由递推关系求数列通项公式、研究数列性质专项训练-2026届高三数学二轮复习

由递推关系求数列通项公式、由递推关系研究数列性质专项训练 由递推关系求数列通项公式、由递推关系研究数列性质专项训练 考点目录 由递推关系求数列通项公式 由递推关系研究数列性质 考点一 由递推关系求数列通项公式 例1.（25-26高二上·浙江杭州期末)己知数列an}满足a,=5,a2=5,a1=a,+6a-n≥2). (1)求证：{a1+2an}是等比数列. (②)记bn=an-3”,求数列{bn}及{an}的通项公式： (3)设3”cn=n(3”-a),求c+e+…+c.. 【答案】()证明见解析 (2)a。=3”-(-2)”;bn=-(-2 6-+图 【详解】(1)因为a+1=an+6an-1n≥2)，所以a+1+2an=3(an+2a-i(n≥2)， 因为a1=5,a2=5,所以a2+2a1=15, 由以上递推关系可知，a+2a,≠0，则十2a=3n≥2， a +2an 故{a+1+2a,}是以15为首项，3为公比的等比数列： (2)由(1)可知，a1+2an=15×3-1=5×3”, 因为bn=an-3”,所以an=bn+3”,则bn1+3m1+2(bn+3）=5×3”, 即bn1=-2bn, 因为6=4-3=2，所以由以上递推关系可知，6+0，则=-2， 则数列{b}是以2为首项，-2为公比的等比数列， 则b,=2×(-2)=-(-2,0=3”-(-2)”: 3)由2)可知，3c,=a3r-a,=a-2,则c=,则=n, 由递推关系求数列通项公式、由递推关系研究数列性质专项训练 设s.=kk…k小则，-+2++ 则-)+2)+. 9- =2-3+n图， 则66tk=8-6目” 例2.(25-26高三下·青海西宁月考)已知数列a}的首项a=1,且满足an+1=2an+1. (1)求证：{an+1是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式及前10项的和. 【答案】()证明见解析 (2)an=2”-1,2036 【详解】(1)因为an+1=2an+1,所以a1+1=2(a。+1), 又a=1,所以a+1=2,an+1≠0， 所以+-2，即a,+是首项为2，公比为2的等比数列. a+1 (2)由1)得an+1=2×2-1=2”,即an=2-1, 设数列{an}的前n项和为Sn, 所以5。=4+a,++a=2-1+2-+…+2”-=21-29）-10=2036. 1-2 例3.(2026·安徽合肥·模拟预测)线性反馈移位寄存器是现代通信应用中的关键技术，利用它进行简单的逻辑运算 和移位操作能生成伪随机序列，因而被广泛用于干扰码、加密和同步等场景，某线性反馈移位寄存器通过以下规则 生成由0和1组成的序列： ①初始设置：前三位为a1=1,a2=1,a=1: y 由递推关系求数列通项公式、由递推关系研究数列性质专项训练 ②生成规则：从第4位开始，计算公式为a+3= 0,an+a,为偶数其中n是正整数. ,a1+an为奇数， (1)求数列an}的前6项； (2)设Sn=a,+a2+…+an,求Sn的通项公式： ③设T=∑（a,-a+2),求T的值. lsi<js20 【答案】(1)a=1,a2=1,a3=1,a4=0,a=0,a6=1 43 n+ 7 7n=7k+1 7n=7k+2 7n=7k+3 (2)Sn= 45 号n+n=7k+4,keN 41 7m+7n=7k+5 44 n=7k+6 7n+ 4 n,n=7k+7 71 (3)T=319 【详解】(1)由递推关系得，a1=1,a2=1,a3=1,a4=0,a=0,a。=1; (2)观察：a1=1,a2=1,a3=1,a4=0,a5=0,a6=1,a,=0,ag=1,a,=1,a10=1,. 数列{an}的周期T=7,且a,+a2+…+a,=4 当n=7k+1川keN)时，S,=4k+1=4n-+1=4n+3 7 n+ 当n=7k+2keN)时，S.=4软+2=4n-2+2= 46 7 7 + 49 鸟=7k+3keN时，S,=4+3=4”3+3= n+ 7 当n=7k+4keN时，S,=4k+3=4m+3= 4.5 n+ 7 7 7 当n=7k+5keN时，S=4+3=4n-5+3=4n+ 41 7 7 7； 44 当n=7k+6keN时，S,=4k+4=4”0+4=n+月 7 7 当n=7k+7(keN)时，Sn=4k+4= 4n-7}+4=号n, 4 7 7 由递推关系求数列通项公式、由递推关系研究数列性质专项训练 43 号+n=7k+1 7n=7k+2 4 49 7”+7m=7张+3 所以Sn的通项公式为Sn= 45 7+7n=7k+4,keN 4.1 7”+7n=7k+5 44 7”+7n=7k+6 7%n=7k+7 4 (3)数列的前20项：1,1,1,0,0,1,0,1,1,1,0,0,1,0,1,1,1,0,0,1，共有12个数字1，有8个数字0， 数对(a,a,),1≤i<j≤20的选法，分成3种情况： ①当a,=a,时，有C2+C=94种情况，每一种情况a,-a+2=1, ②当a,=1,a,=0时，有3×8+1×6+3x5+1x3+3x2=54种情况，每一种情况a-a+2-=3, @当a,=0,a,=1时，有2x9+1x8+2x5+1x4+2x1=42种情况，每一种情况l口-a+2% 2 所以T=∑（0，-0+2）=94×1+54×3+42×3=319 3 1si<js20 2 例4.(2026江西.一模)己知数列a}中，a,=1,满足an+1-3a,-1=0(n∈N）. (1)证明数列an +》是等比数列，并求数列a,}的通项公式： 2 (2)设bn=log3(2an+1,Tn为数列 2的前项和，求，s· bb) 【答案】①证明见解析，口，-3” 2 4052 （2）T2w6=2027 【详解】(1)由题意，am1=3an+1, 3 (.1 则a+23a,+3a,+2 1 2 1 13+0,. an+l a1 22 2=3, a+2 ,1 所以a,+2 是以a+分为有项，3为公比的等比酸列 由递推关系求数列通项公式、由递推关系研究数列性质专项训练 所以a+分多则a 2 (2)由bn=log3(2an+1)=log33”=n, 》 20262027 4052 即T2m6=2027 变式1.(25-26高二下湖北武汉开学考试)已知数列an}满足a+2=5a+1-4a,+6n+1,n∈N,且a,=3,a2=8 (1)求43，a4; (2)求证：数列{a1-an+2n+1是等比数列；并求数列an}的通项公式： 何已知2”≥1+n对于meN恒胶立，且A=a,身果证：有友+发行 11++1<4 十…十 【答案】(1)a=35,a4=156 ②证明见解析，。-X4-m+号 3 (③)证明见解析 【详解】(1)由an+2=5an1-4an+6n+1得： a3=5a2-4a1+6×1+1=5×8-4×3+6+1=35, a4=5a3-4a2+6×2+1=5×35-4×8+6×2+1=156; (2)证明：因为an2=5an1-4an+6n+1, 所以a+2-a1+2(n+1+1=(5a1-4a.+6n+1-a1+2(n+1+1=4a+1-4a。+8n+4, 所以a+2-a1+2(n+1)+1=4(a1-a。+2n+1, 又a2-a1+2×1+1=8≠0， 所以2-0+2n+1+1=4, an+-an +2n+1 所以数列a1-an+2n+1是以8为首项，4为公比的等比数列； 由递推关系求数列通项公式、由递推关系研究数列性质专项训练 0m41-an+2n+1=8×4-=2×4", 则有a2-a1=2×4-3;a3-a2=2×4-5;,a。-a1=2×4-1-2n+1, 由累加法得：an-a1=2(4+42+…+4--(3+5++2n-1, 所以a=2女4B+2aa-3-子4-+等a之2小， 1-4 2 3 又a1=3也满足上式， 所以a子x4-+分 (3)证明：因为2"≥1+n对于Vn∈N恒成立， 所以22m≥(1+n)对于neN恒成立， 所以4"-≥n2对于n≥2，neN恒成立， 当n=1时，4日=1=12，即：4-1≥n2对于n∈N恒成立， 4_2x4-2, b.=4-33 所以b,=4+(4-n)≥4对于neN恒成立， 3 3 所以 1+1 +13+1 131- 4"_414 bb, b55 ×4 4151-155×45 5 3 31 4 变式2.(25-26高二上浙江宁波期末)已知数列{an}满足a,+2a2+…+nan=(n-1)·2m++2(n∈N) (1)求数列{an}的通项公式： ②)设meR,若对任意neN使得m>L+3+5+…+2n- 恒成立，求m的最小值. a az a3 an 【答案】(1)a,=2” (2)3 【详解】(1)因为a1+2a2+…+nan=(n-12m+2① 所以当n=1时，a1=2, 当n≥2时，a1+2a2+…+(n-1an-1=n-22”+2②， ①-②得，当n≥2时，nan=n:2”, 所以a,=2"(n22), 6 由递推关系求数列通项公式、由递推关系研究数列性质专项训练 又因为a=2,所以an=2” 135 2n-1①， (2》令5，-2+7+2++ 2” 1,35++2n-1②， 52+2+24大大之 2*1 122,2 ,22n-1 2”2" 111 12n-1 222+…+ 2”2+1 1 2n-1 2 1 1- 2内 32n+3 22+ 所以S,=3-2n+3 2 因为S-S,二2n十>0。所以5是递增数列，耳当m→+o时，S→3 所以m≥3， 所以m的最小值为3. 变式3.(25-26高三上浙江湖州期末)己知数列{an}和{bn}满足：a1=2,a+1-a,=2n+2,且 b-h,…b,=(V2'(neN）· (1)求{an}和bn}的通项公式； (2)(i)求数列 1 的前n项和Sn; an (ii)试比较an与bn的大小. 【答案】(I)an=n(n+),bn=2” ⊙①5，：)等案见解新 【详解】(1)由an+1-an=2n+2, 得a2-a1=4,43-a2=6,a4-a3=8,…，0n-am-1=2n. 相加得an-a1=4+6+8+..+2n, 解得an=a+ n-(4+2m=nn+1）. 2 由递推关系求数列通项公式、由递推关系研究数列性质专项训练 又a=2满足上式，因此有a,=n(n+1 故-…h,=(2),则么…h1=(2)，相除得五，=2， 又=(V2=2满足上式，因此有6，=2. (2)(i)由an=n(n+l)得 1=111 。n(n+l)nn+1 +1+1++1 S= 十…十 a a2 a3 日r日得》g (ii)因为a,=2,b=2,所以a1=b, 因为a2=6,b=4,所以a2>b2, 因为a,=12,b=8,所以a>b, 因为a4=20,b4=16,所以a4>b4, 当n≥5时，an<bn.下面证明2”>n(n+1(n≥5)， 2”=(1+1)”=C0+C+C2+…+C-2+C0-+1 2C+C+C:+C:+C+C1+1 2 2 =n2+n+2>n(n+l1). 变式4.(25-26高三上吉林四平，期末)已知正项数列{a,}满足：a,=1,(n+1a=n(n+1)a+(n2+n+1aa, (1)求4： n (2)设Cn= n+la,，求{c,}前项和S 3)设6=100 ,求{b}项的最大值； a 【答案】(1)an=nl 1 25,=1n+p 3)100 99! 【详解】(1)由递推关系得：[(n+la1+nan][a1-(n+l)a.]=0,a,>0, 由递推关系求数列通项公式、由递推关系研究数列性质专项训练 所以：a41-(n+a,=0,即：过=n+1, a. a2.030m=2x3×…×n, 所以：n22时，4a“a an=2×3×…×na1=n!,显然当n=1时也成立， 所以：an=n!; a已：6- S,=1-1+11 11 十…+ =1- 2!'2!3!n!(n+1！(n+1！ 100"+1 (3)由已知：bn= _100,所以：bnFn+1' n！ bL=100 所以：6n+1' ①令100<1，得n>99,所以当n≥10时，6，为递减数列： n+1 ②g100 n+1 1,得n<99,所以当n≤98时，{b,}为递增数列： 由①、②知b<b2…(bg=b0)bo1…, 所以当n=99或n=100时，{b,}取得最大值，最大值为bg=bo= 1009 99！ 0 由递推关系求数列通项公式、由递推关系研究数列性质专项训练 考点二 由递推关系研究数列性质 例1.(2026海南省直辖县级单位·模拟预测)记正项数列{an}的前n项和为Sn· 111 1 0)若a.=2n,求+s,+s, +…十 (2)若an+2-an+1≥an+1-an,且Sn≤1，证明：an41≤an 国若4=11-a=8+回证明：85号 11+1+ 【答案】0)55，S, + S,n+1 (2)证明见解析 (③)证明见解析 【详解】(1)解：因为a,=2,所以S,=2x+D=n+,则于 =1=11 2 S.n(n+1)nn+1' 1111 1111111 所以了+3+3++1223有4m+nn+1n+n1 -+…+=1-+ 一十 -=1- (2)证明：假设存在n∈N,使得a,<an1,取满足该式的n的最小值， 设为k,即ak<aI,① 由己知得a1-a:≤a42-1,② 又由①+②得a+1<ag+2,所以ak<ak1<ak+2<… 因为k是满足an<an1的n的最小值，若k=1,则a1<a2<a<…, 若k>1,则a之a2≥…之a<a1<…,即a,是{an}中最小的项. 1 当n>k时，有Sn>na,取整数n使得n>k且n>一，此时必有Sn>na.>1, 这与Sn≤1相矛盾，假设不成立，故an1≤an· 58 (3)证明：先证S06> 39 1-8aal.可9a+ an a 2 √an+2 4 由4=1，可得a=万4 14-3、2 13>130。>0, 所以S2o26>a+a2+43>1 +1+2=58 31339i 10由递推关系求数列通项公式、由递推关系研究数列性质专项训练 由递推关系求数列通项公式、由递推关系研究数列性质专项训练 考点目录 由递推关系求数列通项公式 由递推关系研究数列性质 考点一 由递推关系求数列通项公式 例1.（25-26高二上·浙江杭州期末)己知数列an}满足a,=5,a2=5,a1=a,+6a-n≥2). (1)求证：{a+1+2an}是等比数列. (②)记bn=an-3”,求数列{bn}及{an}的通项公式： (3)设3”cn=n(3”-a),求lc+lc,+…+c.. 例2.(25-26高三下·青海西宁.月考)已知数列an}的首项a,=1,且满足an1=2an+1. (1)求证：{an+1是等比数列； (2)求数列{a,}的通项公式及前10项的和. 由递推关系求数列通项公式、由递推关系研究数列性质专项训练 例3.(2026·安徽合肥·模拟预测)线性反馈移位寄存器是现代通信应用中的关键技术，利用它进行简单的逻辑运算 和移位操作能生成伪随机序列，因而被广泛用于干扰码、加密和同步等场景.某线性反馈移位寄存器通过以下规则 生成由0和1组成的序列： ①初始设置：前三位为a1=1,a2=1,a=1: ②生成规则：从第4位开始，计算公式为a+3= 0.a+a,为偶数其中是正整数. 山，a+1+an为奇数， (1)求数列{an}的前6项； (2)设Sn=a1+a2+…+an,求Sn的通项公式： 3)设T=∑(a,-a+2),求T的值. 1si<js20 例4.(2026江西.一模)己知数列an}中，a=1,满足an+1-3a,-1=0(n∈N. Q证明数列a,+分引是等比数列，并求数列a,的通项公式 (2)设bn=log3(2a.+1,T,为数列 {2的前a项和，求· bbn 由递推关系求数列通项公式、由递推关系研究数列性质专项训练 变式1.(25-26高二下…湖北武汉开学考试)已知数列an}满足an+2=5a1-4a。+6n+1,neN,且a1=3,a2=8. (1)求a3,a4; (2)求证：数列{a+1-an+2n+是等比数列；并求数列(an}的通项公式； 4 :1+1++14 6)已知2”≥1+n对于neN恒成立，且6，=a,-子求证：有十瓦++反行 变式2.(25-26高二上浙江宁波期末)己知数列{an}满足a+2a2+…+nan=(n-1)·2m++2(n∈N) (1)求数列{a}的通项公式： ②设m∈R,若对任意neN使得m>+3+5++2n恒成立，求m的最小馆 a az a3 an 由递推关系求数列通项公式、由递推关系研究数列性质专项训练 变式3.(25-26高三上浙江湖州期末)已知数列{an}和{bn}满足：4=2，a+1-an=2n+2,且 hb,…b=2(neN）. (1)求{an}和bn}的通项公式： 1 (2)(i)求数列 的前n项和Sn; a, (i)试比较an与bn的大小. 变式4.(25-26高三上吉林四平，期末)已知正项数列{a,}满足：a,=1,(n+1)a2=n(n+1a+(n2+n+a4a (1)求an; n 2)设c。n+1a,求{c}前项和 100 (3)设bn= -,求{b}项的最大值： a 由递推关系求数列通项公式、由递推关系研究数列性质专项训练 考点二 由递推关系研究数列性质 例1.(2026海南省直辖县级单位模拟预测)记正项数列{a,}的前n项和为Sn· 111 1 (1)若an=2n,求 S+S2 S3 +…+ (2)若an+2-an+1≥an1-an,且Sn≤1，证明：an+1≤an 6若4=1-aa=4+回.证疾：8<号 例2.(25-26高三下·重庆月考)已知数列{an}满足a,>0,an=V3am-1+4(n≥2，n∈N). (1)数列{an}能否是常数列，若能，求出其通项公式；若不能，请说明理由： ②证明a-4sh-4 5 由递推关系求数列通项公式、由递推关系研究数列性质专项训练 例3.(25-26高三上北京月考)设各项均为整数的无穷数列{a}满足：a,=0,n∈，a,1-a,=n2 (1)求4的所有可能取值； (2)若a:=2026,求k的最小值； (3)记数列{an}的前n项和为Sn,是否存在数列{an},使得{kS:2026为无穷集？请说明理由. 变式1.(25-26高三上云南红河期中)己知数列an},{bn},{cn}前n项和分别为An,Bn,Cn,且有cn=anBn+bnAn-anbn (1)若an=2n-1,bn=3”,求C2; 1 ②)若4e=2026,Bms=2026求Cx 6已知当无，>0，以>0aeN)时，至+三++三之任+6+，当且仅当点-点=…=点时等号成立若数列 片y3yny+2+…+yn y1 y2 yn c为正项数列，且当≥2eN可有-兰-2，者4-领证明：4a,>. Cn Cn- 6 由递推关系求数列通项公式、由递推关系研究数列性质专项训练 变式2.(25-26高三上江苏南通期中)设i,j,k,m,n均为正整数，无穷数列{an}是递增数列，且各项均为正整 数，a=1. (I)若数列{an}满足an+a1=a1,求数列{an}的通项公式及其前n项的和； (2)若对于任意k,都不存在i,j,使得a,+a,=a. (i)求证：an+lan+2; （ii)若存在无穷多个m,使得am=2m-1,求数列{an}的通项公式 变式3.(25-26高三上江苏泰州期中)设数列an}满足递推关系an=3an+2"(neN),a,=l,b,=an+2” (I)求证：数列{bn}是等比数列 (②)()证明： 2”=1-3 anan an a (m)记c=求数列e的前项和S aant (3)对于第(2)问中的Sn,是否存在正整数m,n,使等式S。·bm=an成立.若存在，请求出正整数m,n的值；若不存 在，请说明理由