甘肃兰州亚西亚中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

高二下期中考试数学试题 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选愿（本大愿共8小愿，共40分） 1.若A,B,C,D为空间不同的四点，则下列各式为罗向量的是( ①AB+2B元+2CD+DC: 2AB+2 BC+3 CD+3 DA+AC ③AB+CA+BD: ①AB-CB+CD-AD. A.①② B.②③ C.②④ D.①④ 2.已知空间向量ā=(1，-2，)，b=(-1,0,-1),则向量6在向量ā上的投彩向量是（) a.(Go ®.（司c.(作 D.（子》 3.曲线y=:在点(-3,2列处的切线方程为(《) r+2 A.x-y+5=0 B.x+y+1=0 C.3x-y+11=0 D.3x+y+7=0 4.已知函数x)=hx-x,则im2)-/2-2A.（) n-◆0 Ar A.n2-4 B.-3 C.-7 D.2ln2-8 5.直线ab的方向向量为，五，平面a的法向量分别为m,π，则下列选项正确的是() A.若alb,则ab-0 B.若b1B,则b而=0 C.若a⊥a,则a-0 D.若aWB,则·=0 6.下列求导运算正确的是() A.y=h2.则y=2 B.若f=2xhx,则r-子 C.若f(x)=cos(2x+3),则f'(x)=2sin(2x+3) D.若/)=点，则f到- 7.在平行六面体ABCD-ABGD中，∠AAB=∠AAD=∠BAD=60, AB=L,AD=M=2.求直线BD,与AD所成角的余弦值() A.0 9 c.a D.2 3 8.已知函数f(x)在R上的导函数为f'(x),且'(x)-1<0,则fx)+2x-8>f(3x-8)的 解集为() A.(-0,4) B.(0,o) C.（-0,0) D.(4,t0) 二，多选温《本大思共3小愿，共8分) 9.若函数f=ahx++Sa*0)既有极大值也有极小值，则(). A.bex0 B.ab>0 C.b2+8ac>0 D.ac<0 10。下列结论正确的是() A【(2x-l=2x B.设函数f(x)=xlnx,且f'(x)=2,则x=c C.若y=cos年，则ye-m牙 D.设函数f八)的导函数为f飞，且倒=r+3时"2+m,则/2到=-} 11.如图，平行六面体ABCD-ABCD1中，以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们 彼此的夹角都是60°，则〔) A.AC1=5 B.ACI⊥BD C.四边形BDDB,的面积为号 D.平行六面体ABCD-ABC,D:的体积为号 三、填丝意（本大题共3小黑，共15分） 12.已知空间中有三点(3,2,0)，B32,2),C(3,01),则A到直线BC的距离为· I3.己知曲线y=e+1在x=0处的切线也是曲线y=lh(c+)+a的切线，则a=一， 14.已知函数f)-+m,若次XR,且5>5，都有)-3-2，则实 名-好 数洲的取值范围为 四、解答愿（本大共5小温，共77分） [5.如图，在平行六面体ABCD-A8CA中，A8=5, D AD=3,AA=4,∠DB=90°，∠BAM=∠DAM=6C,E 是CC的中点，设B=a,D=b,A=c (1)求AE的长： (2)求AE和CD夹角的余弦值. 16.已知函数厂(x)=x2(a-nx)在{L,f)处的切线与直线y=x+2平行. (1)求a的值： (2)求f(x)的极值. I7.棱长为2的正方体ABCD-ABGD中，E为DD,的中点，F为BD中点，G为4的 中点。 (1)证明：EF11平面ABCD,: D (2)证明：平面BDC⊥平面BDG. 的 I8.在三棱锥P-ABC中，AB=BC=L,PA=PB=AC=5,平面ABC⊥平面PBM. (1)证明：PA=PC: (2)求三棱锥P-BC的体积： (3)求平面AP℃与平面PCB夹角的余弦值 19.将一个边长为1米的正六边形铁皮的六个角截去六个全等的四边形，再把它沿虚级折 起（如图)，做成一个无盖的正六棱柱铁皮盒 1米 (1)试把这个正六棱柱铁皮盒的容积'表示为盆底边长x的函数： (2)x多大时，盆子的容积'最大？ 参考答案 1.【咨案】C 【详解】①AE+2BC+2CD+DC =AB+2BD+D元 =(AB+BD )+(BD+DC =AD+BC. ②2AB+2BC+3CD+3DA+AC =2(AB+BC+CD+DA )+CD+DA+AC=0. ③AB+CA+BD=CA+AD=c西. ④AB-CE+CD-AD =AB-AD )HCD-CB) =DB+D=0. 2.【答案】D 【弹解】由已知可得ā6=-1-1=-2，+4+1=5， 所似向量5在向量ā上的投影向金是二 高最引 故选D. 3.【答案】A 【详解】因为y=+2-+。1 (+2+2了， 所以切线的斜率为儿g=1, 故所求切线的方程为y-2=x-(-3),即x-y+5=0. 4.【答案】C 【详解】由)=nx-2可得了)=生2x,代2)-之4子， -2-21.20--2-3- Ax 2△x 故选C 5.【答案】B 【详解】由题意， 选顶A,若a‖b,a,B共线，a6≠0，A错误： 选项B,若bB,b,i垂直，则n=0,B正确： 选顶C,若a⊥a,a,册共线，am+0,C错误： 选项D,若a月，m,i共线，+0，D错误。 故选：B. 6.【答案】D 【详解】对于A,y=山2，y=0,故A错误： 对于B,f)=2nx+2x.2hx+2,故B错误： 对于C,)=-sim(2x+3到-2=-2sim2x+3,故C错误： 对于D,器兰，故D正确： 故选D. 7,【答案】A 【详解】设AB=a,D=五，M=c,则同=l5==2,ai=ac=1,bc=2, 因为8丽=Ba+4+AD=-a+c+i,Da=DA+4=b+c, 则B丽DA=(ātc+)(6+ea6-a-e+e2b2=k4440, 则D⊥D4,故直线BD与AD所成角的余弦值为0. D 故选A 8.【谷案】D 【详解】令gx=f(x-x,则g(x)=f(x)-】<0,即8(x)在R上单调递减. 由gx=f(x)-x,得fx)=gx)+x, 则∫(x)+2x-8=g(x)+x+2x-8>f3x-8)=g(3x-8)+3x-8, 得8)>83x-8),所以x<3x-8,得x4, 所以原不等式的解集为(4，∞)： 故选D. 9.【容案】BCD 【详解】函数=anx+之+÷的定义域为0，o,求导得 xx f)=g-6-2-2x2-bx-2x 因为函数(x)既有极大值也有极小值，则函数气x)在0，心}上有两个变号婴点，而 a≠0， 因此方程ax2-br-2c=0有两个不等的正根名，， &=b+8ac>0 于是 x+x2=2>0,即有62+8ac>0,ab>0,ac<0,显然a2bc<0,即bc<0,A错 a -29、0 a 误，BCD正确. 故选BCD IO.【答案】BD 【详解】对于A,[山2x-订Z名· 故A错误： 对于C,若y=cos牙则/=0，故c错误 对于B,若f(x)=1+nx,故l+h=2,故=e,故B正确： 对于D,f'()-2x+3r2)+,故f2)-4+3f2)+2 故了2创-}，故D正确： 故选BD. Il.【答案】BD 12.【答案】45 【详解】由题设AB=0,0,2),C丽=(0,2，，则A到宜线8C的距离 ICBI 5 l3.【答案】2 【详解】设f(x)=e+】,则fo)=2,又f(x)=e',所以(o)=l, 则切线方程为y=x+2, 设g=++a,则g中令中，解得x-0, 所以g{0)=a=2. 4.【答案】[后，6同 【详解】因为%eR,且天>5，都有飞)-2， 1-x3 所以f八s)-f(5)>-2(x-x),即f(x)+2x>x)+2x, 所以gx)=(x)+2x=x+m2+2x在R上单调递增， 又g'(x)=3x2+2r+2, 所以g{x)=3x+2r+2≥0对所有xeR恒成立， 所以△=(2m)-4×3×2s0, 解得≤m≤6， 所以实数m的取值范围为[-石，6 15.【答案】(1)36： 2, 3 【详解】（1) D 的 由店=C+还-硒+而+℃，++去， 因为AB=5,AD=3,4=4,∠DB=90,∠B4=∠D4=60, 所以a=25,5=9,2=16,a.6=0,6c=6,ac=l0, 则E-a+5=8+2a6+ac+6=23t+x160+I046=4. 即=36： 2)由E.西-(a+5+-=-i*-a5--8=-25-0支×0-0， 所在.网9 故AE和CD夹角的余弦值为 3 l6.【答案】(l)a=1 (2)极大值为气，无极小值 【样解】〔1)由题意得："(x)=2a-x-2xnx, 因为f=a-n)在（么，J(》处的切线与直线y=x+2平行， 所以f0=2a-1=l,故a=1. (2)由(1)得：fx)=xl-lhx),定义域为(0，+o), 令f"(x)=x-2xnx=0,得x=V6,则x,∫(x),fx)的变化情况如下表： x (@,v6) e (VE,+o) f() × 0 f) 单调递增 oIN 单调递减 故)的极大值为气， 无极小值」 17.【答案】(1)见详解： （2)见详解. 【样解】〔1)以D为原点，分别以DA,DC,DD为x,片，：轴，建立空间直角坐标系， 则D(0,0,0),E(0,0,1),F1,1,0,A2,0,0),B2,20,D(0,0,2),G{022),G(2,0, 法一：F=(l,-1,B=0,2,0)D=（2,0,2). i.B=2y=0 设平面ABCD,的一个法向量为厅=（名，水，），由 D=-2x+2z=0' 取x=l,得元=(L,0,),所以EF元=Ix1+lx0+(1x1=0,故E乎⊥n, 又EF女平面ABC,D,所以EF1I平面ABCD: 法二：E示=(，L,-),8D,=（←2，-2,2)，所以BD=-2EF,故EF1B0, 又EF平面ABCD,BDC平面ABCD,,所以EF1平面ABCD,: (2)由(1)知DB=(2,2,0),DG-(亿，0,1)DC=0,2,2), 设平面8Dc的一个法向量为m=(a,b,c, 网：D丽=2a+2h=0.令a=1,得瓜-(4-1-2， 由 两-DG=2a+c=01 设平面BDC的一个法向量为m={e,/,8), 丽=2+2=0、令e=1,得m=-化-， 由{ m,DC=2f+2g=01 由所m=Ix1+(←1k←1+(2x1=0,得房藏.故平面BDG⊥平面DG. 18.【答案】(1)见详解 2)6 12 (3)155厨 33 【详解】(1)因为AB=BC=1,点M为AC中点，所以BM⊥AC, 又平面ABC⊥平面PBM,且平面ABC∩平面PBM=BAM,ACc平面ABC, 所以AC⊥平面PBM,又PM∈平面PBM,所以AC⊥PM, 又点M为AC中点，所以PM是线段AC的垂直平分线，所以PA=PC (2)由(I)知PA=PB=PC=AC=V5,点M为AC中点， 所w=w=号所以w=Pr-ar阿-9-号 在c中.v四-wV闾安 在aPBM中，cs∠PWB=PM+BM2-PB 2×PM-BM 间 2 又aeo小，所以m2PMa-看-orz吸--9. 所以-号-分2华， 由PA=PC,AB=AC,AC⊥平面PBM,点M为AC中点， 所以三棱锥P-ABC的体积为： V=2Y-a=2×2×S.Pn×M=2x2x 是互，5 3 34212 (3)由平面ABC⊥平面PBM,BM⊥AC, 所以以M为坐标原点，MB,MC分别为x,y轴，过M点垂直于平面ABC的直线为：轴， 建立如图所示的平面直角坐标系， 根据题意可知：轴所在直线在平面PBM内， 所./(0.)-要。c兽o9传a) 设Px0,.则在平面PaM中，因为cos∠PMB=-子0，所以∠PMB为艳角. 过P作P?垂直于BM的延长线于点P,如图所示： B 由co∠PWB=-分所以as∠PQ=a(a-∠PWBF-os∠PWB=-（}行 在直角三角形PwMQ中，cos∠PM0=架-MQ=PM6os∠PQ=子行方 311 PM 所阳=Pn-g-哥-周=E,所ura 设平雨4rc的个法胸量为=k.又网-传9元-包0) 则 2y-=0 4C=0 W5y=0 令=5，名=4片=0，所以i=(4,0), 设平面08的一个法向量为质=化，.又历-0一同，C-(分号.0 则 P8m=0 3-V2,=0 8Cm=0 ⅓-5与9.所以) 设平面APC与平面PCB所成的夹角为O,由图可知0为锐角， iume-kni 305+5,2盟 15 5W33 +阿W 3Vx v66 33· 2 19.【答案】)P=-,xeo,. 2-号 【详解】1如图，易将A0N=CD=x,(0<x<,4C:宁，则盒子的商 h-CM-x(-x. 2 所以盒子的底面积S=6.am=6s分3油60。：。 所盒子的容积r==×要-刘-1-ea). 2 1米 《2)由)可得倒-0-功，x@. 所以)-2x-3),令()-0，解得三=子，生-0（含去）， 所以当0<x<子时()>0，则()单调递增， 当子<x<i时（水0，则化）单调递减， 所以当-号时化)取得极大值，即最大值， 所以当x号米，盒子的容积最大