专题12 因式分解的八类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题12[ 因式分解的八类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用因式分解的定义求参数 类型二、提公因式法因式分解 类型三、综合运用公式法因式分解 类型四、综合提公因式和公式法因式分解 类型五、利用整体法提公因式因式分解 类型六、十字相乘法因式分解 类型七、分组分解法因式分解 类型八、因式分解的应用 压轴专练 典例详解 类型一、利用因式分解的定义求参数 方法总结 1.定义要求：因式分解是把多项式化为几个整式积的形式，且分解要彻底。 2.列式求解：根据多项式特征（如完全平方、平方差）及分解结果形式，建立关于参数的方程或方程组 求解。 解题技巧 1.对照标准形式：将多项式与完全平方公式、平方差公式的标准形式对比，确定参数应满足的条件。 2.代入验证：求出参数后，代回原式重新分解，检验是否满足因式分解的定义。 例1.(25-26八年级下·四川绵阳·开学考试)若x2+mx-12=(x-3)(x+4),则m= 【变式1-1】(25-26八年级下·四川泸州开学考试)若二次三项式2x2+ax-6有一个因式是(2x-3),则a 的值为 【变式1-2】(25-26八年级上全国期末)多项式x2+5x+b因式分解的结果为ax+1)(x+b),则a+b的值 为 【变式1-3】(25-26七年级上·上海黄浦月考)己知关于x的整式x2+9x-m可以写成两个因式的积，其中 一个因式为x+11,那么另一个因式为 1/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-4】(25-26八年级上广西贵港期中)仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m的值. 解：设另一个因式为x+n,得x2-4x+m=(x+3(x+n),则x2-4x+m=x2+(n+3x+3n n+3=-4 m=3n 解得：n=-7,m=-21.另一个因式为x-7),m的值为-21. 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)若x2+bx+c=（x+2(x-3),则bc=; (2)已知二次三项式x2-5x+p有一个因式是(x-1),求另一个因式以及p的值. 类型二、提公因式法因式分解 方法总结 1.找公因式：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂。 2.提公因式：将公因式提到括号外，括号内剩余项用原多项式除以公因式得到。 解题技巧 1.先提系数：若各项系数有公因数，先提出来简化计算。 2.注意符号：首项为负时，先提负号，使括号内首项为正。 例2.(25-26八年级上全国·课后作业)用提公因式法分解因式： (1)5x-5xy: (2)3a2-6a; (3)9x2-6xy+3x. 【变式2-1】(25-26八年级下·全国课后作业)把下列各式因式分解： (1)4a3b+6a2b4: (2)6x2y3-8xy2+2xy; (3)a3m+a2m+am(m为正整数). 【变式2-2】(25-26八年级下·全国课后作业)把下列各式因式分解： (1)7x3-21x2. (2)6x+10x3. (3)8a'b2-12ab'c+ab 2/16 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式2-3】(2026七年级下·全国.专题练习)把下列各式分解因式： (1)a2+ab-ac; (2)x2y-2xy-5y2: (3)2.x2y-6x; (4)14m2+21mn; (⑤)-7x2y3-28x3y2: (⑥-5xy6-25xy6. 类型三、利用整体法提公因式因式分解 方法总结 1.识别整体：将多项式中的相同部分（如xy、a-b)视为一个整体。 2.提整体公因式：将这个整体作为公因式提取出来，剩余部分合并化简。 解题技巧 1.整体换元：设整体为t,原式化为关于t的多项式，提公因式后再代回。 2.符号处理：注意整体前系数符号，如-(xy)可视为-1×(xy)。 例3.(25-26八年级下全国课后作业)把下列各式因式分解： (1)2a(x+y)-(x+y). (②)mm+n-2nm+n. (3)(x-2y)2+2xx-2y). 【变式3-1】(25-26八年级上河南濮阳·月考)用提公因式法将下列各式因式分解： (1)2am-n-4b(n-m; (210b(x-y)2-5ay-x)2. (3)(2a+b)(2a-3b)+2a+5b)(2a+b) 【变式3-2】(25-26八年级下·全国课后作业)把下列各式因式分解： (1)2a(x-y)+(x-y): (2)xa-5)-35-a: (3)3m(a-b)2-m2(b-a)3: (4b3(a+b)(a-b)-b3(a+b)2. 3/16 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式3-3】(2026七年级下·北京·专题练习)因式分解： ()x(x-y)2-y(y-x2: (2)(x+y)(x-y)+(x+y)(x-y); 3)12(x-y)°+15x(y-x)2; (④2(x-2y)(x+2y)+32y-x(x+2y)2. 类型四、综合运用公式法因式分解 方法总结 1.识别公式：观察多项式是否符合平方差(a2b2)、完全平方(a2士2b+b2)或立方和/差公式。 2.套用分解：按公式写成乘积形式，检查是否分解彻底（各因式能否继续分解）。 解题技巧 1.先提公因式：有公因式时先提取，再对剩余部分套用公式。 2.整体换元：复杂多项式可设整体为A、B,套公式后再代回。 例4.(2025七年级下·全国专题练习)把下列各式分解因式： (1)x4-18x2+81: (2)x2+4-16x2. 【变式4-1】(24-25八年级上山东淄博期中)因式分解 (1)3a2y-3ay+6ay2 2x2+y22-4r2y a0x+x+2到+号 【变式4-2】(24-25八年级上山东济宁阶段练习)因式分解。 (1)8m2-12mn; (2)2a2-8b2: (3)a2(x-y+b2(y-x: (④)x4-2x2y2+y4. 【变式4-3】(24-25八年级上山东泰安期中)因式分解： (1)2x2-8 (2)-3ma2+6ma-3m 4/16 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3(a2+b2)2-4a2b2 (4x+2)(x+4)+x2-4 类型五、综合提公因式和公式法因式分解 方法总结 1. 先提后套：先提取公因式（若有），再对剩余多项式运用公式法（平方差、完全平方等）分解。 2.彻底分解：分解到每个因式不能再分解为止（如括号内还可提公因式或套公式）。 解题技巧 1.优先提公因式：观察系数与字母，先提取最大公因式简化多项式。 2.检查因式：分解后检查各因式是否可继续分解（如平方差、完全平方）。 例5.(25-26八年级下.全国课后作业)分解因式： (1)a2(a-b)+b2(b-a: (2)x2-y2+2x-2y; (3)x4-16y4. 【变式5-1】(25-26七年级上·上海期末)因式分解： (1)(4a+b)2-(3a-3b)2: (2)1-4x2-4y2+8xy; 3(x2-x2-10(x-x2）-24. 【变式5-2】(25-26八年级下·重庆·月考)把下列各式因式分解： (1)x4-8x2+16; (2)2x2(x-y)+8y2(y-x; (3)x2-2xy+y2+2x-2y; (④0(x-2y)°-3(2y-x)°+2(x-2y)2. 【变式5-3】(24-25七年级下江苏泰州·周测)把下列各式分解因式： (1)6a2b-9ab2+3ab (2)am-n+3b(n-m）2 (3)a2(x-y)+16y-x 5/16 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (4(x2+y22-4x2y2 (⑤)81a-b2-16(a+b2 (⑥a2-4a(c-b)+4b-c 类型六、十字相乘法因式分解 方法总结 1.拆两头凑中间：将二次项系数α和常数项c分别分解成两个因数，交叉相乘再相加，结果等于一次项 系数b。 2.写成积的形式：若满足条件，则ax2+bx+c=(a+c)(a2x+c2)。 解题技巧 1,多试几组因数：α和c的因数分解有多种可能，需逐一尝试，直到满足交叉和等于b。 2.注意符号：常数项为负时，两因数异号；一次项系数符号决定两因数中正负的分配。 例6.（25-26八年级上山东济宁·开学考试)在因式分解中有一类形如二次三项式 x2+(p+q)x+pg=(x+p(x+q的分解因式的方法叫十字相乘法”.例如：将二次三项式x2+7x+10因式 分解，这个式子的二次项系数是1，常数项10=2×5，一次项系数7=2+5，则x2+7x+10=(x+2)(x+5), 如图所示 1×5+1×2=7 仿照上述方法进行因式分解. (1)x2+6x+8; (2)x2-5x+6. 【变式6-1】(25-26八年级下·全国课后作业)阅读下列材料，并完成后面的任务 在因式分解中有一类形如二次三项式x2+(p+q)x+pq的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三 项式的公式为x2+(p+qx+p=(x+p)(x+q.例如：将二次三项式x2+7x+10因式分解，这个式子的二 次项系数是1，常数项10=2×5，一次项系数7=2+5，则x2+7x+10=x+2)(x+5,如下图所示. 1×5+1×2=7 6/16 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 任务： (1)因式分解：x2-9x+20= (2)若二次三项式x2+ax-10可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a的所有可能的值 【变式6-2】(25-26九年级上河北张家口·月考)阅读下列材料： (1)将x2+2x-35分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项： x2=x·x,-35=-5×+7 ②交叉相乘，验中项 7x-5x=2x 入+7 ③横向写出两因式x2+2x-35=（x+7)(x-5 我们将这种十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法. (2)根据乘法原理：若ab=0,则a=0或b=0.试用上述方法和原理解下列方程： (1)x2+5x+4=0 (2)x2-6x-7=0 (3)x2-6x+8=0 变式：菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2-9x+20=0的一个根，则该菱形的周长为 【变式6-3】(25-26八年级上陕西安康期末)材料：如何将x2+(p+q)x+pg型的式子分解因式呢？我们 知道(x+p)(x+q=x2+(p+q)x+p9,所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得： x2+(p+q)x+pg=(x+p)(x+q).例如：：(x+1(x+2)=x2+3x+2,x2+3x+2=(x+1)(x+2). 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角， 再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数， 如图： 2 1×2+1×1=3 7/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 这样，我们可以得到：x2+3x+2=(x+1)(x+2). 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将x2+5x+6分解因式的结果为 (2)用十字相乘法将x2-3x-4分解因式的结果为 (3)若x2+px-15利用十字相乘法可分解为(x+a)(x+5)(a,p均为整数)，求a和p的值. 类型七、分组分解法因式分解 方法总结 1.合理分组：将多项式项分组，使每组有公因式或可套用公式。 2.组间再分解：各组分解后，整体再提取公因式或继续分解。 解题技巧 1.尝试分组：常按系数比例、字母特征或公式结构（如完全平方、平方差）进行分组。 2.检查符号：分组时注意符号变化，必要时添括号并变号。 例7.（25-26八年级上·陕西延安月考)“探究性学习”小组的甲、乙两名同学分解因式的过程如下： 甲：a2-2ab-4+b2 乙：a2-ab-a+b =(a2-2ab+b2)-4(分成两组) =(a2-ab)-(a-b)(分成两组) =(a-b)2-22(直接运用公式)=(a-b+2)(a-b-2) =aa-b)-a-b)(提公因式)=(a-b)(a-1). 请在他们解法的启发下，分解因式： (1)x2-2xy+y2-16: (2)m3-2m2-4m+8. 【变式7-1】(25-26八年级上山东临沂期末)在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲：x2-xy+4x-4y 乙：a2-b2-c2+2bc =(x2-y)+(4x-4y)(分成两组) =a2-(b2+c2-2bc)(分成两组)=a2-(b-c)2(直 =xx-y)+4x-y)(直接提公因式)=(x-y(x+4 接运用公式)=(a+b-ca-b+c 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：a2+b2-9-2ab; (②)若a-b=-5,b-c=3,求式子ab-bc+ac-a2的值. 8/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式7-2】(25-26八年级上·辽宁大连期末)在数学活动课上，老师带领大家探究了一种特殊的因式分解 方法一一分组分解法.当遇到一些多项式既无法直接提取公因式，也不能直接套用平方差公式或完全平方 公式时，我们可以尝试将多项式中的项进行合理分组，使每组出现相同的因式或符合公式的结构，从而完 成分解.如①和②： Dmx+ny+nx+my=(mx+nx)+(ny+my)=x(m+n+y(n+m)=(m+n(x+y). ②2xy+y2-1+x2=x2+2xy+y2)-1=(x+y)-1=(x+y+1(x+y-1).请你仿照以上方法，探索并解决下 列问题： (1)因式分解：4x-xm+12y-3m. (2)若x2+2y2-2xy+6y+9=0,求xy的值. (3)两个不相等的实数a,b满足a2+b2=20.若a2-4a=k,b2-4b=k,求a+b和k的值. 【变式7-3】(25-26八年级上江西上饶期末)请仔细阅读材料，解答下列问题： 要把am+an+bm+bn分解因式，它的各项没有公因式.不能提取公因式.这是四项式.也不能直接用公式 法分解因式，可以先把它的前两项分成一组，后两项分成一组，通过分组分解因式.即 am+an+bm+bn=(am +an+(bm+bn)=a(m+n+b(m+n)=(m+n(a+b). 这种因式分解的方法叫做分组分解法.利用分组分解法可以把多项式分解因式.又如： x2-y2+2x-2y=(x+y)(x-y川+2(x-y)=x-y)(x+y+2 a2-6ab+9b2-c2=(a-3b)-c2=(a-3b+c(a-3b-c. (1)分解因式：x2-2xy+y2-4; (2)分解因式：x2-4y2+2x+4y; (3)已知a2+b2-10a+4b+29=0,求a+b的值. 类型八、因式分解的应用 方法总结 1.代数应用：因式分解可用于简化计算（如求值）、解方程（化为积为零）、证明整除性等。 2.几何应用：将几何图形面积、周长问题转化为多项式，通过因式分解求边长或关系。 解题技巧 1.先分解后代值：求代数式值时，先因式分解再代入已知条件，简化计算。 2.积为零列方程：解方程AB=0时，转化为A=0或B0分别求解。 例8.(25-26八年级上·河南洛阳·期末)【基础巩固】从课本中我们学习了因式分解的常见方法：提取公因 9/16 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 式法和公式法 (1)填空：因式分解3x2-6x+3= 【思考探究】在学习过程中，我们还发现存在某些多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式， 但是某些项通过适当的调整结合能构成可分解的一组，然后再对整体进行因式分解，这种方法叫分组分解法. 例如：分解因式：x2-y2+3x+3y,具体过程为 x2-y2+3x+3y=x2-y2)+(3x+3y)=(x+y)(x-y)+3(x+y)=(x+y)(x-y+3). (2)请在上述方法的启发下，分解因式：x2+y2-9+2xy; 【迁移应用】 (3)已知等腰ABC的两边长分别为a,b(a,b为整数)，且满足ab-4a-2b+8=1,求ABC的周长， 【变式8-1】(25-26八年级上山东滨州期末)【材料阅读】学习了因式分解之后，老师布置的阅读材料如 下：把代数式通过配凑等方法，得到局部完全平方式（形如a2±2b+b2的式子称为完全平方式），再进行 有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在因式分解、求最值（最小值或最大值）问题中有着 广泛的应用 例：①利用配方法因式分解：x2+2x-3· 解：原式=x2+2x+1-1-3 =(x+1)2-2 =(x+1+2)(x+1-2) =(x+3)(x-1). ②利用配方法求代数式2x2+12x+20的最小值. 解：原式=2x2+6x+10 =2[(x2+6x+9）-9+10] =2[x+3到2+1 =2(x+3)2+2. ~(x+3)是非负数， (x+3)2≥0， 10/16 专题12 因式分解的八类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用因式分解的定义求参数 类型二、提公因式法因式分解 类型三、综合运用公式法因式分解 类型四、综合提公因式和公式法因式分解 类型五、利用整体法提公因式因式分解 类型六、十字相乘法因式分解 类型七、分组分解法因式分解 类型八、因式分解的应用 压轴专练 类型一、利用因式分解的定义求参数 方法总结 1. 定义要求：因式分解是把多项式化为几个整式积的形式，且分解要彻底。 2. 列式求解：根据多项式特征（如完全平方、平方差）及分解结果形式，建立关于参数的方程或方程组求解。 解题技巧 1. 对照标准形式：将多项式与完全平方公式、平方差公式的标准形式对比，确定参数应满足的条件。 2. 代入验证：求出参数后，代回原式重新分解，检验是否满足因式分解的定义。 例1．（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）若，则_____． 【答案】1 【分析】根据因式分解与整式乘法的关系，将化简展开，比较系数即可． 【详解】解：， ． 【变式1-1】（25-26八年级下·四川泸州·开学考试）若二次三项式有一个因式是，则a的值为____． 【答案】1 【详解】解：因为二次三项式的二次项系数为，一个因式为，所以设另一个因式为，则， 展开等式右侧得：， 比较多项式两边同类项的系数，可得：， 解得， 代入得． 【变式1-2】（25-26八年级上·全国·期末）多项式因式分解的结果为，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式和多项式各项系数的确定； 将因式分解结果展开，与原多项式比较对应项系数，建立方程求解和的值． 【详解】解：∵多项式因式分解结果为， ∴展开得，与多项式比较系数， 二次项系数：；一次项系数：， 代入得，解得； 常数项系数均为， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】（25-26七年级上·上海黄浦·月考）已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式为，那么另一个因式为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，设另一个因式为，可得：，所以可得，通过比较系数求解． 【详解】解：设另一个因式为 ， 则 ， 可得：， 解得：， 另一个因式为 ， 故答案为：． 【变式1-4】（25-26八年级上·广西贵港·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则 ∴ 解得：，．∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)若，则______； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． 【答案】(1)6 (2)， 【分析】本题考查了恒等式的性质，解方程组，多项式乘以多项式，熟练掌握性质和运算是解题的关键． （1）将等式的右边展开，根据恒等式的性质，解答即可； （2）仿照示范的例子解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：6． （2）解：设另一个因式为， 则， ∴， 解得：，， ∴另一个因式是． 类型二、提公因式法因式分解 方法总结 1. 找公因式：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂。 2. 提公因式：将公因式提到括号外，括号内剩余项用原多项式除以公因式得到。 解题技巧 1. 先提系数：若各项系数有公因数，先提出来简化计算。 2. 注意符号：首项为负时，先提负号，使括号内首项为正。 例2．（25-26八年级上·全国·课后作业）用提公因式法分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用提公因式法进行因式分解，正确找出各项的公因式是解答本题的关键． （1）先确定各项的公因式，然后提取公因式即可； （2）先确定各项的公因式，然后提取公因式即可； （3）先确定各项的公因式，然后提取公因式即可． 【详解】（1）解： （2） （3） 【变式2-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)（为正整数）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】应用提公因式法解题即可，确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别进行考虑． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 【变式2-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，掌握找公因式的方法，提取公因式后检查括号内的项是否完整是解题的关键． （1）找出多项式各项的公因式，提取公因式后，将剩余部分整理成括号内的代数式； （2）确定两项的公因式，提取公因式，确保括号内的多项式不再有公因式； （3）观察三项的系数与字母，提取公因式，注意最后一项提取后剩余，不要遗漏． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【变式2-3】（2026七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了提取公因式进行因式分解，解题的关键是正确找出公因式． （1）提取进行因式分解； （2）提取进行因式分解； （3）提取进行因式分解； （4）提取进行因式分解； （5）提取进行因式分解； （6）提取进行因式分解． 【详解】（1）解： 原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 （5）解：原式 （6）解：原式 类型三、利用整体法提公因式因式分解 方法总结 1. 识别整体：将多项式中的相同部分（如x+y、a-b）视为一个整体。 2. 提整体公因式：将这个整体作为公因式提取出来，剩余部分合并化简。 解题技巧 1. 整体换元：设整体为t，原式化为关于t的多项式，提公因式后再代回。 2. 符号处理：注意整体前系数符号，如-(x+y)可视为-1×(x+y)。 例3．（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，掌握观察多项式的公因式，提取公因式后合并括号内的项是解题的关键． （1）观察两项的公因式，提取公因式后整理； （2）找出两项的公因式，提取公因式后化简； （3）确定公因式，提取公因式后合并括号内的同类项． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式 ． 【变式3-1】（25-26八年级上·河南濮阳·月考）用提公因式法将下列各式因式分解： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查提公因式法分解因式，合并同类项，解题的关键是掌握提公因式法． （1）先转化使其有相同的公因式，再提取公因式即可； （2）先转化使其有相同的公因式，再提取公因式即可； （3）先提取公因式，然后合并同类项，再提取公因式即可； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 【变式3-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】运用提公因式法分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3-3】（2026七年级下·北京·专题练习）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． （1）原式直接提公因式即可得到结果； （2）原式直接提公因式即可得到结果； （3）原式直接提公因式即可得到结果； （4）原式直接提公因式即可得到结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解∶ ． 类型四、综合运用公式法因式分解 方法总结 1. 识别公式：观察多项式是否符合平方差（a2-b2）、完全平方（a22ab+b2）或立方和/差公式。 2. 套用分解：按公式写成乘积形式，检查是否分解彻底（各因式能否继续分解）。 解题技巧 1. 先提公因式：有公因式时先提取，再对剩余部分套用公式。 2. 整体换元：复杂多项式可设整体为A、B，套公式后再代回。 例4．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】本题主要考查因式分解，掌握乘法公式的运用是解题的关键． （1）运用完全平方公式，平方差公式因式分解即可； （2）运用平方差，完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式4-1】（24-25八年级上·山东淄博·期中）因式分解 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】提公因式法分解因式、完全平方公式分解因式、综合运用公式法分解因式 【分析】此题考查了因式分解的方法，多项式乘以多项式运算，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）利用提取公因式法分解因式即可得到答案； （2）首先利用平方差公式分解因式，然后利用完全平方公式分解因式即可求解； （3）首先利用多项式乘以多项式运算法则展开，然后利用完全平方公式分解因式即可求解． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 【变式4-2】（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）因式分解． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式、综合运用公式法分解因式 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）利用提公因式法求解即可； （2）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可； （3）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可； （4）先利用完全平方公式因式分解，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式4-3】（24-25八年级上·山东泰安·期中）因式分解： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、综合运用公式法分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）先提取公因数2，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （4）先利用平方差公式分解因式，再利用提公因式法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 类型五、综合提公因式和公式法因式分解 方法总结 1. 先提后套：先提取公因式（若有），再对剩余多项式运用公式法（平方差、完全平方等）分解。 2. 彻底分解：分解到每个因式不能再分解为止（如括号内还可提公因式或套公式）。 解题技巧 1. 优先提公因式：观察系数与字母，先提取最大公因式简化多项式。 2. 检查因式：分解后检查各因式是否可继续分解（如平方差、完全平方）。 例5．（25-26八年级下·全国·课后作业）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式5-1】（25-26七年级上·上海·期末）因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查因式分解，选择合适的方法进行因式分解是解题的关键． （1）用平方差公式进行因式分解； （2）综合提取公因式法和公式法进行因式分解； （3）用十字相乘法进行因式分解． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 【变式5-2】（25-26八年级下·重庆·月考）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）将看作整体，利用完全平方公式进行初步分解，再利用平方差公式进行分解； （2）先提取公因式，再利用平方差公式进行分解； （3）先分组分解，再提取公因式； （4）设，提取公因式后，用十字相乘进行分解，再将还原成即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：， 设， 原式， ∵， ∴原式． 【变式5-3】（24-25七年级下·江苏泰州·周测）把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】根据因式分解的方法解题即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 类型六、十字相乘法因式分解 方法总结 1. 拆两头凑中间：将二次项系数a和常数项c分别分解成两个因数，交叉相乘再相加，结果等于一次项系数b。 2. 写成积的形式：若满足条件，则ax2+bx+c = (a1x+c1)(a2x+c2)。 解题技巧 1. 多试几组因数：a和c的因数分解有多种可能，需逐一尝试，直到满足交叉和等于b。 2. 注意符号：常数项为负时，两因数异号；一次项系数符号决定两因数中正负的分配。 例6．（25-26八年级上·山东济宁·开学考试）在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 仿照上述方法进行因式分解． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了十字相乘法分解因式，解题的关键是理解十字相乘法中 “常数项为两数之积，一次项系数为两数之和” 的核心关系，并能找出符合条件的因数对． (1)用十字相乘法分解因式； (2)用十字相乘法分解因式． 【详解】（1）解：， 多项式的二次项系数是，常数项是，一次项系数是， 如图所示， （2）解：， 多项式的二次项系数是，常数项是，一次项系数是， 如图所示， ． 【变式6-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读下列材料，并完成后面的任务． 在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如下图所示． 任务： (1)因式分解：____________． (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数的所有可能的值． 【答案】(1) (2)整数的所有可能的值为或 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解的知识点，掌握十字相乘法中 “常数项分解为两数之积，一次项系数为这两数之和” 的规律是解题的关键． （1）利用十字相乘法，找到两个数，它们的和等于一次项系数，积等于常数项，从而分解因式； （2）列出常数项的所有整数因数对，计算每对因数的和，这些和就是的所有可能值． 【详解】（1）解：∵二次三项式中，常数项，一次项系数 ∴ ． （2）解：∵二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式， ，，，， ∴整数的所有可能的值为或或或， 即整数的所有可能的值为或． 【变式6-2】（25-26九年级上·河北张家口·月考）阅读下列材料： （1）将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项： ②交叉相乘，验中项 ③横向写出两因式 我们将这种十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或．试用上述方法和原理解下列方程： （1） （2） （3） 变式：菱形的一条对角线长为8，其边长是方程的一个根，则该菱形的周长为______． 【答案】（1）；（2）；（3）；变式：20 【分析】本题考查了菱形的性质，解一元二次方程-十字相乘法，熟练掌握解一元二次方程-十字相乘法是解题的关键． （1）（2）（3）根据乘法原理：若，则或解答即可． 变式：根据乘法原理先求出方程的根，再分情况求出菱形的周长即可． 【详解】解：（1）， ∴， 或， 解得：． （2）， ∴， 或， 解得：． （3） ∴， 或， 解得：． 变式：， ∴， 或， 解得：． 当菱形的边长为5时，根据菱形的性质可得，另一条对角线长为，符合题意，此时菱形的周长为， 当菱形的边长为4时，根据菱形的性质可得，另一条对角线长为，不符合题意，舍去， 综上，菱形的周长为20． 故答案为：20． 【变式6-3】（25-26八年级上·陕西安康·期末）材料：如何将型的式子分解因式呢？我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：．例如：． 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到：． 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将分解因式的结果为________； (2)用十字相乘法将分解因式的结果为________； (3)若利用十字相乘法可分解为（均为整数），求a和p的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式的因式分解： （1）直接根据十字相乘法分解即可； （2）根据，可得，即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）解：； 故答案为： （3）解：由题意得， 均为整数， ， ． 类型七、分组分解法因式分解 方法总结 1. 合理分组：将多项式项分组，使每组有公因式或可套用公式。 2. 组间再分解：各组分解后，整体再提取公因式或继续分解。 解题技巧 1. 尝试分组：常按系数比例、字母特征或公式结构（如完全平方、平方差）进行分组。 2. 检查符号：分组时注意符号变化，必要时添括号并变号。 例7．（25-26八年级上·陕西延安·月考）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学分解因式的过程如下： 甲： （分成两组） （直接运用公式）． 乙： （分成两组） （提公因式）． 请在他们解法的启发下，分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）利用完全平方公式、平方差公式因式分解即可； （2）利用分组分解，然后利用乘法公式，因式分解即可． 【详解】（1）原式 （2） 【变式7-1】（25-26八年级上·山东临沂·期末）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组）（直接提公因式） 乙： （分成两组）（直接运用公式） 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，求式子的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查用分组分解法分解因式，分组分解时往往还要用到提公因式法和公式法，首先观察给出的多项式，将多项式进行适当的分组，使分成的各组中有公因式或可以用公式分解；然后要再用提公因式法或公式法进行分解，注意因式分解要分解到不能分解为止． （1）把前两项和第四项结合后利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式因式分解； （2）先对式子进行分组分解，把已知的两式相加得，最后整体代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵，， ∴， ∴原式． 【变式7-2】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）在数学活动课上，老师带领大家探究了一种特殊的因式分解方法－－分组分解法．当遇到一些多项式既无法直接提取公因式，也不能直接套用平方差公式或完全平方公式时，我们可以尝试将多项式中的项进行合理分组，使每组出现相同的因式或符合公式的结构，从而完成分解．如①和②： ①． ②．请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： (1)因式分解：． (2)若，求的值． (3)两个不相等的实数满足．若，，求和k的值． 【答案】(1) (2) (3)，． 【分析】本题考查了平方差公式以及分组分解法分解因式，因式分解的应用，正确灵活应用公式是解题关键．（1）先分组得，再提取公因式法进行因式分解； （2）先分组得，再根据完全平方公式进行因式分解得到，利用非负数的性质求得，据此计算即可求解； （3）由已知，两式相减得到，左边分解后可得到，再由已知，两式相加结合即可求得的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：∵，， 两式相减得， ∴，即， 因式分解得， ∵， ∴即， ∵，， 两式相加得，即， ∵，， ∴， ∴． 【变式7-3】（25-26八年级上·江西上饶·期末）请仔细阅读材料，解答下列问题： 要把分解因式，它的各项没有公因式．不能提取公因式．这是四项式．也不能直接用公式法分解因式，可以先把它的前两项分成一组，后两项分成一组，通过分组分解因式．即． 这种因式分解的方法叫做分组分解法．利用分组分解法可以把多项式分解因式．又如： ． (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，非负数的性质，解题的关键是掌握分组分解法． （1）根据分组分解法，结合平方差公式和完全平方公式，因式分解即可； （2）根据分组分解法，结合平方差公式和提公因式法，因式分解即可； （3）先将，变形为，然后根据非负数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 解得：，， ∴． 类型八、因式分解的应用 方法总结 1. 代数应用：因式分解可用于简化计算（如求值）、解方程（化为积为零）、证明整除性等。 2. 几何应用：将几何图形面积、周长问题转化为多项式，通过因式分解求边长或关系。 解题技巧 1. 先分解后代值：求代数式值时，先因式分解再代入已知条件，简化计算。 2. 积为零列方程：解方程A B = 0时，转化为A=0或B=0分别求解。 例8．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）【基础巩固】从课本中我们学习了因式分解的常见方法：提取公因式法和公式法． （1）填空：因式分解_____； 【思考探究】在学习过程中，我们还发现存在某些多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整结合能构成可分解的一组，然后再对整体进行因式分解，这种方法叫分组分解法．例如：分解因式：，具体过程为． （2）请在上述方法的启发下，分解因式：； 【迁移应用】 （3）已知等腰的两边长分别为，（，为整数），且满足，求的周长． 【答案】（1）；（2）；（3）11或13或7 【分析】本题主要考查了提取公因式法、公式法、分组分解法进行因式分解，以及等腰三角形的性质和三角形三边关系，熟练掌握因式分解的方法和等腰三角形的相关性质是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． （2）先将前三项组合成完全平方形式，再利用平方差公式进行因式分解． （3）先对等式进行因式分解，得到两个整数的乘积为，求出、的值，再根据等腰三角形的性质和三角形三边关系判断边长组合，计算周长． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：， ， 即， ，为整数， 或， 解得或， 若，则等腰三角形的边长分别为3，3，5或3，5，5，周长为11或13， 若，则等腰三角形的边长可能为1，1，3或1，3，3．当三边长为1，1，3时，不满足，不能构成三角形；当三边长为1，3，3时，满足，能构成三角形，此时周长为． 综上，的周长为11或13或7． 【变式8-1】（25-26八年级上·山东滨州·期末）【材料阅读】学习了因式分解之后，老师布置的阅读材料如下：把代数式通过配凑等方法，得到局部完全平方式（形如的式子称为完全平方式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在因式分解、求最值（最小值或最大值）问题中有着广泛的应用． 例：①利用配方法因式分解：． 解：原式 ． ②利用配方法求代数式的最小值． 解：原式 ． ∵是非负数， ∴， ∴． ∴代数式的最小值为2． 【材料应用】请根据上述阅读材料提供的方法，解决下列问题． (1)利用配方法因式分解：． (2)利用配方法求代数式的最小值． (3)利用配方法求代数式的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了配方法在因式分解和求代数式最值中的应用，熟练掌握配方法的步骤以及完全平方式的非负性是解题的关键． （1）先通过配凑，将转化为完全平方式与常数的差，再利用平方差公式因式分解． （2）先提取二次项系数，再通过配方将代数式转化为完全平方式与常数的和，根据完全平方式的非负性求最小值． （3）先提取二次项系数的负号，再通过配方将代数式转化为完全平方式与常数的和，根据完全平方式的非负性求最大值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 故代数式的最小值为． （3）解： ， ， ， ， 故代数式的最大值为． 【变式8-2】（25-26八年级上·福建泉州·期末）阅读材料，回答问题． 材料一：对于关于x的多项式P，有如下结论：若是P的因式，则当时，． 这个结论被称为因式定理．例如：若是多项式的因式，则当时，． 材料二：用表示三次多项式，即，例如：当时，． 已知，求下列问题： (1)求中的a和b的值； (2)若，利用因式定理，求此时x的值； (3)发现结论：对于x的两个不同取值，存在常数m，使得能写成某些正整数的平方．例如：当和时，，，存在常数，使得，．求当和时，满足结论的正整数m的值． 【答案】(1)a的值为0，b的值为 (2)x的值为或或4； (3)或或 【分析】本题主要考查了因式定理的应用、二元一次方程组的解法、一元三次方程的因式分解与求解、平方差公式的应用以及整数的性质，熟练掌握利用因式定理对多项式进行因式分解以及根据平方差公式和整数性质求解不定方程是解题的关键． （1）根据因式定理，将和代入多项式，得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出、的值． （2）先由(1)得到的具体表达式，再根据列出方程，通过因式定理找出方程的因式，分解因式后求解方程． （3）先计算和的值，根据题意设、，两式相减得到平方差，利用平方差公式分解后，根据正整数的性质列出所有可能的因数分解情况，进而求出的正整数解． 【详解】（1）解：∵， ∴即① ∵， ∴ 即② 联立①②得 解得 ∴a的值为0，b的值为； （2）解：由（1）得， 当时，， ， 当时，， ∴是的因式， 当时，， ∴是的因式， 设另一个因式为， 则， 即， 解得， ∵， ∴， ∴或或， ∴x的值为或或4； （3）解：当，， 当，， ∵能写成某些正整数的平方， ∴，能写成某些正整数的平方， 不妨设①，②（其中，都是正整数）， 得：，即， ∵， 且，同奇同偶，且， 所有可能情况如下： 或或或或， 解得或或或或， 此时或或或或， ∵正整数m， ∴或或． 【变式8-3】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． ； 又例如：求代数式的最小值． ， ，当即时，的最小值为， 即的最小值为． 根据阅读材料，利用“配方法”解决下列问题： (1)分解因式：________； (2)多项式有最小值为1，求出k值； (3)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求出边长c的最大值． 【答案】(1) (2) (3)边长的最大值为4 【分析】（1）根据题意，先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）首先利用“配方法”将变形为，然后得到最小值为，根据题意得到，进而求解即可； （3）首先利用“配方法”将变形为，得到，，求出，，然后根据三角形三边关系得到，进而求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵ ， ∵， ∴， ∴的最小值为， ∵多项式有最小值为1， ∴ ∴； （3）解：∵， ， ， ∴，， ∴，， ∴ ∴ ∴， ∵的三边长a、b、c都是正整数， ∴边长c的最大值为4． 一、单选题 1．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义．根据因式分解的定义，把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做因式分解，进行判断即可． 【详解】解：A、，是整式的乘法，不属于因式分解，该选项不符合题意； B、中，不属于因式分解，该选项不符合题意； C、，不属于因式分解，该选项不符合题意； D、，是因式分解，该选项符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（    ） （1）   （2）   （3）    （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解中的公式法，具体包括平方差公式和完全平方公式．依次对每个多项式进行判断是否符合公式特征，从而确定能分解的个数． 【详解】解：（1），符合题意； （2）不能运用公式法分解因式，不符合题意； （3），符合题意； （4）不能运用公式法分解因式，不符合题意． ∴能运用公式法分解因式的有2个． 故选：B． 3．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）把多项式分解因式得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用提公因式法进行多项式因式分解，先通过变形将多项式中互为相反数的因式化为相同形式，再提取公因式，最后对剩余部分继续分解因式，再分析各选项的正误即可． 【详解】解： ． 故选：A． 4．（2025·浙江杭州·模拟预测）若，，则的值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握提取公因式法因式分解是解题的关键． 先将所求式子进行因式分解，再将已知条件代入求值． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故选：D． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）多项式可以因式分解成，，为整数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，先将多项式提取公因式得，然后与对照，即可求出，的值，再代入计算即可．对多项式提取公因式是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵多项式可以因式分解成，，为整数， ∴， ∴，， ∴， 即的值是． 故选：C． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）已知的三边长分别是，，且满足，判断此三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，将题目中的式子变形，然后利用完全平方公式和非负数的性质，可以求得a、b、c的关系，从而可以判断的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， 故选：B． 二、填空题 7．（2025·吉林四平·模拟预测）分解因式 ． 【答案】 【分析】先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）若，且，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值计算，因式分解的应用．由已知条件求得，，，再将原式化成，连接两次代值计算便可得出答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ∵， ，， 原式 ． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·全国·单元测试）若n为正整数，则一定能被最大的正整数 整除． 【答案】12 【分析】本题考查了平方差公式，提公因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 原式利用平方差公式变形，再提公因式，即可解答． 【详解】解： ． ∴一定能被最大的正整数12整除． 故答案为：12 10．（24-25七年级下·浙江金华·期末）在对多项式进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解：原式，这种方法叫做分组分解法．请你用以上方法，写出多项式因式分解的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用分组分解法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 11．（24-25七年级下·河北唐山·期末）在学了因式分解知识后，数学兴趣小组的同学进行如下探究活动：如图，将两张边长为m的正方形裁剪掉一部分，剩余部分面积（阴影部分）分别记为和，当时，可得m与n的关系式为，则a的值为 ． 【答案】 【分析】根据正方形的面积，矩形的面积，等腰直角三角形的面积公式解答即可． 本题考查了正方形的面积，矩形的面积，等腰直角三角形的面积，熟练掌握计算公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，，且， 又∵， 故， 解得．即a的值为． 故答案为：． 12．（2025·四川成都·模拟预测）定义：若a，b，c不全为0，且满足，，如果正整数n使得恒成立，那么正整数n称为“好数”．例如，当时，恒成立，所以1是“好数”．把所有“好数”按从小到大的顺序排列，则第3个“好数”是 ；大于100且不超过2025的正整数中所有“好数”的和为 ． 【答案】 5 1023669 【分析】本题考查数的规律探究，因式分解的应用，解题关键是通过推导得出“好数”为正奇数，再利用规律计算． 由变形得，代入，通过整式运算化简，结合，推出．因为a、b、不全为0，所以其中只有一个数为0，不妨设，则．将，代入，分析得出满足恒成立的正整数n是奇数，即“好数”为所有正奇数．按正奇数从小到大排列，找到第3个“好数”是5；确定大于100且不超过2025的正奇数，通过数的个数和首尾数，利用（首数尾数）个数的方法，算出这些“好数”的和． 【详解】解：由，得， 则 , ∵， ， 、b、c不全为零， 、b、c中只有一个数为零， 不妨设，从而， 恒成立即恒成立， 显然满足条件的正整数n为奇数， 即不超过2025的正整数中“好数”有1、3、5、、2025共1013个， 大于100且不超过2025的正整数中“好数”有963个， 第3个“好数”是5，大于100且不超过2025的正整数中所有“好数”的和为． 故答案为：5，． 三、解答题 13．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）因式分解： (1)；； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法、平方差公式和完全平方公式是解题的关键． （1）先通过变形将式子化为有公因式的形式，提取公因式后，再利用平方差公式继续分解； （2）先提取公因式，然后利用平方差公式、完全平方公式进行分解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 14．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法． （1）利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （3）先变形，再提公因式，然后利用平方差公式进行因式分解即可； （4）先利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 15．（2025八年级上·全国·专题练习）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)． (2)． (3)． (4)． 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和公式法因式分解． （1）利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）利用完全平方公式进行因式分解即可； （3）利用提公因式法进行因式分解即可； （4）先利用平方差公式，再利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式． 16．（24-25八年级上·山东德州·期末）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的：______； A．提取公因式法    B．平方差公式法    C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解-换元法，公式法，理解阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行分解因式； （2）最后再利用平方差公式将结果分解到不能分解为止； （3）仿照材料中求解方法，用换元法进行分解因式． 【详解】（1）解：由可知，小涵运用了完全平方公式法进行因式分解， 故选：C； （2）解：由得该因式分解的最后结果为， 故答案为：； （3）解：依题意，设， ． 17．（2025八年级上·全国·专题练习）【阅读理解】由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法“进行因式分解的公式：，示例：分解因式：． 【问题解决】分解因式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】本题考查了十字相乘法，解题的关键是把常数项拆成两个数的积，而两个数的和正好等于一次项的系数． （1）根据，分解因式即可； （2）根据，分解因式即可； （3）根据，分解因式即可； （4）根据，分解因式即可． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2） ； 故答案为：； （3） ； 故答案为：； （4） ； 故答案为：． 18．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）阅读理解： 已知，求，的值． 解：， ， ， 又，， ，， ，． 学以致用： (1)若，求t的值； (2)已知、、是的三边，且满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2)是等边三角形 【分析】本题主要考查了完全平方公式因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）将变形为即可求出结果； （2）将变形为，得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， 解得：； （2）解：， ， ， ． ∵、、是的三边， ∴是等边三角形． 19．（25-26八年级上·全国·课后作业）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个） A． B． C． (2)若，求的值； (3)计算：． 【答案】(1)A (2)2 (3) 【分析】本题考查平方差公式的几何意义及应用，因式分解，掌握公式的结构特征是正确应用的前提，利用公式进行适当的变形是得出答案的关键． （1）根据拼接前后的面积相等可得出答案， （2），即，又，可求出的值， （3）利用平方差公式将算式转化为分数的乘积的形式，根据数据规律得出答案． 【详解】（1）解：图①的剩余面积为，图②拼接得到的图形面积为 因此有，， 故选：A； （2）解：，， ； （3）解：原式， ， ， ． 20．（2025八年级上·全国·专题练习）问题：已知多项式含有因式和，求，的值． 解：设（其中为整式）， 取，得，① 取，得，② 由①，②解得，． 根据以上阅读材料，解决下列问题： (1)若多项式含有因式，求实数的值； (2)若多项式含有因式，求实数，的值； (3)如果一个多项式与某正数的差含有某个一次因式，则称这个正数是这个多项式除以该一次因式的余数．请求出多项式除以一次因式的余数． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了因式分解的应用、二元一次方程组和一元一次方程的应用，理解阅读材料中的方法是解题关键． （1）设，其中为整式，取可得一个关于的方程，解方程即可得； （2）设，其中为整式，分别取，，和，，可得一个关于、的方程组，解方程组即可得； （3）设，其中是一个正数，为整式，取可得一个关于的方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设（其中为整式）， 取，得， 解得； （2）设（其中为整式）， 取，，得，① 取，，得，② 由①，②解得，； （3）设多项式除以一次因式的余数为，另一个因式为， 则， 取，得， 解得， 除以一次因式的余数为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $