精品解析：2026年湖南省永州市部分学校中考二模数学试卷

数学 本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4．在草稿纸、试题卷上作答无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某玩具店某天收入500元记作“元”，那么支出237元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】A 【解析】 【详解】解：正负数表示具有相反意义的量，收入记为正，则支出记为负， 支出237元应记作“元”． 2. 以下是历届冬奥会会标中的部分图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C选项既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D选项是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：和不是同类二次根式，不能合并，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确． 4. 从2026年起，湖南体育中考测试项目增加了游泳等选考项目，如图是甲、乙、丙、丁四位同学在某次游泳比赛中各轮成绩的折线图，其中方差最小的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【详解】方差反映数据的波动程度，方差越小，数据越稳定，折线图越平缓． 观察甲、乙、丙、丁的折线走势，波动最平缓的是乙，因此方差最小的是乙． 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂的运算法则：，计算即可． 【详解】解：． 6. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，那么 B. 相似三角形对应边上的高的比等于相似比 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 在反比例函数中，随着的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，易知，不等式不成立；对于B，由相似的性质即可判断B；对于C，矩形的对角线相等且互相平分；对于D，由反比例函数的性质判断即可． 【详解】解：A．若，则，结论不成立； B．根据相似三角形的性质，对应高的比、对应中线的比均等于相似比，结论成立； C．矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线互相垂直，结论不成立； D．反比例函数，， 在每个象限内，随的增大而减小， 需限定在同一象限内进行讨论说明，故结论不成立． 7. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，延长与相交于点，连接，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角定理可得，然后得到为等腰直角三角形，那么，再由圆的内接四边形的性质求解． 【详解】解：，则， 是的直径， ， ， ， ， 四边形是的内接四边形， ． 8. 如图1是一台可调节温度的“火箱”，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现控温．如图2是该“火箱”的电流与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法错误的是（ ） A. 与的函数关系式是（） B. 当电阻从调节到时，电流减少了 C. 当时，的取值范围是 D. 已知该“火箱”的发热功率为，则随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，确定反比例函数的解析式，利用性质逐项判断即可． 【详解】根据题意设反比例函数关系式为（）， 将点代入，得， 与的函数关系式是（），故A选项正确； 当时，，电流减少了，故B选项正确； 当时，，当时，， 当时，的取值范围是，故C选项正确； 发热功率（），随的增大而减小，故D选项错误． 9. 我国古代数学家刘徽在注释《九章算术》时，常用“出入相补”原理（即割补法）来证明几何图形的面积关系．如图，将图1大正方形中的阴影部分拼成图2的矩形，这个过程可以直观验证的公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用割补法求出图1阴影部分面积，根据矩形面积公式求出图2的面积，再由面积相等列式即可． 【详解】解：图1中大正方形的边长为，面积为， 空白区域是一个十字架图形，可以看成由两个长都为的矩形交叉重叠而成， 横着的矩形宽为，竖着的矩形宽为，它们的面积和为， 重叠部分是长为，宽为的小矩形， 则十字架的面积可表示为， 利用大正方形面积减去空白区域面积得到图1中阴影部分面积和为 ． 由题图1可知，图2中大矩形的长为， 宽为题图1大正方形边长减去，即， 则图2中阴影部分拼成的大矩形面积可以表示为， 根据等面积法可得． 10. 如图，在中，，，分别以点，为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交于点，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，判定为等边三角形，再结合推出，求出和的长度，最后用证明，得到． 【详解】解：如图，由尺规作图得直线是的垂直平分线，则，，连接， 由垂直平分线的性质可得， ， 是等边三角形， 则，，则， ， ，易得，则， 在中，由勾股定理可得， 在中，，，， 则，， ，， 在和中， ， ， 则． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 写出一个小于2的正无理数是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据无理数估算的方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，准确计算是解题的关键． 12. 分式方程的解是______． 【答案】 【解析】 【详解】两边同乘， 去分母，得，化简，得， 解得，检验：当8时，， 是原分式方程的解． 13. 在密室逃脱游戏中，玩家需要打开一个宝箱获取线索．宝箱内有6张除数字外其余均相同的密码卡片（分别标有数字1，2，3，4，5，6）．玩家从宝箱中随机取出一张密码卡片，若取出的卡片上的数字是偶数时能打开密室大门，则玩家一次成功打开大门的概率为______． 【答案】## 【解析】 【详解】共有6种等可能情况，其中取出的卡片上的数字是偶数的情况有2，4，6，共3种等可能情况， （玩家一次成功打开大门）． 14. 如图1是一个用于野营的竹节灯笼帐篷，其内部是一个由牛津布制作的无底圆锥，展开为如图2所示的扇形，已知圆锥母线长度为3米，扇形圆心角为，则这个牛津布的面积是______平方米．（结果保留） 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，得牛津布的面积（平方米）． 15. 唐代数学家王孝通所撰《缉古算经》记载了古人“筑龙尾堤”．堤截面为如图所示的等腰梯形，原文记“堤头上下广差六尺”（古算称梯形上下边为“上广”“下广”），即该堤截面的“上广”比“下广”多6尺．已知该堤的深度为4尺，则该龙尾堤截面的一侧斜高（即等腰梯形腰长）为______尺． 【答案】5 【解析】 【分析】过点作，垂足为，再利用勾股定理计算斜边即可． 【详解】如解图，过点作，垂足为， 根据题意可知，，， 在中，（尺）． 16. 定义：对于平面内一点及其关于直线的对称点，将点与点的横坐标之比称为点关于直线的“横折比”，记作．规定当时，；当时，．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点为原点，，．点在边上，连接，点与点关于直线对称，交于点，，且，过点作交于点，连接交于点，连接并延长交于点． （1）的值为______； （2）的值为______． 【答案】 ①. 12 ②. ##0.15 【解析】 【分析】（1）证明四边形为正方形，得出点关于直线的对称点为点，进而可求出； （2）证明，，得出，，进而得出，，证明得，求出，再求出，进而可得的值． 【详解】解：（1）在矩形中，，，， 点与点关于直线对称，，且， ，， ， 四边形为正方形， 点关于直线的对称点为点， ， ； （2）由正方形得到， ，， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 由矩形中，得到，则， 则， ． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先算负整数指数幂、绝对值和零次幂，再算加减即可． 【详解】解：原式． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】利用平方差公式，同时利用分式除法法则变形，约分得到最简结果，将的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 19. 某校音乐组在全校范围内随机抽取了部分学生进行了“我最喜欢的音乐类型”问卷调查（每人限选一种），并对数据进行了整理、描述和分析，部分信息如下： 抽取学生的“我最喜欢的音乐类型”人数统计表： 音乐类型 人数/（人） 频率 古典音乐 民族音乐 流行音乐 摇滚/电子 其他 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：表中 ， ； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有名学生，试估计全校喜欢“传统类音乐”（古典音乐和民族音乐）的学生总人数； （4）根据调查结果，请为学校开展音乐文化活动提出一条合理化建议，并说明理由． 【答案】（1）， （2） 补全条形统计图如解图： （3）估计全校喜欢“传统类音乐”（古典音乐和民族音乐）的学生总人数为人 （4） 解：合理化建议：学校多开展流行音乐相关文化活动，理由如下： 抽样中喜欢流行音乐的学生占比，为所有类型中最高，符合多数学生的审美偏好．（言之合理即可） 【解析】 【分析】（1）先利用“古典音乐的人数÷频率”算出总抽样人数，再用“总人数×频率”求，用 “民族音乐人数÷总人数”求； （2）根据第（1）问算出的，在统计图中找到“摇滚/电子”对应的位置，画出高度为的条形即可； （3）先算出样本中“传统类音乐”的频率和，再用“全校总人数×频率和”，得到全校的估计人数； （4）结合数据，提出具体、可操作的建议即可． 【小问1详解】 解：根据题意，总抽样人数为（人）， 则，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：“传统类音乐”（古典音乐和民族音乐）频率为， 故全校名学生中，估计人数为（人）． 【小问4详解】 略 20. 某特色民宿计划采购A，B两种规格的织锦用于客房装饰．已知采购2幅A型织锦和3幅B型织锦共需费用3800元，采购3幅A型织锦和2幅B型织锦共需费用3700元． （1）求每幅A型，B型织锦的采购单价各是多少元？ （2）该民宿计划采购A，B两种规格织锦共50幅，且A型织锦的数量不超过B型织锦数量的，请问怎样采购才能使总费用最低？最低费用为多少元？ 【答案】（1）每幅A型织锦700元，每幅B型织锦800元 （2）采购A型织锦20幅、B型织锦30幅时总费用最低，最低费用为38000元 【解析】 【分析】（1）设每幅型织锦元，每幅型织锦元，根据采购2幅A型织锦和3幅B型织锦共需费用3800元，采购3幅A型织锦和2幅B型织锦共需费用3700元．列出二元一次方程组求解即可； （2）设采购型织锦幅，则采购型织锦幅，总费用元，先根据A型织锦的数量不超过B型织锦数量的，求出的取值范围，再列出 ，根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设每幅型织锦元，每幅型织锦元， 根据题意，得， 解得， 答：每幅A型织锦700元，每幅B型织锦800元； 【小问2详解】 解：设采购型织锦幅，则采购型织锦幅，总费用元， 根据题意，得， 解得， ， ， 随的增大而减小， 当时，取最小值， ，此时（幅）， 答：采购型织锦20幅、型织锦30幅时总费用最低，最低费用为38000元． 21. 如图，是的直径，点在上，连接，，过点作的切线，过点作的垂线交于点． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图．连接， 为的切线，为的半径， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由切线的性质，可得，结合已知可得，可得，由等边对等角，等量代换，可得，即可证得结论； （2）用勾股定理解，即可得的长，证明，进一步求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是的直径， ， ， ， ，， 在中， 根据勾股定理，得， 由（1）可知，， ， ，即， ． 22. 电力部门工作人员在某处铺设电力线路过程中，会使用简易绞盘将沉重的混凝土电线杆立起来．作业准备过程中，先将绞盘固定在地面上，电线杆的底端与三角形土坑的点重合（连接，三角形土坑为等腰直角三角形，），如图1．在立杆作业时，让绞盘转动，这样系在电线杆顶端的钢丝绳就不断地缠绕在轴上，电线杆被逐渐拉起并最终竖直立好，如图2．已知电线杆的长度为12米，绞盘与点的距离为米，土坑的深度米． （1）求作业准备过程中电线杆露出地面部分的长度及钢丝绳的长度； （2）在电线杆竖直立好后，需用专用钢索对电线杆进行固定．为节省开支，工作人员计划重复利用绞盘固定点，即钢索地面固定点与点重合，如图2．若钢索与地面的夹角（）要满足，请通过计算判断是否满足要求． 【答案】（1）作业准备过程中电线杆露出地面部分的长度为10米，钢丝绳的长度为米 （2）满足要求，理由： 由题图2可知， 在中，米，米， 当时，米， 当时，米， ，， ， ， ， 答：满足要求． 【解析】 【分析】（1）过点作水平面的垂线，垂足为，先解等腰，再对运用勾股定理求解即可； （2）分别计算出当，时的值，即可求解． 【小问1详解】 解：如解图，过点作水平面的垂线，垂足为， 在等腰中，，米， ，米，米， ，（米）， 为等腰直角三角形， 米， 米， （米）， 在中，根据勾股定理，得（米）， 答：作业准备过程中电线杆露出地面部分的长度为10米，钢丝绳的长度为米； 【小问2详解】 略 23. 如图，抛物线（）经过点，，与轴交于点，是第四象限抛物线上的一个动点，连接交轴于点，过点作直线交抛物线于另一点．过点作平行于轴的直线交轴于点，过点作平行于轴的直线交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）求证：； （3）设点的横坐标为，点的横坐标为． ①当时，求出此时点的坐标； ②连接，在点的运动过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求出取最大值时，的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 证明：轴， 轴，， ， ， ， ， ， 轴， 轴， ， ， ， ， ． （3）①点的坐标为；②存在，， 【解析】 【分析】（1）将已知的两点坐标代入抛物线的一般式，通过解二元一次方程组求出系数、，从而确定表达式； （2）先利用平行线和垂直关系，证明与两角对应相等，判定它们相似，再根据相似三角形的对应边成比例，交叉相乘得到结论； （3）①先求出点的坐标和直线的解析式，再通过分析为等腰直角三角形，得到也是等腰直角三角形，最后列方程求解点的横坐标；②用参数表示点、直线上的点，再结合（2）中的相似关系，推导出与的关系，写出面积关于的二次函数表达式，最后利用二次函数的顶点性质求最大值及对应的、． 【小问1详解】 解：抛物线经过点，， 将、两点坐标分别代入中， 可得， 解得， 抛物线的表达式为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①解：点的横坐标，轴于点， ，将代入中， 得， 点的坐标为，即， 设直线的表达式为（）， 将点，分别代入， 可得， 解得， 直线的表达式为， 则点的坐标为，即， ， 是等腰直角三角形， ， 由（2）可知，， ， ， 点的横坐标为， ，， ，解得（舍去），， 点的坐标为； ②解：存在，理由如下： 由题意可知，点坐标为，点坐标为， 设直线的解析式为， 将代入可得， 将代入， 可得， 即， 解得， 则直线的解析式为， 当， ， 点的坐标为， ， 由（2）可知，， ， ，， ，化简得 ， ， ， ， ， ， 当时，，此时取得最大值， 故存在最大值，此时，． 24. 在矩形中，是直线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，取的中点，连接，． 提示：按照设问条件补全图形，并解答． （1）问题初探：如图1，当时： ①连接，求证：； ②当点在边上运动时（不与点，重合），的大小会改变吗？若会改变，请说明理由；若不改变，请直接写出的度数； （2）深入探究：当时： ①如图2，若，当时，则 ； ②如图3，若，当时，（2）①中结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请求出的值； （3）拓展探究：如图4，在菱形中，，是直线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，取的中点，连接，，当时，求的值． 【答案】（1） ①证明：在矩形中，， 矩形为正方形， ，， ， 由旋转可知，， ， ， ， ； ②不改变，的度数恒为 （2） ①；②不成立， （3） 【解析】 【分析】（1）①先证明矩形为正方形，再证明，即可证明结论；②由已知易得，，根据，证明 ，得到，，，四点共圆，即可解答； （2）①依题意作图，当时，此时点落在上，设，，同理（1）②得，，证明，得到 ，，求出，，即可求解；②依题意作图，当时，此时点落在的延长线上，设，，同理（2）①得，， ，证明，求出 ，，即可解答； （3）依题意作图，如图，延长交于点，过点作交的延长线于点，证明四边形为矩形，求出，证明 ，设，则，求出 ，，进而求出，即可求解． 【小问1详解】 ①略 ②解：不改变，的度数恒为； ，， ， 为中点， ， ， ， ， ， ，，，四点共圆， ． 【小问2详解】 解：①依题意作图如下， 当时，此时点落在上， ， 设，， 同理（1）②得，， ，， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ，， ， ， ． ②不成立， 依题意作图，如图， 当时，此时点落在的延长线上， ， 设，， ， ， ， 同理（2）①得，， ， ， ，， ， ， ∴； 【小问3详解】 解：依题意作图，如图，延长交于点， 过点作交的延长线于点， 则， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 四边形为矩形， ，， 由旋转可知，，，为中点， ，， ，则， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4．在草稿纸、试题卷上作答无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某玩具店某天收入500元记作“元”，那么支出237元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 以下是历届冬奥会会标中的部分图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 从2026年起，湖南体育中考测试项目增加了游泳等选考项目，如图是甲、乙、丙、丁四位同学在某次游泳比赛中各轮成绩的折线图，其中方差最小的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，那么 B. 相似三角形对应边上的高的比等于相似比 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 在反比例函数中，随着的增大而减小 7. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，延长与相交于点，连接，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图1是一台可调节温度的“火箱”，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现控温．如图2是该“火箱”的电流与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法错误的是（ ） A. 与的函数关系式是（） B. 当电阻从调节到时，电流减少了 C. 当时，的取值范围是 D. 已知该“火箱”的发热功率为，则随的增大而增大 9. 我国古代数学家刘徽在注释《九章算术》时，常用“出入相补”原理（即割补法）来证明几何图形的面积关系．如图，将图1大正方形中的阴影部分拼成图2的矩形，这个过程可以直观验证的公式是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，分别以点，为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交于点，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 写出一个小于2的正无理数是______． 12. 分式方程的解是______． 13. 在密室逃脱游戏中，玩家需要打开一个宝箱获取线索．宝箱内有6张除数字外其余均相同的密码卡片（分别标有数字1，2，3，4，5，6）．玩家从宝箱中随机取出一张密码卡片，若取出的卡片上的数字是偶数时能打开密室大门，则玩家一次成功打开大门的概率为______． 14. 如图1是一个用于野营的竹节灯笼帐篷，其内部是一个由牛津布制作的无底圆锥，展开为如图2所示的扇形，已知圆锥母线长度为3米，扇形圆心角为，则这个牛津布的面积是______平方米．（结果保留） 15. 唐代数学家王孝通所撰《缉古算经》记载了古人“筑龙尾堤”．堤截面为如图所示的等腰梯形，原文记“堤头上下广差六尺”（古算称梯形上下边为“上广”“下广”），即该堤截面的“上广”比“下广”多6尺．已知该堤的深度为4尺，则该龙尾堤截面的一侧斜高（即等腰梯形腰长）为______尺． 16. 定义：对于平面内一点及其关于直线的对称点，将点与点的横坐标之比称为点关于直线的“横折比”，记作．规定当时，；当时，．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点为原点，，．点在边上，连接，点与点关于直线对称，交于点，，且，过点作交于点，连接交于点，连接并延长交于点． （1）的值为______； （2）的值为______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 某校音乐组在全校范围内随机抽取了部分学生进行了“我最喜欢的音乐类型”问卷调查（每人限选一种），并对数据进行了整理、描述和分析，部分信息如下： 抽取学生的“我最喜欢的音乐类型”人数统计表： 音乐类型 人数/（人） 频率 古典音乐 民族音乐 流行音乐 摇滚/电子 其他 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：表中 ， ； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有名学生，试估计全校喜欢“传统类音乐”（古典音乐和民族音乐）的学生总人数； （4）根据调查结果，请为学校开展音乐文化活动提出一条合理化建议，并说明理由． 20. 某特色民宿计划采购A，B两种规格的织锦用于客房装饰．已知采购2幅A型织锦和3幅B型织锦共需费用3800元，采购3幅A型织锦和2幅B型织锦共需费用3700元． （1）求每幅A型，B型织锦的采购单价各是多少元？ （2）该民宿计划采购A，B两种规格织锦共50幅，且A型织锦的数量不超过B型织锦数量的，请问怎样采购才能使总费用最低？最低费用为多少元？ 21. 如图，是的直径，点在上，连接，，过点作的切线，过点作的垂线交于点． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 22. 电力部门工作人员在某处铺设电力线路过程中，会使用简易绞盘将沉重的混凝土电线杆立起来．作业准备过程中，先将绞盘固定在地面上，电线杆的底端与三角形土坑的点重合（连接，三角形土坑为等腰直角三角形，），如图1．在立杆作业时，让绞盘转动，这样系在电线杆顶端的钢丝绳就不断地缠绕在轴上，电线杆被逐渐拉起并最终竖直立好，如图2．已知电线杆的长度为12米，绞盘与点的距离为米，土坑的深度米． （1）求作业准备过程中电线杆露出地面部分的长度及钢丝绳的长度； （2）在电线杆竖直立好后，需用专用钢索对电线杆进行固定．为节省开支，工作人员计划重复利用绞盘固定点，即钢索地面固定点与点重合，如图2．若钢索与地面的夹角（）要满足，请通过计算判断是否满足要求． 23. 如图，抛物线（）经过点，，与轴交于点，是第四象限抛物线上的一个动点，连接交轴于点，过点作直线交抛物线于另一点．过点作平行于轴的直线交轴于点，过点作平行于轴的直线交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）求证：； （3）设点的横坐标为，点的横坐标为． ①当时，求出此时点的坐标； ②连接，在点的运动过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求出取最大值时，的值；若不存在，请说明理由． 24. 在矩形中，是直线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，取的中点，连接，． 提示：按照设问条件补全图形，并解答． （1）问题初探：如图1，当时： ①连接，求证：； ②当点在边上运动时（不与点，重合），的大小会改变吗？若会改变，请说明理由；若不改变，请直接写出的度数； （2）深入探究：当时： ①如图2，若，当时，则 ； ②如图3，若，当时，（2）①中结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请求出的值； （3）拓展探究：如图4，在菱形中，，是直线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，取的中点，连接，，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $