10.3《分式的加减》分层讲义 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

从“通分”到“化简”——分式加减的运算法则全攻略 ——苏科版数学八年级下册 第10章第3节《分式的加减》分层讲义 一、知识导航 1. 同分母分式的加减法法则 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 用字母表示为： ± = 2. 异分母分式的加减法法则 异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减。 一般步骤：①确定最简公分母；②通分；③按同分母分式加减法计算（分子相加减，分母不变）；④结果化为最简分式或整式。 3. 分式的混合运算顺序 与分数混合运算类似，分式的加、减、乘、除、乘方混合运算的顺序是： 先乘方，再乘除，后加减，如果有括号，先进行括号内的运算。 【核心要点】 要点 说明 同分母 分母不变，分子相加减；结果要化为最简分式或整式 异分母 先确定最简公分母，通分后再按同分母法则计算 通分注意 分母是多项式时必须先分解因式；分子是多项式时要整体相乘 符号处理 分子相减时，减式的分子各项都要变号（分数线有括号作用） 最简结果 计算完成后，能约分的一定要约分 【特别提醒】 1.通分时分子是多项式的，要把分母所乘的相同式子与这个多项式整体相乘，而不能只同其中某一项相乘。 2. 结果一定要化为最简分式或整式，这是分式运算的最后一步，也是易丢分环节。 二、新知讲授 题型一：同分母分式的加减——基础中的基础 解法口诀：同分母，最简单，分母不变分子算。分子相减看符号，减式各项要变号！分母若是多项式，看能否约分到最简。 例题 1（基础）——同分母分式加法 题目：（2025盐城东台期中）计算： + 。 【解析】 分母相同，均为 a-b，直接分子相加。 原式 = 。分子分母无公因式，已是最简分式。 【方法总结】 同分母分式加减，分母照写，分子做加减。结果能约分就约分。 变式训练 1-1 （2025镇江句容期末）计算：+ 【答案】 变式训练1-2 （2025无锡江阴期中）计算： - 【答案】 1 变式训练1-3 计算：() - 【答案】 x-1 题型二：异分母分式的加减——通分是关键 解法口诀：异分母，要通分，最简公分母先确定。系数取最小公倍数，字母取最高次幂。分母若为多项式，先分解因式再通分！ 例题 2（基础）——异分母分式减法 题目：（2025宿迁）计算：- 【解析】将分母因式分解：x²-1 = (x+1)(x-1)。 最简公分母为 (x+1)(x-1)。 原式 = = 答案： 变式训练 2-1 计算： + 【答案】 变式训练2-2 （2025南通如皋二模改编）计算： - 【答案】 变式训练2-3 计算：+ 【答案】 题型三 ：整体代入法——巧用条件化简 解法口诀：已知条件要善用，整体代入是捷径。x ± 常出现，平方关系是法宝！ 例题 3（提优）——整体代入求值 题目：（2025扬州期末）已知 - = 5，求分式 的值。 【解析】【方法：整体代入法】 由条件 - = 5，得= 5，推出 y-x = 5xy，推出 x-y = -5xy。 将原式分子分母中的 x-y 整体替换： 原式 = =。 变式训练 3-1 （2025盐城东台期中）已知 = 5，求分式的值。 【答案】 变式训练3-2 已知 x + = 4，求 x² + 和 的值。 【答案】x² + = 14； = 变式训练3-3 已知 x² - 5x + 1 = 0，求 x² + 和 的值。 【答案】 x²+ = 23； = 题型四：创新拓展——分式运算与规律探究 解法口诀：数列分式找规律，拆分变形是妙计。裂项相消能合并，观察规律求通项。 例题 4（提优）——分式裂项相消 题目：观察下列等式： = - ，= - ，= - ，… （1）猜想 = __________（用含 n 的式子表示）。 （2）利用上述规律计算： + + 【答案】（1） = （2）原式 = 变式训练 4-1 计算： + 【答案】 变式训练4-2 已知 x 为整数，且 + +为整数，求所有符合条件的 x 的值。 【答案】 x=4, 2, 5, 1。 变式训练4-3 （新定义问题）规定一种新运算：a☆b = - 。计算：(x+1)☆(x-1) 并化简。 【答案】 = 三、分层达标检测 ★ 基础巩固 1. （2025无锡江阴期中）计算：+ 的结果是__________。 2. 计算： - 的结果是__________。 3. 化简： + 的结果是__________。 4. 分式 与 的最简公分母是__________。 ★★ 能力进阶 5. （2025扬州一模）已知 a - = 3，求 a² + 的值。 四、解题方法口诀大全 题型 口诀 同分母加减 分母不变分子算，注意符号防出错，结果化简要牢记 异分母加减 先找最简公分母，通分之后再加减；分母若为多项式，先分解因式再通分 通分 系数取最小公倍数，字母取最高次幂，乘积即是最简公分母 混合运算 乘方乘除后加减，括号优先记心间，除法变成乘倒数，约分化简要彻底 化简求值 先化简后求值，顺序不能错，整体代入智慧多 裂项相消 分母连续两因式，拆成两项差相消，中间项全抵消，只剩首尾妙极 整体代入 已知条件巧变形，x±是常客，平方公式帮你用，整体换元省力气 教师寄语： 分式的加减法是分式运算的核心，也是后续学习分式方程的基础。从同分母到异分母，从单一运算到混合运算，难度逐级递进。同学们要牢记：通分是异分母加减的桥梁，约分是化简结果的收官。勤加练习，熟能生巧，分式运算这座大山一定能翻过去！ 五、答案解析 基础巩固 1. 2. 3. x+1 4. x(x+1)(x-1) 能力进阶 5. 11【解析】(a-)² = a²-2+= 9，所以 a²+² = 11。 学科网（北京）股份有限公司 $