3.3 垂径定理 课时训练2025-2026学年北师大版数学九年级下册

**基本信息** 北师大版九年级数学下§3.3垂径定理同步练，通过三级分层设计，覆盖定理应用、计算推理及实际情境，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|基本概念与简单计算|概念辨析题（如第4题）巩固定理理解| |中档|综合计算与分类讨论|多情境计算（如第12题同心圆弦长）提升运算能力| |提升|证明推理与实际应用|综合解答（如第21题坐标系圆弧）发展应用意识|

【北师大版九年级数学（下）课时练习】 §3.3垂径定理 一、单选题（共30分） 1.(本题3分)如图，AB为⊙O的直径，AB⊥CD,交CD于点E,若AB=4,BE=1,则CD的长 为() E D B A.3 B.2 C.2V5 D.3 2.(本题3分)如图，AB是⊙0的弦，半径OC⊥AB于点D,若AB=8cm,CD=2cm,则半径的长是() C A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 3.(本题3分)已知o0的半径为13cm,弦AB∥CD,AB=24cm,CD=10cm,则AB,CD之间的距 离为() A.17cm B.7cm C.12cm D.17cm或7cm 4.(本题3分)下列说法不正确的是() ①平分弦的直径垂直于弦；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③垂直平分弦的直线必定经过圆心；④平分 弧的直径垂直平分弧所对的弦. A.③④ B.②④ C.①② D.①②③④ 5.(本题3分)如图，BC是⊙0的弦，OA⊥BC于H,连接OB、OC,则下列结论中错误的是() H A.BH=CH B.OH=AH C.AB=AC D.∠AOB=∠A0C 6.(本题3分)下列说法中正确的是() A.直径是弦 B.长度相等的两条弧是等弧 C.相等的圆心角所对的弧相等 D.平分弦的直径垂直于弦 7.(本题3分)下列关于圆的说法中，正确的是() A.半圆是弧B.弦是直径C.长度相等的两条弧是等弧D.平分弦的直径垂直这条弦 8.(本题3分)化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面 如图所示，其半径为6cm,瓶内液体最大深度为4cm,则液面宽AB的长为() A.8cm B.8√2cm C.4/3cm D.4v2cm 9.(本题3分)如图，AB为OO的直径，点C在O0上，连接AC,以AC为边作菱形ACDE,CD交 O0于点F,AB⊥CD,垂足为G,若AG=12,GF=5,则DF的长为() G F D A.2 B.3 C.4 D.4.2 10.(本题3分)在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决 方案是：在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作AB的垂直平分线CD交AB于点D,交劣弧AB于点C, 测出AB=8cm,CD=2cm,则圆形工件的半径为() 2 A.10cm B.8cm C.5cm D.4cm 二、填空题（共15分） 11.(本题3分)如图，AB为00的弦，OC⊥AB,延长CO与O0相交于点D,若AB=CD=8,则O0的 半径为 D 12.(本题3分)如图，两个圆都以点0为圆心，大圆的弦AB交小圆于C,D两点，大圆的半径为10，小 圆半径为7.若AB=16,则弦CD的长是」 0 D 13.(本题3分)如图，AB,AC是⊙0两条互相垂直的弦，OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,连接 DE,若AB=6,AC=8,则DE的长为 10 14.(本题3分)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB),点0是AB所在圆的圆心，通过测量，发 现弦AB的长度是30m,AB所在圆的半径是25m,则AB上的点到弦AB的距离的最大值是_m, A 3 15.(本题3分)如图，AB为O0的直径，弦CD⊥AB于点F,OE⊥AC于点E,若OE=6,OB=10, 则CD的长度为 D 三、解答题（共55分） 16.(本题6分)如图，在O0中，弦BC与半径OA垂直于点D,连接AB、AC.点E为AC的中点，连 接DE, D (1)若AB=6,求DE的长； (2)若∠BAC=100°，求∠CDE的度数. 17.(本题7分)如图，AB是直径为10cm的O0的一条弦，连接OA,过点0作0M⊥AB于点M, OM=4cm,求弦AB的长. B 18.(本题8分)如图，OO的两条弦AB∥CD(AB不是直径)，点E为AB中点，连接EC,ED. E B 0 (1)求证：直线E0⊥AB; (2)求证：EC=ED. 19.(本题8分)如图，两个圆都是以0为圆心，大圆的弦AB交小圆于C,D两点. DB (1)求证：AC=BD; (2)若AB=8,BD=1,小圆的半径为5，求大圆的半径R的值. 20.(本题8分)如图，在⊙0中，弦AB垂直平分半径0C. (1)求∠C的度数： (2)若⊙0的半径为r,求弦AB的长 21.(本题9分)如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C,其中点B坐标为4,3). B (1)请写出该圆弧所在的圆的圆心D的坐标 6 (2)⊙D的半径为· (3)点(-3,0)在⊙D(填“上”、“内”或“外”）；∠ADC=°. 22.(本题9分)己知AB为O0的直径，点C在AB的延长线上，D为⊙0上一点，CD=OB,延长CD与 ⊙0相交于点E. D D B 图① 图② (1)如图①，若∠C=26°，求∠40E的大小： (2)如图②，若LA0E=45°，0B=2,求弦DE的长. 【北师大版九年级数学（下）课时练习】 §3.3垂径定理 一、单选题（共30分) 1.(本题3分)如图，AB为⊙O的直径，AB⊥CD,交CD于点E,若AB=4,BE=1,则CD的长 为() E D B A.√5 B.2 C.25 D.3 解：如图，连接OC, B AB是⊙O的直径，AB=4, .半径为2，即0A=0B=0C=2, .0E=0B-BE=2-1=1, ,AB⊥CD, CE=V0C:-OE=.CE=DE=ICD, .CD =2CE =23, 故选：C 2.(本题3分)如图，AB是⊙0的弦，半径0C1AB于点D,若AB=8cm,CD=2cm,则半径的长是() A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 解：连接OA,如图所示： .OC L AB,AB 8cm,CD 2cm D-B=4cm.Q4-OC-CD+OD(O+2)cm 在Rt△AD0中，由勾股定理可得：42+OD2=(OD+22, 解得：OD=3cm, .0C=5cm; 故选C. 3.(本题3分)已知⊙0的半径为13cm,弦AB∥CD,AB=24cm,CD=10cm,则AB,CD之间的距 离为() A.17cm B.7cm C.12cm D.17cm或7cm 0 解；如图所示，当平行弦AB,CD在圆心O的同侧时， C D E A 0 过点O作OE⊥AB,垂足为E,延长OE交CD于点F,连接OA,OC, 则c=号8=12am,cF-0=5m 在Rt△A0E中，0E=VOA2-AE2=5cm· 在Rt△C0F中，0F=VOC2-CF2=12cm: 故EF=0F-0E=7cm. 如图所示，当平行弦AB,CD在圆心O的异侧时， D B 过点O作OE⊥AB,垂足为E,延长EO交CD于点F,连接OA,OC, 则4E=号4B=l2m,CF=cD-=m. 在Rt△A0E中，0E=V0A2-AE2=5cm· 在Rt△C0F中，0F=√0C2-CF2=12cm· 故EF=OE+OF=17cm. 综上，AB,CD之间的距离为7cm或17cm, 故选：D 4.(本题3分)下列说法不正确的是() ①平分弦的直径垂直于弦；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③垂直平分弦的直线必定经过圆心；④平分 弧的直径垂直平分弧所对的弦. 10 A.③④ B.②④ C.①② D.①②③④ 解：，当弦为直径时，平分弦的直径可能不垂直于弦，①错误； ,·当弦为直径时，平分弦的直径可能不平分弦所对的弧，②错误； ,垂直平分弦的直线必过圆心（垂径定理推论），③正确： ,平分弧的直径必垂直平分弧所对的弦（垂径定理逆定理），④正确. ∴.不正确的是①②， 故选C 5.(本题3分)如图，BC是O0的弦，0A1BC于H,连接OB、OC,则下列结论中错误的是() A.BH=CH B.OH=AH C.AB=AC D.∠A0B=∠A0C 解：A::OB=OC,OH⊥BC, BH=CH,正确，故该选项不合题意； B:根据题目条件无法推出OH=AH,错误，故该选项符合题意； C:由OA⊥BC及BH=CH可知，OA垂直平分BC, .AB=AC,∠AOB=∠A0C D::OB=0C,OH⊥BC, .OH平分∠B0C, ∠A0B=∠AOC,正确，故该选项不合题意. 故选：B 6.(本题3分)下列说法中正确的是() A.直径是弦 B.长度相等的两条弧是等弧 C.相等的圆心角所对的弧相等 D.平分弦的直径垂直于弦 解：A、直径是经过圆心的弦，故A正确； B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧才是等弧，原说法缺少前提条件，故B错误； C、相等的圆心角所对的弧相等需在同圆或等圆中，故C错误： D、平分弦的直径垂直于弦，但弦不能是直径（否则可能不垂直），故D错误. 故选：A. 7.(本题3分)下列关于圆的说法中，正确的是() A.半圆是弧B.弦是直径C.长度相等的两条弧是等弧D.平分弦的直径垂直这条弦 解：A:·半圆是圆上一条直径的两个端点分成的弧，∴半圆是弧，正确，符合题意： B:弦是连接圆上任意两点的线段，而直径是经过圆心的弦，弦不一定是直径，错误，不符合题意； C:,等弧需在同圆或等圆中长度相等，∴仅长度相等不一定等弧，错误，不符合题意； D:垂径定理要求平分弦（非直径）的直径才垂直弦，∴若弦是直径，则不一定垂直，错误，不符合题意： 故选：A. 8.(本题3分)化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面 如图所示，其半径为6cm,瓶内液体最大深度为4cm,则液面宽AB的长为() A.8cm B.8v2cm C.43cm D.4√2cm 解：如图，过点O作OD⊥AB于点C,交O于点D,连接OA, B D .∠AC0=90°，AB=2AC, ,半径为6cm,瓶内液体最大深度为4cm, ..OA =OD =6cm,CD =4cm, .0C=0D-CD=6-4=2(cm), AC=V0A2-0C2=V62-22=4V2(cm), .AB=2AC=8v2cm. 故选：B 12 9.(本题3分)如图，AB为OO的直径，点C在⊙0上，连接AC,以AC为边作菱形ACDE,CD交 O0于点F,AB⊥CD,垂足为G,若AG=12,GF=5,则DF的长为() A.2 B.3 C.4 D.4.2 解：如图所示： 4 :AB⊥CD,AB为OO的直径， F D B .∠AGC=90°，GC=GF=5, 则CF=GC+GF=10, 在RtAACG中，AG=12,GC=5,则由勾股定理可得AC=√AG2+GC2=13, :四边形ACDE为菱形， :CD=AC=13, 则DF=CD-CF=13-10=3, 故选：B. 10.（本题3分)在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决 方案是：在工件圆弧上任取两点AB,连接AB,作AB的垂直平分线CD交AB于点D,交劣弧AB于点C, 测出AB=8cm,CD=2cm,则圆形工件的半径为() A.10cm B.8cm C.5cm D.4cm 13 解：设这个残缺圆形工件的圆心为点O,连接OA, B :CD是弦AB的垂直平分线， .圆心0在直线CD上，∠AD0=90°. :CD是弦AB的垂直平分线，AB=8cm, :AD=14B=1x8=4cm,OC L 4B, 1 2 2 设圆形工件的半径为cm, 则0A=0C=rcm. CD 2cm, .OD=OC-CD=(r-2)cm. 在RtaA0D中，由勾股定理得AD2+OD2=OA2, 代入得42+(r-22=r2, 解得：r=5, 故选：C 二、填空题（共15分） 11.(本题3分)如图，AB为⊙0的弦，OC⊥AB,延长CO与⊙0相交于点D,若AB=CD=8,则00的 半径为」 A 解：连接OA,设OA=OD=r, 14 ‘1-8=00-03=00‘b=8F-=O.8=00=a78fT00· 在RtAAC0中，由勾股定理得AC2+OC2=OA2, 42+(8-r2=r2,解得r=5,即00的半径为5. 故答案为：5. 12.(本题3分)如图，两个圆都以点0为圆心，大圆的弦AB交小圆于C,D两点，大圆的半径为10，小 圆半径为7.若AB=16,则弦CD的长是 0 DB 解：如图，作OE⊥AB于点E,连接OA、OC, 和 E D☑B ,OE⊥AB,AB=16, EEAR8 CE-DE-CD,20E4- ,0A=10, .0E=V0A2-AE2=6, 0C=7, .CE=V0C2-0E2=V13, .CD =2CE =2v13 15 故答案为：2√3 13.(本题3分)如图，AB,AC是O0两条互相垂直的弦，OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,连接 DE.若AB=6,AC=8,则DE的长为 B 解：0D1AB,4B=6,4D-号4B=3, 0E14C,4C=8,4=54C=4, ,AB⊥AC, .在RtAADE中，DE=√AD2+AE2=V32+42=5, 故答案为：5. 14.(本题3分)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB)，点0是AB所在圆的圆心，通过测量，发 现弦AB的长度是30m,AB所在圆的半径是25m,则AB上的点到弦AB的距离的最大值是m. 解：如图，作OC⊥AB交AB于点C,交弦AB于点D, B :.AD=4B=15m, 在RtaA0D中，OA2=OD2+AD2, 即252=0D2+152,解得0D=20m, 6 ∴.CD=0C-0D=25-20=5m, .AB上的点到弦AB的距离的最大值是5m. 故答案为：5. 15.(本题3分)如图，AB为O0的直径，弦CD⊥AB于点F,OE⊥AC于点E,若0E=6,OB=10, 则CD的长度为 0 B C 解：如图：连接OC, D ,0B=10, .0A=0C=0B=10, .0E⊥AC, ∴.∠0EA=90°， 由勾股定理得：AE=VOA2-0E2=V102-6=8, ,OE⊥AC, ∴.AE=CE=8, .AC=16, 设0F=x,则AF=10+x, CD⊥AB, ∴.∠AFC=90°， 由勾股定理得：CF2=0C2-0F2=AC2-AF2, .102-x2=162-(10+x)2,解得：x=2.8, 17 .0F=2.8, ∴.CF=V0C2-0F2=102-2.82=9.6, ,CD⊥AB, .DF=CF=9.6, .CD=CF+DF=19.2. 故答案为：19.2. 三、解答题（共55分） 16.(本题6分)如图，在O0中，弦BC与半径OA垂直于点D,连接AB、AC,点E为AC的中点，连 接DE. (1)若AB=6,求DE的长； (2)若∠BAC=100°，求∠CDE的度数 (1)解：.BC⊥0A, AB=AC,∠ADC=90°， .AC=AB=6, ,点E为AC的中点， DE=54C=3, (2)解：AC=AB, ∠B=LC, ,∠BAC=100°， .∠C=2180°-100）=40°， ,点E为AC的中点， .ED =EC, .∴.∠CDE=∠C=40°. 9 17.(本题7分)如图，AB是直径为10cm的⊙0的一条弦，连接OA,过点O作0M⊥AB于点M, OM=4cm,求弦AB的长. B 解：：0M⊥AB,且OM过O0的圆心O;AB=2AM· :00的直径是10cm,0A=2×10=5(cm, OM 4cm,:.AM =042-OM2 =3(cm), .AB=2AM=6(cm 18.(本题8分)如图，OO的两条弦AB∥CD(AB不是直径)，点E为AB中点，连接EC,ED. E A B D (1)求证：直线E0⊥AB; (2)求证：EC=ED. (1)证明：如图，连接EO, E A B EO过点O,E为AB的中点， D E0⊥AB. (2)证明：延长EO交CD于F. 19 E B :EO⊥AB,AB∥CD, F D EF⊥CD. EF过点O, :CF =DF, .EF垂直平分CD, :EC=ED. 19.(本题8分)如图，两个圆都是以0为圆心，大圆的弦AB交小圆于C,D两点， (1)求证：AC=BD; (2)若AB=8,BD=1,小圆的半径为5，求大圆的半径R的值 (1)证明：如图：作0E⊥AB于E, 0: 由垂径定理，得： AE=BE,CE=DE, ∴BE-DE=AE-CE, 即AC=BD: (2)解：如图，连接OD,OB, 20 0R2 AB=8, BE=AE=4,DE=4-1=3 在RtAOBE和Rt△ODE中，由勾股定理，得： 0E2=0D2-DE2,0E2=0B2-BE2, OD2-DE2=OB2-BE2, 即52-32=0B2-42, 解得：0B=4√2 :大圆的半径为4√2. 20.(本题8分)如图，在⊙0中，弦AB垂直平分半径0C. (1)求∠C的度数； (2)若O0的半径为r,求弦AB的长 (1)解：：弦AB垂直平分半径0C. ∠800=0,0-0c-08. .∠0BD=30°， ∠B0C=90°-30°=60°， :0B=0C, △OBC是等边三角形， :∠C=60°； (2)解：：00的半径为r, 21 :AB垂直平分半径OC, :.BD=TAB,OD=7" 1 在RtAB0D中，OB2=OD2+BD2, 即r-rj传j. 解得：AB=√5r或AB=-√（舍去）， :弦AB的长为√Br 21.(本题9分)如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C,其中点B坐标为4,3)， VA A (1)请写出该圆弧所在的圆的圆心D的坐标 (2)⊙D的半径为 (3)点(-3,0)在⊙D (填“上”、“内”或“外”)；∠ADC=° (1)解：作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心，如图所示， YA 则圆心D的坐标为(2，-1； 故答案为：（2，-1： (2)解：由平面直角坐标系得A(0,3), ⊙D的半径为22+(3+1)2=2√5； 故答案为：2√5； 22 (3)解：点(-3,0)到圆心D(2,-1)的距离为V(2+3)2+12=√26>25， :点(-3,0)在圆D外； 连接AD,CD,AC,由平面直角坐标系得A(0,3,C(6,1), .AC=V(3-102+62=210, “圆D的半径为25， :AD=CD=25, .AD2+CD2=AC2, △ACD是直角三角形，∠ADC=90° 故答案为：外；90. 22.(本题9分)己知AB为O0的直径，点C在AB的延长线上，D为O0上一点，CD=OB,延长CD与 ⊙0相交于点E. D 图① 图② (1)如图①，若∠C=26°，求∠A0E的大小： (2)如图②，若∠A0E=45°，0B=2,求弦DE的长. (1)解：连接0D, D ,0D=0B=DC, .∠D0C=∠C, ∴.∠ED0=LD0C+LC=2LC, 又0E=0D, 23 ∴.L0ED=∠ODE=2∠C, .∠A0E=∠0ED+∠C=2∠C+∠C=3∠C=3×26°=78°： (2)解：由(1)可得∠C=15°，∠0EC=30°， 过点O作OF⊥DE于点F,则DE=2EF, F B C .∠0EC=30°，0E=0B=2, 0F=0E=1, ∴.EF=V0E2-0F2=√22-1P=5, .DE=2EF=25, 24