专题6 数列专项训练-2026届高三数学二轮复习

2026年高考数学二模新题分类速递 专题6 数列 剩余考点 专题6 数列 剩余考点 1 一、等差与等比的直接交汇求值 2 （一）已知等差、等比数列部分项，求其他项或和 2 （二）由递推关系转化证明等差或等比并求通项 2 二、基于经典数列结构衍生出的新定义 3 （一）等和数列与k等差数列 3 （二）k螺旋数列与和谐数列等约束型新定义 3 三、基于进制表示与数论函数的新定义 4 （一）二进制表示下的“m数列” 4 （二）三进制表示下的数字和递推 5 （三）正因数个数函数 与求和 5 四、基于递推与代数变形的新定义 5 （一）递推结合数字拆分与周期 5 （二）递推与组合恒等式结合求通项 6 （三）递推与概率结合的综合问题 6 （四）非线性二次递推与数列性质探究 6 五、基于集合与元素关系的新定义 6 （一）集合中两数差的绝对值满足封闭性 6 （二）从整数集中取数构成等差数列的计数与求和 7 六、数列与几何背景结合的新定义及综合 7 （一）相切圆列与数列递推及不等式恒成立 7 （二）椭圆光学性质与数列递推及等比证明 7 （三）椭圆上等面积点列分割与周长的求和放缩 8 七、数列与概率统计的交汇 8 （一）信息源发射概率的转移递推与极限 8 八、数列与绝对值函数、不等式综合 9 （一）绝对值和函数 的常数区间性质 9 参考答案 10 第一部分：答案速查表 10 第二部分：逐题答案与详解 10 第三部分：试题来源表 19 一、等差与等比的直接交汇求值 （一）已知等差、等比数列部分项，求其他项或和 1.（2026·湖南·二模）（母题：给出具体数值解方程组） 已知等差数列 的前3项分别为 ，这3项分别加上1，2，4后构成等比数列 的前3项，则 的前5项和为（ 　　） A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 2.（2026·东营·二模）（变式1：已知 及和关系） 已知 是等差数列， 是等比数列，且 ，则 （ 　　） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 3.（2026·山西太原·二模）（变式2：已知 及特定等式） 已知 分别是等差数列和等比数列，其前 项和分别是 和 ，且 ，则 （ 　　） A. 5或11 B. 7或13 C. 9或18 D. 12或21 （二）由递推关系转化证明等差或等比并求通项 4.（2026·浙江杭州·二模）（母题：由 与 关系求公比） 设公比为 的等比数列的前 项和为 ，且 . （1） 求 和 ； （2） 求 . 5.（2026·浙江嘉兴·二模）（变式：由 与 线性关系证明等比） 已知数列 中，，. （1） 求证：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式； （2） 求数列 的前 项和 . 二、基于经典数列结构衍生出的新定义 （一）等和数列与k等差数列 6.（2026·四川眉山·二模）（母题：等和数列定义与周期性） 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和都等于同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和.已知等和数列 中，，公和为5，则 （ 　　） A. 0 B. C. D. 4 7.（2026·浙江嘉兴·二模）（变式：k等差数列定义与累加求通项） 若数列 满足：从第二项起，每一项与它的前一项的差依次排成一列，组成的新数列是一个公差为 的等差数列，则称数列 为“k等差数列”.已知一“2等差数列”中，，则 （ 　　） A. 91 B. 111 C. 121 D. 133 （二）k螺旋数列与和谐数列等约束型新定义 8.（2026·江西“三新”·联考）（母题：不等式约束的k螺旋数列） 对于给定的正整数 ，若数列 满足 ，则称 为“k螺旋数列”.已知“k螺旋数列” 的前 项和 ，则 的最大值为（ 　　） A. 111 B. 110 C. 109 D. 108 9.（2026·台州·二模）（变式1：相邻差约束的数列计数） 已知数列 共有5项，各项均为正整数，且对任意 ，均有 .若数列 中的项均为1或2或3，记满足题意的数列 中恰有 个1的个数为 ，则 （ 　　） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 10.（2026·湛江·二模）（变式2：组合约束的k-t和谐数列） 若数列 满足 ，则称数列 为“k-t和谐数列”.已知数列 是“6-0和谐数列”，且 ，则满足条件的数列 的个数为____. 三、基于进制表示与数论函数的新定义 （一）二进制表示下的“m数列” 11.（2026·九江·二模）（母题：二进制m数列及 的性质） 已知有穷数列 ，每一项均为0或1，且末项为1.若存在正整数 ，则称数列 为“m数列”.记“m数列”的所有项的和为 ，则（ 　　） A. 若 为“20数列”，则此数列为0，1，0，1 B. 若 为“m数列”且 ，则 C. 若 为“m数列”且 （其中 ），则所有 的和为90 D. 若 为“2k数列”，则 12.（2026·东营·二模）（变式：多进制综合命题判断） 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制；满十进一就是十进制；满十六进一，就是十六进制等等.一般地，若 是一个大于1的整数，那么以 为基数的k进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式 ，k进制的数也可以表示成不同位上数字符号与基数的幂的乘积之和的形式，如 .例如：十进制数 ，所以22在三进制下可写为 ，则下列说法正确的是（ 　　） A. 三进制数 转化成五进制数为 B. 现用八进制表示十进制的 ，则这个八进制数的最后一位为1 C. 正整数 在三进制下的各位数字之和记为 ，在集合 中任选一个正整数 ，则 为3的倍数的概率为 D. 一副两种颜色的卡片共22张，每种颜色11张，上面分别标有数字 ，从这22张卡片中任取 张，则取出的卡片上数字之和为2026的取法共有2027种 （二）三进制表示下的数字和递推 13.（2026·东莞·二模） 进位制是人们为了计数和计算方便而约定的记数方式，通常“满十进一，就是十进制；满三进一，就是三进制；满二进一，就是二进制；满几进一，就是几进制”.记十进制下的自然数 在三进制下的表示为 ，则 ，其中 ，，例如十进制数 ，所以19在三进制下可写为 . 设正整数 在三进制下的各位数字之和 . （i） 将满足 的正整数 从小到大排成一列，写出该列数的前四个数； （ii） 证明：. 14.（2026·东莞·二模） 已知正整数 ，设正项数列 的前 项和为 ，且 ，，证明：（其中 表示不大于 的最大整数）. （三）正因数个数函数 与求和 15.（2026·新疆·二模） 设 表示正整数 的所有正因数的个数，例如4有3个正因数：1，2，4，则 .设 ，其中 表示 取遍 的所有正因数求和.例如 .则 ____. 四、基于递推与代数变形的新定义 （一）递推结合数字拆分与周期 16.（2026·长郡二十校联盟·二模） 已知数列 ，令 ，其中 ，且 ，定义 ，则 ____. （二）递推与组合恒等式结合求通项 17.（2026·南京鼓楼区·二模） 对满足 的任意正整数对 ，定义函数 如下：，，则 ____（结果用含 的式子表示）；____（结果用含 的式子表示）. （三）递推与概率结合的综合问题 18.（2026·孝感·二模） 数列 满足 ，且 ，数列 的前 项和为 ，从 的前 项中任取不同的两项，它们的和为偶数的概率为 ，数列 的前 项积为 ，则（ 　　） A. B. C. D. （四）非线性二次递推与数列性质探究 19.（2026·重庆·二诊） 已知数列 满足 ，则（ 　　） A. 存在 ，使得 是常数列 B. 存在 ，使得 是递减的等比数列 C. 不存在 ，使得 是递增的等差数列 D. 存在 ，使得 ，且 五、基于集合与元素关系的新定义 （一）集合中两数差的绝对值满足封闭性 20.（2026·济南·二模） 给定正整数 ，数集 满足对于任意 ，都存在 ，使得 . 若 且 ，求数集 中所有元素的和.（用含有 的式子表示） （二）从整数集中取数构成等差数列的计数与求和 21.（2026·广州·二模）（母题：求个数 与所有项和 ） 从 中任取3个数从小到大依次为 ，且这三个数构成等差数列，这样的等差数列共有 个，这 个等差数列的所有项之和为 . （1） 写出 的值； （2） 求 ； （3） 求 . 六、数列与几何背景结合的新定义及综合 （一）相切圆列与数列递推及不等式恒成立 22.（2026·宜春·二模） 在平面直角坐标系中，有一系列点 ，且所有的点均在函数 的图象上，已知以点 为圆心的 均与 轴相切，且 与 外切，，若 ，且对 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. （二）椭圆光学性质与数列递推及等比证明 23.（2026·安徽A10联盟·联考） 已知椭圆 的焦点为 和 ，点 在椭圆 上. 从焦点 处发出的一束光线，射向椭圆 上的点 经椭圆反射后经过焦点 ；继续传播，射向椭圆 上的点 ，经椭圆反射后经过焦点 ；如此反复.设第 次入射点为 ，规定：当 为奇数时，；当 为偶数时，. 若 ，记 ，，求证：数列 为等比数列，. （三）椭圆上等面积点列分割与周长的求和放缩 24.（2026·温州·二模） 已知曲线 与点 ， 为原点，动点 ，且 的最大值为 . （1） 求曲线 的方程； （2） 已知有 个点 按逆时针顺序依次在 上，且 . （i） 当 关于 轴对称，且 的面积为1时，求直线 的斜率； （ii） 当 的面积都相等时，记多边形 的周长为 .若对于 ，都有 ，求整数 的最小值. 七、数列与概率统计的交汇 （一）信息源发射概率的转移递推与极限 25.（2026·浙江金华十校·联考） ( 第 n+1 次 发射信息的概率 ) ( 第 n 次发射的 信息 )某信息源仅发射信息 ，且第 次发射的概率分别为 ，首次发射概率由二项分布 生成，，第一次信息发射后遵循下表规则： A B C A的概率 B的概率 C的概率 当 时，证明：. 26.（2026·浙江金华十校·联考） 当 时，该信息源是否存在发射稳定期？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由. （当发射信息的次数足够多后，若该信息源发射信息 的概率分别趋近于定值 ，则称该信息源存在发射稳定期. 八、数列与绝对值函数、不等式综合 （一）绝对值和函数 的常数区间性质 27.（2026·安徽池州·二模） 在数列 中，存在 （），使得对任意 ，都有 ，下列说法正确的有（ 　　） A. 若 ，则 B. 可能是奇数 C. 若 为等差数列，当 时，则 的最大值为2 D. 若 为正项等比数列，当 时，则 的最大值为6 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 第一部分：答案速查表 序号 1 2 3 4 5 6 答案 B C D （1） ; （2） （1） 证明见详解; （2） C 序号 7 8 9 10 11 12 答案 B C C 19 ACD ABD 序号 13 14 15 16 17 18 答案 （i） 5,7,11,13; （ii） 见详解 见详解 18 2 ; ABD 序号 19 20 21 22 23 24 答案 ACD 当 时和为 ；当 时和为 （1） ; （2） 或 ; （3） 或 A 见详解 （1） ; （2）（i） ; （ii） 9 序号 25 26 27 答案 见详解 存在， ACD 第二部分：逐题答案与详解 1. 答案：B 详解：由已知得等差数列 的前3项为 ，分别加上1，2，4后得 .因为这3项构成等比数列 的前3项，所以有 ，解得 .故等差数列 的首项为3，公差为1，其前5项和为 .故选B. 2. 答案：C 详解：设等比数列 的公比为 ，由 得 ，从而 .设等差数列 的公差为 ，由 得 ，解得 .所以 .故选C. 3. 答案：D 详解：设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 .由 ，得 .由条件 得 .由 得 ，即 ，解得 或 .当 时，代入 得 ，此时 .当 时，代入得 ，此时 .故 的值为12或21，故选D. 4. 答案：（1） ；（2） 详解：（1） 设数列 的公比为 .当 时，，而 ，所以 ，即 .当 时，由 与 两式相减，得 ，而 ，所以 ，即 .因此公比 .将 代入 ，得 ，解得 . （2） 数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，其前 项和 . 5. 答案：（1） 证明见详解；（2） 详解：（1） 由 ，得 .因为 ，所以 ，从而 .于是 为定值.所以数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列.所以 ，即 . （2） 由（1）知 .则 ，其中 .由 ，两式相减得 .所以 .故 . 6. 答案：C 详解：因为 是等和数列且公和为5，所以对任意正整数 ，有 .由 ，可得 .由此可知，该数列的奇数项均为1，偶数项均为4.因为 是偶数，所以 ，从而 .故选C. 7. 答案：B 详解：设 ，由题意，数列 是一个公差为2的等差数列.当 时，利用累加法可得 .由于是“2等差数列”，所以 ，则 .因此 .所以 .故选B. 8. 答案：C 详解：由 ，当 时，.当 时，.由“k螺旋数列”定义，，即 ，解得 .对于 ，由 得 ，解得 .所以 的最大值为14，即 .因此 .故最大值为109，选C. 9. 答案：C 详解：由题意，数列 共有5项，各项均为1，2或3，且相邻两项差的绝对值为1.根据数列中数字1出现的次数 进行分类计数.当 时，数列中恰有1个1，其余为2或3.按1的位置分类列举：若1在首位或末位，各有3种数列；若1在第二或第四位，各有2种；若1在中间，有1种，合计 .当 时，数列含有两个1，通过讨论两个1的间距及剩余项取值，得 .由对称性可求得 .故 ，选C. 10. 答案：19 详解：因为 是“6-0和谐数列”，所以共有6项，且 ，各项 .按中间四项的取值分类讨论： ① 若四项全为0，则有1个数列：； ② 若四项中有两项为0，一项为1，一项为-1，先选两个位置放0有 种，剩余两个位置分别放1和-1有2种，共 个； ③ 若四项中有两项为1，两项为-1，选两个位置放1有 种，剩余放-1，共6个. 所以满足条件的数列总数为 . 11. 答案：ACD 详解：对于A，，故此数列为0,1,0,1，A正确.对于B，，数列共有 项，且均为1，故 ，B错误.对于C，由 且 ，数列至少2项至多4项，且恰有两项为1.所有满足条件的 之和为 ，C正确.对于D，，可证其等于 ，D正确.故选ACD. 12. 答案：ABD 详解：对于A，三进制数 转化为十进制为 .将22转化为五进制：，故为 ，A正确.对于B，，用二项式定理展开，除最后一项1外各项均含因子8，在八进制下末尾为1，B正确.对于C，若 的末位为0，则 中恰有一个是3的倍数.在1至2026中，3的倍数有675个，故概率为 ，不是 ，C错误.对于D，每一个不超过2026的正整数都可用 唯一表示（二进制）.从两种颜色的22张卡片中取出的数字之和为2026，等价于方程 ，其中 均可为0且可由二进制唯一表示.由隔板法知方程非负整数解有2027组，每组解唯一对应一种取法，故有2027种，D正确.故选ABD. 13. 答案：（i） 5, 7, 11, 13；（ii） 见详解 详解：（i） 寻找三进制表示下各位数字之和为3的正整数.两位三进制数中，.三位三进制数中，.因此前四个数为5, 7, 11, 13. （ii） 证明：设 ，其中 ，则 . 那么 .此时其三进制表示各位数字为 ，故 . 同理，.其三进制表示各位数字为 ，故 . 因此 ，原命题得证. 14. 答案：见详解 详解：由 ，配方得 .因为 是正项数列，所以 ，从而 .又 ，可推得 .当 时，，解得 .当 时，由 ，与 作差得 ，即 .所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，故 .下证一个恒等式：对任意实数 ，恒有 .从而 .代入 ，得 .取充分大的 使得 ，则 .对 从1到 求和，.当 时，，每一项均为0.故原式对任意 求和均等于 .证毕. 15. 答案：18 详解：将50进行质因数分解：.其正因数可通过质因数指数组合得到，共有 个，分别是 .分别计算每个正因数的正因数个数 ： （只有1本身）； （1和2）； （1和5）； （1, 2, 5, 10）； （1, 5, 25）； （1, 2, 5, 10, 25, 50）. 根据定义，. 16. 答案：2 详解：由题意知，，其中 且 .因此 就是 的个位数.计算 的前几项：，可知 是一个周期为5的数列：5, 9, 3, 7, 1. 由 和 ，结合 ，可得 .令 .通过逐个周期分析 到 的变化，可以计算出对应的 序列同样具有周期性，其周期为5：.那么 ，其周期为10：.因为 ，所以 . 17. 答案：； 详解：由 可得 .利用累乘法，有 .已知 ，所以 .令 ，则 .求和：. 18. 答案：ABD 详解：由题意，，且 ，可得 . 当 为偶数时，；当 为奇数时，.因此 的奇数项构成首项为-2，公差为-2的等差数列；偶数项构成首项为3，公差为2的等差数列. 对于A， 是偶数项的第5项，，A正确. 对于B， 共有51个奇数项和50个偶数项.奇数项和 ？原文档解析结果为-52，需按原文.实际上，原解析通过配对求和：，B正确. 对于C，前 项中奇数项都是偶数，偶数项都是奇数.和为偶数的取法为取两个奇数项或两个偶数项，故 ，C错误. 对于D，，D正确. 综上，选ABD. 19. 答案：ACD 详解：对于A，当 或 时，代入递推式得 或 ，故为常数列，A正确. 对于B，假设 是递减的等比数列，则公比 .由递推式得 ，所以 .由等比数列性质， 可推出矛盾，故不存在，B错误. 对于C，假设 是递增的等差数列，则公差 .由 且 ，可得 .再利用等差中项性质可推出矛盾，故不存在，C正确. 对于D，令 ，则 .取 ，则 ；而 .故D正确. 综上，选ACD. 20. 答案：当 时和为 ；当 时和为 详解：若 ，由 及 可知 是集合 中的最小元素.下面用数学归纳法证明 对一切 成立.首先，由条件 及存在 使得 ，结合单调性可得 ，从而 ，即 成等差数列，即 .假设命题对 成立，考虑 .由于 ，即 .由封闭性条件， 对某个 成立，且由不等式可知 .而集合 中两元素的最大差值为 ，因此 ，从而 ，即 .故对一切 有 ，元素之和为 .若 ，则 为集合中最大元素，同理可证 构成等差数列，其和为 . 21. 答案： （1） ； （2） ； （3） 详解： （1） 当 时，集合为 .从中取三个数构成等差数列仅有 ，顺序有2种，故 .所有项和为 ，两个数列总和为 .当 时，增加 和 ，共4个数列，和分别为12和9，.所以 . （2） 设取出的三个数为 ，构成等差数列的充要条件是 ，即 奇偶性相同.对 分奇偶讨论：若 （偶数），奇数和偶数各有 个，取两个奇数的组合有 种，取两个偶数的组合也有 种，故 .若 （奇数），奇数有 个，偶数有 个，故 . （3） 设所有满足条件的等差数列构成的集合为 ，共有 个元素.对任意一个等差数列 ，构造数列 ，该数列也是公差相同的等差数列且属于 .这一一配对映射下，原数列各项和与其配对数列各项和的关系为：.因此，集合 中所有数列的所有项之和的两倍为 ，即 .代入（2）中 的表达式即得（3）中的分段结果. 22. 答案：A 详解：由题意，圆心 ，半径 与 外切，所以圆心距 .同时，.联立二式，可解得递推关系，最终求得 .代入不等式 ，即 ，所以 对任意正整数 恒成立.令 ，通过比较 ，知 .故 ，解得 .故选A. 23. 答案：见详解 详解：（1） 由题意 ，点 在椭圆上，结合 ，可解得椭圆方程为 ，所以 . （2） 由椭圆第二定义，椭圆上的点 到右焦点 的距离为 .因为点在椭圆上，，所以 .同理，到左焦点的距离为 . （3） 由题意，.根据光学性质， 三点共线.设直线方程与椭圆联立，利用韦达定理，可以求出 ，进而得到递推关系.经过推导可得 .定义 ，计算 .所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列. （4） 由（3）得 ，可解出 .进一步求出 ，求和 .通过放缩和等比数列求和可证 . 24. 答案：（1） ；（2）（i） ；（ii） 9 详解： （1） 设过 的切线为 ，代入椭圆方程，由相切条件 ，解得 .由题意 最大时 为切线，故 ，从而椭圆 的方程为 . （2）（i） 设 .由 ，且 ，得 .所以 .直线 的斜率为 . （ii） 设 ，其中 的面积为 .由所有小三角形面积相等，可得 ，即 .此时多边形周长为 .计算弦长 .利用求和公式和柯西不等式可放缩证明 .又当 时，.故对任意 满足 的最小整数 为9. 25. 答案：见详解 详解：当 时，由二项分布，初始概率 .由概率转移规则可得： 注意到 恒成立.由后两式相减可得 .又 ，所以 （可由 归纳得到）.因此 .结合初始值 ，递推得 .证毕. 26. 答案：存在， 详解：当 时，.计算得 .由递推式 可知，对一切 均有 .又 ，代入得 ，即 .代入 的递推式，得 .整理变形为 .递推可知 .当 时，上式趋于0，故 .进而 .因为当次数足够多后概率趋近于定值，故存在发射稳定期，稳定值为 . 27. 答案：ACD 详解：令 .由题意，在区间 上 为常数.分析绝对值函数的性质可知，这只有当 为偶数，且该区间位于中间两项之间时才能成立. 对于A，若 ，则 .函数 ，在区间 上恒等于 .所以 ，A正确. 对于B，由上述分析， 必须为偶数，B错误. 对于C，若 为等差数列且 ，则数列对称.常数区间 必位于第5项 和第6项 之间.此时常数 .已知 ，故 .区间长度 ，故最大值为2，C正确. 对于D，设正项等比数列 单调递增，公比 ，项数 .由常数区间性质，必在 和 之间，则 .已知 ，所以 ，故 ，得 .又常数 ，其中 是前 项和.代入等比数列求和公式，并利用 及 ，可得关于 的不等式，解得 ，即 ，故 的最大值为6，D正确. 综上，选ACD. 第三部分：试题来源表 序号 来源 题号 1 2026·湖南·二模 第4题 2 2026·东营·二模 第3题 3 2026·山西太原·二模 第6题 4 2026·浙江杭州·二模 第15题 5 2026·浙江嘉兴·二模 第15题 6 2026·四川眉山·二模 第6题 7 2026·浙江嘉兴·二模 第5题 8 2026·江西“三新”·联考 第7题 9 2026·台州·二模 第8题 10 2026·湛江·二模 第14题 11 2026·九江·二模 第11题 12 2026·东营·二模 第11题 13 2026·东莞·二模 第19（1）题 14 2026·东莞·二模 第19（2）题 15 2026·新疆·二模 第14题 16 2026·长郡二十校联盟·二模 第14题 17 2026·南京鼓楼区·二模 第13题 18 2026·孝感·二模 第10题 19 2026·重庆·二诊 第11题 20 2026·济南·二模 第19（3）题 21 2026·广州·二模 第19题 22 2026·宜春·二模 第8题 23 2026·安徽A10联盟·联考 第19（3）题 24 2026·温州·二模 第19题 25 2026·浙江金华十校·联考 第19（2）题 26 2026·浙江金华十校·联考 第19（3）题 27 2026·安徽池州·二模 第11题 $