2026年中考数学二轮复习专题：统计概率综合 讲义

中考数学二轮专题复习： 统计概率综合 【考前概览】 统计与概率的综合常以实际生活、生产中的事例为背景，以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，通过对相关数据的统计分析、抽象概括，能够对很多事情、行为进行有效的控制，还能为重大决策提供有力的依据，也是中考命题的趋势.虽然难度不大，但是分值占比较大.由于其特有的计算类型，易错点也比较统一，所以需要考生在审题和计算上特别留心.整体来说，这个考点的考题属于中考中的中低档考题，因此越是容易拿分越要细心练习. 【方法点拨】 1.仔细审题，弄清图表含义，从统计图（扇形统计图、条形统计图、折线统计图、频数分布直方图）和统计表中获取数据信息，认真处理数据信息，然后做出合理的判断和决策. 2.认真整理和分析数据，掌握平均数、中位数、众数、方差的含义及计算. 3.掌握利用样本估计总体进行相关计算. 4.在理解概率的基础上，掌握求概率的方法，尤其要掌握用列表法和画树状图法求多步实验的概率，列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，画树状图法适合两步或两步以上完成的事件. 5.认真分析概率模型，分清是一步实验还是两步实验，甚至是三步，是放回实验还是不放回实验，然后选择合适的方法求概率. 注意：在做解答题时要按规范格式作答，避免造成过失性失分！ 【重点题型】 类型一 统计知识的综合 例1 在4月23日（世界读书日）这天，某校开展了以“读红色经典，传革命精神”为主题的读书活动，学校对本校学生三月份阅读该主题相关书籍的读书量进行了抽样调查，并对所有随机抽取的学生的读书量进行了统计，将统计结果绘制成如下统计表和如图所示的扇形统计图. 请你根据不完整的统计表和扇形统计图，解答下列问题： （1） 本次调查共抽取学生_____名. （2） a的值为 _____，扇形统计图中“3本”所在扇形对应的圆心角的度数为_____. （3） 已知该校有3000名学生，请估计该校学生中，三月份读书量不少于3本的学生人数. 点拨：（1） 由读书量为2本的人数及其所占百分比可得总人数. （2）用总人数分别减去其他读书量的人数即可得出a的值.用360°乘“3本”所占百分比即可得出扇形统计图中“3本”所在扇形对应的圆心角的度数. （3） 用总人数乘样本中读书量不少于3本的学生人数所占百分比即可. 解：（1） 本次调查共抽取学生25÷25％＝100（名）. （2） a＝100－10－25－30－15＝20， 扇形统计图中“3本”所在扇形对应的圆心角的度数为 360°×＝108°. （3） 估计该校学生中，三月份读书量不少于3本的学生人数为3000×30+20+＝1950. 【总结】 这类问题着重考查了扇形统计图以及用样本估计总体，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比的大小. 变式：为了解中学生的视力情况，某区卫健部门决定随机抽取本区部分初、高中学生进行调查，并对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图. 点拨：（1） 用总人数200乘以所占百分比，得m的值，用100%减去1.1以下的所占百分比，得1.1及以上的百分比，即得到n的值. （2） 所有人数加起来就是总人数，即为样本容量. 解：（1） m=200×34%=68；n=100%-4%-8%-14%-17%-34%=23%. （2） 14+44+60+82+65+55=320(人)，所以样本容量为320. (3)①小胡的说法正确. 理由:从众数看，初中生视力的众数为1.0，高中生视力的众数为0.9， ∴初中生的视力水平好于高中生.(答案不唯一) 类型二 概率知识的综合 例2 某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示.嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同. (1)求嘉淇走到十字道口A 向北走的概率； (2)补全图2的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大. 点拨：(1)在A 处共有3种等可能的选择，再根据概率公式求解即可. （2）根据补全的树状图，进行求解即可. 解：（1）嘉淇走到十字道口A后，共有3种等可能的选择，向北走是其 中1种选择，则其概率为. （2） 补全树状图如答图所示. 共有9种等可能的结果，嘉淇经过两个十字道 口后向西参观的结果有3种，向南参观的结果 有2种，向北参观的结果有2种，向东参观的结果有2种， ∴P（向西参观）==， P（向南参观）=P（向北参观）=P（向东参观）= ， ∴ 嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率较大. 【总结】 第一问为一步概率问题，嘉淇在A处共有3种等可能的选择，由此可得答案. 第二问不完整的树状图可以给我们解题带来思路上的启发，但仍需仔细缜密地分析在每一个道口可能的方向，直至得到所有可能的结果，求出对应的概率，最后再通过比较各概率的大小得到答案． 变式：如图所示的转盘被分成5等份，分别标上数字1，2，3，4，5，小娟和小丽玩转盘游戏，转动转盘后指针停在哪个区域就得相应分数（指针停在分界线上，则重新转）. （1） 转一次转盘，求指针停在偶数区域的概率. （2） 现约定游戏规则如下：小娟转一次，指针落在奇数区域就得15分；小丽连续转两次，两次所得数字之积为偶数就得15分.游戏公平吗？若不公平，请修改小娟或小丽的得分使游戏公平. 解：（1） 由题意，得共有5种等可能的结果， 其中指针停在偶数区域的结果有2种. ∴ 转一次转盘，指针停在偶数区域的概率为. （2） 小娟得15分的概率为.根据小丽连续转两次的情形画树状图如图所示. 由树状图，可知共有25种等可能的结果，其中两次所得数字之积为偶数的结果有16种. ∴ 小丽得15分的概率为. ∵ ＜， ∴ 游戏不公平. 修改规则不唯一，如小娟转一次，指针落在奇数区域就得16分. 类型三 统计与概率的综合 例3 6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：A（优秀）；B（良好）；C（中等）；D（合格）.将统计结果绘制成如图①②所示的两幅统计图. 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1） 本次抽样调查了_____名学生. （2） 补全条形统计图. （3） 该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛中获得B等级的学生有多少名. （4） 在本次竞赛中，九年级（1）班共有4名学生获得了优秀，其中有2名男生、2名女生，班主任决定从中随机选出2名在班级为其他学生做培训.请你用列表或画树状图的方法求所选2名恰好是1男1女的概率. 点拨： (1)由A等级的人数除以所占百分比即可. (2)求出C等级的人数，补全条形统计图即可. (3)由该校共有学生人数乘B等级的学生所占的百分比即可. (4) 画树状图，共有12种等可能的结果，其中所选2名恰好是1男1女的结果有8种，再由概率公式求解即可. 解：(1) 本次抽样调查了18÷30％＝60（名）学生. （2）C等级的人数＝60－18－24－3＝15. 补全条形统计图如图③所示. （3） 1200×24/60＝480（名）， ∴ 估计本次竞赛中获得B等级的学生有480名. (4) 画树状图如图④所示. 由树状图，可知一共有12种等可能的结果，其中所选2名恰好是1男1女的结果有8种. ∴ 所选2名恰好是1男1女的概率为＝. 【总结】 解答这类统计与概率的综合题时，①先根据两幅统计图中对应的两个量的已知信息，求得相关的未知量，②再用画树状图或列表的方法列出事件发生的所有等可能的结果，进而求得事件发生的概率，这类问题更体现了统计的实际意义和决策作用. 变式：某校以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行随机抽样调查，每名被调查的学生必须从“科普”“绘画”“诗歌”“散文”四类书籍中选择最喜爱的一类，调查结果如图所示. 解：(1) 本次被调查的学生有  20÷40%=50(名). (2)扇形统计图中“散文”类所在扇形对应的圆心角的度数为360°×＝72°.最喜爱“绘画”类的人数为50－4－20－10＝16，补全条形统计图如图所示. (3) 画树状图如图所示. 由树状图，可知共有12种等可能的结果，其中所选的2名 恰好都是男生的结果有6种. ∴ 所选的2名恰好都是男生的概率＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $