考点6.1 数列的递推公式专项训练-2026届高三数学二轮复习

2026年高考数学二模新题分类速递 考点6.1 数列的递推公式 考点6.1 数列的递推公式 1 一、由递推关系构造等差或等比数列 1 （一）一次线性递推构造等比数列 1 （二）倒数型递推构造等差数列 2 （三）含 （或和式）与 关系构造等差或等比数列 2 （四）二阶线性递推构造等差或等比数列 3 （五）奇偶分段递推 3 二、由递推关系求通项（累加、累积、消项等） 4 （一）累加法（差分型） 4 （二）累积法（乘积型） 4 （三）因式分解与二次型递推 4 （四）复杂递推关系的代数变形 5 三、递推与数列性质综合 5 四、递推与概率交汇 5 参考答案 7 第一部分：答案速查表 7 第二部分：逐题答案与详解 7 第三部分：试题来源表 13 一、由递推关系构造等差或等比数列 （一）一次线性递推构造等比数列 1.（2026·沈阳·二模）（母题：待定系数法构造等比数列） 在数列 中， ， .求证：数列 为等比数列. 2.（2026·泰安·二模） 已知数列 满足 ，求数列 通项公式. 3.（2026·河南·二模）（变式1：分数系数递推） 已知数列 的首项 ，且满足 . （1）求数列 的通项公式. 4.（2026·山西部分学校·联考）（变式2：含指数项递推） 已知数列 满足 .令 ，求数列 的通项公式. 5.（2026·安徽合肥·二模）（变式3：消元化递推） 记 为数列 的前 项和，已知 ，，则 A. 18 B. 54 C. 81 D. 162 （二）倒数型递推构造等差数列 6.（2026·山西三重教育·二模）（母题：取倒数构造等差数列） 已知数列 中， .证明： 是等差数列. 7.（2026·呼和浩特·二模）（变式：仅系数不同） 已知数列 的前 项和为 .若 ，则正整数 的值为__. （三）含 （或和式）与 关系构造等差或等比数列 8.（2026·长望浏宁·二模）（母题：给定 S_n 与 a_n 关系式） 已知 为数列 的前 项和，且 .求该数列的通项 . 9.（2026·江西·联考）（变式1：含指数项） 已知数列 的前 项和为 ，且满足 .求数列 . 10.（2026·惠州、韶关·二模）（变式2：已知 S_n 直接求 a_n） 已知数列 的前 项和为 .求 的通项公式. 11.（2026·山东潍坊·二模） 已知数列 的前 项和为 .求数列 的通项公式. 12.（2026·济宁·二模）（变式3：分式关系型） 记 为数列 的前 项和，已知 .求数列 的通项公式. 13.（2026·毕节·二模）（变式4：和式型拓展） 设数列 满足 .求数列 的通项公式. 14.（2026·重庆·康德调研四）（变式5：多层和式关系型） 设数列 的前 项和为 ，已知数列 的前 项和 .求数列 的通项公式. （四）二阶线性递推构造等差或等比数列 15.（2026·湘豫联盟·联考）（母题：二阶线性递推降阶） 记数列 的前 项和为 ，且 ，设 ，则下列说法正确的有（ 　　） A. B. 数列 为等比数列 C. D. 的最大值为 53 16.（2026·宁夏·二模）（变式：齐次二阶递推） 已知数列 满足 ，， .证明：数列 是等比数列. （五）奇偶分段递推 17.（2026·安徽蚌埠·二模）（母题：奇偶分类讨论） 已知数列 的前 项和为 ，满足 ，.若 ，则下列说法正确的有（ 　　） A. B. 数列 是等差数列 C. D. 数列 中不存在能被 3 整除的项 18.（2026·福建福州·二模）（变式1：含 (-1)^n 项） 已知数列 的前 项和为 ，若 ，则 A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 19.（2026·宁波·二模）（变式2：含 (-1)^n 二阶递推） 数列 满足：， 为 的前 项和，则 A. B. C. D. 二、由递推关系求通项（累加、累积、消项等） （一）累加法（差分型） 20.（2026·安徽铜陵·二模）（母题：累加求和求通项） 已知数列 的首项 ，且满足 ，令 ，则数列 的前2026项和为 A. B. C. D. 21.（2026·重庆·康德调研四）（变式1：分式包装下的累加） 已知数列 满足 ，且 中小于0的项有10项，则 的取值范围是 A. B. C. D. 22.（2026·汕头·二模）（变式2：隔项累加） 数列 的前三项均为1， 是公比为3的等比数列，且 .求 . 23.（2026·九师联盟·联考）（变式3：构造常数列） 已知数列 满足 ，且 为常数列.求 的值. （二）累积法（乘积型） 24.（2026·浙江金华十校·联考）（母题：累乘求积求通项） 数列 中，，，记数列 的前 项和为 ，则 __. （三）因式分解与二次型递推 25.（2026·聊城·二模）（母题：因式分解降次） 数列 共有10项，其中 ，且 ，则满足这种条件的不同数列 的个数为 A. 2 B. 20 C. 84 D. 120 26.（2026·新八校·二模）（变式1：更高次因式分解） 已知数列 满足 ，且 ，则 的值可能是 A. 1 B. 2026 C. D. 27.（2026·湖南·二模）（变式2：配方法降次） 已知数列 满足 ，且 .求数列 的通项公式. （四）复杂递推关系的代数变形 28.（2026·T8联盟·联考）（母题：巧妙代数变形） 已知数列 的前 项和为 ，若 ，则 __. 29.（2026·山东·二模） 数列 满足 ，，，则 __. 三、递推与数列性质综合 30.（2026·云南昆明·二模）（母题：递推导出单调性与有界性） 已知数列 满足 ，记 的前 项和为 ，则 A. B. C. D. 四、递推与概率交汇 31.（2026·江西“三新”·联考）（母题：概率模型下建立递推） 某工业系统内初始装有2个A类部件和1个B类部件.工作人员往系统内增添这两类部件，具体操作如下：每次从系统中随机抽调1个部件，记录类别后将其保留在系统中，同时向系统内增补1个与所抽调部件类别不同的部件.记第 次操作抽调到A类部件的概率为 ，第 次操作后系统内A类部件的数量为 . 附：若随机变量 服从两点分布，且 ，则 .求数列 的通项公式. 32.（2026·山西太原·二模）（变式：递进设问——证明不等式） 如图，甲、乙、丙三人做传球训练，教练通过掷骰子（质地均匀）指令他们传球，规定如下： ① 掷一次骰子，进行一次传球，即持球人将球传给另外一个非持球人； ② 传球方向由掷骰子点数确定，若掷出骰子的点数为3的倍数，则按图中箭头方向传球；若掷出骰子的点数不是3的倍数，则按图中箭头相反方向传球. 设掷骰子 次后，球传到甲、乙、丙的事件分别为 ，其概率分别为 .已知第1次由甲将球传出.用 表示 . 33.（2026·山西太原·二模） 在第32题的背景下，借助AI探究发现：已知数列 满足 ，若 是方程 的两个不相等根（包含实数根和虚数根），则数列 的通项公式可以表示为 的形式.请根据上述发现，求 （提示：可设 ）. 附： 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 第一部分：答案速查表 序号 1 2 3 4 5 6 7 答案 见详解 （1） B 见详解 2025 序号 8 9 10 11 12 13 14 答案 序号 15 16 17 18 19 20 21 答案 ABD 见详解 ACD C A A A 序号 22 23 24 25 26 27 28 答案 C ACD 序号 29 30 31 32 33 答案 C 第二部分：逐题答案与详解 1. 答案：见详解 详解：因为 ，所以数列 是以 为首项，3为公比的等比数列. 2. 答案： 详解：因为 ，所以 .又 ，数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以 ，即 . 3. 答案：（1） 详解：因为 ，所以 .因此 是以 为首项， 为公比的等比数列.所以 ，即 . 4. 答案： 详解：由 得 ，即 .又 ，所以 . 5. 答案：B 详解：由 ，当 时，；当 时，，整理得 .所以数列 是首项为2，公比为3的等比数列，，故选 B. 6. 答案：见详解 详解：因为 ，所以 .而 则 ，即 ，得到 是首项为 ，公差为 的等差数列. 7. 答案：2025 详解：由 得 ，所以 是公差为 的等差数列，，.利用 的范围可得 . 8. 答案： 详解：当 时，由 得 ；当 时，，整理得 .所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列，. 9. 答案： 详解：由 可得 ，两边同除以 得 .所以 是公差为3的等差数列，，即 . 10. 答案： 详解：由条件有 时，.又 ，则 时 ，所以 .经检验 满足，故 . 11. 答案： 详解：当 时，；当 时，，且 满足，故 . 12. 答案： 详解：由 得 时 ，两式相减得 ，累积得 ，且 符合. 13. 答案： 详解：当 时，，得 .当 时，两式相减得 ，则 ，且 符合，故通项为 . 14. 答案： 详解：当 时，；当 时，， 也满足.所以 ， 时 ，且 符合，所以 . 15. 答案：ABD 详解：，当 时，，解得 ，A正确.由 得 ，即 ，又 ，所以数列 是以 -2 为首项，2 为公比的等比数列，B正确.由 B 可得 ，C 错误.当 时， 单调递增；当 时， 单调递减，所以 的最大值为 ，D正确. 16. 答案：见详解 详解：因为 ，所以 .数列 是以 为首项，2 为公比的等比数列. 17. 答案：ACD 详解：因为 ，可得 .验证可知 A 正确；数列 不是等差数列，B 错误；由递推可得 ，C 正确；分析可知数列项均不被 3 整除，D 正确. 18. 答案：C 详解：由 递推： 时 ； 时 ，； 时 ，，； 时 ，，； 时 ，.故选 C. 19. 答案：A 详解：由递推关系可得数列周期为 12，且 ，故 A 正确，B 错误；一个周期内的和为 0，逐一计算可得 C、D 错误. 20. 答案：A 详解：令 ，计算得 (含增根 0)，所以 ；易知 ，则 ，两式相减可得 ，即 ，所以 是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，所以 ，则 ，前 2026 项和为 ，选 A. 21. 答案：A 详解：由 得 ，故 ，；令 得 且 ，故 . 选 A. 22. 答案： 详解：因为 ，即 ，则 ，可得 ，则 . 23. 答案： 详解：因为 为常数列，所以 ，即 .又 ，所以 . 24. 答案： 详解：因为 ，所以 .累乘得 .所以 ，. 25. 答案：C 详解：原式因式分解可得 ，故 或 .从 到 ，需要净增长 3 次乘以 2.设乘 2 的次数为 ，乘 的次数为 ，则 ，，解得 ，故共有 种，选 C. 26. 答案：ACD 详解：原式因式分解可得 ，故 或 都可成立.数列每一项都满足 时，选 A；每一项都满足 时，选 D；，，且 时，选 C；B 不能成立.故选 ACD. 27. 答案： 详解：由已知得 .显然 ，所以 .所以数列 是首项为 ，公差为 1 的等差数列，所以 ，即 . 28. 答案： 详解：由 得 ，即 .设 ，则 ，可得 是以 4 为首项，2 为公比的等比数列，故 ，. 29. 答案： 详解：等式两边同时乘以 ，得 .移项得 .设 ，则数列 是等差数列.公差 ，，所以 . 30. 答案：C 详解：由 得 .取倒数得 ，即 .累加得 .所以 ，故选 C. 31. 答案： 详解：设随机变量 满足若第 次操作抽调到A类部件，则 ，若抽调到B类部件，则 ，所以 服从两点分布，且 .由题可知，第 次操作后系统内A类部件比上一次的增量为 ，则 .因为 ，所以 .由 （2） 可知，，则 .当 时，有 ，两式相减得 ，即 .当 时， 满足上式，故 ，.则 .令 ，则 .累加得 .则 . 32. 答案： 详解：由题意可得 ，，，且 .于是 ，解得 ，从而 .又 .联立得 ，整理得 . 33. 答案： 详解：由上一问得 .设 ，则 ，且 .方程 的根为 ，可得 .由初始条件得 ，所以 .因此 . 第三部分：试题来源表 序号 来源 题号 1 2026·沈阳·二模 第15（1）题 2 2026·泰安·二模 第17（1）题 3 2026·河南·二模 第17（1）题 4 2026·山西部分学校·联考 第16（1）题 5 2026·安徽合肥·二模 第3题 6 2026·山西三重教育·二模 第16（1）题 7 2026·呼和浩特·二模 第14题 8 2026·长望浏宁·二模 第15（1）题 9 2026·江西·联考 第16（1）题 10 2026·惠州、韶关·二模 第15（1）题 11 2026·山东潍坊·二模 第15（1）题 12 2026·济宁·二模 第15（1）题 13 2026·毕节·二模 第15（1）题 14 2026·重庆·康德调研四 第17（1）题 15 2026·湘豫联盟·联考 第10题 16 2026·宁夏·二模 第16（1）题 17 2026·安徽蚌埠·二模 第10题 18 2026·福建福州·二模 第7题 19 2026·宁波·二模 第8题 20 2026·安徽铜陵·二模 第7题 21 2026·重庆·康德调研四 第7题 22 2026·汕头·二模 第15（2）题 23 2026·九师联盟·联考 第15（1）题 24 2026·浙江金华十校·联考 第13题 25 2026·聊城·二模 第8题 26 2026·新八校·二模 第10题 27 2026·湖南·二模 第15（1）题 28 2026·T8联盟·联考 第14题 29 2026·山东·二模 第12题 30 2026·云南昆明·二模 第8题 31 2026·江西“三新”·联考 第19（3）题 32 2026·山西太原·二模 第19（2）题 33 2026·山西太原·二模 第19（3）题 $