精品解析：江苏无锡市江阴市六校2025-2026学年第二学期期中联考试卷高二数学

2025-2026学年度第二学期期中联考试卷 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 学生要从物理、历史、化学、生物、政治、地理这6科中选3科参加考试，规定先从物理和历史中任选1科，然后从其他4科中任选2科，不同的选法种数为（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 4. 函数的极小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机变量X的分布列如表所示： X 0 1 2 a P 0.2 0.2 b 0.3 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为，单价p与产量q的函数关系式为，则利润最大时，的值为（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于（ ） A. B. C. D. 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若随机变量服从两点分布，其中，和分别为随机变量的期望与方差，则（ ） A. B. C. D. 10. 若，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，的图象关于点成中心对称 B. 当时，零点个数是3 C. 当时， D. 若函数在有最大值，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为______． 13. 定义域为的二次函数满足：①为奇函数；②对任意的，，若，都有．写出一个满足条件的函数_____． 14. 甲和乙两个箱子中各装有大小相同的10个球，其中甲箱中有5个白球、5个红球，乙箱中有8个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为5或6，那么从甲箱子中随机摸出个球；如果点数为1，2，3，4，那么从乙箱子中随机摸出个球.若，摸到红球的概率为______；若，至少摸到一个红球的概率为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 等6人排成一排，用数字作答下列问题． （1）两人不排在一起，有几种排法； （2）两人必须排在一起，有几种排法； （3）A不在排头，B不在排尾，有几种排法． 16. 在的展开式中，所有项的二项式系数之和为128． （1）求出展开式中所有的有理项； （2）求展开式中系数最大的项． 17. 已知函数的极小值点为． （1）求的值； （2）若曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求实数的值； （3）若函数在区间上不单调，求实数的取值范围． 18. 一个猜谜语活动中有A和B两道谜语，小明猜对谜语A的概率为，猜对获得奖金10元，猜对谜语B的概率为，猜对获得奖金20元，猜不出不给奖金，小明是否猜对两道谜语相互独立. （1）设事件“小明恰好猜对一道谜语”，求事件M发生的概率； （2）如果按照如下规则猜谜：先选一道猜测，只有在猜对的情况下，才有资格猜下一道． （i）若猜谜语顺序由小明选择，小明应该先猜哪一道呢； （ii）在（i）顺序下，小明可以花元购买提示机会，购买一次对两道谜语都生效，提示后小明猜对两道谜语的概率均会提高个百分点()，问、满足什么关系，小明才值得购买提示（购买后收益期望减去元大于购买前收益期望）． 19. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若不等式 在上恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，证明:． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中联考试卷 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由组合数的计算公式即可求解. 【详解】因为， 又；；；， 故. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求，代入求值. 【详解】因为，所以. 3. 学生要从物理、历史、化学、生物、政治、地理这6科中选3科参加考试，规定先从物理和历史中任选1科，然后从其他4科中任选2科，不同的选法种数为（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】应用乘法原理结合组合数计算求解. 【详解】先从物理和历史中任选1科，然后从其他4科中任选2科，不同的选法种数为种. 4. 函数的极小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，确定函数单调性，即可求解. 【详解】对求导：， 因为恒成立，令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此是的极小值点， ，​ 即函数极小值为. 5. 已知随机变量X的分布列如表所示： X 0 1 2 a P 0.2 0.2 b 0.3 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由分布列性质求得，再由期望值求出，进而求得. 【详解】由分布列性质可得，解得， 则，又， 所以，解得， 所以. 6. 已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为，单价p与产量q的函数关系式为，则利润最大时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到利润函数，利用导数求最值判断. 【详解】由题知总收入  ，成本 ， 因此利润 ， 则，令 ，得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 因此时利润取得最大值. 7. 甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据甲、乙、丙三人到三个景点旅游，甲独自去一个景点有3种，乙、丙有种，得到B事件“甲独自去一个景点”可能性，再求得A事件“三个人去的景点不相同”的可能性，然后利用条件概率求解. 【详解】甲独自去一个景点有3种，乙、丙有种，则B“甲独自去一个景点”，共有种， A“三个人去的景点不相同”，共有种， 所以概率P(A|B) . 故选：C 【点睛】本题主要考查条件概率的求法，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题. 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数 ​，利用其单调性比较，利用不等式性质比较，得到大小关系. 【详解】构造函数 ​，则，令得， 则当时，，单调递增，当时，，单调递减， 因此的最大值在处取得，又 ，， 所以，即  又，所以，所以，即 ， 综上可得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若随机变量服从两点分布，其中，和分别为随机变量的期望与方差，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由两点分布的期望、方差计算公式和期望、方差的性质逐项判断即可. 【详解】选项A：由概率和为，则​，A正确； 选项B：， 根据期望性质，得，B错误； 选项C：根据方差公式，得​，C正确； 选项D：根据方差性质，得，D正确. 10. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】令，，可判断ABC，把等式两边求导数，取，可判断D. 【详解】令，可得，A正确； 令，可得， 故，B错误； 取，可得， 故，C正确； 由， 两边求导数，可得， 取可得，D错误. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，的图象关于点成中心对称 B. 当时，零点个数是3 C. 当时， D. 若函数在有最大值，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，验证，利用奇函数定义判断其图象关于原点中心对称；对 B，对因式分解，直接求解方程的实根个数判断；对 C，取特殊值​，通过比较与的大小，反证原不等式不成立；对 D：根据三次函数的单调性与极值，结合区间内存在最大值的条件，列出 “极大值点在区间内” 和 “区间内无大于的函数值” 两个不等式求解的范围. 【详解】易知，令得或， 当时，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故极大值 ，极小值 . 对于A：当 时，，对任意有，是奇函数，图象关于原点 中心对称，A正确； 对于B：当时，， 由，得或，B正确； 对于C：取，，显然不满足不等式，C错误； 对于D：仅在处取得极大值，且 时 ， 因此区间存在最大值，最大值必为，需满足两个条件： 极大值点 在区间内，即，解得； 区间内不存在函数值大于，解方程，得， 解得或，因此区间右端点满足 ，即 ， 综上，，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】由二项式定理通项公式即可求解. 【详解】根据展开式的通项公式为， 对于，代入得通项为： ， 令，的系数为. 13. 定义域为的二次函数满足：①为奇函数；②对任意的，，若，都有．写出一个满足条件的函数_____． 【答案】 （仅有二次项且二次项系数为正即可） 【解析】 【分析】先求二次函数的导函数，利用奇函数性质求出参数，再根据导函数单调递增得到二次项系数的范围，写出一个符合要求的函数即可. 【详解】对二次函数 ，， 因为为奇函数，所以，即，得； 又可得在上单调递增，因为，所以，即； 因此满足条件的函数只要形如 即可，比如. 14. 甲和乙两个箱子中各装有大小相同的10个球，其中甲箱中有5个白球、5个红球，乙箱中有8个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为5或6，那么从甲箱子中随机摸出个球；如果点数为1，2，3，4，那么从乙箱子中随机摸出个球.若，摸到红球的概率为______；若，至少摸到一个红球的概率为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】分别计算选甲箱和乙箱的概率，再结合全概率计算公式，先求得摸到两个都是白球的概率，再由对立事件概率计算公式即可求解第二空. 【详解】掷骰子选箱子：点数为5或6选甲箱，则选甲箱的概率为​， 点数为1，2，3，4选乙箱，则选乙箱的概率为， 从甲箱摸1个红球的概率：， 从乙箱摸1个红球的概率：， 故时，摸到红球的概率： ， 当时，设至少摸到一个红球的概率为，摸到两个都是白球的概率为， 则， 又从甲箱摸两个白球的概率：， 从乙箱摸两个白球的概率：， ​ 故摸到两个白球的概率：  ， 因此： ， 即时，至少摸到一个红球的概率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 等6人排成一排，用数字作答下列问题． （1）两人不排在一起，有几种排法； （2）两人必须排在一起，有几种排法； （3）A不在排头，B不在排尾，有几种排法． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由插空法即可求解； （2）由捆绑法即可求解； （3）通过在排尾和不在排尾两类情况讨论求解即可. 【小问1详解】 将插入到其余4人所形成的5个空中，； 【小问2详解】 将两人捆绑在一起看作一个复合元素和其他4人去安排， 因此，有； 【小问3详解】 分以下两种情况讨论： ①若在排尾，则剩下的5人全排列，故有种排法； ②若不在排尾，则有4个位置可选，有4个位置可选，将剩下的4人全排列，安排在其它4个位置即可，此时，共有种排法 综上所述，共有种不同的排法种数． 16. 在的展开式中，所有项的二项式系数之和为128． （1）求出展开式中所有的有理项； （2）求展开式中系数最大的项． 【答案】（1）， ， ， （2） 【解析】 【分析】（1）由二项式系数和确定，再结合通项公式即可求解； （2）通过求解即可. 【小问1详解】 由题意知：，即 所以 当时所有的有理项为， 即， ， ， 【小问2详解】 设展开式中第项的系数最大， 则 所以 所以，， 故系数最大的项为 ． 17. 已知函数的极小值点为． （1）求的值； （2）若曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求实数的值； （3）若函数在区间上不单调，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1） 先求出导函数，再代入计算求解参数，最后检验； （2） 先求出导函数得出切线斜率，再点斜式得出切线，最后联立应用判别式计算求出参数； （3）先求出导函数，根据单调性得出导函数变号，最后结合指数函数单调性列式求解参数. 【小问1详解】 由题意得， ∵极小值点为，∴，解得 ， 检验，当时，单调递减，单调递增，符合题意． 【小问2详解】 由题意得， ， 所以切点为，切线斜率为， 切线方程为，即． 与二次曲线联立得，， 只有一个公共点，所以． 【小问3详解】 由题意得在上有变号零点， 即在上有变号零点， ∵在上恒成立，∴在上有零点， 即的取值范围是函数在区间上的值域， 所以 18. 一个猜谜语活动中有A和B两道谜语，小明猜对谜语A的概率为，猜对获得奖金10元，猜对谜语B的概率为，猜对获得奖金20元，猜不出不给奖金，小明是否猜对两道谜语相互独立. （1）设事件“小明恰好猜对一道谜语”，求事件M发生的概率； （2）如果按照如下规则猜谜：先选一道猜测，只有在猜对的情况下，才有资格猜下一道． （i）若猜谜语顺序由小明选择，小明应该先猜哪一道呢； （ii）在（i）顺序下，小明可以花元购买提示机会，购买一次对两道谜语都生效，提示后小明猜对两道谜语的概率均会提高个百分点()，问、满足什么关系，小明才值得购买提示（购买后收益期望减去元大于购买前收益期望）． 【答案】（1） （2）（i）应该先猜谜语；（ii） 【解析】 【分析】（1）分先猜或先猜两种互斥路径，计算先猜任一谜语最终猜对的总概率； （2）（i）分别定义两种顺序下的奖金随机变量，通过分步概率计算分布列，再求数学期望并比较大小，选择期望更高的猜谜顺序；（ii）定义购买提示后先猜的奖金随机变量，结合提示对猜对概率的影响计算分布列与期望，通过 “购买后期望收益＞原期望收益” 的不等式，得到购买提示值得的条件. 【小问1详解】 根据题意，得 【小问2详解】 （i）设小明先猜谜语得到的奖金为X元，则X的可能取值为0，10，30， 可得，，， 所以X的分布列为 X 0 10 30 P ． 设小明先猜谜语得到的奖金为Y元，则Y的可能取值为0，20，30， 可得，，， 所以Y的分布列为 Y 0 20 30 P 因为，所以小明应该先猜谜语 （ii）设小明购买提示后先猜谜语A得到的奖金为Z元（不含支出元）， 则Z的可能取值为0，10，30， 可得， ， ， 所以 所以小明最终获得元， 若要值得购买则即． 19. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若不等式 在上恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，证明:． 【答案】（1）当时，的单调递增区间是，无单调递减区间；当时，的单调递增区间是，单调递减区间是. （2） （3） 证明：即 当，，故只需证 由（2）得在取等号， ，定义域为，， 当时；当时， 在处取得最小值，因此，即， 综上，两处取等条件不同时成立 所以，原命题成立． 【解析】 【分析】（1）通过对函数求导，根据导数的符号，对参数分类讨论，直接分析函数的单调性； （2）解法 1 ，利用第 (1) 问的单调性结论，通过证明，将恒成立问题转化为函数在特定区间上单调递减，得到参数范围；解法 2 构造辅助函数，通过多次求导，分析其单调性与最小值，反推参数的取值范围； （3）将原不等式等价变形，利用进行放缩，只需证明，再结合第 (2) 问的结论，通过构造函数证明，且两处等号不同时成立，完成证明. 【小问1详解】 根据题意，， 时，恒成立，在上单调递增， 时，由得；由得， 所以在上单调递增；在上单调递减. 综上，当时，的单调递增区间是，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是. 【小问2详解】 解法1：在上恒成立， 又∵，∴等价于在上恒成立， 设 ， 在上恒成立， ∴ 在单调递增， 所以，即当，， 要使在上恒成立，只需在上递减， 由（1）得，解得． 解法2：设，， 设，则 ， ①当时在恒成立，所以在单调递增， 所以所以在单调递增，所以，满足题意， ②当时，使得，，所以在单调递减， 所以，，所以在单调递减， 所以，不符合题意， 综上得满足题意． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $