3.4 圆周角和圆心角的关系(第2课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级下册数学同步练习（北师大版）

口数学 九年级下册（北师大版） 圆周角和圆心角的关系（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题 如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC, BC的交点分别为D,E,且DE=BE (1)试判断△ABC的形状，并说明理由. (2)已知半圆的半径为5，BC=12,求sin∠ABD的值 【分析】(1)根据图形的特征猜想△ABC可能是等腰三角形， 例题图 若想证猜想的结论成立，只需证AB=AC或∠C=∠CBA.如果要证AB=AC(用定义判 定)，需构造以AB,AC为一组对应边的两个全等三角形，为此连接AE.如果要证∠C= ∠CBA(用定理判定)，只需证∠C和∠CBA都等于∠CDE.而从DE=BE出发，根据等角的 余角相等和圆内接四边形对角互补和补角定义可证. (2)若求∠ABD的正弦值，就必须求AD的值，为此连接AE.在△ABC中，我们可以 利用等腰三角形的性质求BE,利用勾股定理求AE,再利用面积法求BD,进而求出AD 此题还可以利用△CDB~△CB1得到份怎，再根据等酸三角形的性质求出D,进而求 得AD. 【解答】(1)△ABC为等腰三角形.理由如下： 解法I:如图，连接AE.DE=BE,∠DAE=∠BAE.AB为直径， ∴.∠AEB=∠AEC=90°.∴.△AEC≌△AEB..AB=AC. 解法2：AB为直径，∴.∠ADB=∠BDC=90°，∠C+∠DBC=∠CDE+ ∠EDB=90°.又DE=BE,LDBC=LEDB.∠C=∠CDE.四边形 ABED是圆内接四边形，∴.∠CBA+∠ADE=∠ADE+∠CDE=180°.∴∠CDE= 例题答图 ∠CBA.∴.∠C=∠CBA.AB=AC,即△ABC为等腰三角形 (2)解法1：△ABC为等题三角形，AE1BC,BE=BC=×12=6, 在Rt△ABE中，AB=10,.∴AE=V102-6=8. AB为直径，∠ADB=90.号AE-BC=)BD-AC:BD=8X2-48 10-5 14 在R△ABD中，AD=VAB-D-,sm∠ABD=招高- AB-10-25 解法2：·，四边形ABED是圆内接四边形， .∴∠CBA+∠ADE=∠ADE+∠CDE=180°.∴.∠CDE=∠CBA. 70 圆第三章 LC=∠C,∴.△CDE△CBA..CD=CE CB AC .BC=12,半径为5，AC=AB=10. 由(0知c=号0-6，÷号合0=94n=4c-Cn 5 5 14 :MB为直径，∠ADB=90.Sin∠ABD=AD=5=7 AB-1025 【点拨】本题考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，半圆（或直 径)所对的圆周角是直角，圆内接四边形的对角互补，也考查了等腰三角形的判定与性 质和勾股定理，以及相似三角形，解法多样，思路灵活.需要注意在圆的计算和证明中， 等弧的关系经常转化为相等的角的关系，要联想到等腰三角形、全等三角形和相似三角 形，对于直径所对的圆周角是直角要联想到直角三角形的相关知识.此外，圆内接四边形 对角互补、同角或等角的余角（补角）相等，在圆的有关证明和计算中属于应用广泛的 核心知识， 基础巩固达标闯关 1.如图，AB是⊙0的直径，∠ACD=15°，则∠BAD的 度数为 2.如图，AB是⊙0的直径，若AB=4cm,∠ADC=30°， D 则∠BAC的度数为 弦AC的长为 第1题图 第2题图 3.已知AD是⊙0的直径，AC是⊙0的弦，OB⊥AC交AC于点B.若OB=5cm,则DC= 4.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC=30°，点P在线段OB上运动.设 ∠ACP=x,则x的取值范围是 5.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，DA,CB的延长线交于点P,∠P=30°， ∠ABC=100°，则∠C=() A.70° B.60° C.45° D.40° 0 B 第4题图 第5题图 第6题图 6.如图，正方形ABCD内接于⊙O,P是劣弧AD上任意一点，则∠ABP+∠DCP等于 () A.90° B.60° C.45° D.30° 71 口数学 九年级下册（北师大版） 7.如图，弦AB=AC,E是BEC的中点，下列结论：①AE平分∠BAC;②BC⊥AE; ③AE是圆的直径.其中正确的是() A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ D D B 第7题图 第8题图 第9题图 8.如图，AC是⊙0的直径，点B,D在⊙0上，那么图中等于}∠B0C的角有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，CE是⊙O的直径，CD⊥AB于点D.若∠BCD= 25°，则∠ACE=() A.20° B.25° C.30° D.35° 10.如图，四边形ABCD内接于⊙O,并且AD是⊙O的直径，C是BD的中点，AB和DC 的延长线交⊙O外一点E,那么BC与EC相等吗？为什么？ 第10题图 11.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=50°.以AB为直径作⊙O,交BC边于点D,交 AC边于点E,求BD,DE和AE所对圆心角的度数 第11题图 见 圆 第三章 能力提升螂综合拓展 -卡多多B 12.如图，四边形ABCD内接于⊙O,∠1=∠2，延长BC到点E,使得CE=AB,连接ED. (I)求证：BD=ED. (2)若AB=4,BC=6,∠ABC=60°，求tan∠DCB的值. ●0 第12题图 13.如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O,交BC边于点D,过点C作CE∥AB交⊙O 于点E,连接AD,DE,∠B=∠ADE. (1)求证：AC=BC. (2)若tanB=2,CD=3,求AB和DE的长. D 第13题图 14.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE.过点A作AF⊥DE,垂足为F, ⊙O经过点C,D,F,与AD相交于点G (I)求证：△AFG∽△DFC (2)若正方形ABCD的边长为4，AE=1,求⊙0的半径. 第14题图 口数学 九年级下册（北师大版） 中考链接©真题演练 -卡s多e 15.(2025·陕西)如图，AB是⊙0的直径，BC=BD,∠CDB=24°，则∠ACD的度数为 0。 0 第15题图 第16题图 第17题图 16.(2025·广安)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，∠BCD=120°，⊙0的半径 为6，则BD的长为 17.(2025·青海)如图，AB是⊙0的直径，∠CAB=40°，则∠ADC的度数是() A.80° B.50 C.40° D.259 18.(2024·浙江)如图，在圆内接四边形ABCD中，AD<AC,∠ADC<∠BAD,延长AD 至点E,使AE=AC,延长BA至点F,连接EF,使∠AFE=∠ADC. (1)若∠AFE=60°，CD为⊙O的直径，求∠ABD的度数. (2)求证：①EF∥BC;②EF=BD. A 第18题图 19.(2025·安徽)如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连 接OC,∠DAB+2∠ABC=180°. (1)求证：OC∥AD (2)若AD=2,BC=2V3,求AB的长. 第19题图 西参考答案与提示 BD..CD=BE..CD和BE所对的圆周角相等，即 ∠BOC,.BD=BC.AB=4,BC=V5,∴.BE=2,DB= ∠DEC=∠BCE.∴.AC=AE. V5.在Rt△BDE中，∠DEB=90°，DE=VBD2-BE= 8.解：EF∥AB.理由：AC=EF,AC=EF..EC 1.在Rt△BOE中，∠0EB=90°，OB=(OB-1)2+22,解 =AF.∠E=∠CAE.AD平分∠BAC,∠BAE= 得0B=子，O0的半径是号 ∠CAE.∠E=∠BAE..EF∥AB. 9.解：0A=0C,∠C0D=60°，∠C4B=1∠B0C, 4圆周角和圆心角的关系（第2课时） 2 1.75°2.60°2cm3.10cm4.30°≤x≤90° .∠OCA=∠0AC=-30°.AC=AD,∠ACD=∠ADC= 5.A6.C7.D8.C9.B 75°，∴.∠0CE=∠ACD-∠0CA=45°.在Rt△0CE中，： 10.解：相等.理由：如图，连接AC.,AD是⊙0 ∠C0E=∠0CE=45°，0C=2,∴.0E=V2. 的直径，∴.∠ACD=∠ACE=90°..∠EAC+∠E=∠DAC 10.(1)证明：∠ADC=∠G,.AC=AD.AB +∠D=90°.四边形ABCD内接于⊙O,∴.∠ABC+∠D= 为⊙0的直径，BC=BD.∠1=L2.(2)解：如 180°.：∠ABC+∠EBC=180°，.∠EBC=∠D.C是BD 图，连接DF,CB,由(1)知AC=AD,BC=BD, 的中点，.BC=DC..∠EAC=∠DAC..∠E=∠D. ∠ABC=∠ABD,BC=BD.∴BE⊥CD,CE=DE.AB是 ∠EBC=∠E,∴BC=EC. DC的垂直平分线.FD=FC=10.点C,F关于DG对 称，DC-Dr0:DE5.m∠上号，EB=DEan∠1 221-2m2-号A=2 ..AB= AE+EB=29.⊙0的半径长为29， 0 2 4 第10题答图 第11题答图 11.解：如图，连接AD,则∠ADB=90.AB=AC ∴.∠DAB=∠DAC..'∠BAC=50°，∴.∠DAB=∠DAC=25° BD,DE所对的圆心角度数都等于50°.AE=4EB- 第10题答图 第11题答图 BE,AE所对圆心角的度数等于180°-2x50°=80°. 12.(1)证明：：四边形ABCD内接于⊙0， 11.(1)解：如图，连接0D,0C,.0D=0C.M ∠A+∠DCB=180°..∠DCE+∠DCB=180°，·.∠A= 是CD的中点，CD=12,DM=号CD=6,OM1CD,即 ∠DCE.∠1=∠2，.AD=DC,AD=DC.AB=CE, ∠OMD=90°.在Rt△OMD中，·OM=3,DM=6,.OD= ∴.△ABD≌△CED(SAS).BD=ED.(2)解：如图， VOMP+DM证=V32+6=3V5.∴.⊙0的半径长为3V5. 过点D作DM⊥BE于点 (2)证明：如图，连接AC,延长AF交BD于点 M,.AB=4,BC=6,CE= G,AB⊥CD,CE=EF,AB是CF的垂直平分线. AB=4,.∴BE=BC+EC=10. .AF=AC,即△ACF是等腰三角形.∠FAE=∠CAE. .BD=ED,DM LBE,.BM= BC=BC,.∠CAE=∠CDB..∠FAE=LCDB.在Rt△BDE ME BE-5..CM-BC- 中，∠CDB+∠B=90°，∴.∠FAE+∠B=90°..∠AGB= BM=1.:∠ABC=60°，∠1= 第12题答图 90°.AG⊥BD,即AF⊥BD. 12.40°13.90°14.90°15.B16.C17.C ∠2，∠2=30.DM=BM-tanZ2=5xY3_5V3 3 18.B19.C ∴tan∠DcB=DM_5V3 20.(1)证明：LACB=2 ∠AOB,∠BAC= CM 3 13.(1)证明：：∠ADE= 号∠B0C,∠ACB=2∠BHC、∠A0B=2∠B0C ∠ACE,∠ADE=∠B,∴.∠B= ∠ACE.·CE∥AB,∴.∠BAC= (2)解：如图，过点O作半径 ∠ACE..∠B=∠BAC..AC=BC. OD⊥AB于点E,连接BD,∴AE (2)解：如图，连接AE, B BE.由(I)知∠BOC=) D ∠AOB AC为⊙O的直径，∴.∠ADB= 第13题答图 ∠DOB=2 ∠ADC=90°.在Rt△ADB中， ∠AOB,.∴.∠DOB= 第20题答图 ..tan B=AD=2,:AD=2BD..CD=3,:AC=BC=BD+ BD 数学 九年级下册（北师大版） CD=BD+3.AD2+CD=AC,∴.(2BD)2+32-(BD+3)只.解得 OC⊥BD..·EB=DE.·OA=OB,.OE是△ABD的中位 BD=2或BD=0(舍去)..∴AD=2BD=4.在Rt△ADB中， 线，0E=4D-1.设半圆的半径为，则CE-1.在 AB=VAD+BD=V4+2=2V5,BC=2+3=5. ∠ADE=∠B,∠AED=∠ACB,∴.△ADE△ABC. Rt△OEB中，BE=OB-OE=T2-1.在Rt△CEB中，BE= AD-DE 4=DE.:.DE-2V5. BC-CE=12-(r-1)2,即2-1=12-(r-1)2.解得r1=3, AB BCV5 5 T=-2(舍去)，故AB=2=6. 14.（1)证明：：四边形ABCD是正方形， 5确定圆的条件 ∠BAD=∠ADC=90°..·.∠CDF+∠ADF=90°..AF⊥DE, 1.D2.C3.C4.C5.A .∠AFD=90°...∠DAF+∠ADF=90°..∠DAF=∠CDF..· 6.画图略提示：任意画线段AB,以AB为直径 四边形GFCD是⊙O的内接四边形，.∠FCD+∠DGF= 作半圆O,过点0作AB的垂线，交半圆O于点C, 180°.∠FGA+∠DGF=180°，∴.∠FGA=∠FCD. 连接AC,BC,则△ABC即为所求.理由：AB是直 △AFG∽△DFC.(2)解： 径，.∠ACB=90°.又OC1AB,OA=OB,AC=BC. 如图，连接CG,·∠EAD= △ABC是等腰直角三角形. ∠AFD=90°，∠EDA=∠ADF, 7.画图略提示：图1、图2都是作AB的垂直平 AED4AMDR,器8= 分线，交直线m于点O,以O为圆心，以OA为半径 作⊙0，则⊙0即为所求作的圆；在图3中，直线m 即EA-AE△AFG∽△DFC, 是AB的垂直平分线，∴.直线m上的任意一点O到A, DA DF B的距离都相等，∴满足条件的⊙0有无数个. 4C-45.46=A.四 第14题答图 DCDF·“DC-DA 8.解：B,E,C三点在以D为圆心、DB长为半 径的圆上.理由：AD为直径，.∠ABD=∠ACD=90° 边形ABCD是正方形，∴.DA=DC.·.AG=EA=1,DG= .BD=CD,.BD =CD..ABD -BD =ACD-DC AB= DA-AG=4-1=3.∴.CG=VDG2+DC2=5..·∠CDG=90°， CG是⊙0的直径.⊙0的半径为 AC,AB=AC.又AD=AD,∴.△ABD≌△ACD. ∠BAD=∠CAD.又∠CAD=∠CBD,∴∠BAD=∠CBD 15.66°16.6V317.B BE平分∠ABC,·∠CBE=∠ABE.又∠DBE= 18.(1)解： ∠CBD+∠CBE,∠DEB=∠BAD+∠ABE,∴.∠DBE= CD为直径， ∠DEB.∴DB=DE.∴DB=DE=DC.B,E,C三点在以D ∠CAD=90°.. 为圆心、DB长为半径的圆上. ∠ADC=∠AFE= 9.解：(1)在弧上任取三点构造三角形，作其中 60°，.∠ACD= 两边的垂直平分线，交点就是圆心O.画图略.(2) 90°-60°=30°..∴. 过点O作OC⊥AB于点D,交弧AB于点C,连接OB, ∠ABD=∠ACD= :BD=LAB=1xI6-8(cm).由题意可知CD=4cm.设 2 2 30°.(2)证明： 第18题答图 半径为xcm,则OD=(x-4)cm.在Rt△BOD中，由勾 ①如图，延长AB至点M,·四边形ABCD是圆内接四 股定理得0D+BD=0B.∴.(x-4)2+8=x2.x=10.答：这 边形，∴，∠ADC+∠ABC=180°.：∠CBM+∠ABC=180°， 个圆形截面的半径为10cm. ∴.∠CBM=∠ADC.又：∠AFE=∠ADC,.∠AFE= ∠CBM..EF∥BC.②如图，过点D作DG∥BC交⊙O 10.(1)证明：如图，连接DF,EF,∠BAC= 90°，.FC是⊙0的直径.∴.OA=0D,0F=OC.∴.四边形 于点G,连接AG,CG.DG∥BC,EF∥DG,∠GDC= AFDC为平行四边形.： ∠BCD,BD=CC.BD=CG,∠AEF=∠GDE.四边形 ∠BAC=90°，.四边形 ACGD是圆内接四边形，.∠ACG+∠ADG=180°.： AFDC为矩形..AF∥CD. ∠ADG+∠GDE=180°，∠GDE=∠ACG.∴.∠AEF= M 即MF∥CD.F是AE的中 ∠ACG..∠AFE=∠ADC,∠ADC=∠AGC,∴.∠AFE= ∠AGC.又AE=AC,∴.△AEF≌△ACG(AAS)..EF= 点，∴AF=EF..∠ADF= CG..EF=BD. ∠EDF.OF=OD,.∠ADF 19.(1)证明：.∠AOC= =∠OFD..∴.∠OFD=∠EDF 第10题答图 2∠ABC,∠DAB+2∠ABC= .FC∥DM..·.四边形CFMD 180°，.∠DAB+∠A0C=180°， 为平行四边形.(2)解：：四边形AFDC为矩形，四 .OC∥AD.(2)解：如图 边形CDMF为平行四边形，AF=EF,.CD=AF=FM= 连接BD,交OC于点E, ERCD-号AB.CD-号2CD-BMCD-2BMBM/ 5 AB是半圆O的直径， 第19题答图 ∠ADB=90°.·.OC∥AD,·.∠BEO=∠ADB=90°， 即 CD,.∠B=∠DCE,∠BME=∠CDE..△BEM∽△CED.