精品解析：江苏省扬州市宝应县2024—2025学年下学期八年级数学期中测试卷

2024-2025学年江苏省扬州市宝应县八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 在国家“双减”政策背景下，我县某学校为了解九年级520名学生的睡眠情况，抽查了其中100名学生的睡眠时间进行统计，下面叙述中，正确的是（ ） A. 每名学生的睡眠时间是一个个体 B. 以上调查属于全面调查 C. 100名学生是总体的一个样本 D. 520是样本容量 2. 已知一组数据：其中无理数出现的频率是（ ） A. 20% B. 40% C. 60% D. 80% 3. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 把分式中的，的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 不变 C. 扩大为原来的6倍 D. 扩大为原来的3倍 5. 如图，将绕顶点B顺时针旋转到，当首次经过顶点C时，此时旋转角的度数等于，则的度数等于（　　） A. B. C. D. 6. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若测得点，之间的距离为，点，之间的距离为，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将一张边长为的正方形纸片折叠，使点落在的中点处，点落在点处，折痕为，则线段长的平方为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在边长为2的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 任意选择电视的某一频道，正在播放新闻，这个事件是______事件(填“必然”“不可能”或“随机”)． 10. 若分式的值为0，则x的值为__________． 11. 在一个不透明的布袋中装有 20 个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.20左右，则布袋中白球可能有_______个． 12. 代数式与代数的值相等，则__________． 13. 若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是____． 14. 如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为__________． 15. 如图，在菱形中，，对角线与相交于点O，且．于点E，则的长是______． 16. 如图，在中，，，，以斜边为边向外作正方形，连接，则的长为 ________________ ． 17. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为____ 18. 如图，在中，，，点D，点E分别是，边上的动点，连接，点F，点M分别是，的中点，则的最小值为__________． 三、解答题（本大题共10小题，共96分） 19. 化简： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 某市八年级学生去国防园参加社会实践活动，园内有“制作木飞机”、“遇险急救”、“水上过浮桥”、“攀岩”（以下分别用A、B、C、D表示）四个项目．为了了解学生对这四个项目的喜爱情况，对全市八年级学生进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）． （1）本次参加抽样调查的学生有______人； （2）将两幅不完整的图补充完整； （3）在扇形统计图中C项目所占扇形的圆心角的度数为_____； （4）若全市有4000名学生，求估计喜爱A项目的人数． 22. 在一个不透明的口袋里装有若干个质地相同的红球，为了估计袋中红球的数量，某学习小组做了摸球试验，他们将30个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出1个球并记下颜色，再把它放回袋中，多次重复摸球．下表是多次摸球试验汇总后统计的数据： 摸球的次数 150 200 500 900 1 000 1 200 摸到白球的频数 51 64 156 275 303 361 摸到白球的频率 0.304 0.32 0.312 0.306 0.303 0.301 (1)请估计：当摸球的次数很大时，摸到白球的频率将会接近______；假如你去摸一次，你摸到红球的概率是______；(精确到0.1) (2)试估计口袋中红球有多少个． 23. 如图，正方形网格中，的顶点均在格点上，请按要求画图： （1）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出； （2）作出关于坐标原点成中心对称的； （3）在第三象限找一点，使得构成平行四边形的点的坐标为_____． 24. 某文化用品商店用元采购一批书包，上市后发现供不应求，很快销售完了．商店又去采购第二批同样款式的书包，进货单价比第一批贵元，商店用了元，所购数量是第一批的倍．求第一批采购的书包的单价是多少元． 25. 如图，在矩形中，，相交于点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，则四边形的面积为　　 ． 26. 嘉嘉和淇淇研究一道习题：“已知，若分式分子、分母都加上，所得分式的值增大了还是减小了？”． 嘉嘉想到了“用减去判断差的正负性”的思路． 淇淇想到了“可以将两个分式化成分母相同，再比较分子的大小”的思路． 两人的解题思路都正确． （1）请你任选一个思路说明． （2）当所加的这个数为时，所得分式的值_____填“增大了”或“减小了”． （3）当所加的这个数为时，你能得到什么结论？请说明理由． 27. 阅读下列材料： 我们知道，分数可分为真分数和假分数，而假分数可以转化为带分数．如：．我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．类似的假分式也可以化为带分式．如：． 解答下列问题： （1）分式是_____（填“真分式”或“假分式”）； （2）将假分式可以化为带分式的形式； （3）如果x为整数，且分式的值为整数，求所有符合条件的x的值． 28. 如图（1），四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图（2），过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江苏省扬州市宝应县八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 在国家“双减”政策背景下，我县某学校为了解九年级520名学生的睡眠情况，抽查了其中100名学生的睡眠时间进行统计，下面叙述中，正确的是（ ） A. 每名学生的睡眠时间是一个个体 B. 以上调查属于全面调查 C. 100名学生是总体的一个样本 D. 520是样本容量 【答案】A 【解析】 【分析】根据个体、样本容量、总体以及全面调查和抽查的定义即可解答．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【详解】解：A、每名学生的睡眠时间是一个个体，正确，符合题意； B、以上调查属于抽样调查，原说法错误，不符合题意； C、100名学生的睡眠时间是总体的一个样本，原说法错误，不符合题意； D、100是样本容量，原说法错误，不符合题意； 故选：A 2. 已知一组数据：其中无理数出现的频率是（ ） A. 20% B. 40% C. 60% D. 80% 【答案】C 【解析】 【分析】无限不循环的小数是无理数，根据无理数的定义先判断无理数，再利用频率=频数数据总数，从而可得答案. 【详解】解： 是有理数，是有理数， 是无理数， 所以无理数出现的频率是 故选C 【点睛】本题考查的是无理数的识别，频率的计算，掌握“无理数的识别，频率的计算公式”是解本题的关键. 3. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，根据分式的性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变逐项判断即可． 【详解】解：A．，故原变形错误； B．当b不为0时， ，故原变形错误； C．，故原变形正确； D．，故原变形错误； 故选：C． 4. 把分式中的，的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 不变 C. 扩大为原来的6倍 D. 扩大为原来的3倍 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用分式的基本性质判断分式值的变化．熟练掌握利用分式的基本性质判断分式值的变化是解题的关键． 根据判断作答即可． 【详解】解：分式中的，的值都扩大为原来的3倍得，， ∴分式的值不变， 故选：B． 5. 如图，将绕顶点B顺时针旋转到，当首次经过顶点C时，此时旋转角的度数等于，则的度数等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质．由旋转的性质得出，由等腰三角形的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵将绕顶点B顺时针旋转到， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若测得点，之间的距离为，点，之间的距离为，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，交于点O，过点D作于点F，过点B作于点G，证明四边形是菱形；利用勾股定理解答即可；本题考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】连接，交于点O，过点D作于点F，过点B作于点G， 根据平行线间的距离处处相等，得到， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； ∴四边形是菱形； ∴； ∴； 故选：A． 7. 如图，将一张边长为的正方形纸片折叠，使点落在的中点处，点落在点处，折痕为，则线段长的平方为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查折叠问题，正方形的性质，勾股定理，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．连接，作交于点，根据折叠的性质，在中，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出的长．在中，有，在中，有，根据这两个式子可求得，得到，，在中，运用勾股定理求出． 【详解】解：如图，连接，作交于点， 由四边形是正方形及折叠性知， ，，，， 在中，， ∵，为的中点， ∴， ∴， 解得， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， 在中， ， 故选：B． 8. 如图，在边长为2的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到，，得出，根据平移的性质得到，，推出四边形是平行四边形，得到，于是得到的最小值为的最小值，根据平移的性质得到点在过点D且平行于的定直线上，作点C关于定直线的对称点E，连接交定直线于，则的长度即为的最小值，求得，得到，于是得到结论． 【详解】解：在边长为2的菱形中，， ∴，， 将沿射线的方向平移得到， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的最小值的最小值， ∵点在过点且平行于的定直线上， ∴作点关于定直线的对称点，连接交定直线于，设交与点G， 则的长度即为的最小值， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称－最短路线问题，菱形的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，平移的性质，正确地理解题意是解题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 任意选择电视的某一频道，正在播放新闻，这个事件是______事件(填“必然”“不可能”或“随机”)． 【答案】随机 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】任意选择电视的某一频道，正在播放新闻，这个事件是随机事件． 故答案为随机事件． 【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 10. 若分式的值为0，则x的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据分式的值为0时分母≠0，且分子＝0两个条件求出x的值即可． 【详解】由x2-9=0，得 x=±3． 又∵x+3≠0， ∴x≠-3， 因此x=3． 故答案为3． 【点睛】本题考查了分式值为0时求字母的值．分式值为0时分子=0，分母≠0，两个条件缺一不可，掌握以上知识是解题的关键． 11. 在一个不透明的布袋中装有 20 个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.20左右，则布袋中白球可能有_______个． 【答案】16 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解． 【详解】解：设袋中有黄球x个，由题意得： =0.2， 解得：x=4， 则白球可能有20-4=16（个）； 故答案为：16． 【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是利用黄球的概率公式列方程求解得到黄球的个数． 12. 代数式与代数的值相等，则__________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先根据题意列出方程，再解分式方程，再检验即可． 【详解】解：由题意得，， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为， 故答案为：7． 13. 若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是____． 【答案】m＜6且m≠2. 【解析】 【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可． 【详解】， 方程两边同乘（x-2）得，x+m-2m=3x-6， 解得，x=， 由题意得，＞0， 解得，m＜6， ∵≠2， ∴m≠2， ∴m＜6且m≠2. 【点睛】要注意的是分式的分母暗含着不等于零这个条件，这也是易错点． 14. 如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接， 根据中，，，得到，根据，得到，根据旋转得到，，，，得到为等边三角形，得到，得到，推出为等边三角形，得到． 本题主要考查了旋转，含30度角的直角三角形，等边三角形．解决问题的关键是熟练掌握旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定． 【详解】解：连接，如图， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵绕点C按逆时针方向旋转得到，点恰好在边上， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，即点与点B之间的距离为． 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，，对角线与相交于点O，且．于点E，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，勾股定理． 根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理得到，求得，根据菱形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，以斜边为边向外作正方形，连接，则的长为 ________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，用勾股定理解直角三角形，三角形的全等判定和全等性质，牢记相关定理内容并作出符合题意的辅助线是解题的关键．延长，过点E作垂直于的延长线于点F，证明，可得，然后在中，利用勾股定理即可求得的长． 【详解】解：延长，过点E作垂直于的延长线于点F，如下图： ∵四边形是正方形 ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理得：，即：， ∵， ∴； 故答案为： 17. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为____ 【答案】3或 【解析】 【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形． 【详解】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： ①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示． 连结AC， 在Rt△ABC中，AB=3，BC=4， ∴AC==5， ∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处， ∴∠AB′E=∠B=90°， 当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°， ∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处， ∴EB=EB′，AB=AB′=3， ∴CB′=5-3=2， 设BE=x，则EB′=x，CE=4-x， 在Rt△CEB′中， ∵EB′2+CB′2=CE2， ∴x2+22=（4-x）2，解得， ∴BE=； ②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形， ∴BE=AB=3． 综上所述，BE的长为或3． 故答案为：或3． 【点睛】此题考查了折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质． 18. 如图，在中，，，点D，点E分别是，边上的动点，连接，点F，点M分别是，的中点，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．连接，过点作于,根据三角形中位线定理得到,根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，再根据三角形面积公式、垂线段最短解答即可. 【详解】解：如图，连接，过点作于，     点，点分别是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， 当时，最小，此时， ， 解得：， 的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共96分） 19. 化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把各个分式进行通分，然后按照同分母分式相加减法则进行计算即可； （2）先把各个分式进行通分，然后按照同分母分式相加减法则进行计算，最后再约分即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；． 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式= ⋅=， 当x=-3时，原式=． 21. 某市八年级学生去国防园参加社会实践活动，园内有“制作木飞机”、“遇险急救”、“水上过浮桥”、“攀岩”（以下分别用A、B、C、D表示）四个项目．为了了解学生对这四个项目的喜爱情况，对全市八年级学生进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）． （1）本次参加抽样调查的学生有______人； （2）将两幅不完整的图补充完整； （3）在扇形统计图中C项目所占扇形的圆心角的度数为_____； （4）若全市有4000名学生，求估计喜爱A项目的人数． 【答案】（1）600 （2）见解析 （3） （4）1200人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关系，利用样本估计总体： （1）用D组的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数； （2）先计算出C组的人数以及A项目、C项目人数所占比例，然后补全统计图； （3）用乘以样本中C组人数所占的百分比即可； （4）用总人数乘以样本中A项目人数所占比例即可得． 【小问1详解】 解：240÷40%＝600（人）， 所以本次参加抽样调查的学生有600人， 故答案为：600； 【小问2详解】 解：C组人数为（人）， A项目人数所占比例为， C项目人数所占比例为， 补全统计图如下： 【小问3详解】 解：， 故答案为：； 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计喜爱A项目的人数为1200人． 22. 在一个不透明的口袋里装有若干个质地相同的红球，为了估计袋中红球的数量，某学习小组做了摸球试验，他们将30个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出1个球并记下颜色，再把它放回袋中，多次重复摸球．下表是多次摸球试验汇总后统计的数据： 摸球的次数 150 200 500 900 1 000 1 200 摸到白球的频数 51 64 156 275 303 361 摸到白球的频率 0.304 0.32 0.312 0.306 0.303 0.301 (1)请估计：当摸球的次数很大时，摸到白球的频率将会接近______；假如你去摸一次，你摸到红球的概率是______；(精确到0.1) (2)试估计口袋中红球有多少个． 【答案】（1）0.3，0.7；（2）70 【解析】 【分析】（1）当事件的实验次数越来越多时事件的频率都接近同一个数值，可以根据频数表示概率，由此计算得到红球的概率； （2）设口袋中有红球x个，根据题意列方程解答即可得到答案. 【详解】（1）∵摸球的次数很大，摸到白球的频率都接近0.3， ∴摸到白球的概率是0.3， ∴摸到红球的概率是1-0.3=0.7， 故答案为：0.3，0.7； （2）设口袋中有红球x个， 由题意得：， 解得x=70， 经检验，x=70是原方程的解且符合题意， 答：口袋中有红球70个. 【点睛】此题考查利用事件的频率估计事件的概率，列分式方程解决实际问题，正确理解事件的实验次数越多时得到事件的概率是解题的关键. 23. 如图，正方形网格中，的顶点均在格点上，请按要求画图： （1）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出； （2）作出关于坐标原点成中心对称的； （3）在第三象限找一点，使得构成平行四边形的点的坐标为_____． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换，平移变换，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）以A点为旋转中心，分别作出B，C两点绕点A顺时针旋转的对应点，即可； （2）分别作出A，B，C关于坐标原点O成中心对称的对应点，，即可； （3）根据平行四边形的性质求解即可． 【小问1详解】 如图即为所求； 【小问2详解】 如图即为所求； 【小问3详解】 如图所示，点D即为所求． ∴点的坐标为． 24. 某文化用品商店用元采购一批书包，上市后发现供不应求，很快销售完了．商店又去采购第二批同样款式的书包，进货单价比第一批贵元，商店用了元，所购数量是第一批的倍．求第一批采购的书包的单价是多少元． 【答案】第一批采购的书包的单价是元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 设第一批采购的书包的单价是元，则第二批采购的书包的单价是元，依题意得，然后解方程并检验即可． 【详解】解：设第一批采购的书包的单价是元，则第二批采购的书包的单价是元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：第一批采购的书包的单价是元． 25. 如图，在矩形中，，相交于点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，则四边形的面积为　　 ． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， 在矩形中，，相交于点， ，，， ， 平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理． （1）根据，，可得四边形是平行四边形，根据矩形的性质可推出，即可得证； （2）连接，交于点，根据四边形是菱形，可得，，，再根据勾股定理求出的值，进而得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接，交于点， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， 菱形的面积为：， 故答案为：． 26. 嘉嘉和淇淇研究一道习题：“已知，若分式分子、分母都加上，所得分式的值增大了还是减小了？”． 嘉嘉想到了“用减去判断差的正负性”的思路． 淇淇想到了“可以将两个分式化成分母相同，再比较分子的大小”的思路． 两人的解题思路都正确． （1）请你任选一个思路说明． （2）当所加的这个数为时，所得分式的值_____填“增大了”或“减小了”． （3）当所加的这个数为时，你能得到什么结论？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）增大了 （3）所得分式的值增大了 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的基本性质和不等式的性质，掌握分式加减运算法则是解题的关键． （1）分别利用两人的解题思路求解即可； （2）选择嘉嘉的思路，把分子和分母加上2时再作差比较即可； （3）选择嘉嘉的思路，把分子和分母加上时再比较即可． 【小问1详解】 解：嘉嘉的思路：， ， ， ， ， ， 即所得分式的值增大了． 淇淇的思路：， ， ， ， ， 即：， 所以分式的值增大了． 【小问2详解】 解： ， ， ， ， ， 所以分式的值增大了， 故答案为：增大了． 【小问3详解】 解：当所加的这个数为时，所得分式的值增大了， 理由：， ，， ，， ， ， 即所得分式的值增大了． 27. 阅读下列材料： 我们知道，分数可分为真分数和假分数，而假分数可以转化为带分数．如：．我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．类似的假分式也可以化为带分式．如：． 解答下列问题： （1）分式是_____（填“真分式”或“假分式”）； （2）将假分式可以化为带分式的形式； （3）如果x为整数，且分式的值为整数，求所有符合条件的x的值． 【答案】（1）真分式 （2） （3）0或6或或 【解析】 【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据已知条件中的真分式的定义进行判断即可； （2）根据题意，逆用分式的加法法则，从而写成带分式的形式； （3）把分子写成的形式，然后逆用分式的加法法则，从而写成带分式的形式，再根据x为整数，求分式的值为整数，列出关于x的方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵的分子次数为0，分母次数为1， ∴分式是真分式； 故答案为：真； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ， ∵为整数，分式的值为整数， ∴， 解得：，，，， 则所有符合条件的值为0，，，． 28. 如图（1），四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图（2），过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题考查四边形的综合应用，主要考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键，同时注意解题方法的延续性． （1）由正方形得，，可证得，可证得结果； （2）①作于点P，于点Q，利用角平分线的性质得，证明，即可得出，从而证明结论； ②过点E作于M，先证明，可得，最后由勾股定理求得的长 【小问1详解】 证明：∵在正方形中， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①证明：如图，作于点P，于点Q， ∵在正方形中， ∴， ∴和均为等腰直角三角形， 由勾股定理可得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； ②解：∵在正方形，正方形中， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点E作于M，则是等腰直角三角形， 根据勾股定理得， ∵， ∵， 即正方形的边长为； 故答案为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $