精品解析：江苏扬州市宝应县2025～2026学年第二学期八年级数学中试卷

2025~2026第二学期八年级数学期中试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断． 轴对称图形是指沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指绕一个点旋转后能与自身重合的图形． 【详解】解：A选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B选项不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；  C选项不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 2. 在一个不透明的袋子中，装有5个红球、2个黄球和3个蓝球，所有球除颜色外完全相同，从中随机摸出1个球，下列说法正确的是（ ） A. 摸出红球是必然事件 B. 摸出黄球是不可能事件 C. 摸出蓝球是随机事件 D. 摸出黑球是随机事件 【答案】C 【解析】 【分析】根据三类事件的定义，结合袋子中球的颜色情况逐一判断选项．其中，必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件指在一定条件下一定不发生的事件；随机事件指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：袋子中装有个红球、个黄球和个蓝球，没有黑球， 对于选项A：摸出红球不是一定会发生的(还可能摸到黄球或蓝球)，因此摸出红球是随机事件，不是必然事件，A错误； 对于选项B：袋子中有个黄球，所以摸出黄球是有可能发生的，是随机事件，不是不可能事件，B错误； 对于选项C：袋子中有个蓝球，摸球时可能摸到蓝球，也可能摸到红球或黄球，因此摸出蓝球是随机事件，C正确； 对于选项D：袋子中没有黑球，所以摸出黑球是一定不会发生的，属于不可能事件，不是随机事件，D错误． 综上，正确答案是C． 3. 今年我县有近名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ） A. 这名考生是总体的一个样本 B. 名考生是样本容量 C. 每位考生的数学成绩是个体 D. 名考生是总体 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查统计中总体，个体，样本，样本容量的定义，根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解： A选项，这名考生的数学成绩才是总体的一个样本，原说法不正确． B选项，样本容量是，原说法不正确． C选项，每位考生的数学成绩是个体，原说法正确． D选项，名考生的数学成绩的全体是总体，原说法不正确． 4. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因式分解是将多项式写成几个整式的积的形式，需满足变形符合定义且等式成立，据此判断各选项即可． 【详解】解：A．，是整式乘法运算，不是因式分解，故该选项不符合题意， B．，是因式分解，故该选项符合题意， C．，右边不是整式积的形式，不是因式分解，故该选项不符合题意， D．，是整式乘法运算，不是因式分解，故该选项不符合题意． 5. 在四边形中，，下列选项不能说明四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查添加条件使四边形为平行四边形，利用平行四边形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形；故该选项不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形；故该选项不符合题意； C、，不能说明四边形是平行四边形；故该选项符合题意； D、∵，， ∴四边形是平行四边形；故该选项不符合题意； 故选C． 6. 用直尺和圆规在一个矩形内作菱形，下列作法中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型． 根据菱形的判定和作图痕迹解答即可． 【详解】解：A、由作图可得，垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是菱形，正确； 、由作图可得，平分， ， ∴是等腰直角三角形， ， ∵的长度和的长度关系不确定， ∴四边形不一定是菱形，错误； C．由作图可得，，且， ∴四边形是菱形，正确； D、由作图可得，平分，， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是菱形，正确； 故选：B． 7. 如图， 菱形的对角线，相交于点O， 过点D作于点H， 连接，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线性质等知识点，注意：菱形的对角线互相垂直且平分，菱形的面积等于对角线积的一半．根据菱形的性质得出，，，求出，根据求出，根据直角三角形斜边上的中线性质求出答案即可． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， 故选B 8. 如图，正方形中，对角线，相交于点，过点作射线、，分别交、于点、（点不与、重合），且，连接，给出下列结论，其中不一定成立的是（ ） A. B. 平分 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质逐一分析即可得出正确答案，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴不一定平分，故原选项不一定成立，符合题意； 、∵， ∴，故原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∴，故原选项正确，不符合题意； 故选：． 二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 人工智能（）模型官方于2025年正式上线，引发了社会各界的广泛关注．在英文单词“”里，字母e出现的频率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据数据描述求频率． 计算单词“”中字母e的出现次数与总字母数的比值即可． 【详解】解：单词“”，总字母数为8，字母e出现4次，因此频率为， 故答案为：． 10. 神舟十九号载人航天飞船发射前，调查其零部件的质量，采用最合适的调查方式为_____．（填“普查”或“抽样调查”） 【答案】普查 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．根据全面调查与抽样调查的特点，即可解答． 【详解】解：神舟十九号载人航天飞船发射前，调查其零部件的质量，由于事关重大，宜采用普查的调查方式． 故答案为：普查． 11. 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【详解】解： 则， 那么． 12. 在平行四边形中，对角线交于点O，若，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了对平行四边形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，得到是的一半是解此题的关键． 根据三角形的三边关系定理得到的取值范围，再根据平行四边形的性质即可求出的取值范围． 【详解】解：∵, ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， 故答案为：． 13. 如图，中，对角线相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】15 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质得出，利用勾股定理的逆定理得出直角三角形，证明，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 14. 如图，在中，E，F，分别是的中点，连接．若，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用直角三角形斜边中线定理以及三角形中位线的判定和性质求解． 【详解】解：∵为直角三角形，且点是斜边的中点， ∴， ∵E，F，分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． 15. 菱形两邻角的比为，边长为2，则该菱形的长对角线长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，连接交于点，由两个邻角与的比是，可求得，得出是等边三角形，求出，从而可求出该菱形的长对角线长． 【详解】解：连接交于点，如图， ∵菱形的两个邻角与的比是，，则 ∴ 又 ∴是等边三角形， ∵， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴该菱形的长对角线长 故答案为：． 16. 如图，在菱形中，，分别以，为圆心，以大于长为半径，作弧交于两点，过此两点的直线交边于点，连接，，则的度数为__________． 【答案】36° 【解析】 【分析】由题意可得EA=EB，从而∠ABE=∠A，再根据菱形的性质可以得到∠ABD的大小，从而根据∠EBD=∠ABD-∠ABE即可解答 ．　 【详解】解：由题意可知E在线段AB的垂直平分线上， ∴EA=EB， ∴∠ABE=∠A=36°， ∵ABCD为菱形， ∴AD=AB， ∴∠ABD=（180°-∠A）÷2=72°， ∴∠EBD=∠ABD-∠ABE=72°-36°=36°， 故答案为36°． 【点睛】本题考查菱形的应用，熟练掌握菱形的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的画法和性质是解题关键．　 17. 如图，菱形的边长为，点是对角线上的一个动点，点、分别为边、的中点，则的最小值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】取的中点，连接，，结合菱形的性质以及中点的定义可得，点，关于对称，则，即可得． 【详解】解：取的中点，连接，， ， 四边形为菱形， ，， 点为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， ， 点为的中点， ， ， 四边形为菱形，为菱形的对角线， 点，关于对称， ， ， ， ， 的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称最短路线问题、菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键． 18. 在矩形中的平分线交于点E，作点E关于的对称点F，若点F落在矩形的边上，则的长为________． 【答案】3或 【解析】 【分析】根据点的位置分两种情况讨论，①点落在边上时，利用轴对称性质与矩形性质可推出为等腰直角三角形，直接得到的长；②点落在边上时，利用角平分线定义和轴对称性质得到角度关系，结合勾股定理即可求解的长． 【详解】解：∵四边形是矩形，且， ∴，，. ∵是的平分线，点关于的对称点落在矩形的边上， ∴分两种情况讨论： ①如图所示，当点落在边上时， 由轴对称的性质得：. ∵， ∴，可得. 又， ∴是等腰直角三角形， ∴； ②如图所示，当点落在边上时， 由轴对称的性质得：. ∵是的平分线， ∴， ∴. ∵，即， ∴，可得. 在中，. 由勾股定理得： ， ∴. 综上所述，的长为或. 三、解答题（共10小题，19−22每题8分，23−26每题10分，27−28每题12分，共96分） 19. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查提公因式法与公式法因式分解的综合运用，解题思路为先观察多项式提取公因式，再运用乘法公式进行二次分解，直至分解彻底． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 20. 工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 49 94 192 285 m 950 合格频率 （1）估计任抽一件该产品是合格品的概率是________；表格中m的值为________； （2）某天甲员工被抽检了2000件该产品，估计其中不合格品有多少件？ 【答案】（1），475 （2）100 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据结合频率的稳定性得出概率，根据概率求出频数； （2）根据频率估计概率求解． 【小问1详解】 解：由表格可得，估计任抽一件该产品是合格品的概率是， ； 【小问2详解】 解：（件） 答：估计其中不合格品有100件． 21. 每年的6月5日是世界环境日．为增强学生的环保意识，某学校开展了“低碳生活，绿色相伴”为主题的环保知识竞赛．为了解该校七年级学生对环保知识的掌握情况，调查小组从该校七年级随机抽取部分学生的测试成绩（百分制，单位：分）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息： （ⅰ）该校七年级部分学生测试成绩的频数（即各组人数）分布表如下： 组别 测试成绩（分） 频数 第1组 a 第2组 6 第3组 b 第4组 14 第5组 8 （ⅱ）该校七年级部分学生测试成绩的频数条形图及扇形图如下： 请根据图表中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调研，从该校七年级随机抽取__________名学生进行调查； （2）表中__________，__________，第3组所对应的扇形的圆心角的度数是__________； （3）补全条形图； （4）已知该校七年级学生共计300人，如果测试成绩不低于80分为优秀，请你根据调查结果，估计该校七年级学生测试成绩达到优秀的约有__________人． 【答案】（1） （2），， （3）见详解 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关概念及计算，理解条形图、扇形图、频数分布表的信息，掌握根据样本百分比估算总体数量，圆心角的计算是解题的关键． （1）由第4组的人数及百分比即可求解； （2）根据样本容量与各组的百分比计算即可； （3）由各组人数的信息补全条形图即可； （4）根据样本百分比估算总体数量即可． 【小问1详解】 解：第组有人，占， ∴（人）， ∴本次调研从该校七年级随机抽取名学生进行调查， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，即第组有人， ∴第组的人数为：（人）， ∴第组的人数为（人）， ∴第组的百分比为， ∴第3组所对应的扇形的圆心角的度数是， 故答案为：，，； 【小问3详解】 解：根据上述计算，补全条形图如下， 【小问4详解】 解：（人）， ∴该校七年级学生测试成绩达到优秀的约有人， 故答案为：． 22. 如图，在直角梯形中，，，，，，，同时从，出发，点以的速度沿运动，点从开始沿边以的速度运动，其中一点到达时，另一点也随之停止运动，设运动时间为．当为何值时，四边形是等腰梯形？ 【答案】 【解析】 【分析】当时，四边形是等腰梯形，过Q、C分别作，，垂足分别为E、F，得到，四边形、为矩形， 勾股定理求出，根据，列方程求解即可 【详解】∵， ∴当时，四边形是等腰梯形， 过Q、C分别作，，垂足分别为E、F． 则四边形、为矩形， ∴， ∴， ， ∴，解得， 23. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证△AED≌△CFB（AAS），得AD=BC，又由AD∥BC，即可得出四边形ABCD是平行四边形． 【详解】证明：∵AD∥BC， ∴∠DAE=∠BCF， ∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠AED=∠CFB=90°， 在△AED和△CFB中， ∴△AED≌△CFB（AAS）， ∴AD=BC， 又∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键． 24. 已知：如图，在中，E为的中点，于点G，交于点F，，连接，．求证： （1）； （2）四边形是菱形． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵在中，， ∴，， ∴． （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵E为的中点，， ∴， ∴四边形为菱形． 【解析】 【分析】（1）证明，可得，可得，再证明，，即可得到结论； （2）先证明四边形为平行四边形，结合E为的中点，，可得，从而可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，平行线分线段成比例，掌握以上基础知识是解本题的关键． 25. 如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两直线相交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质可得，结合，，命题得证； （2）根据矩形和菱形的性质可得，，从而计算出菱形的面积． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴． 26. 如图，在矩形中，，动点P从点A出发，沿以每秒1个单位的速度向终点B运动，动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位的速度向终点D运动，设点Q的运动时间为． （1）若P，Q两点同时出发，当四边形是矩形时，求t的值； （2）若点P先出发，随后点Q再出发，是否存在t，使得四边形为菱形，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）秒 （2）存在秒，使得四边形为菱形 【解析】 【分析】该题主要考查了矩形的性质，菱形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据四边形是矩形，即可得出，表示出， ，当四边形是矩形时，列出方程求解即可； （2）当点Q的运动时，表示出，当时，解出秒，此时得出，即可得四边形为菱形，故存在，使得四边形为菱形． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 当点Q的运动时，， 则， 当四边形是矩形时，则， 即， 解得：秒； 【小问2详解】 解：当点Q的运动时，， 当时， 即，解得：秒， 此时，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴四边形为菱形， 故存在秒，使得四边形为菱形． 27. 在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处． （1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为________°． （2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝CD=6，AD＝BC=10，求CE的长． （3）如图3，若点E是CD的中点，AF的延长线交BC于点G，且AB＝CD=6，AD＝BC=10，求CG的长． 【答案】（1）18；（2）CE的长为；（3）CG的长为． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得∠DAC=36°，根据折叠的性质得∠DAE=18°； （2）根据 矩形性质得∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，根据折叠的性质得AF＝AD＝10，EF＝ED，根据勾股定理得BF=8，则CF=2，设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x，根据勾股定理得，解得：，即CE的长为； （3）连接EG，，由题意得DE＝CE，由折叠的性质得：AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，FE＝DE，则∠EFG＝∠C=90°，由HL得Rt△CEG≌Rt△FEG，则CG＝FG，设CG＝FG＝y，则AG＝10+y，BG＝10﹣y，在Rt△ABG中，由勾股定理得，解得，即CG的长为． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=90°， ∴∠DAC=90°-∠BAC=90°-54°=36°， ∵△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处， ∴∠DAE=∠EAC=∠DAC=×36°=18°， 故答案为：18； （2）∵四边形ABCD是长方形， ∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝6， 由折叠的性质得：AF＝AD＝10，EF＝ED， ∴， ∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2， 设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x， 在Rt△CEF中，由勾股定理得： ， 解得：， 即CE的长为； （3）解：如图所示，连接EG， ∵点E是CD的中点， ∴DE＝CE， 由折叠的性质得：AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，FE＝DE， ∴∠EFG＝∠C=90°， 在Rt△CEG和Rt△FEG中， ， ∴Rt△CEG≌Rt△FEG（HL）， ∴CG＝FG， 设CG＝FG＝y，则AG＝AF+FG＝10+y，BG＝BC﹣CG＝10﹣y， 在Rt△ABG中，由勾股定理得： ， 解得：， 即CG的长为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点． 28. 阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 由上式可知: =，因为≥0，所以当=0，即时，的最小值是-4． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． （1）利用配方法分解因式：； （2）根据上面解题思路可知多项式有最小值，即当x= 时，最小值是 ． （3）已知、、分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）； （2）当时，最小值为； （3）的形状是等边三角形， 理由如下： ∵ ∴， 利用拆项得：， 即：， 根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立， 于是，， 所以可以得到，即：的形状是等边三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解及其应用，根据材料学会运用配方法因式分解是解题的关键． （1）根据材料配方后，再运用平方差公式因式分解即可； （2）配方后利用偶次幂的非负性即可解答； （3）先配方后，然后利用偶次幂的非负性得到，即可解答． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ， 当当时，最小值为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026第二学期八年级数学期中试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在一个不透明的袋子中，装有5个红球、2个黄球和3个蓝球，所有球除颜色外完全相同，从中随机摸出1个球，下列说法正确的是（ ） A. 摸出红球是必然事件 B. 摸出黄球是不可能事件 C. 摸出蓝球是随机事件 D. 摸出黑球是随机事件 3. 今年我县有近名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ） A. 这名考生是总体的一个样本 B. 名考生是样本容量 C. 每位考生的数学成绩是个体 D. 名考生是总体 4. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 在四边形中，，下列选项不能说明四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 6. 用直尺和圆规在一个矩形内作菱形，下列作法中，错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图， 菱形的对角线，相交于点O， 过点D作于点H， 连接，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 8. 如图，正方形中，对角线，相交于点，过点作射线、，分别交、于点、（点不与、重合），且，连接，给出下列结论，其中不一定成立的是（ ） A. B. 平分 C. D. 二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 人工智能（）模型官方于2025年正式上线，引发了社会各界的广泛关注．在英文单词“”里，字母e出现的频率为___________． 10. 神舟十九号载人航天飞船发射前，调查其零部件的质量，采用最合适的调查方式为_____．（填“普查”或“抽样调查”） 11. 已知，则的值为________． 12. 在平行四边形中，对角线交于点O，若，则的取值范围是_________． 13. 如图，中，对角线相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，则图中阴影部分的面积是________． 14. 如图，在中，E，F，分别是的中点，连接．若，则________． 15. 菱形两邻角的比为，边长为2，则该菱形的长对角线长是_______． 16. 如图，在菱形中，，分别以，为圆心，以大于长为半径，作弧交于两点，过此两点的直线交边于点，连接，，则的度数为__________． 17. 如图，菱形的边长为，点是对角线上的一个动点，点、分别为边、的中点，则的最小值是______． 18. 在矩形中的平分线交于点E，作点E关于的对称点F，若点F落在矩形的边上，则的长为________． 三、解答题（共10小题，19−22每题8分，23−26每题10分，27−28每题12分，共96分） 19. 因式分解： （1） （2） 20. 工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 49 94 192 285 m 950 合格频率 （1）估计任抽一件该产品是合格品的概率是________；表格中m的值为________； （2）某天甲员工被抽检了2000件该产品，估计其中不合格品有多少件？ 21. 每年的6月5日是世界环境日．为增强学生的环保意识，某学校开展了“低碳生活，绿色相伴”为主题的环保知识竞赛．为了解该校七年级学生对环保知识的掌握情况，调查小组从该校七年级随机抽取部分学生的测试成绩（百分制，单位：分）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息： （ⅰ）该校七年级部分学生测试成绩的频数（即各组人数）分布表如下： 组别 测试成绩（分） 频数 第1组 a 第2组 6 第3组 b 第4组 14 第5组 8 （ⅱ）该校七年级部分学生测试成绩的频数条形图及扇形图如下： 请根据图表中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调研，从该校七年级随机抽取__________名学生进行调查； （2）表中__________，__________，第3组所对应的扇形的圆心角的度数是__________； （3）补全条形图； （4）已知该校七年级学生共计300人，如果测试成绩不低于80分为优秀，请你根据调查结果，估计该校七年级学生测试成绩达到优秀的约有__________人． 22. 如图，在直角梯形中，，，，，，，同时从，出发，点以的速度沿运动，点从开始沿边以的速度运动，其中一点到达时，另一点也随之停止运动，设运动时间为．当为何值时，四边形是等腰梯形？ 23. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，求证：四边形ABCD是平行四边形． 24. 已知：如图，在中，E为的中点，于点G，交于点F，，连接，．求证： （1）； （2）四边形是菱形． 25. 如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两直线相交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形面积． 26. 如图，在矩形中，，动点P从点A出发，沿以每秒1个单位的速度向终点B运动，动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位的速度向终点D运动，设点Q的运动时间为． （1）若P，Q两点同时出发，当四边形是矩形时，求t的值； （2）若点P先出发，随后点Q再出发，是否存在t，使得四边形为菱形，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 27. 在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处． （1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为________°． （2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝CD=6，AD＝BC=10，求CE的长． （3）如图3，若点E是CD的中点，AF的延长线交BC于点G，且AB＝CD=6，AD＝BC=10，求CG的长． 28. 阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 由上式可知: =，因为≥0，所以当=0，即时，的最小值是-4． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． （1）利用配方法分解因式：； （2）根据上面解题思路可知多项式有最小值，即当x= 时，最小值是 ． （3）已知、、分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $