考点6.3 等比数列及其性质的应用专项训练-2026届高三数学二轮复习

2026年高考数学二模新题分类速递 考点6.3 等比数列及其性质的应用 考点6.3 等比数列及其性质的应用 1 一、等比数列基本量的运算 1 （一）求公比 1 （二）求特定项或参数 2 （三）求前n项和或片段和 3 二、等比数列的性质应用 3 （一）利用性质求积的最值或证明 3 （二）片段和与等差关系 4 （三）通项性质与对数、求和结合 4 （四）等比中项求通项 5 三、等差与等比数列的综合 5 （一）等差数列与等比数列的交叉性质比较 5 参考答案 6 第一部分：答案速查表 6 第二部分：逐题答案与详解 6 第三部分：试题来源表 10 一、等比数列基本量的运算 （一）求公比 1.（2026·甘肃·二模）（母题：由相邻项关系建立公比的二次方程） 数列 是各项为正数的等比数列，其前 项和为 ， ， ，则公比 （ 　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 2.（2026·温州·二模）（变式1：给两项差解方程组求公比） 已知正项等比数列 中， ， ，则公比 （ 　　） A. B. C. 2 D. 4 3.（2026·浙江·二模）（变式2：给前n项积整体条件求公比） 已知等比数列 的公比为 ， .若 ， ，则 （ 　　） A. 2 B. C. 4 D. 4.（2026·河南许昌·二模）（变式3：给和项递推关系求公比） 已知等比数列 的前 项和为 ，对任意 ， .求数列 的通项公式. 5.（2026·长春·二模）（变式4：构造等比数列求公比） 在数列 中， ， .求证：数列 为等比数列，并求公比. 6.（2026·新疆·二模）（变式5：给首项与通项关系求公比） 已知 是递减的等比数列，其前 项和为 ，若 ， ，则公比 （ 　　） A. B. C. D. （二）求特定项或参数 7.（2026·安徽A10联盟·联考） 已知 ，若 ， ， 成等比数列，则 （ 　　） A. B. 2 C. D. 8.（2026·台州·二模） 已知 为等比数列， ， ，则 （ 　　） A. 8 B. 12 C. 16 D. 17 9.（2026·安徽铜陵·二模） 已知 是等比数列， ， ，则 ____. （三）求前n项和或片段和 10.（2026·湛江·二模） 已知等比数列 的各项均为正数，且 ，则 （ 　　） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 11.（2026·惠州、韶关·二模） 已知等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 ____. 二、等比数列的性质应用 （一）利用性质求积的最值或证明 12.（2026·重庆·二诊） 已知等比数列 的首项 ，公比 ，若 是数列 的前 项积，则 取得最大值时 的值为（ 　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 13.（i））（2026·四川德阳·二诊） 已知 ，函数 ，记 为 的从小到大的第 个零点.若 ，证明：数列 是等比数列. （二）片段和与等差关系 14.（2026·泰安·二模） 已知等比数列 的公比大于1，前 项和为 ， ， ，则 （ 　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 15.（2026·包头·二模） 已知 是等比数列 的前 项和，满足 成等差数列，则下列结论正确的是（ 　　） A. 成等比数列 B. 成等差数列 C. 成等比数列 D. 成等差数列 （三）通项性质与对数、求和结合 16.（2026·揭阳·二模） 已知数列 满足 ，且 ，则数列 的前 项和为（ 　　） A. B. C. D. 17.（2026·长郡二十校联盟·二模） 已知数列 的通项公式为 ，数列 是以1为首项，2为公比的等比数列，则 （ 　　） A. 1013 B. 1014 C. 502 D. 503 18.（2026·汕头·二模） 数列 的前三项均为1， 是公比为3的等比数列，且 .求 的前 项和 . （四）等比中项求通项 19.（2026·茂名·二模） 已知等比数列 满足 ， ， .求数列 的通项公式. 三、等差与等比数列的综合 （一）等差数列与等比数列的交叉性质比较 20.（2026·福建福州·二模） 已知公差为 的等差数列 的前 项和为 ，公比为 的等比数列 的前 项和为 ，且 ， .下列命题正确的是（ 　　） A. 当 时， B. 当 时， C. 当 时， D. 当 时，集合 可能有三个元素 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 第一部分：答案速查表 序号 1 2 3 4 5 6 答案 A C ABC 证明见详解 AC 序号 7 8 9 10 11 12 答案 D A 2048 A 30 B 序号 13 14 15 16 17 18 答案 见详解 B ABD D A 序号 19 20 答案 ACD 第二部分：逐题答案与详解 1. （2026·甘肃·二模） 答案：A 详解：设等比数列 的公比为 ，由各项为正数，知 .因为 ，所以 .又 ，两边同除以 得 ，即 ，解得 或 （舍去）.故 .再由 ，得 ，所以 .于是 ，将 代入得 ，解得 .因此公比 ，选项A正确. 2. （2026·温州·二模） 答案：C 详解：设正项等比数列 的公比为 .由题设得 两式相除消去 ： 因为 且 ，故 ，约去得 ，即 ，解得 或 .又 ，结合 ，必有 ，从而 ，于是 .再代回得 ，从而 ，选项C正确. 3. （2026·浙江·二模） 答案：ABC 详解：设等比数列 的公比为 ，由通项公式 及 得 ，即 .前6项积 ，由 得 ，解得 ，故选项A正确.此时 ，选项B正确.又 ，选项C正确.而 ，，选项D错误.综上，正确选项为A、B、C. 4.（2026·河南许昌·二模） 答案： 详解：当 时，.当 时， ①， ②.①②得 ，即 .由于数列 为等比数列，则公比 ，所以 ，即得 ，解得 .所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列，通项公式为 . 5.（2026·长春·二模） 答案：证明见详解 详解：由 ，，得 .又 ，结合 可知 为递增数列，可得 .故 ，即数列 是公比为3的等比数列. 6. （2026·新疆·二模） 答案：AC 详解：设等比数列 的公比为 .由 ，得 .又 .联立两式：由 代入求和式得 ，整理得 ，即 ，解得 或 .因为 是递减数列，所以 ，故 ，选项A正确，选项B错误.对于C， 是以 为首项、 为公比的等比数列，仍为等比数列，C正确.对于D，设 为前 项积，当 且 时 最大，通过计算可知仅当 时取得最大值，D正确.结合选项，答案为AC. 7. （2026·安徽A10联盟·联考） 答案：D 详解：由题意得，.展开左边：，右边：.注意到 ，所以右边为 .两边消去 ，得 ，整理得 ，即 ，所以 .选项D正确. 8. （2026·台州·二模） 答案：A 详解：由等比中项的性质知 ，所以 .若该数列的公比为 ，则 .若 ，则 ，无实数解，故 不成立.因此 ，选项A正确. 9. （2026·安徽铜陵·二模） 答案：2048 详解：因为 是等比数列，设公比为 .由 ，得 ，即 .若 不成立，故 ，所以 或 或 .又 是等比数列，，故 或 .已知 .若 ，则 ，那么 .若 ，则 ，那么 .综上，. 10. （2026·湛江·二模） 答案：A 详解：由等比数列的性质，，，.代入已知等式得：.因为各项均为正数，所以 .选项A正确. 11. （2026·惠州、韶关·二模） 答案：30 详解：由等比数列通项公式，，即 ，解得 ，故 .所以 .或者逐项求出：，，，，求和同样得30. 12. （2026·重庆·二诊） 答案：B 详解：由题知 .考虑前 项积 的最大值，需满足 且 .因为 ，所以 等价于 ； 等价于 .即当 时， 最大.因为 ，解 得 .由于 ，，所以 即 时满足 ，而 .因此当 时 取得最大值，选项B正确. 13. （2026·四川德阳·二诊） 答案：见详解 详解：由 ，其中 ，.令 得 ，解得 ，，所以 .由于 为从小到大的第 个零点，且 的周期为 ，相邻两个零点间的距离为 ，所以 ，且 ，通项为 .又 .所以 .因为 ，所以 .从而 .由于比值是与 无关的非零常数，且 ，所以数列 是等比数列. 14. （2026·泰安·二模） 答案：B 详解：设等比数列 的公比为 ，由 得 .将 代入 ，得 ，化简为 .利用平方差公式 约去 ，得 .再将 分解为 ，并将 代入，约去 得 .令 ，，则分母为 ，结合 的对称性可解出 满足 .进而求得 ，由 可得 ， 也可递推求出，最终计算得 ，故选B. 15. （2026·包头·二模） 答案：ABD 详解：由 成等差数列，得 .若 ，则 ，代入得 ，解得 ，不符合等比数列定义，故 .由求和公式 ，代入得 ，消去 得 ，整理得 ，因式分解得 ，所以 （舍）或 ，解得 .于是 的公比为 ，成等比数列，A正确.计算 ，而 ，不成等差数列，B错误.对于C、D，利用求和公式的分段性质可验证，最终得出 成等差数列，D正确.综上选ABD. 16. （2026·揭阳·二模） 答案：D 详解：由 ， 可知数列 是首项为2、公比为2的等比数列，所以 .因此 ，于是 .设该数列的前 项和为 ，则 .两项两项分组：，每一组的和均为1，共有 组，所以 .选项D正确. 17. （2026·长郡二十校联盟·二模） 答案：A 详解：由题意 ，故 .所以 .等比数列求和：.因此结果为 .选项A正确. 18.（2026·汕头·二模） 答案： 详解：因为 是公比为3的等比数列，且 .又 ，则 ，可得 .于是 .两边取以3为底的对数：.所以所求数列的前 项和为 . 19.（2026·茂名·二模） 答案： 详解：设等比数列 的公比为 ，依题意有 .由 及等比中项性质得 ，所以 .又 ，所以 ，，因为 ，故 .又 ，得 .所以数列 的通项公式为 . 20. （2026·福建福州·二模） 答案：ACD 详解：对于A，当 时，由 ，，且 ，所以 ，即 ，得 ，从而 .此时 .将 分组：.考察 与 的差：，因为 且 ，故该差为正，即 对 均成立.所以 ，A正确.对于B，当 时，取 ，则 ，，此时 .又 ，得 ，.此时 ，但 ，故B错误.对于C，当 时，类似A的推导可得 ，进而 ，C正确.对于D，当 时，通过构造函数 并分析零点个数，结合等差数列和等比数列的图象交点，可知集合 可能恰有三个元素，D正确.综上选ACD. 第三部分：试题来源表 序号 来源 题号 1 2026·甘肃·二模 第9题 2 2026·温州·二模 第5题 3 2026·浙江·二模 第9题 4 2026·河南许昌·二模 第16（1）题 5 2026·长春·二模 第16（1）题 6 2026·新疆·二模 第10题 7 2026·安徽A10联盟·联考 第3题 8 2026·台州·二模 第1题 9 2026·安徽铜陵·二模 第13题 10 2026·湛江·二模 第4题 11 2026·惠州、韶关·二模 第12题 12 2026·重庆·二诊 第6题 13 2026·四川德阳·二诊 第19（2）（i）题 14 2026·泰安·二模 第6题 15 2026·包头·二模 第10题 16 2026·揭阳·二模 第5题 17 2026·长郡二十校联盟·二模 第6题 18 2026·汕头·二模 第15（1）题 19 2026·茂名·二模 第16（1）题 20 2026·福建福州·二模 第11题 $