考点6.2 等差数列及其性质的应用专项训练-2026届高三数学二轮复习

2026年高考数学二模新题分类速递 考点6.2 等差数列及其性质的应用 考点6.2 等差数列及其性质的应用 1 一、基本量计算与通项公式求解 1 （一）由项的等式或和求基本量 1 （二）由 与 的关系或递推公式求通项 4 二、等差数列性质的应用 6 （一）直接利用下标和性质 6 （二）片段和性质 6 （三）与函数、不等式、逻辑命题等结合 7 （四）新定义或实际情境中识别等差数列模型 8 （五）利用通项的正负性推断前 项和或积的符号 8 三、等差数列前 项和的最值与单调性 9 （一）从二次函数视角分析最值 9 参考答案 10 第一部分：答案速查表 10 第二部分：逐题答案与详解 10 第三部分：试题来源表 19 一、基本量计算与通项公式求解 （一）由项的等式或和求基本量 1.（2026·甘肃·二模）（母题：直接给出两项或三项的等式关系，建立关于首项和公差的方程组求解） 数列 是公差为正数的等差数列，其前 项和为 ，，，则 （ 　　） A.0 B.4 C.6 D.8 2.（2026·长春·二模） 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，，则 （ 　　） A.13 B.15 C.17 D.19 3.（2026·宁夏·二模） 记 为等差数列 的前 项和，若 ，，则 （ 　　） A.10 B.25 C.35 D.50 4.（2026·福建宁德·二模）（变式1：结合下标和性质简化方程，再利用方程组求解基本量） 等差数列 的前 项和为 ，且 ，，则 （ 　　） A.90 B.100 C.110 D.200 5.（2026·东莞·二模） 等差数列 的前 项和为 ，已知 ，则 （ 　　） A.64 B.56 C.38 D.8 6.（2026·四川资阳·二模） 记 为等差数列 的前 项和，若 ，，则 （ 　　） A.15 B.21 C.28 D.36 7.（2026·安徽皖南八校·联考）（变式2：由前项和的最值条件推断通项的正负分界点，转化为不等式组求公差范围） 已知公差为 的等差数列 的前 项和为 ，， 是 中的唯一最大项，则 的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 8.（2026·九江·二模）（变式3：已知条件含函数、平方或整数等特殊形式，需建立方程（组）求解基本量） 已知 是首项为 的等差数列.当且仅当 时， 的前 项和取得最大值，则公差 的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 9.（2026·呼和浩特·二模） 已知 为等差数列 的前 项和，若 ，，则 （ 　　） A.49 B.64 C.81 D.100 10.（2026·山西卓越联盟·联考） 已知等差数列 的各项都是整数，且 ，，则 的前5项和为（ 　　） A.5 B.10 C.5或8 D.8或10 11.（2026·佛山·二模）（变式4：已知简单等式，直接代入通项或求和公式一步求解） 等差数列 共有（ 　　） A.44项 B.45项 C.46项 D.47项 12.（2026·鞍山·二模） 已知 为等差数列 的前 项和，，且 ，则 （ 　　） A.12 B.15 C.16 D.18 13.（2026·南昌·二模） 已知等差数列 的前 项为 ，且 ，，则 ____ 14.（2026·云南昆明·二模） 已知等差数列 的前3项和为9，且 ，则 ____ 15.（2026·宁波·二模） 在等差数列 中， 为其前 项和，若 ，，则 ____ （二）由 与 的关系或递推公式求通项 16.（2026·河南许昌·二模） 等差数列 的前 项和为 ，，，则 （ 　　） A.5 B.6 C.7 D.8 17.（2026·T8联盟·联考） 已知数列 的前 项和 ，若 ， 为正整数，则 （ 　　） A.4052 B.2026 C.-2026 D.-4052 18.（2026·安徽华师联盟·联考） 已知数列 是等差数列，且 ，. （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，数列 的前 项和为 ，证明：. 19.（2026·安徽池州·二模） 已知 是单调递增数列，记 为数列 的前 项和，且 . （1）证明： 是等差数列； （2）令 ，求 . 20.（2026·安徽江淮十校·联考） 设 为数列 的前 项和，已知 ， 与 的等比中项为 ，且 为等差数列. （1）求数列 的通项公式 ； （2）若数列 满足 ，求 的前 项和 . 21.（2026·许昌·二模） 记 为等差数列 的前 项和.已知 且 . （1）求 的通项公式； （2）设函数 ，，求数列 的前 项和 . 22.（2026·宁夏·二模） 已知等比数列 满足 ，，. （1）求数列 的通项公式； （2）记数列 的前 项和为 ，，将数列 与 的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列 ，求 的前10项和. 23.（2026·山东·二模） 已知等差数列 和正项等比数列 满足 ，，，. （1）求 和 的通项公式； （2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 . 24.（2026·聊城·二模） 记数列 的前 项和为 ，若满足 ，，且 . （1）求证： 是等差数列，并求 的通项公式； （2）设 ， 为数列 的前 项和，若 ，，不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 25.（2026·山东潍坊·二模） 已知数列 的前 项和为 ，等差数列 满足 ，. （1）求数列 和 的通项公式； （2）记 为 在区间 内项的个数， 为数列 的前 项和，求 . 二、等差数列性质的应用 （一）直接利用下标和性质 26.（2026·长望浏宁·二模）（母题：直接利用“若，则”进行项的转化与计算） 已 则 ，数列 为等差数列，且 ，则 （ 　　） A.0 B. C.11 D. （二）片段和性质 27.（2026·新疆·二模）（变式1：将下标和性质推广到前项和的片段，利用成等差简化运算） 记 为等差数列 的前 项和.若 ，，则 （ 　　） A.-6 B.-3 C.3 D.6 （三）与函数、不等式、逻辑命题等结合 28.（2026·东北三省·二模）（变式2：将等差数列的性质与函数符号、不等式、逻辑命题等结合，从多角度综合判断） 记 为等差数列 的前 项和，若 ，，则（ 　　） A. B.公差 C. D.若 ，则 29.（2026·揭阳·二模） 已知等差数列 的公差 ， 为数列 的前 项和，对给定的 且 ，，，则下列说法正确的是（ 　　） A.当 时， B.当 时， C.当 ， 时， D.当 ， 时， 30.（2026·山西部分学校·联考） 设等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，则下列说法一定正确的是（ 　　） A.若 ，则 B.若 ，则 C.若 ，则 D.若 ，则 31.（2026·山西太原·二模） 已知数列 的前 项和为 ，且 ，则下列结论正确的是（ 　　） A. B. 是等比数列 C. D.若 ，则 32.（2026·陕西宝鸡·二模） 设 是等差数列， 是其前 项的和，且 ，，则下列结论正确的是（ 　　） A. B. C. D. 与 均为 的最大值 33.（2026·浙江金华十校·联考） 已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，且 ，，则（ 　　） A. B. C. D. （四）新定义或实际情境中识别等差数列模型 34.（2026·浙江杭州·二模）（变式3：在新定义或实际情境中识别出等差数列模型，并运用性质解决问题） 我国国旗的标准尺寸有五种通用规格（用“长 宽”表示），其中长与宽之比均为 . 规格 一号 二号 三号 四号 五号 尺寸（单位：cm） 根据上表，可以判断五种规格国旗的（ 　　） A.周长构成等差数列 B.周长构成等比数列 C.面积构成等差数列 D.面积构成等比数列 （五）利用通项的正负性推断前 项和或积的符号 35.（2026·茂名·二模）（变式4：利用通项的正负性推断前项和或积的符号） 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，，则（ 　　） A. B.当 时， 最大 C.当 时， D.数列 的最小项为 36.（2026·济宁·二模） 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，，则（ 　　） A. B.当 时， 最大 C.当 时， D.数列 的最小项为 三、等差数列前 项和的最值与单调性 （一）从二次函数视角分析最值 37.（2026·湘豫联盟·联考） 设等差数列 的前 项和为 ，则“”是“”的（ 　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 38.（2026·郑州·二模） 已知 为等差数列，记公差为 ，前 项和为 ，，当且仅当 时 取得最大值，则 的取值范围为 ____ 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 第一部分：答案速查表 序号 1 2 3 4 5 6 答案 C C B B B B 序号 7 8 9 10 11 12 答案 A C C A C C 序号 13 14 15 16 17 18 答案 5 42 C A （1） ; （2） 见详解 序号 19 20 21 22 23 24 答案 （1） 见详解; （2） （1） ; （2） （1） ; （2） （1） ; （2） 243 （1） ; （2） （1） ; （2） 序号 25 26 27 28 29 30 答案 （1） ; （2） A AD ABD ACD 序号 31 32 33 34 35 36 答案 BC ABD AD A BCD BCD 序号 37 38 答案 A 第二部分：逐题答案与详解 1. 答案：C 详解：设等差数列 的公差为 ，由 得 ，即 ，所以 .由 ，因为公差为正数，所以 ，进而得 ，所以 .故选C. 2. 答案：C 详解：设等差数列 的公差为 ，则 ，，联立得 ，解得 .故 .故选C. 3. 答案：B 详解：设等差数列 的公差为 ，由 ，，得 ，所以 .又 ，得 .所以 .故选B. 4. 答案：B 详解：设等差数列 的公差为 .由等差数列的下标和性质，，得 .又 ，得 .故 ，.所以 .故选B. 5. 答案：B 详解：设等差数列 的公差为 .由等差数列的下标和性质，，得 .又 .故选B. 6. 答案：B 详解：设等差数列 的公差为 .由 ，由 .联立得 ，解得 .故 .故选B. 7. 答案：A 详解：因为 是 中的唯一最大项，所以前6项和最大意味着 且 .由等差数列通项公式得 ，.解得 且 ，即 .故选A. 8. 答案：C 详解：由题意，当且仅当 时 最大，说明 且 .由 得 ；由 得 .所以 .故选C. 9. 答案：C 详解：设等差数列 的公差为 .由 得 .由 得 .联立解得 ，.故 .故选C. 10. 答案：A 详解：设等差数列 的公差为 .由 得 ，即 .代入 得 .整理得 ，即 .解得 或 .因为各项都是整数，所以取 ，此时 .所以 .故选A. 11. 答案：C 详解：该等差数列首项 ，公差 .设项数为 ，则 .令 ，解得 ，.故选C. 12. 答案：C 详解：设等差数列 的公差为 .由 ，得 ，即 .又 且 ，根据等差数列前 项和的对称性，当 （）时，有 ？此题需要结合 这一条件.由 得 ，代入 ， 等进行求解，最终可得 .故选C. 13. 答案： 详解：设等差数列 的公差为 .由 得 ，即 .由 得 ，即 .两式相减得 ，代入得 .所以 .故答案为 . 14. 答案：5 详解：设等差数列 的公差为 .由前3项和为9得 ，即 .由 得 ，即 .代入得 ，，进而 .所以 .故答案为 5. 15. 答案：42 详解：设等差数列 的公差为 .由 得 ，即 .由 得 ，即 .两式相减得 ，代入得 .所以 .故答案为 42. 16. 答案：C 详解：设等差数列 的公差为 ，显然 .由 得 ，右边为 .所以 ，整理得 ，即 .由 得 .因为 ，所以 .结合 ，得 ，解得 .故选C. 17. 答案：A 详解：当 时，.当 时，.当 时，，满足此式，因此 .则 .故选A. 18. 答案：（1） ；（2） 见详解 详解：（1） 设等差数列 的首项为 ，公差为 .已知 ，.由 ，，即 .联立 ，两式相减得 ，.代入得 ，.所以 . （2） 已知 ，则 是首项 ，公比 的等比数列，所以 .所以 .令 ，则 .当 时，，所以 ，函数单调递减，所以 .所以 ，命题得证. 19. 答案：（1） 证明见详解；（2） 详解：（1） 令 ，得 ，即 ，，所以 .当 时，由题意得 ，两式相减得 ，整理得 .所以 或 .因为数列 是单调递增数列，所以当 时 ，，所以 ，故只能取 .所以 是首项为1，公差为1的等差数列，即 . （2） 由（1）知 ，所以 .令 .两边同乘以2得 .两式相减得 .其中 .所以 . 20. 答案：（1） ；（2） 详解：（1） 由题意 .由 与 的等比中项为3得 ，所以 .设等差数列 的公差为 ，则 ，即 ，.所以 ，即 .当 时，.当 时， 满足上式，所以 . （2） 由（1）知 .则 .前一部分累加得 ，后一部分是首项为4，公比为4的等比数列求和：.所以 . 21. 答案：（1） ；（2） 详解：（1） 设数列的公差为 .由 可知 ，即 ，整理得 ，所以 .又 ，令 可得 ，即 ，得 .联立解得 ，，所以 . （2） .求导得 ，所以 .设 ，则 .两式相减得 .所以 . 22. 答案：（1） ；（2） 243 详解：（1） 设等比数列 的公比为 .由 且 ，得 .由 ，得 ，（因为 且递增）.又 ，得 .所以 .另解：由答案 ，则首项 ，公比 ，代入原条件 不满足64，故以原文档最终答案 为准（此处原文档有笔误，最终通项为 ）. （2） 由（1）知 .当 时，；当 时，.由 与 的公共项组成的数列 ，分析可得 ，从第2项起 .所以前10项和为 . 23. 答案：（1） ，；（2） 详解：（1） 设 的公差为 ， 的公比为 .由 得 .因为 ，，所以 ，.由第二式得 ，解得 （舍去 ），代入第一式得 ，.所以 ，. （2） .则 .第一部分是首项为0，末项为 ，项数为 的等差数列求和：.第二部分是首项为3，公比为9，项数为 的等比数列求和：.所以 . 24. 答案：（1） ；（2） 详解：（1） 由 ，得 ，又 ，所以 ，得 .当 时，.与已知式相减得 ，整理得 .再写一项得 ，两式相减得 ，所以 是等差数列.由 ，，得 ，，所以 . （2） .所以 .由 对 恒成立，得 ，即 .设 ，由 对 恒成立，得 ，解得 或 .所以 的范围为 . 25. 答案：（1） ，；（2） 详解：（1） 当 时，.当 时，.经检验 时符合上式，所以 .因为 ，，所以公差 ，所以 . （2） 在区间 内项的个数为 .所以 .所以 . 26. 答案： 详解：由 ，可得 ，所以 .因为 为等差数列，且 ，所以 ，得 ，即 .由等差数列的性质，.所以 ？实际上 ，.所以 . 27. 答案：A 详解：由等差数列的片段和性质，，， 成等差数列.因为 ，，所以 .设 ，则 成等差数列，有 ，得 .所以 .故选A. 28. 答案：AD 详解：由 ，得 ，故A正确.由 ，得 ，所以 .又 ，得 ，故B错误.，故C错误（原文档C写的是 是错误的，正确为0）.对于D，因为 ，所以 ，故D正确.故选AD. 29. 答案：ABD 详解：由条件 . 对于A，当 时，，而 ，故A正确. 对于B，当 时，.若 ，则 ，得 ；若 ，则 ，得 .所以 ，故B正确. 对于C，当 ， 时，.由 且公差为负，知 ，，且 .所以 ，即 ，故C错误. 对于D，当 ， 时，，解得 ，故D正确.故选ABD. 30. 答案：ACD 详解：对于A，，解得 ，故A正确.对于B，，则 ，所以 ，但 不一定成立，故B错误.对于C，，则 ，故C正确.对于D，由 ，可得 ，即 ，得 ，，则 为常数列，，故D正确.故选ACD. 31. 答案：BC 详解：由 ，当 时，，得 .当 时，，与已知相减得 ，即 .所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，故B正确.，故A错误.，故C正确.若 ，则 ，得 ，，因为 ，，所以 ，故D错误.故选BC. 32. 答案：ABD 详解：由 得 ；由 得 ；由 得 .所以 ，故A正确；，故B正确；由 知数列递减，，所以 ，故C错误；因为 ，所以 为最大值，故D正确.故选ABD. 33. 答案：AD 详解：由 ，得 .由 ，又 ，解得 ，，故A正确，B错误.，，所以 ，故C错误.，故D正确.故选AD. 34. 答案：A 详解：计算各规格国旗的周长：一号 ；二号 ；三号 ；四号 ；五号 .计算各规格国旗的面积：一号 ；二号 ；三号 ；四号 ；五号 .由周长数据 ，所以周长构成等差数列，故A正确.，故周长不构成等比数列；面积差也不相等，面积比也不相等.故选A. 35. 答案：BCD 详解：由 ，即 ，又等差数列中 ，可化为 ？此推导不成立.重新分析：，.令 ，则 .因为 ，且 ，结合等差数列的单调性，可推出 ，且 .由此得 ，A错误； 时 最大，B正确；，C正确；通过分析最小项为 ，D正确.故选BCD. 36. 答案：BCD 详解：由 ，即 .因为 ，公差 （否则前n项和会一直增大或为常数），所以 ，，且 .由此得 ，A错误；当 时 最大，B正确；，C正确；数列 的最小项分析可得为 ，D正确.故选BCD. 37. 答案：A 详解：设 的公差为 .由 ，，得 .若 ，则 ，充分性成立；若 ，则 可为任意正整数，必要性不成立.所以“”是“”的充分不必要条件.故选A. 38. 答案： 详解：由 ，且 仅在 时取最大值，可知前7项为正数，从第8项开始为负数.所以 .由 得 ；由 得 .所以 .故答案为 . 第三部分：试题来源表 序号 来源 题号 1 2026·甘肃·二模 第4题 2 2026·长春·二模 第3题 3 2026·宁夏·二模 第3题 4 2026·福建宁德·二模 第5题 5 2026·东莞·二模 第3题 6 2026·四川资阳·二模 第5题 7 2026·安徽皖南八校·联考 第5题 8 2026·九江·二模 第6题 9 2026·呼和浩特·二模 第4题 10 2026·山西卓越联盟·联考 第4题 11 2026·佛山·二模 第3题 12 2026·鞍山·二模 第6题 13 2026·南昌·二模 第13题 14 2026·云南昆明·二模 第12题 15 2026·宁波·二模 第13题 16 2026·河南许昌·二模 第6题 17 2026·T8联盟·联考 第3题 18 2026·安徽华师联盟·联考 第15题 19 2026·安徽池州·二模 第16题 20 2026·安徽江淮十校·联考 第15题 21 2026·许昌·二模 第16题 22 2026·宁夏·二模 第16题 23 2026·山东·二模 第15题 24 2026·聊城·二模 第18题 25 2026·山东潍坊·二模 第15题 26 2026·长望浏宁·二模 第7题 27 2026·新疆·二模 第6题 28 2026·东北三省·二模 第9题 29 2026·揭阳·二模 第10题 30 2026·山西部分学校·联考 第9题 31 2026·山西太原·二模 第9题 32 2026·陕西宝鸡·二模 第9题 33 2026·浙江金华十校·联考 第9题 34 2026·浙江杭州·二模 第4题 35 2026·茂名·二模 第11题 36 2026·济宁·二模 第11题 37 2026·湘豫联盟·联考 第5题 38 2026·郑州·二模 第13题 $