利用an与Sn的关系求通项公式、数列递推问题 专项训练-2026届高三数学二轮复习

利用an与Sn的关系求通项公式、数列递推问题专项训练 利用an与Sn的关系求通项公式、数列递推问题专项训练 考点目录 利用an与Sn的关系求通项公式 数列递推问题 考点一 利用an与Sn的关系求通项公式 例1.(2026新彊模拟预测)已知数列{an}的前项和S,=n2 (1)证明：a2m=2an+1; (2)若bn=(an+1×2”-2,求数列b,}的前n项和T 例2.(25-26高二上重庆沙坪坝期末)设正项数列{an}的前项和为Sn,2S。=a+an· (1)求{a}的通项公式： (2)设bn=a2m-1a,,求{bn}的前n项和T,: 6)设c,=1 an·a2n+l ,求证：9+9+…+C,< 利用an与Sn的关系求通项公式、数列递推问题专项训练 例3.(25-26高三上~河北沧州月考)已知S为数列{a,}的前项和，a,=3,S。-n=” 2 (I)求数列{an}的通项公式： (2)若bn=（-1”an+2"+,求数列bn}的前2n项和T2m 例4.(2526商二上河北石家庄月考)已如首项为的数列@}的前项和为S,且5+a=S+是 3 (1)求42,4的值； (2)求数列{an}的通项公式； (3)求Sn 2 利用an与Sn的关系求通项公式、数列递推问题专项训练 变式1.(25-26高二上山西临汾月考)已知数列{an}的前n项和为Sn,满足3Sn=4an+3n-2 (1)证明：{a。-1}是等比数列； (2)设bn=log4(1-an),求数列 1 -的前n项和工n bb 变式2.(25-26高二上湖南长沙月考)已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn-nan=nn∈N),且a2=3. (I)证明数列{an}为等差数列，并求{an}的通项公式； (2)设b,= aa十a石，无为数列色的前项和，求使工>号成立的最小正整数的值： 1 利用an与Sn的关系求通项公式、数列递推问题专项训练 式3.(2526高三上：安徽导阳月考)已知数列a的前项和为S,且S,=)0, (I)求数列{an}的通项公式： 1 (②设b。=10g,a1l0g,a+2 数列b,的前项和为，证明：T<2 1 变式4.(25-26高三上山东济宁期末)记Sn为正项数列{an}的前项和，已知6Sn=a+3an（n∈N) (1)求{an}的通项公式： (2)令3log,bn=an+3n∈N),求数列{abn}的前n项和Tn 利用an与Sn的关系求通项公式、数列递推问题专项训练 考点二 数列递推问题 L(2425高二上福建莆田-期末)已知数列Q,满足：。三，凸二数列a-a是以4为公差的等差 列. (1)求数列{an}的通项公式： ②令b记数列b.的前n项和为S,求S。的凰 例2.(2026四川绵阳模拟预测)己知数列an},{bn}满足a1=3,b=1,an=a-1-b,-1+2n,bn=b-1-am-+2n,(n≥2) (I)证明：数列{an-bn}是等比数列； (2)求{an}的通项公式，并求{an}的前项和Sn· 5 利用an与Sn的关系求通项公式、数列递推问题专项训练 例3.(25-26高二上·浙江杭州期末)己知数列an}满足2"an1-2"a,=n,a=1. (I)求数列an}的通项公式； (②)若{an-1n是递减数列，求实数2的取值范围. 例4.2026-洲南水州模拟预测)已知数列a满足a=)2an+山Q,=0 (1)求{an}的通项公式an: (2)求{an}的前n项和Sn 6 利用an与Sn的关系求通项公式、数列递推问题专项训练 变式1.(25-26高三上·江西宜春·期末)若数列a,}的前n项积为，满足a1=T,且a,=2 (I)求数列{an}的通项公式： l0g2a ②设点+oga+o8a,且数列a的前碳和为S,正明：8<分 变式2.(2526高二上广西河池：期末)已知数列a,满足a=2，a=3a,+2，令h=号 (1)证明：数列{b,+2为等比数列； (2)求数列{an}的通项公式： 1 (3)令数列 a 的前n吸和为S:证明：S<星 利用an与Sn的关系求通项公式、数列递推问题专项训练 。Q526高二上内蒙古包头期末)已知数列1Q,的首项4(，且满足4 a+1 (1)求证：数列 2-1 为等比数列： a 111 (2)求二++二++ a az a a 3)令b,=8,证明：1<b1<b a. 变式4.(25-26高三上河北月考)在数列an}中，a2=1,（n-1a1=na+1. (1)求{an}的通项公式： ②若6=-°，物，求b,的前顺和3， 0n+1an+2利用an与Sn的关系求通项公式、数列递推问题专项训练 利用an与Sn的关系求通项公式、数列递推问题专项训练 考点目录 利用an与Sn的关系求通项公式 数列递推问题 考点一 利用an与Sn的关系求通项公式 例1.(2026新彊模拟预测)已知数列{an}的前项和S,=n2 (1)证明：a2m=2an+1; (2)若bn=(an+1×2”-2,求数列{b,}的前n项和T. 【答案】()证明过程见解析； (2)Tn=(n-1刂×2”+1 【详解】(1)当n=1时，a=S,=12=1, 当n≥2时，an=Sn-Sn1=n2-(n-1)2=2n-1, 由于a1=2×1-1=1,故对n∈N,an=2n-1, 所以a2n=4n-1,而2an+1=2(2n-1+1=4n-1, 故a2m=2an+1； (2)b,=(a。+1)×2-2=2n×2-2=n×2-1, 故Tn=1+2×2+3×22+4×23+…+n×2-1①， 则2T,=1×2+2×22+3×23+4×24+…+n×2"②， 式子0②得-=1+22+24+2ax2号-x2r-1-x2-1， 故Tn=(n-1×2"+1. 例2.(25-26高二上·重庆沙坪坝期末)设正项数列{a}的前n项和为Sn,2Sn=a+a.· (I)求{an}的通项公式： (2)设bn=a2m-1a2,求{bn}的前n项和Tn: 3)设c.=1 求证：G+6++c<2 an·a2m+l 3 利用an与Sn的关系求通项公式、数列递推问题专项训练 【答案】(I)an=n (2)Tn=(2n-32+1+6 (③)证明见解析 【详解】(1)当n=1时，由2S,=a+a1,得a1(a1-1=0,a1>0,得a,=1, 又n22,2Sn-1=a+a-1,且2Sn=a+an,作差得2an=a-a-+an-a-1, 所以(an+an)(an-an-1-1)=0,an+a-1>0,则an-a-1=1且n≥2， 故数列{an}是公差为1的等差数列，故数列的通项公式为an=n: (2)因为b,=4m-1a2=(2n-1·2”, 则T,=1×2+3×22++(2n-1)2”① 2T=1×22+3×23+…+(2n-12m1② ①-②可得：-工n=1×2+2×22+…+2×2”-(2n-1)2H -2+2x2-22x2-2m-1-2 1-2 =2×20+1-6-(2n-1）·2+ =(3-2n小2+1-6 .T。=(2n-321+6 (3)由(1)知0，=m,则c=。1 1 an·a2m1n2n+1' 当=1时，（写子第论也成立 当n≥2时，因为2n>2n-1,所以2(2n+>(2m-12n+),故n2n+D2n-X2n+D2n-12n+1' 1 2 11 所以，当n22时，G+G2++C.< gg》】传 0所号即+6+ 因为2n+ 1 2 2 3 综上所述，G+6++c<行 例3.(25-26高三上河北沧州月考)已知S,为数列{a,}的前项和，a,=3,S。-n=” 2 利用an与Sn的关系求通项公式、数列递推问题专项训练 (1)求数列{an}的通项公式： (②)若b,=（-1)”a,+2,求数列bn}的前2n项和T2m· 【答案】(1)an=n+1 (2)T2m=n+4+1-4 【详解】(1)由题可得2Sn-2n=na①， 所以2S1-2(n+1=(n+1a1②， ②-①得(n-)an1=nan-2③， 所以n0+2=(n+l)a+1-2④， ④-③得nan+2+nan=2nan+1,所以an+2+an=2a1, 所以数列an}是等差数列. n=1时，由S,-1=)4,解得a=2 又a2=3,故数列{an}的公差为1， 所以an=n+1. (2)因为bn=(-1)”an+21, 所以T.=(a2-a)+(a4-a)+…+(an-a-)+(22+23+…+22) 22×1-22m） =n+ =n+22m+2-4=n+41-4. 1-2 例4.(25-26高二上河北石家庄月考)已知首项为-的数列{a,}的前项和为S,且S1+a,=S+ 3 (1)求a2,43的值； (2)求数列an}的通项公式： (3)求Sn 【答案】(1)a2 4s7 2a.=(-1°+2 1 利用an与Sn的关系求通项公式、数列递推问题专项训练 33,=1+-”1 22 【详解】1)5+a=8+2,8-5+a=a+a=是， 3 3 3.。35_7 a+a4a专4a+a2u848 3 11） -10, (2）5-S,+a=a+a,=2，六a2=-0,2:a2 :复列口司是首项为-，公比为1的等比数列，即a-。 a,(-r+分 (3)由(2)可得： 8--+…r+[++ -1-边 2 2 22 变式1.(25-26高二上山西临汾·月考)己知数列{an}的前n项和为Sn,满足3Sn=4an+3n-2 (1)证明：{a。-1}是等比数列； 1 (2)设bn=l0g4(1-an),求数列 的前n项和Tn b.b 【答案】(1)证明见解析 2T.=2n+1 4n 【详解】(1)当n=1时，3S,=4a1+3-2,计算得出a1=-1, 当n>1时，根据题意得，3Sm1=4a-1+3(n-1)-2, 所以3Sn-3Sn-1=3an=4(an-an-)+3， 即an=4an-1-3 .an-1=4an-1-1, 即4 由于a,-1=-2 利用an与Sn的关系求通项公式、数列递推问题专项训练 ：数列{a-1是首项为-2，公比为4的等比数列： (2)由(1)知，an-1=(-241=-22m-1 0n-1-22m- 6,-1og.1-a)=log4221=n-1-2n-l 22 6h1o-12-a4 1 4 x--6小--a 2n+1 变式2.(25-26高二上湖南长沙月考)已知数列{a,}的前项和S,满足2S。-na。=nneN),且a,=3. (I)证明数列a,}为等差数列，并求{an}的通项公式： (2)设b=一 vam+am 石，工为数列，的前顺和，求使>成立的最小正整数的， 【答案】(1)证明见解析，am=2n-1 (2)13 【详解】(1)由2Sn-nan=nneN), 当n≥2时，2Sn1-(n-1)an-1=n-1, 两式相减得，2an-nan+(n-1)an-1=1,即(n-1an1-(n-2)an=1, 当n≥3时，(n-2)a-2-(n-3)a-1=1, 所以(n-1)an1-(n-2)an=(n-2)an-2-(n-3)am-1, 可得2a-1=an+a-2,所以{an}为等差数列， 又2S,-a1=1,得a=1,又a2=3,所以公差d=2, 则a。=1+(n-1)×2=2n-1. 1 1 1 (2)由b= aam+amva va,va(a,+ya)2n-1.2n+1(v2n-1+v2n+1) V2n+1-√2n-111 1 2√2n-1V2n+12(V2n-1√2n+1 利用an与Sn的关系求通项公式、数列递推问题专项训练 要使刀> 1 即1- 1 解得n>12,所以最小正整数的值为13. 2n+1 变式3.(2526高三上安微职阳月考)已知数列a的前吸和为，且S-0月 (I)求数列{an}的通项公式： (2)设b.= log alog3am+2 数列色的前项和为，证男：无兮 【答案】(1)a,=3” (2)证明见解析 3 3 3 【详解】(1)当n=1时，9=4=42，移项得4-=2故a=3 当m22时，5-5=4，(0引-4引 33 化简得an= 20201,即a.=3a 因此{an}是首项为3、公比为3的等比数列，故a=3” (2)由an=3”,得log,an1=n+1,l0g,an+2=n+2, 11 则b,Fn+l(n+2n+1n+2 -G得》品 因>0，故7<2 1 n+2 变式4.(25-26高三上山东济宁期末)记Sn为正项数列{a,}的前项和，己知6Sn=a+3a,(n∈N） (1)求{an}的通项公式； (2)令3 log2b=an+3(n∈N),求数列ab}的前n项和Tn. 【答案】(1)an=3n (2)T,=12+3n-1)2+2 【详解】(1)因为6Sn=a+3 a,neN), 6 利用an与Sn的关系求通项公式、数列递推问题专项训练 当n=1时，6S,=6a1=a+3a1,解得a1=3或a1=0(舍去)： 当n≥2时，6S1=a-+3a1,所以6Sn-Sn）=6an=a+3an-(a7+3a), 则(a,+an-an-a--3(am+am-=0,即(an-an-1-3)(an+an-）=0, 因为{an}为正项数列，则an+an>0,即an-an=3，, 所以{an}是首项为3，公差为3的等差数列， 则an=3+3n-1=3n (2)因为3log,bn=an+3, 所以g-品-302-+1，则=2，a6=n3, 3 所以Tn=3×22+6×23+9×2+…+3n×2m+1,① 所以2T=3×23+6×2++9×25++3n×2+2,② 由①-②得，-In=3×22+3(2+24+25+…+2）-3n×2+2 2(1-2- =12+3 1-2 -3m×22=-12+31-m22, 所以T。=12+3(n-12+2 利用an与Sn的关系求通项公式、数列递推问题专项训练 考点二 数列递推问题 1.3 例1.（2425高二上·福建莆田-期未)已知数列a,满足：4=24=，数列a-o是以4为公差的等差数 列. (1)求数列{an}的通项公式： (2)令b= 记数列b,的前n项和为S,求Sm的值. 2a 【答案】0)a.=22n-l川2m-3到 @199 100 【详解】(1)己知数列{a1-a}是以4为公差的等差数列， ∴.a*1-an=(a2-a）+4n-1=4n-2, 当n≥2，neN时， a.-a-alo4-a小4a-sa2t-6a-+》 2 =2n-12-=2n-12n-3), 22 1 又：a=-2符合上式， a=2n-2m- aa这2-ln-可 8-小 199)-199 199 例2.(2026四川绵阳模拟预测)已知数列an},{bn}满足a1=3,b=1,an=an-1-b,-1+2n,bn=bn1-an-1+2n，(≥2) (I)证明：数列{an-b}是等比数列； (2)求{an}的通项公式，并求{an}的前n项和Sn. 【答案】（①）证明见解析 利用an与Sn的关系求通项公式、数列递推问题专项训练 (2)an=20-+2n,Sn=2"+n2+n-1 【详解】(1)证明：”a。=a-1-b,-1+2n,b。=b-1-a-1+2n, 两式相减得a,-b,=a,-1-b,-1+2n-b,-1+a-1-2n=2(a-1-b-）, a,-b=20n≥2)， an-1-b- 又：a-b=2, :数列{a,-b}是首项为2，公比为2的等比数列. (2)数列{an-b,}是首项为2，公比为2的等比数列， an-b,=2×2-1=2”, :am=0-1-b-1+2n,bn=b-1-a-1+2n, 两式相加得a,+b.=a1-b1+2n+b,-a-+2n=4n, .an+bn=4n(n≥2)，an+1+bn1-an-bn=4(n≥2)， 当n=1时，a,+b=4满足上式， :数列{an+bn}是首项为4，公差为4的等差数列，即an+bn=4n, a,-h.=2,解得a.=2+2m, an +b =4n S=(2°+2+…+2-)+(2+4+…+2m=10-22+2+2m)n 1-2 2 =2"+n2+n-1. 例3.(25-26高二上·浙江杭州期末)己知数列a}满足2”a+1-2”an=n,a=1. (1)求数列{an}的通项公式： (2)若{a,-元n是递减数列，求实数1的取值范围. 【答案】0a=3-2出 2w 【详解】1)因为2r44-2a,=a,所以a4-Q=公， 3 2贡n≥2， 所以a2-a,4-4是，442…，4，-a= 老述-1个于相有：44宁受是一受 2-1 9 利用an与Sn的关系求通项公式、数列递推问题专项训练 段-。4安是小2是 1,2,3,,n-2n-1 则吃31立+2++…+ 2+ 2, 1 2.3 2可厂 221 23 +…+-2n-1） 20/ 1 1 1 所以5-计分+++ 1,111 1n-121-2- n-1 1n-1 =1 2 2-12” 1 2n 1- 22”’ 2 所以51=2名222+1 21-2 2-, 又a=1,所以a=4+5=+2-13-2a≥2 当1时，3岁岩=3-2=1，上式他废立， 所以a,=3-n+, 2-1； (2)因为an-n是递减数列，所以a+1-(n+1)<an-元n, 即an+1-an<入， 由1D可知，a-a只，所以公<， 设6=2，则元>6，)m, n+1n_n+1-2m_1-n b-b-2- 2+7, 当n=1时，bn1-bn=0,即bn+=bn; 当n>1时，b+1-b,<0，即b1<b; 所以4=么方是数列6，}的最大项。即么分》 所以2>2，实数1的取值范围是（分+w)。 例+.(2026潮南水州机银预测》已知数列a清是4=弓2a+a,=0。 (1)求{an}的通项公式an: (2)求{an}的前n项和Sn. 1 【答案】（①）a.=n2 2S,=2-22 10