2026年中考数学二轮专题复习： 统计与概率 课件

第09讲 统计与概率 【中考二轮复习专题】 01 考情分析 02 知识结构 03 典例精讲 目录 图片替换区 统计热考内容：1. 数据信息的获取与运用：借助统计图表，考生需要能够读取、分析和综合运用数据信息。2. 决策推断能力的考查：统计部分越来越注重考查考生的决策推断能力。题目往往要求考生根据统计结果作出合理判断和推测。 概率热考内容：1. 概率与实验的结合：考生需要通过大量重复试验理解频率与概率的关系，并能利用频率来估计概率。这类题目通常涉及实际情境，如掷硬币、抽奖等，要求考生计算事件发生的概率。2. 概率计算方法的运用：中考还会考查考生运用树状图、列表法等工具来计算复杂事件的概率。此外，游戏的公平性问题也是常见的考查点，要求考生判断游戏规则是否公平，并说明理由。 考察方式 统计图表 统计与概率 考情分析 3 统计与概率 知识梳理 平均数 概率的计算方法:公式法、列举法、列表法、树状图法 数据分析 学法指导 平均数、中位数、众数的区别 概率与频率的关系 样本估计总体 中位数 众数 方差 算数平均数 加权平均数 按顺序排列 奇数个数：中间位置 偶数个数：中间两数之和的一半 出现次数最多的数据 极差、方差、标准差 从总体中抽取一个样本，根据样本情况估计总体情况，常用于设计实际应用题 平均数的大小与每一个数据都有关 众数的大小只与部分数据有关 中位数的大小只与数据的排列位置有关 衡量数据波动大小的量，这三个量越小波动越小，越稳定 频率是随机的，概率是确定的，频率是概率的近似值 知识结构 考点一 统计图表-频数分布表+条形图 例1 为了解中学生的视力情况，某区卫健部门决定随机抽取本区部分初、高中学生进行调查，并对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图．整理描述： (1)_______，_______； (2)被调查的高中学生视力情况的样本容量为_______； 视力 人数 百分比 0.6及以下 8 0.7 16 0.8 28 0.9 34 m 及以上 46 n 合计 200 高中学生视力情况统计图 初中学生视力情况统计表 （人） 解：（1）由题意可得： 初中样本总人数为：人， ∴（人）， ； （2）由题意可得： ， ∴被调查的高中学生视力情况的样本容量为； 典例精讲 例1 (3)分析处理：①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好．”请你对小胡的说法进行判断，并选择一个能反映总体的统计量说明理由： ②约定：视力未达到为视力不良．若该区有26000名中学生，估计该区有多少名中学生视力不良？并对视力保护提出一条合理化建议． 视力 人数 百分比 0.6及以下 8 0.7 16 0.8 28 0.9 34 m 及以上 46 n 合计 200 高中学生视力情况统计图 初中学生视力情况统计表 考点一 统计图表-频数分布表+条形图 （3）①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好．”小胡的说法合理； 初中学生视力的中位数为第100个与第101个数据的平均数，落在视力为这一组，而高中学生视力的中位数为第160个与第161个数据的平均数，落在视力为的这一组， 而，∴小胡的说法合理． 典例精讲 视力 人数 百分比 0.6及以下 8 0.7 16 0.8 28 0.9 34 m 及以上 46 n 合计 200 高中学生视力情况统计图 初中学生视力情况统计表 例1 (3)分析处理：①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好．”请你对小胡的说法进行判断，并选择一个能反映总体的统计量说明理由： ②约定：视力未达到为视力不良．若该区有26000名中学生，估计该区有多少名中学生视力不良？并对视力保护提出一条合理化建议． 考点一 统计图表-频数分布表+条形图 ②由题意可得：（人） ∴该区有26000名中学生，估计该区 有名中学生视力不良； 合理化建议为：学校可以多开展用眼 知识的普及，规定时刻做眼保健操． 典例精讲 例2 某市在九年级“线上教学”结束后，为了解学生的视力情况，抽查了部分学生进行视力检测．根据检测结果，制成下面不完整的统计图表． （1）求组别C的频数的值． （2）求组别A的圆心角度数． （3）如果视力值4.8及以上属于“视力良好”，请估计该市25000名九年级学生达到“视力良好”的人数．根据上述图表信息，你对视力保护有什么建议？ 考点一 统计图表-频数分布表+扇形图 组别 视力段 频数 A 25 B 115 C m D 52 解：（1）本次抽查的人数为：， ，即m的值是308； （2）组别的圆心角度数是：， 即组别的圆心角度数是； （3）（人）， 答：该市25000名九年级学生达到“视力良好”的有7000人， 建议是：同学们应少玩电子产品，注意用眼保护．  典例精讲 例3 某校准备开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，并计划从博物馆、动物园、植物园、海洋馆（依次用字母A，B，C，D表示）中选择一处作为研学地点．为了解学生的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图；扇形统计图中A所对应的圆心角的度数为______° (2)该校共有1600名学生，请你估计该校有多少名学生想去海洋馆； 考点一 统计图表-条形图+扇形图 54 解：（1）总人数：（人）， D组人数：； 如图： A所对应的圆心角的度数为：， （2）去海洋馆：（人） 答：该校约有640名学生想去海洋馆； 典例精讲 例3 (3)根据以上数据，学校最终将海洋馆作为研学地点，研学后，学校从八年级各班分别随机抽取10名学生开展海洋知识竞赛．甲班10名学生的成绩（单位：分）分别是：75，80，80，82，83，85，90，90，90，95；乙班10名学生的成绩．（单位：分）的平均数、中位数、众数分别是：84，83，88．根据以上数据判断______班的竞赛成绩更好．（填“甲”或“乙”） 考点一 统计图表-条形图+扇形图 甲 解：（3）解：∵甲班10名学生的成绩：75，80，80，82，83，85，90，90，90，95， ∴甲班10名学生的成绩的平均数：， 甲班10名学生的成绩的众数：90； 甲班10名学生的成绩的中位数：， ∵乙班10名学生的成绩的平均数、中位数、众数 分别是：84，83，88． ∴甲班的平均数，中位数，众数都高于乙班， ∴甲班的竞赛成绩更好． 典例精讲 例4 如图是我国2019~2022年汽车销售情况统计图．根据图中信息，解答下列问题： (1)2022年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的____（精确到）； 这4年中，我国新能源汽车销售量在各类汽车销售总量占比最高的年份是______年； 考点一 统计图表-条形图/扇形图+折线图 解：（1）各年度我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比： 2022年为：， 2021年为：， 2020年为：， 2019年为：， 这4年中，我国新能源汽车销售量在各类汽车销售总量占比最高的年份是2022年． 典例精讲 例4 如图是我国2019~2022年汽车销售情况统计图．根据图中信息，解答下列问题： (2)小明说：新能源汽车2022年的销售量超过前3年的总和，所以2022年新能源汽车销售量的增长率比2021年高．你同意他的说法吗？请结合统计图说明你的理由． 考点一 统计图表-条形图/扇形图+折线图 解：（2）不同意．理由如下： 2022年新能源汽车销售量的增长率为： ， 2021年新能源汽车销售量的增长率为： ， 年新能源汽车销售量的增长率比2021年低． 典例精讲 例5 某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含模型设计、科技小论文两个项目．为了解学生的模型设计水平，从全校学生的模型设计成绩中随机抽取部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用表示），并将其分成如下四组： ，，，． 下面给出了部分信息：的成绩为：81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： (1)请补全频数分布直方图； (2)所抽取学生的模型设计成绩的中位数是______分； 考点一 统计图表-直方图+扇形图 解：（1）∵，而有20人， ∴有，补全图形如图： （2）解：∵， ∴50个成绩按照从小到大排列后，排在第25个，第26个数据分别是：83,83；中位数为：； 典例精讲 例5 (3)请估计全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数； (4)根据活动要求，学校将模型设计成绩、科技小论文成绩按的比例确定这次活动各人的综合成绩． 某班甲、乙两位学生的模型设计成绩与科技小论文成绩（单位：分）如下：通过计算，甲、乙哪位学生的综合成绩更高？ 考点一 统计图表-直方图+扇形图   模型设计 科技小论文 甲的成绩 94 90 乙的成绩 90 95 解：（3）解：全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数为：（人）； （4）解：甲的成绩为：（分）； 乙的成绩为：（分）； ∴甲的综合成绩比乙高. 典例精讲 考点一 统计图表 扇形统计图 1．各百分比之和等于 1 2．圆心角的度数＝百分比×360° 能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比 条形统计图 各组数量之和等于抽样数据总数（样本容量） 能清楚地表示出每个项目的具体数目 频数分布直方图 1．各组频数之和等于抽样数据总数（样本容量） 2．各组频率之和等于1 3．数据总数×各组的频率＝相应组的频数 能清楚地表示出收集或调查到的数据，能显示出各频数分布情况以及各组频数之间的差异 频数分布表 各组频率之和等于1 折线统计图 各组数据之和等于抽样数据总数（样本容量） 能清楚地反映事物的变化情况 典例精讲 1. 条形统计图中每个小长方形的高即为该组对象数据的个数（频数），各小长方形的高之比等于相应的个数（频数）之比. 2. 扇形统计图中，用圆代表总体，扇形的大小代表各部分数量占总体数量的百分数，但是没有给出具体数值，因此不能通过两个扇形统计图来比较两个统计量的多少. 3. 在利用折线统计图比较两个统计量的变化趋势时，要保证两个图中横、纵坐标的一致性，即坐标轴上同一单位长度所表示的意义应该一致. 4. 画频数分布直方图时，分组要遵循三个原则： 不空，即该组必须有数据； 不重，即一个数据只能在一个组； 不漏，即不能漏掉某一个数据. 考点一 统计图表 【易错易混】 典例精讲 例6 不透明袋子中装有黑球1个、白球2个，这些球除了颜色外无其他差别从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，将袋子中的球摇匀，再随机摸出一个球，记下颜色，前后两次摸出的球都是白球的概率是______． 考点二 统计与概率-概率选填题-摸球情景   黑 白1 白2 黑 （黑，黑） （白1，黑） （白2，黑） 白1 （黑，白1） （白1，白1） （白2，白1） 白2 （黑，白2） （白1，白2） （白2，白2） 解：根据题意，列出表格如右图： 一共有9种等可能结果，其中前后两次摸出的球都是白球的有4种，所以前后两次摸出的球都是白球的概率为． 典例精讲 例7 某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是(    ) A． B． C． D． 考点二 统计与概率-概率选填题-选人情景 C 解：根据题意画图如下：由图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的情况有2种，∴恰好选中甲、乙两名同学的概率是． 典例精讲 例8 如图，有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净，现将这4张卡片（除图案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中随机取出1张卡片，然后放回并搅匀，再从中随机取出1张卡片，则两次取到相同图案的卡片的概率为 ． 考点二 统计与概率-概率选填题-选项目情景 解：将这4张卡片记为，画出树状图如下： 由图可知，随机两次取出卡片的所有等可能的结果共有16种，其中，两次取到相同图案的卡片的结果有4种，∴两次取到相同图案的卡片的概率为， 典例精讲 例9 如果从1，2，3，4，5，6这六个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是3的整数倍的概率是(    ) A． B． C． D． 考点二 统计与概率-概率选填题-数字情景 B 解：1，2，3，4，5，6这六个数中是3的倍数的数是3和6，6个数中任取一个，则取到的数是3的倍数的概率是： 典例精讲 例10 有大小与材质完全相同的四张卡片，其正面分别书写化学元素符号“ ， ，”，将卡片置于暗箱摇匀后随机抽取两张，则上面书写的符号一个是金属元素一个是非金属元素的概率是 ． 考点二 统计与概率-概率选填题-跨学科情景 解：树状图如下 其中共12种等可能情况，书写的符号一个是金属元素一个是非金属元素有8种， 典例精讲 例11 有外形相同的两把锁和两把钥匙，每把钥匙只能打开其中的一把锁，每把锁只能被其中的一把钥匙打开．现将锁和钥匙随机配对，每把锁和钥匙各一把，则至少有一把锁能被打开的概率为 ． 考点二 统计与概率-概率选填题-匹配情景 解：设两把锁分别为锁甲和锁乙，对应的钥匙为钥匙甲，钥匙乙，画树状图如下： 由树状图可知一共有4种等可能性的结果数，其中至少有一把锁能被打开的结果数有2种，∴至少有一把锁能被打开的概率为 典例精讲 例11 如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为，停在空白部分的概率为，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法判断 B 考点二 统计与概率-概率选填题-其它情景 解：如图所示，连接交于O， 由题意得，分别是正方形四条边的中点，∴点O为正方形的中心，∴，根据题意，可得扇形的面积等于扇形的面积， ∴， ∴阴影部分面积等于空白部分面积，即阴影部分面积等于正方形面积的一半 ∴ 典例精讲 例12 学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． (1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； 考点二 统计与概率-列举法求概率-放回类 解：（1）∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同， ∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是 典例精讲 例12 学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． (2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 考点二 统计与概率-列举法求概率-放回类 解：画树状图如下所示：由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种，∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为，∴小明和小红获胜的概率相同， ∴该游戏对双方公平． 典例精讲 例13 在3张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”．将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀． (1)从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是________； (2)甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出1支签（不放回），乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率． 考点二 统计与概率-列举法求概率-不放回类 甲 乙       解：（1）∵一共有3支签，写有“石头”的签有1支，且每支签被抽到的概率相同， ∴从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是， （2）设分别用A、B、C表示“石头”、“剪子”、“布”，列表如右图： 由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中甲获胜的结果数有，， ，共3种，∴甲获胜的概率为． 典例精讲 例14 在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜． (1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率． (2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由． 解：（1）画树状图如右图： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为奇数的结果数有8种，∴甲获胜的概率为； 考点二 统计与概率-列举法求概率-游戏与方案问题 典例精讲 例14 在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜． (1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率． (2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由． 考点二 统计与概率-列举法求概率-游戏与方案问题 解：（2）这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由如下： 由（1）中的树状图可知，两球上的数字之和为偶数的结果数有4种， ∴乙获胜的概率为，∵，∴甲获胜的概率大于乙获胜的概率， ∴这个游戏规则对甲乙双方不公平． 典例精讲 例15 根据《国家体质健康标准》规定，七年级男生、女生50米短跑时间分别不超过7.7秒、8.3秒为优秀等次．某校在七年级学生中挑选男生、女生各5人进行集训，经多次测试得到10名学生的平均成绩（单位：秒）记录如下： 男生成绩：7.61，7.38，7.65，7.38，7.38 女生成绩：8.23，8.27，8.16，8.26，8.32 根据以上信息，解答下列问题： (1)男生成绩的众数为______，女生成绩的中位数为______； (2)判断下列两位同学的说法是否正确． 考点二 统计与概率-统计与概率 7.38 8.26 解：（1）男生成绩7.38出现的次数最多，即众数为7.38，女生成绩排列为：8.16，8.23，8.26，8.27，8.32，居于中间的数为8.26，故中位数为8.26， （2）∵用时越少，成绩越好，∴7.38是男生中成绩最好的，故小星的说法正确； ∵女生8.3秒为优秀成绩，， ∴有一人成绩达不到优秀，故小红的说法错误； 典例精讲 例15 根据《国家体质健康标准》规定，七年级男生、女生50米短跑时间分别不超过7.7秒、8.3秒为优秀等次．某校在七年级学生中挑选男生、女生各5人进行集训，经多次测试得到10名学生的平均成绩（单位：秒）记录如下： 男生成绩：7.61，7.38，7.65，7.38，7.38 女生成绩：8.23，8.27，8.16，8.26，8.32 根据以上信息，解答下列问题： (3)教练从成绩最好的3名男生（设为甲，乙，丙）中，随机抽取2名学生代表学校参加比赛，请用画树状图或列表的方法求甲被抽中的概率． 考点二 统计与概率-统计与概率   甲 乙 丙 甲   甲，乙 甲，丙 乙 乙，甲   乙，丙 丙 丙，甲 丙，乙   解：(3)列表为：由表格可知共有6种等可能结果，其中抽中甲的有4种，故甲被抽中的概率为． 典例精讲 1.公式法：概率的计算方法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A) =，即P(随机事件A) = . 用 P(A) =求概率时，试验需满足的条件： 1）在一次试验中，可能出现的结果只有有限个； 2）在一次试验中，各种结果出现的可能性相等. 2.列表法：当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，这种方法叫列表法. 总结：概率的计算方法 考点二 统计与概率 典例精讲 3.列举法：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法. 用列举法求概率的前提： 1）所有可能出现的结果是有限个； 2）每个结果出现的可能性相等. 4.画树状图法：当事件要经过多个步骤完成时，用树状图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫画树状图法. 5.用频率估计概率：一般地，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小.因此，当试验次数很大时，可以用一个事件发生的频率作为其概率的估计值. 总结：概率的计算方法 考点二 统计与概率 典例精讲 $