入研究，已知a、b、c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【跟踪专练4】阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．配方法在因式分解、求代数式的值、解方程等方面有广泛应用． 例如：用配方法分解因式． 解： 请仿照上述方法解答下列问题： (1)用配方法分解因式：； (2)已知，求的值； (3)试比较多项式与的大小关系． 【跟踪专练5】【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求的最小值． 解：． ，， 当时，有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：________； (2)已知，求的值． (3)已知，，试比较，的大小． (4)若为有理数且满足，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04因式分解压轴专项训练 【温馨提示】10大高频压轴题型全覆盖，每类配经典母题精讲 + 梯度跟踪专练。所有题目附标准答案 + 思路分析 + 步骤详解，无基础题，学生提分、教师备课直接用，可编辑打印。 题型01.因式分解的综合运算 题型02.因式分解与整体代入求值 题型03.完全平方公式求参数 题型04.平方非负性求值计算 题型05.因式分解判定三角形形状 题型06.因式分解几何计算...题 题型07.分组分解法综合应用 题型08.因式分解简便运算 题型09.新定义运算题 题型10.因式分解中配方法的综合应用 题型01.因式分解的综合运算 题型特征 1. 以因式分解为核心工具，简化纯数字/代数式的运算 2. 直接硬算大数、高次幂步骤繁琐，必须先因式分解再计算 3. 典型考法：大数平方差、乘法凑整、整体代入求值、多项式化简 4. 多为填空、选择题，也出现在解答题的计算部分 5. 不含几何、三角形等拓展场景，纯运算类问题 解题步骤 1. 审题：观察算式结构，判断适用的因式分解方法 2. 分解：按“先提公因式，再套公式”的顺序分解多项式 3. 计算：分解后凑整消元，简化运算步骤 4. 检查：核对分解是否彻底、计算无符号系数错误 【典例】已知，，那么______． 【答案】100 【分析】先对所求多项式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算即可． 【详解】解： ， 将，代入得：． 【跟踪专练1】分解因式：___________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解：原式 ． 【跟踪专练2】在括号内填一个单项式，使多项式（   ）化简后能进行因式分解，在单项式①；②；③中，符合要求的有（   ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】分别将三个单项式代入原多项式，化简后用初中因式分解方法判断是否能分解，统计符合要求的个数即可． 【详解】解：对于①：，能进行因式分解； 对于②：，能进行因式分解； 对于③：，不能进行因式分解； 综上，符合要求的有个． 【跟踪专练3】若多项式可因式分解成，其中，，，均为整数，则的值是（   ） A．5 B．6 C．25 D．30 【答案】A 【分析】本题利用分组分解法对多项式进行因式分解，得到符合形式的因式后，代入计算所求式子的值即可. 【详解】先整理原多项式，再用分组分解法因式分解：整理原式得： ， ， 得，乘以的情况不改变绝对值结果， 计算得：，， 【跟踪专练4】因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用提公因式法因式分解即可； （2）先提取公因式，再利用十字相乘法因式分解即可； （3）利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可； （4）利用分组分解法进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 题型02.因式分解与整体代入求值 题型特征 1. 题干给出含未知数的多项式和关于未知数的条件式，不直接求单个未知数的值 2. 核心是通过因式分解变形多项式，凑出与已知条件式相同的整体 3. 常见形式：已知 a+b、ab、a2+b2 等整体，求高次多项式的值 解题步骤 1. 审题：明确已知条件的整体形式，确定目标多项式的结构 2. 变形：对目标多项式因式分解，凑出与已知条件相同的整体 3. 代入：将已知的整体值直接代入变形后的式子，计算结果 4. 检查：确认因式分解正确，代入过程无计算错误 【典例】已知，，则代数式________． 【答案】 【分析】先对所求代数式进行因式分解，再将已知，代入计算即可． 【详解】解： 将，代入得，原式 ． 【跟踪专练1】已知，则____________________． 【答案】2 【详解】解：原式 ． 【跟踪专练2】若，则的值为（   ） A．8 B．10 C．16 D．20 【答案】B 【分析】把所求式子变形为，进一步可变形为，最后变形为，据此代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 【跟踪专练3】已知实数m、n、p满足，，，则的值等于（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】将三个等式相加后配方，利用非负数的性质求出m、n、p的值，再计算和即可． 【详解】解：将三个已知等式左右分别相加，得， 整理得， 对左边配方得， 即， ∵ 任意实数的平方为非负数，三个非负数的和为0， ∴ 每个平方均为0， ∴，，， ∴． 【跟踪专练4】已知：，，，求的值． 【答案】3 【分析】根据题意求出，把所求式子变形为，再利用完全平方公式分解因式得到，据此代入求值即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ． 题型03.完全平方公式求参数 题型特征 1. 题干给出形如二次三项式的多项式，说明其为完全平方式，求字母参数的值 2. 核心是利用完全平方公式的结构特征：a22ab+b2=(ab)2，匹配对应项的系数关系 3. 常见形式：一次项系数含参数、常数项含参数，或多项式含多个参数 4. 多为填空、选择题，部分出现在解答题的基础部分 5. 不掺杂复杂拓展应用，重点考查完全平方公式的结构理解 解题步骤 1. 审题：明确多项式为完全平方式，找准平方项与中间交叉项 2. 对应：将多项式与完全平方公式的标准形式 a22ab+b2 一一对应 3. 列等式：根据交叉项系数关系（中间项=±2×两个平方项底数的乘积）列出含参数的方程 4. 求解：解方程得到参数的值，注意正负两种情况 5. 验证：将参数代回原式，检查是否符合完全平方式的结构 【典例】若关于的二次三项式能被整除，则的值为_____． 【答案】3 【分析】本题考查了整式的除法，根据题意设出多项式分解因式的结果是解题的关键． 根据题意设出多项式分解因式的结果，利用多项式乘多项式法则及多项式相等的条件即可求出的值． 【详解】解：根据题意可设， 解得 则的值为． 故答案为：． 【跟踪专练1】若多项式能用完全平方公式分解因式，则整数______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是熟悉完全平方公式的结构特征，即，并据此建立关于的等式求解． 根据完全平方公式的结构，将多项式与对应，确定，，从而得到，进而求出整数的值． 【详解】解： 多项式能用完全平方公式分解因式， ． ， ． ． 故答案为：． 【跟踪专练2】若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则______． 【答案】5或 【分析】本题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， ， 或， 故答案为：5或． 【跟踪专练3】若是完全平方式，则实数的值为（   ） A． B．或 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用知识点，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 本题根据完全平方公式，分析多项式的结构，得出“中间项系数需满足与首项、末项的关系”的结论，进而通过解方程求出的值，即可解决根据完全平方式的结构特征求字母参数的问题． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∵， ∴， 即：， 当时，； 当时，， 综上：或． 故选 ：B． 【跟踪专练4】若一个数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为，所以10是“完美数”，再如：（、是整数），所以也是“完美数”． (1)通过计算判断45是否为“完美数”； (2)已知（、是整数），要使为“完美数”，试求出符合条件的的值． 【答案】(1)45是“完美数” (2)符合条件的的值为10 【分析】（1）根据“完美数”的定义判断即可得出结果； （2）对进行配方，再结合“完美数”的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴45是“完美数”； （2）解： ， ∵为“完美数”， ∴， ∴， ∴符合条件的的值为10． 题型04.平方非负性求值计算 题型特征 1. 题干给出含平方项的多项式等式，通过配方或因式分解，利用平方的非负性求字母的值 2. 核心原理：任何实数的平方都大于等于0，若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0 3. 常见形式：a2 + b2 + .... = 0 或可配方为多个平方和为0的形式 解题步骤 1. 审题：观察等式结构，判断是否能通过配方转化为多个平方和的形式 2. 配方：将多项式拆项、添项，凑成完全平方式的和 3. 利用非负性：根据平方≥0，且和为0，得出每个平方项的值为0 4. 求解：解出每个字母的值 5. 代入计算：将求出的字母值代入目标代数式，计算最终结果 【典例】若代数式的值等于0时，__________，__________． 【答案】 2 【分析】利用完全平方公式，把原式变形为，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【跟踪专练1】已知，则_______． 【答案】32 【分析】将等式的左边转化为完全平方公式的和的性质，利用非负性求出的值，再进行计算即可. 【详解】解：， ， ， ∴， ∴， ∴. 【跟踪专练2】若实数、满足等式，则的值为_______． 【答案】/ 【分析】将已知等式化为完全平方式，再结合非负数的性质，求出、的值，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ，， ，， ，， ． 【跟踪专练3】若，则的值为___________． 【答案】4 【分析】本题考查了完全平方公式，非负数的性质． 将化为，利用非负数的性质，得到两个方程并求解，进而代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，且， ∴和， 即和， 解得，， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练4】已知实数a，b满足，则的值为______． 【答案】2 【分析】本题考查配方法的应用，非负数的性质．利用配方法把原式变形为，再利用因式分解得到或，据此解答即可． 【详解】解： ∴， ∴， ∴或， ∴或， 由于，， ∴不符合题意，舍去， ∴， 故答案为：2． 题型05.因式分解判定三角形形状 题型特征 1. 给出三角形三边组成的多项式等式，不用分别求边长 2. 先因式分解变形式子，推出三边之间的数量关系 3. 用来判断是等腰、等边、直角三角形 4. 大多是解答题，也有少量填空选择题 解题步骤 1. 移项：把所有项统一移到等式左边，右边化为0 2. 分解：对左边多项式进行因式分解 3. 判关系：根据乘积为0，得出两条边相等或三边平方关系 4. 定形状：根据边的关系，确定三角形具体形状 【典例】已知a，b，c是的三边，且满足，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】由，可得，然后通过等腰三角形定义及勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或， ∴的形状是等腰三角形或直角三角形． 【跟踪专练1】一个三角形的两边长为x，y，且使 ，则此三角形的形状按边分一定为（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题通过对给定等式因式分解，结合三角形边长为正数的性质，得到两边长的关系，即可判断三角形形状． 【详解】解：对等式因式分解： ， 是三角形的边长，边长为正数 ，即 三角形两边相等，此三角形一定为等腰三角形． 【跟踪专练2】已知的三边分别为a、b、c，若且，则的面积为________ 【答案】/ 【分析】根据题意易得，，然后可得是直角三角形，进而问题可求解． 【详解】解：由可变形为， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 【跟踪专练3】按要求解答下列问题： (1)若关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围； (2)已知a，b，c是的三条边，且满足，请判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)是等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）先解关于，的二元一次方程组，得出，，再代入，得出，最后解不等式即可； （2）先对进行因式分解，再利用三角形边长性质即可判断三角形的形状． 【详解】（1）解：， 将两个方程相加消去，可得， 解得，， 把代入方程， 解得，． ， ， 解得，． （2）解：是等腰三角形，理由如下： ， ， ． a，b，c是的三条边， ． 且， ，即， 是等腰三角形． 【跟踪专练4】课本复习题有道题是“如果，那么或利用所学知识，尝试求解方程”“如果，那么或”在数学中通常称为零乘积性质．方程可化为根据零乘积性质，若，则或，因此或，解得或所以方程的解为或，请利用零乘积性质完成下列各题 (1)求解方程； (2)已知，当，求的值； (3)已知的三边满足，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)或 (2)或 (3)是等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）对方程左侧因式分解，再根据零乘积性质求解； （2）先将代入已知等式化简，再将等式左侧因式分解，然后根据零乘积性质求解； （3）先将已知等式左侧因式分解得到，根据是的三边长，得，则，即可求解． 【详解】（1）解：对方程左侧因式分解得 ， ∴或， 解得或； （2）解：代入得， 整理得， 因式分解得， ∴或， 解得 或； （3）解：是等腰三角形，理由如下： ∵ ， ∴ 对等式左侧因式分解得， 提取公因式得 ， ∵ 是的三边长， ∴ ，即， ∴可得，即， ∴ 是等腰三角形． 题型06.因式分解几何计算题 题型特征 1. 结合正方形、长方形组合图形，求边长、面积相关计算 2. 给出图形面积多项式式子，需要用因式分解化简求解 3. 只考图形边长、面积基础计算，不考复杂证明 4. 填空、选择、基础解答题都会出现 解题步骤 1. 看图列式：根据图形边长，列出面积相关多项式 2. 因式分解：对列出的式子分解化简 3. 对应边长：把分解后的因式对应图形的长和宽 4. 代入数据，算出最终面积或边长结果 【典例】计算：图1为某校七（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分，分别表示七（1）（2）两个班级的基地面积．若，则________ ． 【答案】5 【分析】根据，得到，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练1】边长分别为a和b的两个正方形按图的样式摆放，如果阴影部分的面积为58，，则_____． 【答案】16 【分析】根据和完全平方公式解题即可． 【详解】解：由图可知， ， ∴， 解得． 【跟踪专练2】如图，有A、B、C三种不同规格型号的卡片若干张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，其中．从这些卡片中取出m张卡片（每种卡片至少取一张），无缝隙、无重叠地拼成一个正方形，则m的值可以是（    ） A．20 B．24 C．25 D．28 【答案】C 【分析】设取A型卡片张，B型卡片张，C型卡片张，根据题意可得为完全平方式，据此即可解答． 【详解】解：设取A型卡片张，B型卡片张，C型卡片张， 则组成的图形面积为， 无缝隙、无重叠地拼成一个正方形， 为完全平方式， 可取，，， 即，符合要求， m的值可以是． 【跟踪专练3】.“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】 如图，有若干个边长为a的小正方形纸片（A类）、宽为a长为b的长方形纸片（B类）以及边长为b的大正方形纸片（C类）．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． (1)用若干个A类、B类、C类纸片拼成图1中的长方形，根据图形多项式可以因式分解得_________． (2)现用x张A卡片、y张B卡片、z张C卡片拼出一个长为，宽为的长方形，试求出的值=________； 【知识迁移】 (3)根据图2：若，则的值=_____． 【答案】(1) (2)21 (3)12 【分析】（1）拼成的长方形长为，宽为，则长方形面积为 ，由已知多项式转化为长与宽的乘积形式，完成因式分解． （2）利用多项式乘法计算出长为、宽为的长方形的面积表达式，再根据A、B、C类纸片对应的面积项，分别确定x、y、z的值，最后计算的值． （3）利用，将已知和的值代入，开平方即可求出的值． 【详解】（1）解：观察图1，拼成的长方形长为， 宽为， 长方形面积为 ， ∵面积等于所有纸片面积和， ∴． （2）解：∵长为、宽为的长方形面积为：， A类卡片对应，故；B类对应，故；C类对应，故， ∴． （3）由完全平方公式可得： ， ∴，： ∴， ∵为正数， 故． 【跟踪专练4】按照要求解答： (1)如图①，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为（）的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积；可以验证乘法公式是______． (2)类似地，在棱长为的正方体上挖去一个棱长为（）的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中几何体的体积．由此可以得到的因式分解的等式是______，并证明这个等式． (3)结合上述经验，将因式分解的结果是______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过两种方法计算同一阴影面积，验证平方差公式； （2）通过两种方法计算同一几何体体积，推导并证明立方差公式； （3）拆项构造立方差公式，结合提公因式、完全平方公式进行因式分解． 【详解】（1）解：据图可知，对于阴影部分的面积， 方法：； 方法：， 故． （2）解：据图可知，对于图中几何体的体积， 方法：； 方法：， 故， 证明： ， 左边， 左边右边． （3）解： ． 题型07.分组分解法综合应用 题型特征 1. 多项式项数多，两项、三项常规方法无法直接分解 2. 需要先分组，再分别提公因式或套用公式分解 3. 只能用分组分解法才能彻底分解因式 4. 填空选择、基础解答计算题都会出现 解题步骤 1. 观察多项式项数，合理划分分组 2. 每组分别提公因式或用公式分解 3. 整体再次提取公共因式 4. 检查分解是否彻底，不能再分解为止 【典例】在对多项式进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解： 原式，这种方法叫做分组分解法．请你运用分组分解法，把分解因式的结果为___________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用分组分解法，将多项式分组为完全平方式与平方差形式，然后应用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【跟踪专练1】要把多项式分解因式，可以把它的前两项和后两项分别分成一组，并在前面一组提出a，后面一组提出b，从而得到．这时，由于中又有公因式，于是可提公因式，从而得到，因此有．这种分解因式的方法叫作“分组分解法”，仿照材料中提供的方法把分解因式，结果为______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解、乘法公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 将多项式重新分组，利用平方差公式和提公因式法进行分解． 【详解】解：将多项式 分组为： ， ∵，， ∴原式 ． 故答案为：． 【跟踪专练2】在对多项式进行因式分解中，有一些多项式用提公因式法和公式分解法无法直接分解的．将一个多项式进行重新分组后，可用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组因式分解法．例如：．下列说法： ①因式分解：； ②若a，b，c是的三边长，且满足，则为等腰三角形； ③若a，b，c为实数且满足，则以a，b，c作为三边能构成三角形． 其中正确的个数有（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，等腰三角形的判定，构成三角形的条件；①将进行分组再因式分解，即可判断；②通过分组因式分解得，再进行下一步因式分解，即可判断；③将原等式化成，再进行因式分解，由构成三角形的条件，即可判断；能根据式子的特点进行恰当的分组，灵活运用因式分解法是解题的关键． 【详解】解：① ； 故符合题意； ②， ， ， ， ， ， 为等腰三角形； 故符合题意； ③， ， ， ，，， ，，， ， ∴以a，b，c作为三边不能构成三角形， 故不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练3】在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解因式的方法称为“拆项添项法”．如： 例1：分解因式： 解：原式 例2：分解因式： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）上述材料中例2括号中应填入________； （2）运用拆项添项法分解因式：________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，读懂题中的分解方法并熟练掌握整式乘法公式是解题的关键． （1）根据例2的解析过程，通过拆项后提取公因式，括号内应填入二次多项式； （2）运用拆项添项法，将多项式拆成可分组分解的形式，然后提取公因式进行因式分解． 【详解】（1）例2中，原式， ， 故括号中应填入 ； 故答案为：； （2）解：原式 ， 故答案为： ． 【跟踪专练4.】阅读理解：常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有很多的多项式只用上述方法就无法分解，如，但我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边长a，b，c，满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2)是等腰三角形 【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是熟练运用分组分解法分解因式． （1）原式，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式； （2）运用分组分解法将式子分解因式得，因为的三边长a，b，c，可得，，据此判断三角形是等腰三角形． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∵的三边长a，b，c， ， ，， 是等腰三角形． 题型08.因式分解简便运算 题型特征 1. 都是大数乘法、平方数值计算，直接硬算麻烦易错 2. 能用因式分解、平方差、完全平方公式简化计算 3. 不用复杂步骤，分解后就能快速口算得出结果 4. 多为填空、选择题，少量基础解答计算题 解题步骤 1. 观察算式，匹配对应的因式分解公式 2. 套公式变形，把原式拆成乘积形式 3. 约分凑整，简化数值计算 4. 算出最终结果，检查计算对错 【典例】利用因式分解计算：_____． 【答案】36 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用因式分解可以简化计算，正确计算是解题的关键． 观察表达式，发现其符合完全平方公式的形式，通过完全平方公式进行因式分解简化计算． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知，， ∴， 计算______． 【答案】145 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式，利用完全平方公式和平方差公式将原式变形为计算即可． 【详解】解： ； ∴原式 ． 故答案为： 【跟踪专练2】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解的方法． 先利用平方差公式分解除第一项之后的每一项，再去括号，然后利用阶乘化简乘积，化简后计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 【跟踪专练3】设，则与最接近的正整数是(      ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，平方差公式的应用，按照有理数混合运算的顺序，以此类推可以计算结果． 【详解】 因为 所以与最接近的正整数为25． 故选：A． 【跟踪专练4】利用因式分解计算：． 【答案】 【分析】本题考查利用因式分解进行简算，利用平方差公式进行因式分解后，进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 题型09.新定义运算题 题型特征 1. 题目自定义全新运算符号、运算规则 2. 按新定义列式后，必须用因式分解化简计算 3. 题型新颖，只考公式变形与分解基础运用 4. 多为填空、选择，少量基础解答题 解题步骤 1. 读懂题目给出的新定义运算规则 2. 严格按照定义，列出对应多项式式子 3. 对式子进行因式分解化简 4. 代入数值，算出最终结果 【典例】定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个“智慧优数”，可以利用进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，则第6个“智慧优数”是________． 【答案】21 【分析】根据“智慧优数”的定义，利用平方差公式，分别计算不同值下“智慧优数”，并从小到大排列，找到第6个即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：由于，且m，n为正整数，设，则． 当时， ，得到：8，12，16，20，24，28，32，…… 当时，“智慧优数”为，得到：15，21，27，33，39，45，…… 当时，“智慧优数”为，得到：24，32，40，48，56，64，…… 当时，“智慧优数”为，得到：35，45，55，65，75，85，…… 当时，“智慧优数”为，得到：48，60，72，84，96，108，…… 将这些“智慧优数”从小到大排列：8，12，15，16，20，21，24，27，32，35，45，48，60，…… 故第6个“智慧优数”是21， 故答案为：21． 【跟踪专练1】定义：若一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，，所以13是“和谐数”，下列说法不正确的是（    ） A．17是和谐数 B．（，是整数）不一定是和谐数 C．如果，都是和谐数（），则也是“和谐数” D．当时，（，是整数）是“和谐数” 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．根据“和谐数”的定义，利用完全平方公式逐项判断即可． 【详解】解：A.， 17是和谐数，故该说法正确，不符合题意； B. ， （是整数）一定是和谐数，故该说法错误，符合题意； C. ， 都是“和谐数”，设， 原式 ， 也是“和谐数”，故该说法正确，不符合题意； D.， ， 当时，（是整数）是“和谐数”，故该说法正确，不符合题意． 故选：B． 【跟踪专练2】定义：如果一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1，我们把这样的正整数称为“平方优数”．例如，，那么24是平方优数，若将平方优数从小到大排列，则第3个平方优数是______；第48个平方优数是_______． 【答案】 26 589 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题关键在于读懂题意，理解新定义．令，，，，，是平方优数，且，由题可知，最小的平分优数为11，即，由定义可知，一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1，设，即，为100的倍数，则，求解即可． 【详解】解：令，，，，，是平方优数，且， 由题可知，最小的平分优数为11，即， 由定义可知，一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1， 设， 即， ， 是平方优数，则的十位数字比个位大1， 为100的倍数，则， 的十位和个位必定和的相同， ， 即是平方优数，同理，，，，是平方优数， 根据定义可得：，，，， ．，，， ，，， ． 故答案为：26，589． 【跟踪专练3】对x、y定义一种新运算T，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，，则结论正确的个数为（    ） （1）a＝1，b＝2； （2）若，则； （3）若，m、n均取整数，则或或； （4）若，当n取s、t时，m对应的值为c、d，当时，； （5）若对任意有理数x、y都成立（这里T（x、y）和T（y、x）均有意义），则 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】（1）结合给出的新运算T，T（2，1）=2，T（-1，2）=-8建立关于a和b的二元一次方程组，解之可得；（2）把m，n代入新运算即可；（3）若m为整数，则分别必须是分子的约数，一一列出并求解即可；（4）可利用作差法比较式子大小进行比较；（5）根据新运算列出等式，整理可求出． 【详解】由题意可知，T（2，1）=2a+2b-4=2，T（-1，2）=-2a-b-4=-8， 即， 解得，故（1）正确； a＝1，b＝2； T（x，y）=xy+2x-4， ∴T（m，n）=mn+2m-4=0（n≠-2），则；故（2）正确 ∵m、n均取整数，， ∴n+2的取值为-4，-2，-1，1，2，4； 当n+2=-4，即n=-6时，m=-1； 当n+2=-2，即n=-4时，m=-2； 当n+2=-1，即n=-3时，m=-4； 当n+2=1，即n=-1时，m=4； 当n+2=2，即n=0时，m=2； 当n+2=4，即n=2时，m=1； 故（3）不正确， ， 当时c-d＜0， ；故（4）正确； ， ，， ， ， ， 对任意有理数x、y都成立（这里T（x、y）和T（y、x）均有意义），则 故（5）正确 故选C 【点睛】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，作差法比较分式大小等内容，理解题意是解题的关键． 【跟踪专练4】定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，则8，16，24都是“和谐数”． (1)特例感知：32 “和谐数”，2026 “和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为199，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是，不是 (2)“和谐数”能被8整除．理由见解析 (3)阴影面积为20000 【分析】（1）根据“和谐数”的定义进行判定即可； （2）将化简，得到，根据k是正整数，得到能被8整除，即可解答； （3）推导出，则原式可化为，继而计算求解即可． 【详解】（1）解：， 是“和谐数”； 设， 解得：，不是整数， 不是“和谐数”． （2）解：“和谐数”能被8整除．理由如下： 是正整数， 能被8整除， 能被8整除； （3）解：由（2）可知，， ∴阴影部分的面积为 ∴阴影面积为20000． 题型10.因式分解中配方法的综合应用 题型特征 1. 多项式无法直接提公因式、套公式分解 2. 需要拆项添项配方，凑成完全平方式再分解 3. 常用来求代数式最值、比较式子大小 4. 多为填空选择压轴题，也有解答小题 解题步骤 1. 观察多项式结构，确定需要配方的项 2. 拆项添项，凑出标准完全平方式 3. 配方后再利用公式因式分解变形 4. 根据题意求值、判大小或求最值 【典例】将多项式变形为的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：， ，，当时，多项式有最小值． 已知，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为，且，均为正整数，则当时，的最大值为______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，多项式乘以多项式，根据题意得出，，进而根据，可得，然后得出，根据配方法，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴当时，的最大值为， 故答案为：3． 【跟踪专练1】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形，并结合非负数的意义来解决问题． 例如．可知当，即时，有最小值，最小值是2． 根据阅读材料，解决下列问题： (1)代数式的最小值为________； (2)已知的三边长a，b，c，且满足，求边c的取值范围； (3)已知，，试比较P，Q的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据例题用配方法，得出，即可求解； （2）将已知等式用完全平方公式因式分解得出，根据非负数的性质求得，再根据三角形的三边关系，即可求解； （3）利用作差法得出，即可求解． 【详解】（1）解： 当，即时，的最小值为 （2）解：∵ ∴，即 ∵ ∴ ∵ ∴ （3）解：∵，， ∴ ∵， ∴ ∴ 【跟踪专练2】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：用配方法分解因式：， 解：原式 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：______； (2)用配方法分解因式：． 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）利用完全平方公式，加上一次项系数一半的平方即可； （2）利用配方法分解因式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴横线上添加一个常数为； （2）解： ． 【跟踪专练3】阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．例如：． (1)解决问题，运用配方法将下列的形式进行因式分解：； (2)深入研究，已知a、b、c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等边三角形 【分析】（1）仿照例子运用配方法进行因式分解即可； （2）将已知等式变形，利用配方法构造出完全平方式的和，再根据非负数的性质确定三边关系． 【详解】（1）解： （2）解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【跟踪专练4】阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．配方法在因式分解、求代数式的值、解方程等方面有广泛应用． 例如：用配方法分解因式． 解： 请仿照上述方法解答下列问题： (1)用配方法分解因式：； (2)已知，求的值； (3)试比较多项式与的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）仿照例题配方法，先凑完全平方，再用平方差公式分解； （）对等式分组配方，利用平方的非负性求即可解答； （）用做差法比较大小，对差配方判断符号即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∵任意实数的平方非负，两个非负数的和为， ∴，， ∴，， ∴； （3）解： ， ∵对任意实数，， ∴， 即， 结论：． 【跟踪专练5】【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求的最小值． 解：． ，， 当时，有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：________； (2)已知，求的值． (3)已知，，试比较，的大小． (4)若为有理数且满足，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4)3 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的应用． （1）找到常数项为一次项系数一半的平方，然后整理成完全平方公式，再运用公式法进行分解因式，即可作答； （2）根据完全平方公式因式分解，再根据非负数的性质，求得的值，代入代数式，即可求解； （3）根据因式分解求得，根据例2的方法，即可求解； （4）根据因式分解可得，同例2的方法，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， 故答案为：． （2）， ， ， 又，，， ，，， ，， ． （3），， ，， ． （4）解：， ， ， 当时，有最小值，最小值为3，此时满足， 故答案为：3． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $