广东实验中学2025—2026学年下学期高二级中段模块考试数学试卷

广东实验中学2025-2026学年（下）高二级中段模块考试 数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案：不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动．先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回． 第一部分 选择题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知圆与直线恰有2个交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 中，的对边分别为，若且，则的形状是（ ） A. 顶角为的等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 顶角为的等腰三角形 5. 若的展开式中的系数为30，则（ ） A. 9 B. C. 10 D. 6. 省实2026年科技节展演活动，需要安排小明、小红等共七位志愿者到三个路口当引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少需要两名引导员，且小明、小红去不同的路口，则满足条件的不同安排方法数为（ ） A. 600 B. 540 C. 480 D. 420 7. 已知数列满足，则数列的前100项的和为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右顶点分别为、，是上一点，为等腰三角形，且外接圆面积为，则双曲线的离心率为 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题选项中，有多项符合题目要求． 9. 甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有40种 C. 甲、乙不相邻的排法种数为72种 D. 甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 10. 如图，已知正方体的棱长为分别是线段上的动点，是线段的中点，且满足，过作平面，使得，则（ ） A. 当时，平面 B. 当与重合时，直线与平面所成角的正弦值为 C. 当为线段中点时，直线到平面的距离为 D. 的最小值为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在上不是增函数 B. 若关于的方程有两个不相等的实根，且，则 C. 若，且，则的最大值为 D. 若，不等式恒成立，则的取值范围为 第二部分 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从6名男生和4名女生中选出3人参加人工智能技能培训．在至少抽到一名女生的情况下，恰好抽到一名男生的概率为___________． 13. 若，则___________． 14. 若对于任意恒成立，则的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设数列的前项积为，满足． （1）设，求证：数列是等比数列； （2）设数列满足，求数列的前项和． 16. 已知函数． （1）若在处取得极值，求的所有极值； （2）若在上的最小值为，求的取值范围． 17. 在中，为的中点，如图，沿将翻折至位置，满足． （1）证明：平面平面； （2）线段上是否存在点，满足在平面内的射影恰好落在直线上．若存在，求出的长度及三棱锥的体积：若不存在，请说明理由． 18. 已知椭圆过点，且的右焦点为. （1）求的方程： （2）设过点的一条直线与交于两点，且与线段交于点. （i）证明：到直线和的距离相等； （ii）若的面积等于的面积，求的坐标. 19. 已知函数，． （1）若，求在处的切线； （2）当时，证明： （i）；（参考数据：） （ii）若，则． 广东实验中学2025-2026学年（下）高二级中段模块考试 数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案：不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动．先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回． 第一部分 选择题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题选项中，有多项符合题目要求． 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ABD 第二部分 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） 当时，由且可得，所以，， 当时，由得， 所以当时结合，， 可得当时，，故， 所以， 代入已知条件，得， 两边同除以，得，即， 由，得， 所以数列是等比数列. 又， 故数列是首项为，公比为的等比数列. （2） 【16题答案】 【答案】（1）极大值，极小值 （2） 【17题答案】 【答案】（1） 证明：在中，由余弦定理得：， 代入数据得，则，又因为为中点， 则， 作，垂足为，显然为中点， 在中，，由余弦定理可得：， 代入数据得：，而 所以，则， 又，平面， 故平面 又因为平面，所以平面平面. （2）存在，， 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i）证明：显然的斜率存在，设的方程为，代入的方程有： ，其中. 设，则， 若到直线和的距离相等，则直线平分， 易知轴，故只需满足直线与的斜率之和为0. 设的斜率分别为，则： ， ， 代入， 有，故命题得证. （ii）或. 【19题答案】 【答案】（1） （2） （i）， 要证明，只需证明， 令，由得，则， 令，只需证明在上恒成立， ， 令，， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 所以，所以在上单调递增， 所以， 故. （ii），， 由得，即， 要证明，只需证明， 只需证明， 令， 所以为关于开口向上的二次函数，对称轴为， 由（i）知，，所以， 即， 所以，， 令，， 当时，由（i）知，即，所以， 所以， 所以函数在上单调递增， 故， 当时，令， ， 由得， 易知函数在上单调递增，故， 所以，所以函数在上单调递增， 所以，即， 所以函数在上单调递减， 故， 综上所述，即，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $