考点6.4 数列求和问题专项训练-2026届高三数学二轮复习

**基本信息** 以八种数列求和方法为核心，通过母题-变式体系构建系统性训练，强化方法迁移与综合应用，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |错位相减法|4题（含3变式）|“乘公比-错位-相减”标准步骤，结合函数构造|从“等差×等比”基础型到差比构造综合型| |裂项相消法|5题（含4变式）|分式/组合型裂项公式，含根式、指数等变形|从等差分式裂项到二次项、指数型复杂裂项| |分组求和法|5题（含4类型）|奇偶项/分段/函数构造分组策略|从简单分组到数列与函数综合分组| |其他方法（并项/倒序等）|10题|并项合并、倒序相加配对技巧|基础方法（等比求和）到与递推、不等式综合应用|

2026年高考数学二模新题分类速递 考点6.4 数列求和问题 考点6.4 数列求和问题 1 一、错位相减法求和 1 （一）“等差×等比”标准型 1 （二）差比数列构造型 2 二、裂项相消法求和 2 （一）分式型裂项 2 （二）组合型裂项 3 三、分组求和法 3 （一）奇偶项分组 3 （二）分段数列分组 4 （三）数列与函数构造分组 4 （四）等比与等差分组 4 四、并项求和法 4 五、倒序相加法 5 六、等比数列求和法 5 七、数列求和与不等式证明综合 5 八、数列求和与递推求通项综合 6 参考答案 7 第一部分：答案速查表 7 第二部分：逐题答案与详解 8 第三部分：试题来源表 14 一、错位相减法求和 （一）“等差×等比”标准型 1.（2026·陕西宝鸡·二模）（母题：标准模型） 记 为等比数列 的前 项和，已知 ． （1）求 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 ． 2.（2026·河南·二模）（变式1：结合分组求和） 已知数列 的首项 ，且满足 ． （1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 ． 3.（2026·浙江嘉兴·二模）（变式2：结合分组与错位） 已知数列 满足 ， ． （1）求证：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 ． 4.（2026·许昌·二模）（变式3：结合函数构造） 记 为等差数列 的前 项和．已知 且 ． （1）求 的通项公式； （2）设函数 ， ，求数列 的前 项和 ． （二）差比数列构造型 5.（2026·安徽池州·二模）（母题：倒序相加构造） 已知 是单调递增数列，记 为数列 的前 项和，且 ． （1）证明： 是等差数列； （2）令 ，求 ． 二、裂项相消法求和 （一）分式型裂项 6.（2026·惠州、韶关·二模）（母题：等差型） 已知数列 的前 项和为 ． （1）求 的通项公式； （2）设 ，数列 的前 项和为 ，若 ，求 的最大值． 7.（2026·聊城·二模）（变式1：含根式） 记数列 的前 项和为 ，若满足 ，且 ． （1）求证： 是等差数列，并求 的通项公式； （2）设 ， 为数列 的前 项和，若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 8.（2026·山东·二模）（变式2：指数型） 记数列 的前 项和为 ，已知 ， ． （1）求 的通项公式； （2）设 ，证明数列 的前 项和 ． 9.（2026·湖南·二模）（变式3：含二次项） 已知数列 满足 ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）设函数 ，求 的值． （二）组合型裂项 10.（2026·安徽江淮十校·联考） 设 为数列 的前 项和，已知 ， 与 的等比中项为3，且 为等差数列． （1）求数列 的通项公式 ； （2）若数列 满足 ，求 的前 项和 ． 三、分组求和法 （一）奇偶项分组 11.（2026·济宁·二模） 记 为数列 的前 项和，已知 ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）记 为数列 的前 项和，求 ． 12.（2026·安徽华师联盟·联考） 已知数列 是等差数列，且 ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，数列 的前 项和为 ，证明： ． （二）分段数列分组 13.（2026·山东·二模） 已知等差数列 和正项等比数列 满足 ， ， ， ． （1）求 和 的通项公式； （2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ． （三）数列与函数构造分组 14.（2026·江西·联考） 已知数列 满足 ， ． （1）令 ，求数列 的通项公式； （2）设 的前 项和为 ，若 ，求 的最大值． （四）等比与等差分组 15.（2026·沈阳·二模） 在数列 中， ， ． （1）求证：数列 为等比数列； （2）设 ，求数列 的前 项和 ． 四、并项求和法 16.（2026·泰安·二模） 已知函数 ， ， ，求 的值． 17.（2026·泰安·二模） 已知数列 满足 ， ，等差数列 满足 ， ． （1）求数列 和 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项和 ． 五、倒序相加法 18.（2026·衡阳·二模） 已知函数 ，数列 满足 ． （1）证明 为定值，并求数列 的通项公式； （2）记数列 的前 项和为 ，证明： ． 六、等比数列求和法 19.（2026·浙江杭州·二模）（母题：直接求和） 设公比为 的等比数列 的前 项和为 ，且 ． （1）求 和 ； （2）求 ． 20.（2026·长望浏宁·二模） 已知数列 的前 项和为 ，且 ． （1）求该数列的通项 ； （2）若 ，求数列 的前 项和 ． 21.（2026·茂名·二模） 已知等比数列 满足 ， ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）记数列 的前 项和为 ， ，将数列 与 的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列 ，求 的前10项和． 七、数列求和与不等式证明综合 22.（2026·四川南充·二诊） 已知数列 是首项为1，公比为2的等比数列， 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项和，且 ． （1）求数列 的通项公式； （2）证明： ． 八、数列求和与递推求通项综合 23.（2026·山东潍坊·二模） 已知数列 的前 项和为 ，等差数列 满足 ， ． （1）求数列 和 的通项公式； （2）记 为 在区间 内项的个数， 为数列 的前 项和，求 ． 24.（2026·山西三重教育·二模） 已知数列 中， ， ． （1）证明： 是等差数列； （2）求数列 的前 项和 ． 参考答案 第一部分：答案速查表 序号 1 2 3 4 5 6 答案 序号 7 8 9 10 11 12 答案 序号 13 14 15 16 17 18 答案 序号 19 20 21 22 23 24 答案 （1） ，； （2） （1） ； （2） （1） ； （2） 243 （1） ； （2） 见详解 （1） ，； （2） （1） 见详解； （2） 第二部分：逐题答案与详解 1. 答案：（1） ；（2） 详解：（1） 由 ，当 时，，两式相减得 ，即 因为数列 为等比数列，所以数列 的公比为 当 时，，而 ，解得 所以 （2） 由 （1） 知，，则 所以 ，则 ，两式相减得 ，则 2. 答案：（1） ；（2） 详解：（1） 因为 ，所以 因此 是以 为首项， 为公比的等比数列.所以 ，即 （2） 记 ①，则 ②.①② 得 ，所以 所以 3. 答案：（1） ；（2） 详解：（1） 可得 ，且 因此 是以 为首项， 为公比的等比数列，，故 （2） 由 （1） 可知 ，因此 令 ，则 ，两式相减得 ，所以 ，故 4. 答案：（1） ；（2） 详解：（1） 设数列的公差为 ，由 可知 又 ，令 可得 联立解得 ，则 ，所以 （2） ，当 时， 成立，所以 ，，，相减得 ，故 5. 答案：（1） 证明见详解；（2） 详解：（1） 令 ，得 ，所以 由题意得 ，所以当 时，，即 ，所以 或 因为数列 是单调递增数列，所以当 时，，，所以 所以 ，，即 是首项为1，公差为1的等差数列， （2） 由 （1） 知 ，所以 令 ，则 ①.两边同乘以2，得 ②.②①，得 所以 6. 答案：（1） ；（2） 详解：（1） 由条件有 时，又 ，所以 ，则 经检验， 满足 ，所以 的通项公式为 （2） 由 （1） 得 ，则 因为 ，所以 ，又 ，故 的最大值为7. 7. 答案：（1） ；（2） 详解：（1） 由 ①，得 ②.②① 得 ③，则 ④.④③ 得 ，所以 是等差数列.由 ，得 因为 ，所以公差 所以 （2） 所以 由 对 恒成立，得 ，即 设 ，由 对 恒成立，得 ，解得 或 故 的范围为 8. 答案：（1） ；（2） 证明见详解 详解：（1） 当 时，，因为 ，所以 当 时，，，两式相减得 ，所以 又因为 ，所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，故数列 的通项公式为 （2） 所以 又因为 ，所以 9. 答案：（1） ；（2） 详解：（1） 由已知得 显然 ，所以 所以数列 是首项为 ，公差为1的等差数列，所以 ，即 （2） 由题意知 ，所以 10. 答案：（1） ；（2） 详解：（1） 易得 ，设等差数列 的公差为 ，因为 ，所以 ，即 ，所以 ，即 当 时，当 时，，满足上式，所以 （2） 由 （1） 知 ，所以当 为偶数时，。则 。所以数列 的前 项和为 。 11. 答案：（1） ；（2） 详解：（1） 由条件 可得 ，两式相减得 ，整理得 累乘得 所以 当 时， 也符合上式；所以数列 的通项公式为 （2） 记 ，由 （1） 可得 所以 所以 12. 答案：（1） ；（2） 证明见详解 详解：（1） 设等差数列 的首项为 ，公差为 ，已知 ，所以 ，，解得 所以 （2） 已知 ，则 是首项 ，公比 的等比数列，所以 所以 令 ，则 当 时，，，所以 ，函数单调递减，所以 所以 ，命题得证. 13. 答案：（1） ，；（2） 详解：（1） 设 的公差为 ，数列 的公比为 由 得 因为 ，，所以 ，，得 故 ， （2） 由 （1） 可知 ，则 14. 答案：（1） ；（2） 详解：（1） 由 ，两边同乘 得 因为 ，所以 又 ，所以当 时，当 时，，也满足.故 （2） 由 （1） 得 所以 又 ，即 ，因为 ，，所以 为最大值. 15. 答案：（1） 证明见详解；（2） 详解：（1） 因为 所以数列 是以 为首项，3为公比的等比数列.所以 ，则 （2） 由 （1） 知 ，又因为 所以 16. 答案：4 详解：函数 的周期为 ，在区间 上， 在 上递减，在 上递增，总变差为 由于 具有周期性，且 ，所有相邻函数值之差的绝对值之和等于2026倍单个周期内平均变差，但这里相邻点跨越了整个区间 ，总长度为2026个周期，每个周期内总变差为4，且在等间距采样下，函数值在单个周期内四个单调分支上的累计变化量正好等于总变差.因此 17. 答案：（1） ，；（2） 详解：（1） 因为 ，所以 又 ，所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列.所以 ，即 所以 ，设等差数列 的公差为 ，则 ，所以 所以 （2） 所以 18. 答案：（1） ；（2） 证明见详解 详解：（1） 由题意 ，所以 由 ，则 ，两式相加得到 ，所以 （2） 由题意得 ，则 当 时， 无限趋近于0且大于0，则 而 在 上单调递增，故 ，得证. 19. 答案：（1） ，；（2） 详解：（1） 设数列 公比为 ，当 时，，即 当 时，，两式相减得 ，所以 由 得 （2） 20. 答案：（1） ；（2） 详解：（1） 当 时，，即 ，又 ，结合等比性质 （实际由 与 联立），可得 ，进而公比 ，故 （2） ， 21. 答案：（1） ；（2） 243 详解：（1） 设等比数列 的公比为 ，由 ，且 ，得 由 ，得 ，所以 ，所以 （2） 由 （1） 知 ，所以 当 时，；当 时，，所以 由 与 的公共项按从小到大的顺序组成 ，可设 ， 为正整数.若 ，则 ，公共项为0；若 ，则由 得 ， 必须为偶数，令 ，则公共项为 故 ，且从第2项起 是以3为首项，6为公差的等差数列，即 所以数列 的前10项和为 22. 答案：（1） ；（2） 证明见详解 详解：（1） 数列 是首项为1，公比为2的等比数列，所以 又 是数列 的前 项和，所以 ，所以 当 时，；当 时，综上， （2） 所以 23. 答案：（1） ，；（2） 详解：（1） 当 时，；当 时，经检验， 时符合上式，所以 因为 ，，所以公差 ，所以 （2） 因为 在区间 内项的个数为 所以 所以 24. 答案：（1） 证明见详解；（2） 详解：（1） 因为 ，所以 而 ，则 ，即 得到 是首项为 ，公差为 的等差数列. （2） 由 （1） 可得 ，即 则 得到 第三部分：试题来源表 序号 来源 题号 1 2026·陕西宝鸡·二模 第16题 2 2026·河南·二模 第17题 3 2026·浙江嘉兴·二模 第15题 4 2026·许昌·二模 第16题 5 2026·安徽池州·二模 第16题 6 2026·惠州、韶关·二模 第15题 7 2026·聊城·二模 第18题 8 2026·山东·二模 第15题 9 2026·湖南·二模 第15题 10 2026·安徽江淮十校·联考 第15题 11 2026·济宁·二模 第15题 12 2026·安徽华师联盟·联考 第15题 13 2026·山东·二模 第15题 14 2026·江西·联考 第16题 15 2026·沈阳·二模 第15题 16 2026·泰安·二模 第14题 17 2026·泰安·二模 第17题 18 2026·衡阳·二模 第15题 19 2026·浙江杭州·二模 第15题 20 2026·长望浏宁·二模 第15题 21 2026·茂名·二模 第16题 22 2026·四川南充·二诊 第15题 23 2026·山东潍坊·二模 第15题 24 2026·山西三重教育·二模 第16题 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $