精品解析：四川广元市苍溪县2026年九年级模拟考试数学试题

2026年春初三年级模拟考试 数学试题 说明：1．全卷满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷共6页，两个部分，共26个小题． 3．考生必须在答题卡上答题，写在试卷上的答案无效．选择题必须使用2B铅笔填涂答案，非选择题必须使用0．5毫米黑色墨迹签字笔答题． 4．考试结束，将答题卡和试卷一并交回． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数． 根据倒数的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 故选：A． 2. 下列安全图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 注意安全 B. 禁止攀爬 C. 水深危险 D. 急救中心 【答案】D 【解析】 【详解】解：A：是轴对称图形，但旋转 后感叹号方向相反，无法与原图重合，不是中心对称图形； B：既不是轴对称图形，也不是中心对称图形（内部图案旋转后方向改变，无法重合）； C：是轴对称图形，但旋转 后图案方向相反，无法与原图重合，不是中心对称图形； D：既是轴对称图形（横竖两条对称轴），又是中心对称图形（绕中心旋转 后与原图完全重合），符合题目要求． 3. 如图所示的是某绿色植物细胞结构图，该绿色植物细胞的直径约为米，将数据米用科学记数法表示为（ ）． A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法表示数的形式为，其中，为整数． 【详解】解：根据科学记数法的要求，． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，平方差公式，运用相关运算法则求出各选项的结果后再进行判断即可． 【详解】解：A、，故选项A计算错误，此选项不符合题意； B、，故选项B计算错误，此选项不符合题意； C、，此选项计算正确，符合题意； D、 ，故选项D计算错误，此选项不符合题意； 故选：C． 5. 小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30~40之间．则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查数据平均数、众数、中位数方差的计算方法，根据中位数的定义求解可得． 【详解】解：依题意“■”该数据在30~40之间，则这组数据的中位数为， ∴“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的中位数． 故选：C． 6. 某校准备用不超过1000元购买篮球和足球共15个，其中篮球每个60元，足球每个80元，求最多可购买多少个足球．若设购买足球m个，则可列不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了一元一次不等式的应用，根据“不超过1000元购买篮球和足球共15个”，列不等式即可． 【详解】解：设购买足球m个，则购买篮球个， 则可列不等式为， 故选：B． 7. 如图，是的直径．，是上的两点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角为直角得到，根据同弧所对的圆周角相等得到，利用直角三角形两锐角互余即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 8. 如图，网格图中每个小正方形的边长都为1．A，B，C是网格线的交点，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在中，利用勾股定理求出的长，再求出的值即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在中，， ∴， ∴，即． 9. 如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（　　） A. 96cm2 B. 84cm2 C. 72cm2 D. 56cm2 【答案】C 【解析】 【分析】过点E作EH⊥BC，由三角形面积公式求出EH=AB=6，由图2可知当x=14时，点P与点D重合，则AD=12，可得出答案． 【详解】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x＝10，y＝30， 过点E作EH⊥BC， 由三角形面积公式得：y＝， 解得EH＝AB＝6， ∴BH=AE=8, 由图2可知当x＝14时，点P与点D重合， ∴ED=4, ∴BC=AD＝12， ∴矩形的面积为12×6＝72． 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积等知识，熟练掌握数形结合思想方法是解题的关键． 10. 如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；⑤关于的不等式的解集为．其中正确结论的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据抛物线开口，对称轴，以及与轴的交点，确定的符号，即可判断①，根据二次函数的图象过，得出，进而判断对称轴，得出，进而判断②和③，根据函数图象判断④，将一般式写成交点式得出 ，化简不等式为，求得解集，即可求解． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴在轴的右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确， ∵二次函数的图象过， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于两点，，且． ∴对称轴，即， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴ ， ∴，故③错误； ④如图， 关于的一元二次方程的两个根，即函数与的交点的横坐标， ∵， ∴若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；故④正确； ⑤∵二次函数的图象与轴交于两点，， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴可化为， 即， ∵， ∴， 解得：或， ∴关于的不等式的解集为或不是故⑤错误 故正确的有①②④，共3个， 故选：B 第Ⅱ卷（非选择题共120分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查综合运用提公因式法和公式法进行因式分解．先提取公因式，再用完全平方公式对括号内的表达式进行分解即可． 【详解】解：． 故答案为 12. 化学实验课上，化学老师在实验室组织了一场抽卡做实验的活动，一共有四张卡片，每张卡片上面各有一个化学方程式．若学生抽到其中一张卡片，则要做相应实验，相关化学方程式（反应条件已省略）如下： ① ② ③ ④ 小聪抽到生成物带有沉淀的实验的概率是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：一共有张卡片，每张卡片被抽到的概率相同，且只有卡片的实验中的生成物带有沉淀， 抽到生成物带有沉淀的实验的概率为． 13. 已知是方程的解，则a的值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】将代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得． 14. 短边与长边之比等于的矩形称为“黄金矩形”．如图，四边形是黄金矩形，且．以为边作正方形，点F，E分别在边上，得到黄金矩形；以为边作正方形，点H，G分别在边上，得到黄金矩形．分别以F，H为圆心作，，则曲线称为“黄金螺线”若，则“黄金螺线”的长为_____（结果保留π） 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金矩形的性质求出各边的长度，再依据弧长公式分别计算两段弧的长度，最后将两段弧长相加得到“黄金螺线”的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴“黄金螺线”的长为． 15. 如图在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于A，B两点，把绕点逆时针旋转后得到，则点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与几何图形结合在一起的应用，旋转前后对应边长度不变是解题的关键．先根据函数图象分别求出、的长度，再通过旋转之后对应边相等可求出点的坐标． 【详解】解：令时，则；令时，则，解得：； ∴， ， 由旋转的性质可知：， ∴的横坐标为6，纵坐标为， ∴点的坐标是． 故答案为． 16. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长BC至点G，连接DG，，点E为DG的中点，连接OE交CD于点F，若，，则DF的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设，证明，得出成比例线段，求出，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如答图，连接，设， 在矩形中，， 则，． 是中点， ， ，． ， ， ， ． ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造相似三角形是关键． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先算负整数指数幂、开方、绝对值化简、特殊角的三角函数，最后算加减即可. 【详解】解：原式 ． 18. 化简与解不等式组． （1）化简：； （2）解不等式组并写出它的整数解． 【答案】（1） （2）不等式组的解集为，它的整数解为−1，0，1 【解析】 【分析】（1）根据分式的加减运算法则计算即可； （2）分别求出各不等式的解集，求出它们的公共部分得到不等式组的解集，即可得到不等式组的整数解． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴它的整数解为． 19. 如图，在四边形中，． （1）用无刻度的直尺和圆规在线段上求作一点E，使得，连接；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若E是的中点，求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 解：如图，点E即为所作． （2） 证明：∵E是的中点， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． 由（1）得 ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）理解题意，作的垂直平分线交线段上于点E，即可作答． （2）理解题意，先证明四边形是平行四边形．运用一组邻边相等的平行四边形是菱形得四边形是菱形，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 为丰富学生课外锻炼活动，某学校增设了（足球）、（篮球）、（体操）、（田径）四个锻炼项目，每名学生只能选择其中的一项．为了解学生的选择情况，随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了____名学生，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求项目对应的圆心角的度数； （3）已知选择项目的学生是名男生和名女生，现从这名学生中随机抽取名参加比赛，用画树状图或列表的方法求抽到两名性别相同的学生的概率． 【答案】（1），补全条形统计图如下： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）已知项目所占圆心角度数为，可根据，先求出其占总人数的比例，再根据项目人数为人，即可求出总人数；进而根据总人数求出项目的人数，即可完成条形统计图； （2）用乘以项目占总人数的比例，即可求出对应圆心角的度数； （3）首先画出树状图，由图可得所有等可能的结果数量，以及恰好两名性别相同的学生的结果数量，再根据概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查共抽取学生（名）， 项目的人数为（名）， 补全条形统计图略 【小问2详解】 ， 答：项目对应的圆心角的度数为； 【小问3详解】 根据题意，画出树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中两名性别相同的学生的结果有种， （抽到两名性别相同的学生）． 21. 假日里，亮亮和华华在家人的陪伴下，漫步在春日河畔，望着眼前静静流淌的小河，他们萌生了探究的冲动：想用课堂上学到的数学知识测量小河的宽度．在亲近自然的过程中，他们也体会到了数学的实用与探索的乐趣．测量中，他们在河边的缓坡上的点处安装测角仪，，绘制测量示意图如图，测得河对岸点的俯角为，与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为，点，，，，，在同一平面上，点，，在同一水平直线上，且．请你帮亮亮和华华计算出河宽．（精确到参考数据：，，，） 【答案】河宽约为 【解析】 【分析】延长，交于点，先解直角三角形求出的长，再在中，解直角三角形即可． 【详解】解：如图，延长，交于点， ∵， ∴， 由题意得：，，，， ∴，， 在中，，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 答：河宽约为． 22. 苍溪岳东手工挂面生产技艺是四川省苍溪县岳东镇传承的传统手工挂面制作技艺，有四千多年的历史，苍溪岳东手工挂面也因其成品口感柔软劲道而深受人们喜爱．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2把A型与2把B型挂面共需费用60元，购买3把A型与2把B型挂面共需费用72元． （1）A型、B型挂面的单价分别是多少元？ （2）兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共20把．在单价不变，总费用不超过300元，且B型挂面不少于8把的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元？ 【答案】（1）A型挂面每把12元，B型挂面每把18元 （2）共有3种购买方案，最低费用为288元 【解析】 【分析】（1）设A型挂面每把x元，B型挂面每把y元．根据“购买2把A型与2把B型挂面共需费用60元，购买3把A型与2把B型挂面共需费用72元”列出方程组，求解即可； （2）设购买B型挂面a把，则购买A型挂面把，总费用为w元．根据“总费用不超过300元，且B型挂面不少于8把”列出关于a的不等式组，求解得到a的取值范围，再列出总费用w关于a的函数解析式，根据一次函数的增减性即可求解． 【小问1详解】 解：设A型挂面每把x元，B型挂面每把y元． 根据题意，得， 解得 答：A型挂面每把12元，B型挂面每把18元． 【小问2详解】 解：设购买B型挂面a把，则购买A型挂面把，总费用为w元． 根据题意，得， 解得． ∵a为正整数， ∴， ∴有3种购买方案． 由题意，得． ∵， ∴w随a的增大而增大， ∴当时，w有最小值，最小值为（元）． 答：共有3种购买方案，最低费用为288元． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当时x的取值范围； （3）点C为x轴上一动点，连接，若的面积为18，求点C的坐标． 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为 （2）或 （3）点C坐标为或 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析，三角形面积等． （1）由待定系数法求解即可； （2）根据图象即可求得； （3）设与轴交于点，得出，设，则，然后根据三角形面积公式建立方程，解方程，即可求得的坐标． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2 ∴将代入， 则， ∴反比例函数解析式为：， ∴将代入， 则， ∴， 将，代入， 则， 解得： ∴一次函数解析式为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴观察图象，当时，的取值范围是或； 【小问3详解】 解：设与轴交于点， 当时， ∴ ∴， 设， ∴ ∵的面积为18， ∴ ∴， ∴，即 解得：或 ∴点C坐标为或． 24. 如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1）证明：∵，是的切线，即， ∴， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴； （2）的半径 【解析】 【分析】（1）根据垂直，切线的性质得到，可得是等腰直角三角形，由此即可求解； （2）根据垂径定理得到，是等腰直角三角形，由（1）得到，则，如图所示，连接，设，则，由此勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 如图所示，连接，设，则， ∴在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴的半径． 【点睛】本题主要考查圆内接三角形的综合，掌握垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，切线的性质等周四，数形结合分析是关键． 25. 如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 【答案】（1），； （2），理由： 如图，把绕顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵点在线段上，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）的长为或. 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质证明为等边三角形，再结合等边三角形的性质可得答案； （2）如图，把绕顺时针旋转得到，证明为等边三角形，可得，，求解，，，可得，进一步可得结论； （3）如图，当在线段上，记与交于点，证明，可得，设，则，可得，证明，再进一步解答即可；如图，当在线段上时，延长交于，同理可得： ，设，而，则，可得，证明，再进一步可得答案. 【详解】解：（1）∵在菱形中， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵点与线段的中点重合， ∴，； （2）略 （3）如图，当在线段上，记与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 如图，当在线段上时，延长交于， 同理可得：，， ∴， 设，而，则， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 综上：的长为或. 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，菱形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，含30角的直角三角形的性质，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 26. 已知平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点作轴于点，交于点．记，的面积分别为，，求的最大值； （3）如图2，连接，点为线段的中点，过点作交轴于点．在第三象限的抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）的最大值为 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，，代入函数解析式得：，得出； （2）设，则，，则，，得出，故当时，的最大值为； （3）取点关于轴的对称点，连接交抛物线于点，的解析式为：，联立，解得：（舍去）或，得出． 【小问1详解】 解：， ， ，， ， ， 把，，代入函数解析式得， 解得， ； 【小问2详解】 解：，， 设直线的解析式为，把代入，得， ， 设，则，， ，，， ，， ， 当时，的最大值为； 【小问3详解】 解：令，解得：，， ， ，点为的中点， ， ，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， ，， ，， ， ， 取点关于轴的对称点，连接交抛物线于点，如图所示： 则，， 设的解析式为， ，解得， ， 联立，解得（舍去）或， ． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，中垂线的判定和性质，等积法求线段的长，坐标与轴对称，勾股定理等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于中考压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春初三年级模拟考试 数学试题 说明：1．全卷满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷共6页，两个部分，共26个小题． 3．考生必须在答题卡上答题，写在试卷上的答案无效．选择题必须使用2B铅笔填涂答案，非选择题必须使用0．5毫米黑色墨迹签字笔答题． 4．考试结束，将答题卡和试卷一并交回． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2 2. 下列安全图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 注意安全 B. 禁止攀爬 C. 水深危险 D. 急救中心 3. 如图所示的是某绿色植物细胞结构图，该绿色植物细胞的直径约为米，将数据米用科学记数法表示为（ ）． A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30~40之间．则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 6. 某校准备用不超过1000元购买篮球和足球共15个，其中篮球每个60元，足球每个80元，求最多可购买多少个足球．若设购买足球m个，则可列不等式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径．，是上的两点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，网格图中每个小正方形的边长都为1．A，B，C是网格线的交点，的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（　　） A. 96cm2 B. 84cm2 C. 72cm2 D. 56cm2 10. 如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；⑤关于的不等式的解集为．其中正确结论的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第Ⅱ卷（非选择题共120分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 分解因式：________． 12. 化学实验课上，化学老师在实验室组织了一场抽卡做实验的活动，一共有四张卡片，每张卡片上面各有一个化学方程式．若学生抽到其中一张卡片，则要做相应实验，相关化学方程式（反应条件已省略）如下： ① ② ③ ④ 小聪抽到生成物带有沉淀的实验的概率是_____． 13. 已知是方程的解，则a的值为_____． 14. 短边与长边之比等于的矩形称为“黄金矩形”．如图，四边形是黄金矩形，且．以为边作正方形，点F，E分别在边上，得到黄金矩形；以为边作正方形，点H，G分别在边上，得到黄金矩形．分别以F，H为圆心作，，则曲线称为“黄金螺线”若，则“黄金螺线”的长为_____（结果保留π） 15. 如图在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于A，B两点，把绕点逆时针旋转后得到，则点的坐标是_____． 16. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长BC至点G，连接DG，，点E为DG的中点，连接OE交CD于点F，若，，则DF的长为______． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 化简与解不等式组． （1）化简：； （2）解不等式组并写出它的整数解． 19. 如图，在四边形中，． （1）用无刻度的直尺和圆规在线段上求作一点E，使得，连接；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若E是的中点，求证：四边形是菱形． 20. 为丰富学生课外锻炼活动，某学校增设了（足球）、（篮球）、（体操）、（田径）四个锻炼项目，每名学生只能选择其中的一项．为了解学生的选择情况，随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了____名学生，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求项目对应的圆心角的度数； （3）已知选择项目的学生是名男生和名女生，现从这名学生中随机抽取名参加比赛，用画树状图或列表的方法求抽到两名性别相同的学生的概率． 21. 假日里，亮亮和华华在家人的陪伴下，漫步在春日河畔，望着眼前静静流淌的小河，他们萌生了探究的冲动：想用课堂上学到的数学知识测量小河的宽度．在亲近自然的过程中，他们也体会到了数学的实用与探索的乐趣．测量中，他们在河边的缓坡上的点处安装测角仪，，绘制测量示意图如图，测得河对岸点的俯角为，与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为，点，，，，，在同一平面上，点，，在同一水平直线上，且．请你帮亮亮和华华计算出河宽．（精确到参考数据：，，，） 22. 苍溪岳东手工挂面生产技艺是四川省苍溪县岳东镇传承的传统手工挂面制作技艺，有四千多年的历史，苍溪岳东手工挂面也因其成品口感柔软劲道而深受人们喜爱．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2把A型与2把B型挂面共需费用60元，购买3把A型与2把B型挂面共需费用72元． （1）A型、B型挂面的单价分别是多少元？ （2）兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共20把．在单价不变，总费用不超过300元，且B型挂面不少于8把的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当时x的取值范围； （3）点C为x轴上一动点，连接，若的面积为18，求点C的坐标． 24. 如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 25. 如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 26. 已知平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点作轴于点，交于点．记，的面积分别为，，求的最大值； （3）如图2，连接，点为线段的中点，过点作交轴于点．在第三象限的抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $