专题10.4 分式的乘除（知识梳理 + 题型精析 +中考模拟真题）- 2025-2026学年苏科版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题10.4 分式的乘除（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【基础篇】 1 【知识点一】分式的乘除运算法则 1 【题型 1】分式的乘法 1 【题型 2】分式的除法 3 【题型 3】分式的乘方 5 【题型 4】分式乘除混合运算 7 【知识点二】分式的加减乘除混合运算法则 9 【题型 5】分式加减乘除混合运算 10 【题型 6】分式化简求值 13 【培优篇】 16 【题型 7】分式加减乘除混合化简求值综合 16 【题型 8】分式综合运算的规律问题探究 19 二.中考真题 23 （一）单选题（6题） 23 （二） 填空题（6题） 26 （三） 解答题（4题） 28 一.知识梳理与题型精析 【基础篇】 【知识点一】分式的乘除运算法则 分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母； 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 用符号表示为： 【题型 1】分式的乘法 解题步骤：分式相乘，先把分子乘分子、分母乘分母，再分别对分子、分母进行因式分解，找出公因式约分，最后化为最简分式或整式。 【例题1】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）（2）本题主要考查了分式的乘法，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据分式的乘法计算法则求解即可． 解：（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的化简，掌握分式的乘法运算法则最关键． 本题根据分式的乘法运算法则，同时结合因式分解进行约分，对原式进行化简计算，得到化简结果的结论，即可解决分式化简的问题． 解：， ， ， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）化简：________． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘除运算，因式分解，掌握算理是解决问题的关键．将分子、分母进行因式分解，约分为最简分式即可． 解：， ， ． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查分式的乘法运算，解题的关键是掌握分式乘法法则以及因式分解的方法． （1）根据分式乘法法则将分子分母分别相乘，约去分子分母的公因式，从而得到最简结果； （2）根据分式乘法法则将分子分母分别相乘，对于能因式分解的式子先因式分解，再约去分子分母的公因式，从而得到最简结果． 解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【易错点小结】（1）未先因式分解、约分就直接相乘，计算量大易出错；（2）因式分解不彻底，漏掉公因式；（3）整式乘分式时，只把整式和分子相乘，忽略整体运算；（4）符号判断错误，结果没有化为最简分式。 【题型 2】分式的除法 解题步骤：（1）变除为乘：除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数；（2）因式分解：把分子、分母能分解的先分解；（3）约分：约去分子与分母的公因式；（4）相乘化简：分子乘分子，分母乘分母，结果化为最简分式或整式。 【例题2】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2）. 【分析】对于分式的除法运算，根据分式除法法则，将除法转化为乘法，即除以一个分式等于乘以它的倒数，然后进行约分计算． 解：（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点拨】本题考查分式的乘除运算，掌握分式除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分是解题的关键． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，则A表示的分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是分式的乘除运算，根据分式的乘除运算法则计算即可． 解：∵， ∴ ， 故选：A． 【变式2】（2025·湖北武汉·模拟预测）计算的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查分式的除法，根据分式的除法法则计算即可． 解： ， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分式的除法，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）根据分式的除法法则进行计算即可； （2）根据分式的除法法则进行计算即可． 解：（1）解： ． （2）解： ． 【易错点小结】（1）忘记变号、变倒数，直接做除法运算；（2）颠倒分子分母时符号出错；（3）没有先因式分解就直接相乘，计算复杂易错；（4）整式除以分式时，未把整式看成分母为 1 的式子，漏乘分母；（5）结果不约分，未化成最简分式。 【题型 3】分式的乘方 解题步骤：（1）把分子、分母分别乘方；（2）对分子、分母进行因式分解；（3）约分，结果化为最简分式或整式。 【例题3】（25-26八年级上·全国·课后作业）若，请比较x与y的大小． 【答案】 【分析】本题考查了初中数学中的分式除法的基本知识．解题的关键在于通过通分和化简，将两个分式的差转化为易于判断正负的形式．用作商法比较两个数的大小． 解：. ， ， ． 【变式1】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式乘方与幂的乘方的运算，需运用“分式乘方时分子分母分别乘方”及“幂的乘方底数不变、指数相乘”的法则化简． 解：∵分式的乘方法则为，幂的乘方法则为， ∴， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·河北张家口·月考）计算________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键． 先计算乘方，再将除法转化为乘法，利用分式的乘法法则进行运算，最后约分得到结果 ． 解： ＝÷·   ． 故答案为：． 【变式3】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；；（2） 【分析】（）先计算分式乘方运算，再计算分式乘法运算即可得到结果； （）先利用分式除法法则变形，约分后再计算分式乘法运算即可得到结果； 本题考查了分式的乘除运算，分式乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【易错点小结】（1）只给分子乘方，分母忘记乘方；（2）系数不乘方，只给字母乘方；（3）符号出错，负数偶次方为正、奇次方为负判断错误；（4）结果不约分、不化简，未化成最简分式。 【题型 4】分式乘除混合运算 解题步骤：（1）先变号：把所有除法转化为乘法，即乘以倒数；（2）再分解：分子、分母分别因式分解；（3）后约分：先整体约分，再相乘；（4）化最简：结果化为最简分式或整式。 【例题4】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键． （1）（2）先算乘方，再把除法化为乘法运算，再计算即可． 解：（1）解：原式． （2）解：原式 ． 【变式1】（24-25八年级上·山东烟台·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的混合运算．先运算乘方，然后把除法转化为乘法，再约分即可解题． 解：， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算的结果为_________． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键． 先算乘方运算，再把除法化为乘法运算，再计算即可． 解：， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课前预习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了含乘方的分式的乘除混合运算． （1）先乘方，再利用分式的乘除混合运算法则计算即可求解； （2）分子分母先因式分解，再利用分式的乘除混合运算法则计算即可求解． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【易错点小结】（1）除法不变倒数，直接约分或相除；（2）符号出错，多个负号时判断错误；（3）没分解就乱约，只约部分项；（4）整式参与运算时，未看成分母为 1 导致漏乘；（5）结果不约分、不化简。 【知识点二】分式的加减乘除混合运算法则 分式的加减乘除混合运算，要先算括号内的运算，再按照先乘除、后加减的顺序进行；乘除运算时，先将除法转化为乘法，再因式分解、约分后计算；加减运算时，异分母要先通分，化为同分母后分母不变、分子相加减，分子相减时注意加括号、变符号，最后将结果化简为最简分式或整式。 【题型 5】分式加减乘除混合运算 解题步骤：（1）先变号：把所有除法转化为乘法，即乘以倒数；（2）再分解：分子、分母分别因式分解；（3）后约分：先整体约分，再相乘；（4）化最简：结果化为最简分式或整式。 【例题5】（25-26八年级下·全国·课后作业）王老师在黑板上写了这样一道计算题：．莉莉和君君的解题步骤如下： 莉莉：原式； 君君：原式． （1）莉莉解题的依据是__________；君君解题的依据是__________；（请填写序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请选择其中一名同学的做法，完成解答过程． 【答案】（1）②；③；（2）见分析 【分析】（1）根据分式的基本性质和乘法分配律求解； （2）根据分式的运算法则计算并注意运算顺序即可求解． 解：（1）解：莉莉解题的依据是分式的基本性质；君君解题的依据是乘法分配律， 故答案为：②，③； （2）解：选择莉莉，解法如下： 原式 ． 选择君君，解法如下： 原式 ． 【变式1】（25-26八年级上·河南·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，先将除法运算转换为乘法运算，然后对括号内的代数式通分化简，利用完全平方公式，最后通过约分得到最简结果. 解：         ， 化简结果为 ． 故选： C． 【变式2】（2026八年级下·全国·专题练习）若化简的最终结果为整数，则“”代表的式子可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算顺序是解决问题的关键． 先将原式化简，得到，再令，使结果为整数． 解： ， 要使结果为整数，取，则，为整数， 故“”代表的式子可以是． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了分式混合运算，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键． （1）先根据同分母减法运算法则计算括号内的，再根据分式除法运算法则，进行计算即可； （2）先根据异分母加法运算法则计算括号内的，再根据分式乘法运算法则，进行计算即可； （3）先根据异分母减法运算法则计算括号内的，再根据分式除法运算法则，进行计算即可； （4）先根据异分母减法运算法则计算括号内的，再根据分式除法运算法则，进行计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【易错点小结】（1）除法不变倒数，直接约分或相除；（2）符号出错，多个负号时判断错误；（3）没分解就乱约，只约部分项；（4）整式参与运算时，未看成分母为 1 导致漏乘；（5）结果不约分、不化简。 【题型 6】分式化简求值 解题步骤：先对分式的分子、分母进行因式分解，遇到除法运算要转化为乘以除式的倒数，有加减运算则先通分、合并分子并注意整体加括号，再通过约去公因式将分式化为最简形式，最后选取使所有分母都不为 0 的合适数值代入计算结果。 【例题6】（25-26八年级下·河南周口·开学考试）先化简，再求值：，请在，0，2中选择一个合适的数代入求值． 【答案】， 【分析】先算括号内的，再计算除法，然后根据分式有意义的条件选用代入，即可求解． 解：原式 ， ∵分母不能为0， ∴， ∴， ∴只能选， 把代入原式． 【变式1】（25-26八年级上·重庆·期末）若，则的值为（    ） A．10 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，通过已知分式等式变形得到与的关系，再将所求分式的分子、分母转化为含和的形式，最后代入计算即可求解． 解：∵， ∴， ∴， 将代入中， 分子， 分母， ∴原式． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，则的值为__________． 【答案】8 【分析】先对分式的分子分母进行因式分解，再根据分式乘除的运算法则运算即可求解． 解：原式 ， ∵， ∴原式． 【点拨】运用整体代入法解题． 【变式3】（25-26八年级上·广西来宾·期末）先化简，再求值： （1）化简：； （2）从给定的范围内选择一个整数代入（1）的化简结果中，并计算其值． 【答案】（1）；（2）当时，值为5； 当时，值为6 【分析】（1）利用分式的除法法则和平方差公式进行化简； （2）先判定出不合适的数，然后选取合适的数代入求值． 解：（1）解： ； （2）解：的范围内的整数解为， ∵， ∴且， 当时，； 当时，； 【易错点小结】（1）在分子加减时漏加括号导致符号出错；（2）通分过程中分子漏乘公分母；（3）除法运算不变倒数直接计算（4）未分解因式就错误约分，（5）代入数值前不检验分母是否为0，以及化简后未约尽公因式就直接代入求值，这些都是常见失分点。 【培优篇】 【题型 7】分式加减乘除混合化简求值综合 【例题7】（25-26九年级上·重庆铜梁·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，零指数幂和负整数指数幂，整式的混合运算，先把小括号内的分式通分化简，再根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的运算法则去括号，然后把除法变成乘法后约分化简，以及合并同类项，接着通分化简，再求出x的值，并代入求值即可． 解： ， ∵， ∴原式． 【变式1】（2023九年级下·安徽宣城·竞赛）已知a是实数，并且，则代数式的值是（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】D 【分析】本题考查了求代数式的值等知识．根据题意得到，，把所求代数式变形为再整体代入，化简即可求解． 解：∵， ∴，， ∴ ． 故选：D 【变式2】（25-26八年级上·山东淄博·期末）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即 的值为的倒数，即 迁移应用：以上解法先将已知等式的两边取倒数，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法、倒数，理解例题的思路是解题的关键；已知等式取倒数，求出 的值，再求待求式子的倒数，利用完全平方公式变形求解． 解：由 ，， ∴ ， 即 ， ∴， ∴ ， ∴待求式 的倒数为 ， 故 ． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·全国·周测）已知，其中是一个含的代数式． （1）求化简后的结果． （2）当满足不等式组且为整数时，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先对已知等式进行移项，将含的项单独放在等式一边，再通过因式分解、通分等分式运算化简，得到的表达式； （2）先解不等式组，确定整数的取值，再结合分式有意义的条件（分母不为 ）筛选出符合条件的，代入的表达式计算． 解：（1）解：①整理等式并移项求： 移项得： ②因式分解分子与分母： 先对分式进行因式分解 分子： 分母： ∴． 代入原式得： ． （2）解：解不等式组： 解得：①：． ②：． 联立得：． 为整数，在区间内的整数为：，． 原式中的表达式为：，分母，即：． ∴不满足条件，舍去． 故唯一可能取值为． 代入计算的值，代入得： 分子： 分母： ∴． 【点拨】本题考查了分式的化简运算、解一元一次不等式组及分式有意义的条件，解题关键是先通过因式分解和通分化简分式，再结合不等式组的整数解与分式有意义的条件确定的取值． 【题型 8】分式综合运算的规律问题探究 【例题8】（24-25八年级上·福建福州·期末）发现规律： 我们发现，．这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出：． 运用规律 （1）如果，那么的值是_______，的值是_________； （2）如果． ①求的值； ②求的值． 【答案】（1），；（2）①；② 【分析】（）根据多项式的乘法法则计算即可求解； （）①由多项式的乘法法则可得，，再把值代入展开后的结果中计算即可求解；②先通分，再利用积的乘法的逆运算及完全平方公式的变形运算转化，最后把①所得值代入计算即可求解； 本题考查了分式的求值，整式的运算，掌握分式和整式的运算法则是解题的关键． 解：（1）解：∵， ∴，， 故答案为：，； （2）解：①∵， ∴，， ∴ ； ② ． 【变式1】（21-22八年级上·贵州铜仁·期末）根据，，，，…所蕴含的规律可得等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的运算，求得，，的值，找到规律，利用规律求解即可． 解：，， ， ∴ 可知此组数三个一循环， ∴ 故选：C 【点拨】此题考查了数字的变化规律，涉及了分式的有关计算，解题的关键是根据已知计算公式找到这组数据的规律． 【变式2】（24-25八年级上·山东临沂·期末）观察下列算式： ，，，， 按照以上规律，写出第个算式_____（用含正整数的算式表示） 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律、分式的乘法，解决本题的关键是通过观察前几个式子的变化规律，用含的分式把算式的各部分分别表示出来，然后再根据分式的乘法法则进行计算即可． 解：， ， ， ， 按照以上规律可知：． 故答案为： ． 【变式3】（25-26八年级上·湖南永州·月考）观察下列算式， 第一个式子；  第二个式子； 第三个式子； 第四个式子；…… 根据你发现的规律解决下列问题： （1）写出第n个式子： （n为正整数）． （2） （n，m为正整数且）． （3）若，试求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了分式的运算，绝对值的非负性，分式的规律性问题； （1）根据题意找出规律即可求出； （2）根据题意找出规律即可求出； （3）由题意得到，，解得，，代入原式，再根据计算即可． 解：（1）解：第n个式子为： ， 故答案为：． （2）解：设 ∴ 令，则 令，则 ∴ 故答案为：. （3）解：∵ ∴， 解得， ∴ . 二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2023·河北·中考真题）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的乘方和除法的运算法则进行计算即可． 解：， 故选：A． 【点拨】本题考查分式的乘方，掌握公式准确计算是本题的解题关键． 2．（2023·内蒙古·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式加减的运算性质、积的乘方的运算性质、分式加减的运算性质、分式乘除的运算性质判断即可． 解：A、，运算错误，该选项不符合题意； B、，运算错误，该选项不符合题意； C、，运算错误，该选项不符合题意； D、运算正确，该选项符合题意． 故选：D． 【点拨】本题主要考查二次根式加减、积的乘方、分式的加减、分式的乘除，牢记二次根式加减的运算性质、积的乘方的运算性质、分式加减的运算性质、分式乘除的运算性质是解题的关键． 3．（2024·山东威海·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方，根据合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方的运算法则计算即可． 解：A、，运算错误，该选项不符合题意； B、，运算错误，该选项不符合题意； C、，运算正确，该选项符合题意； D、，运算错误，该选项不符合题意． 故选：C 4．（2025·山东威海·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，幂的乘方计算，同底数幂除法计算，分式的乘除法计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 5．（2025·河北·中考真题）若，则（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了分式的化简求值，将分式化简后代入求值，即可求解． 解： 当时，原式 故选：B． 6．（2023·湖北武汉·中考真题）已知，计算的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后把代入原式即可求出答案． 解： = = =， ∵， ∴， ∴原式==1， 故选A. 【点拨】本题考查分式的混合运算及求值．解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则． （2） 填空题（6题） 7．（2023·湖南·中考真题）已知，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】先通分，再根据同分母分式的减法运算法则计算，然后代入数值即可． 解：原式= 故答案为： 【点拨】本题主要考查了分式通分计算的能力，解决本题的关键突破口是通分整理． 8．（2025·江苏扬州·中考真题）计算：______． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法即可得． 解：原式 ， 故答案为：． 9．（2023·黑龙江绥化·中考真题）化简：_______． 【答案】/ 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解． 解： ； 故答案为：． 【点拨】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 10．（2025·黑龙江绥化·中考真题）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查分式混合运算，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．先将分式的分子分母因式分解，再由分式混合运算法则求解即可得到答案． 解： 故答案为：． 11．（2025·山东东营·中考真题）化简____________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算． 先对括号内的表达式进行通分相加，然后将除法运算转化为乘法运算，利用平方差公式分解因式并约分即可． 解： ． 故答案为：． 12．（2023·四川成都·中考真题）若，则代数式，的值为___________． 【答案】 【分析】根据分式的化简法则，将代数式化简可得，再将变形，即可得到答案． 解：， ， ， ， ， ， ， 故原式的值为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了分式的化简法则，整式的整体代入，熟练对代数式进行化简是解题的关键． （3） 解答题（4题） 13．（2025·山东·中考真题）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）2；（2），4 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式化简求值． （1）根据零指数，算术平方根的性质，进行计算即可求解； （2）先根据分式的加减计算括号内的，然后进行乘法进行化简，最后将字母的值代入求解． 解：（1） ； （2） ； 当时，原式． 14．（2025·四川凉山·中考真题）（1）解不等式：； （2）先化简，再求值：，求值时请在内取一个使原式有意义的x（x为整数）． 【答案】（1）；（2）；当时，值为；当时，值为 【分析】本题考查了解一元一次不等式，分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则和解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）先去分母，然后去括号，合并同类项，系数化1即可求解； （2）先将除法化为乘法计算，再进行分式的减法计算，根据分式有意义的条件得到，再选择合适的整数代入求值即可． 解：（1）解：， ， ， 解得：， ∴原不等式的解集为：； （2）解： ， ∵分式有意义， ∴， ∴或； 当时，原式； 当时，原式． 15．（2025·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，运用整体思想是解题的关键；根据分式的运算法则先化简，由已知求出，再整体代入求值即可． 解：原式 ， ， ， ∴原式 ． 16．（2025·山东滨州·中考真题）已知，，． （1）若，求C的值； （2）当，且为整数时，求x的整数值． 【答案】（1）；（2）或4 【分析】本题考查分式的化简，分式的混合运算，熟练掌握分式的基本性质，分式的混合运算法则，是解题的关键： （1）化简，得到，根据混合运算法则求出，即可得出结果； （2）根据，结合，得到，进而得到，根据为整数得到，且，进行求解即可． 解：（1）解：∵，， ∴． ． ∴． ∵， ∴． （2）由（1），得：， ∴， 当时，． ∵与均为整数， ∴或． ∴， 又∵且， ∴且． ∴或4． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.4 分式的乘除（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【基础篇】 1 【知识点一】分式的乘除运算法则 1 【题型 1】分式的乘法 2 【题型 2】分式的除法 2 【题型 3】分式的乘方 3 【题型 4】分式乘除混合运算 3 【知识点二】分式的加减乘除混合运算法则 4 【题型 5】分式加减乘除混合运算 4 【培优篇】 5 【题型 6】利用求差法比较分式的大小 5 【题型 7】分式加减的应用 6 【题型 8】利用分式加减法进行证明 6 二.中考模拟真题 7 （一）单选题（6题） 7 （二）填空题（6题） 8 （三）解答题（4题） 8 一.知识梳理与题型精析 【基础篇】 【知识点一】分式的乘除运算法则 分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母； 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 用符号表示为： 【题型 1】分式的乘法 解题步骤：分式相乘，先把分子乘分子、分母乘分母，再分别对分子、分母进行因式分解，找出公因式约分，最后化为最简分式或整式。 【例题1】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： （1）． （2）． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）化简：________． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【易错点小结】（1）未先因式分解、约分就直接相乘，计算量大易出错；（2）因式分解不彻底，漏掉公因式；（3）整式乘分式时，只把整式和分子相乘，忽略整体运算；（4）符号判断错误，结果没有化为最简分式。 【题型 2】分式的除法 解题步骤：（1）变除为乘：除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数；（2）因式分解：把分子、分母能分解的先分解；（3）约分：约去分子与分母的公因式；（4）相乘化简：分子乘分子，分母乘分母，结果化为最简分式或整式。 【例题2】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： （1）． （2）． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，则A表示的分式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖北武汉·模拟预测）计算的结果是______． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【易错点小结】（1）忘记变号、变倒数，直接做除法运算；（2）颠倒分子分母时符号出错；（3）没有先因式分解就直接相乘，计算复杂易错；（4）整式除以分式时，未把整式看成分母为 1 的式子，漏乘分母；（5）结果不约分，未化成最简分式。 【题型 3】分式的乘方 解题步骤：（1）把分子、分母分别乘方；（2）对分子、分母进行因式分解；（3）约分，结果化为最简分式或整式。 【例题3】（25-26八年级上·全国·课后作业）若，请比较x与y的大小． 【变式1】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·河北张家口·月考）计算________． 【变式3】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【易错点小结】（1）只给分子乘方，分母忘记乘方；（2）系数不乘方，只给字母乘方；（3）符号出错，负数偶次方为正、奇次方为负判断错误；（4）结果不约分、不化简，未化成最简分式。 【题型 4】分式乘除混合运算 解题步骤：（1）先变号：把所有除法转化为乘法，即乘以倒数；（2）再分解：分子、分母分别因式分解；（3）后约分：先整体约分，再相乘；（4）化最简：结果化为最简分式或整式。 【例题4】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： （1）． （2）． 【变式1】（24-25八年级上·山东烟台·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算的结果为_________． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课前预习）计算： （1）； （2）． 【易错点小结】（1）除法不变倒数，直接约分或相除；（2）符号出错，多个负号时判断错误；（3）没分解就乱约，只约部分项；（4）整式参与运算时，未看成分母为 1 导致漏乘；（5）结果不约分、不化简。 【知识点二】分式的加减乘除混合运算法则 分式的加减乘除混合运算，要先算括号内的运算，再按照先乘除、后加减的顺序进行；乘除运算时，先将除法转化为乘法，再因式分解、约分后计算；加减运算时，异分母要先通分，化为同分母后分母不变、分子相加减，分子相减时注意加括号、变符号，最后将结果化简为最简分式或整式。 【题型 5】分式加减乘除混合运算 解题步骤：（1）先变号：把所有除法转化为乘法，即乘以倒数；（2）再分解：分子、分母分别因式分解；（3）后约分：先整体约分，再相乘；（4）化最简：结果化为最简分式或整式。 【例题5】（25-26八年级下·全国·课后作业）王老师在黑板上写了这样一道计算题：．莉莉和君君的解题步骤如下： 莉莉：原式； 君君：原式． （1）莉莉解题的依据是__________；君君解题的依据是__________；（请填写序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请选择其中一名同学的做法，完成解答过程． 【变式1】（25-26八年级上·河南·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026八年级下·全国·专题练习）若化简的最终结果为整数，则“”代表的式子可以是______． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【易错点小结】（1）除法不变倒数，直接约分或相除；（2）符号出错，多个负号时判断错误；（3）没分解就乱约，只约部分项；（4）整式参与运算时，未看成分母为 1 导致漏乘；（5）结果不约分、不化简。 【题型 6】分式化简求值 解题步骤：先对分式的分子、分母进行因式分解，遇到除法运算要转化为乘以除式的倒数，有加减运算则先通分、合并分子并注意整体加括号，再通过约去公因式将分式化为最简形式，最后选取使所有分母都不为 0 的合适数值代入计算结果。 【例题6】（25-26八年级下·河南周口·开学考试）先化简，再求值：，请在，0，2中选择一个合适的数代入求值． 【变式1】（25-26八年级上·重庆·期末）若，则的值为（    ） A．10 B．7 C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，则的值为__________． 【变式3】（25-26八年级上·广西来宾·期末）先化简，再求值： （1）化简：； （2）从给定的范围内选择一个整数代入（1）的化简结果中，并计算其值． 【易错点小结】（1）在分子加减时漏加括号导致符号出错；（2）通分过程中分子漏乘公分母；（3）除法运算不变倒数直接计算（4）未分解因式就错误约分，（5）代入数值前不检验分母是否为0，以及化简后未约尽公因式就直接代入求值，这些都是常见失分点。 【培优篇】 【题型 7】分式加减乘除混合化简求值综合 【例题7】（25-26九年级上·重庆铜梁·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式1】（2023九年级下·安徽宣城·竞赛）已知a是实数，并且，则代数式的值是（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【变式2】（25-26八年级上·山东淄博·期末）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即 的值为的倒数，即 迁移应用：以上解法先将已知等式的两边取倒数，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，则的值为________． 【变式3】（25-26八年级下·全国·周测）已知，其中是一个含的代数式． （1）求化简后的结果． （2）当满足不等式组且为整数时，求的值． 【题型 8】分式综合运算的规律问题探究 【例题8】（24-25八年级上·福建福州·期末）发现规律： 我们发现，．这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出：． 运用规律 （1）如果，那么的值是_______，的值是_________； （2）如果． ①求的值； ②求的值． 【变式1】（21-22八年级上·贵州铜仁·期末）根据，，，，…所蕴含的规律可得等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山东临沂·期末）观察下列算式： ，，，， 按照以上规律，写出第个算式_____（用含正整数的算式表示） 【变式3】（25-26八年级上·湖南永州·月考）观察下列算式， 第一个式子；  第二个式子； 第三个式子； 第四个式子；…… 根据你发现的规律解决下列问题： （1）写出第n个式子： （n为正整数）． （2） （n，m为正整数且）． （3）若，试求的值． 二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2023·河北·中考真题）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·内蒙古·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东威海·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山东威海·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2025·河北·中考真题）若，则（    ） A． B． C．3 D．6 6．（2023·湖北武汉·中考真题）已知，计算的值是（    ） A．1 B． C．2 D． （2） 填空题（6题） 7．（2023·湖南·中考真题）已知，则代数式的值为________． 8．（2025·江苏扬州·中考真题）计算：______． 9．（2023·黑龙江绥化·中考真题）化简：_______． 10．（2025·黑龙江绥化·中考真题）计算：________． 11．（2025·山东东营·中考真题）化简____________． 12．（2023·四川成都·中考真题）若，则代数式，的值为___________． （3） 解答题（4题） 13．（2025·山东·中考真题）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 14．（2025·四川凉山·中考真题）（1）解不等式：； （2）先化简，再求值：，求值时请在内取一个使原式有意义的x（x为整数）． 15．（2025·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：，其中满足． 16．（2025·山东滨州·中考真题）已知，，． （1）若，求C的值； （2）当，且为整数时，求x的整数值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $