湖南省新高考教学教研联盟（长郡二十校）2026届高三数学一模试题讲评课件

数学 1 课件使用说明及声明 1. 本课件基于Microsoft Office 2016版本制作，建议使用Office 2016或以上版本打开使用，如您电脑上安装的是Office 2016以下版本或WPS，可能会出现兼容问题，如遇问题建议尝试安装Office 2016及以上版本。 下载链接：https://pan.baidu.com/s/16dYeQjvQka7thNtPh84NNQ?pwd=qjd3 2. 本课件制作尺寸比例为16:9，如在老旧显示器（分辨率比例4:3）的电脑上使用显示效果欠佳，建议在分辨率为16:9下使用。 3.点击顶部　　　图标可展开题号导航，方便快速转跳到对应题号的内容。 4.本课件仅限课堂教学、讲评使用，严禁任何形式的商业销售行为。 No. New 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若集合M={x|<4},N={x|y=ln(x+1)},则M∩N= A.(-1,16) B.(-∞,16) C.(0,16) D.[0,16) 【解析】由<4解得0≤x<16,由x+1>0解得x>-1,故得M∩N=[0,16). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026届高三4月7-9日考试 数 学 3 2.已知复数在复平面内对应的点为(-1,1),则= A.--i B.-+i C.+i D.-i 【解析】由=-1+i解得z=--,则=-+. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026届高三4月7-9日考试 数 学 4 3.已知单位向量a,b,c满足a-b+2c=0,则a·b= A.-2 B.-1 C.1 D.2 【解析】由a-b+2c=0得b-a=2c,则(b-a)2=b2+a2-2a·b=2-2a·b=(2c)2=4c2=4,解得a·b=-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026届高三4月7-9日考试 数 学 5 4.直线y=kx+4与圆M:(x-3)2+(y-4)2=16的交点为A,B,若∠AMB=120°,则k的值为 A.± B.±2 C.± D.±2 【解析】在△AMB中,∠AMB=120°,圆的半径为4,可得圆心M(3,4)到直线的距离为2, 由2=,解得k=±. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026届高三4月7-9日考试 数 学 6 5.已知函数f (x)=cos的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后关于原点对称,则φ的最小值为 A. B. C. D. 【解析】函数f (x)=cos的图象向左平移φ个单位长度后得到函数g(x)=cos,由其图象关于原点对称得2φ+=+kπ(k∈Z),解得φ=-+(k∈Z),又φ>0,得φ的最小值为-=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026届高三4月7-9日考试 数 学 7 6.已知数列{an}的通项公式为an=n-1,数列{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列,则++…+= A.1013 B.1014 C.502 D.503 【解析】由题意bn=2n-1,故=2n-1-1,++…+=(20+21+…+29)-10=1013. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026届高三4月7-9日考试 数 学 8 7.已知f (x)是定义在R上的奇函数,f (2x+2)的图象关于x=-对称,f (-1)=-3,则f (985)= A.0 B.-3 C.3 D.4 【解析】由题得f (x)=-f (-x),f (2x+2)=f [2(-1-x)+2]=f (-2x),即f (x+2)=f (-x)=-f (x),f (x+4)= -f (x+2)=f (x),得到函数f (x)的一个周期为4, 故f (985)=f (1)=-f (-1)=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026届高三4月7-9日考试 数 学 9 8.已知随机事件A,B,C发生的概率均为,且两两独立,那么这三个事件同时发生的概率可能为 A.　　B.　　C.　　D. A.　　B.　　C.　　D. 【解析】由两个事件相互独立得到P(AB)=P(A)P(B)==P(AC)=P(BC),设P(ABC)=x,则P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=×3-×3+x=+x∈[0,1],解得x∈,又考虑P(A)=P(A)-P(AB)-P(AC)+P(ABC)=-×2+x=x-∈[0,1],解得x∈,综上得x∈. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026届高三4月7-9日考试 数 学 10 二、选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.若0<a<b<1,则下列结论正确的是 A.(logab)2<1 B.logab+logba>2 C.logab<logba D.|logab|+|logba|>|logab+logba| 【解析】由于0<a<b<1,则0<logab<logaa=1,logba>logbb=1,所以A,C正确. logab+logba=logab+>2=2,B正确.|logab|+|logba|=|logab+logba|,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026届高三4月7-9日考试 数 学 11 10.在舞台上,智能机器人M从舞台中心出发,伴着音乐节拍,每秒随机向正东、正西、正南、正北四个方向之一移动1米,仿佛在跳一支充满不确定性的“随机舞”.与此同时,另一台机器人N从舞台中心正东方向2米的位置起步,移动规则与M相同,若相遇,则继续独立移动.下列说法中正确的是 A.机器人N移动4秒来到舞台中心的路径条数为12 B.已知机器人N移动4秒到达舞台中心,则其在4秒移动中至少存在一步向正南移动的概率为 C.机器人M在移动3秒来到舞台中心的正北方向上的概率为 D.移动1秒后机器人M与N的距离为米的概率为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026届高三4月7-9日考试 数 学 12 【解析】机器人N移动4秒到达舞台中心,则机器人N需要有两步向西,剩下两步为东西各一步或者南北各一步,那么路径条数共有+=16种,故A错误;机器人N移动4秒到达舞台中心,由A可知,在4秒移动中存在一步向正南移动的可能情况是两步向西且南北各一步,故所求概率为=,故B正确;移动3秒机器人M移动到正北方向上,即移动到正北方向距离舞台中心1米、3米处,则距离为3米可能的情况有1种,距离为1米可能的情况有向北两步向南一步、向北一步向西一步向东一步,即+=9种,故所求概率为=,故C错误;移动1秒后机器人M与N的距离为米,即M向北N向西、M向东N向北、M向东N向南、M向南N向西,共4种情况,而M与N在移动1秒后有42=16种情况,故所求概率为,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026届高三4月7-9日考试 数 学 13 11.如图,对每个正整数n,An(xn,yn)是抛物线x2=4y上的点,过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点Bn(sn,tn),并记Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点.则 A.xnsn=-4(n≥1) B.|AnBn|·|FCn|=|AnCn|·|BnCn| C.若xn=3n,则|FCn|的最小值为2 D.若xn=,则|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=3n+1-- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026届高三4月7-9日考试 数 学 14 【解析】设直线AnBn的方程为y-1=knx,将它与抛物线方程x2=4y联立,得x2-4knx-4=0, 由一元二次方程根与系数的关系得xnsn=-4(n≥1),所以A正确. 对任意固定的n≥1,利用导数知识易得抛物线x2=4y在An处的切线的斜率=, 故x2=4y在An处的切线方程为:y-yn=(x-xn),① 类似地,可求得x2=4y在Bn处的切线方程为:y-tn=(x-sn),② 由②-①,得yn-tn=-x+=-,x=,∴x=,③ 将③代入①并注意xnsn=-4得交点Cn的坐标为. 由·==-1可知,△AnBnCn是直角三角形,且==-, ∴FCn⊥AnBn, 由射影定理,知|AnBn|·|FCn|=|AnCn|·|BnCn|,B正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026届高三4月7-9日考试 数 学 15 由两点间的距离公式,得|FCn|2=+4=++2=++2= ⇒|FCn|=+. 当xn=3n,则|FCn|=+,由对勾函数性质知,n=1时,=,C错误. 若xn=,利用上述已证结论并由等比数列求和公式得: |FC1|+|FC2|+…+|FCn|=(|x1|+|x2|+…+|xn|)+2 =+2(31+32+…+3n)=3n+1--,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026届高三4月7-9日考试 数 学 16 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知f (x)=-2ln x,则曲线y=f (x)在点(1,f (1))处的切线方程为　　　　　　.  【解析】由f (x)=-2ln x,则f '(x)=-,所以f '(1)=-2=-,又f (1)=1, 所以y=f (x)在点(1,f (1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即3x+2y-5=0. 3x+2y-5=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026届高三4月7-9日考试 数 学 17 13.如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=,AD=2,BD=1,现将△ABD沿BD折起,得到三棱锥A-BCD,且三棱锥A-BCD外接球的表面积为7π,则AC=　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026届高三4月7-9日考试 数 学 18 【解析】如图,过B作BF∥CD,且BF=CD,过D作DE∥AB,且DE=AB, 连接AE,AF,CF,CE,根据题意可知BD∥AE∥FC,BD=AE=FC, 由题意知BD⊥AB,BD⊥CD,BF∥CD,所以BD⊥BF, 又AB,BF是平面ABF内的两条相交直线,所以BD⊥平面ABF, 所以三棱柱ABF-EDC为直三棱柱. 则三棱锥A-BCD与直三棱柱ABF-EDC的外接球相同,设其半径为R. 由S=4πR2=7π,知R=,设三角形ABF的外接圆半径为r,则R2=r2+,求得r=. 设AC=x,则AF=,在△ABF中,设∠ABF=θ,AB=BF=, 则cos θ==,sin θ==, 代入sin2θ+cos2θ=1,解得x2=7或x2=1(舍),∴x=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026届高三4月7-9日考试 数 学 19 14.已知数列an=14n+1,令an=10xn+yn,其中xn,yn∈N,且yn<10,定义(-1)n·dn=xn+1-xn, 则=　　.  【解析】由题意知14n+1=10xn+yn,xn,yn∈N,且yn<10,所以yn是14n+1的个位数. 由于n=1,y1=5;n=2,y2=9;n=3,y3=3;n=4,y4=7;n=5,y5=1;n=6,y6=5,… 以此类推可知,{yn}周期为5, 下分析,设cn=(-1)n·dn=xn+1-xn,对每个yn,先计算cn, yn=5时,相减得cn=xn+1-xn=1; yn=9时,相减得cn=xn+1-xn=2; 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026届高三4月7-9日考试 数 学 20 yn=3时,相减得cn=xn+1-xn=1, 同理可计算yn=7与yn=1时,cn=2与cn=1, 故{cn}是以1,2,1,2,1循环的周期数列,{dn}是以-1,2,-1,2,-1,1,-2,1,-2,1循环的周期数列. 故=202×(-1+2-1+2-1+1-2+1-2+1)+2=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026届高三4月7-9日考试 数 学 21 四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)在脑机接口技术实验中,研究人员为验证不同思维任务下,两个大脑的信号同步性是否独立,研究人员选取了200组观测数据,聚焦于“逻辑推理”与“创造性想象”两类任务,记录了两位受试者脑电信号的同步情况,得到了如下列联表: 思维任务类型 信号同步性 合计 信号同步 信号不同步 逻辑推理 42 58 100 创造性想象 28 72 100 合计 70 130 200 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026届高三4月7-9日考试 数 学 22 (1)分别计算两类任务中信号同步的频率,根据频率,你认为思维任务类型与信号同步性有关吗?简述理由. 【解析】(1)逻辑推理任务中信号同步的频率:42÷100=0.42; ……2分 创造性想象任务中信号同步的频率:28÷100=0.28; ……4分 思维任务类型与信号同步性有关,因为两类任务的同步频率存在明显差异(0.42≠0.28). ……6分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026届高三4月7-9日考试 数 学 23 (2)根据小概率值α=0.01的独立性检验,分析思维任务类型与信号同步性有关吗? 附:χ2=, α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 【解析】(2)零假设H0:思维任务类型与信号同步性无关, ……7分 根据表中数据可得,χ2==≈4.308<6.635=x0.01, ……11分 根据小概率值α=0.01的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为H0成立,即思维任务类型与信号同步性无关. ……13分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026届高三4月7-9日考试 数 学 24 16.(15分)在△ABC中,已知cos2A-cos2B=sin Acos A-sin Bcos B,且A≠B. (1)求角C的大小; 【解析】(1)∵cos2A-cos2B=sin Acos A-sin Bcos B, ∴-=-,即sin 2A-cos 2A=sin 2B-cos 2B, ……2分 ∴sin=sin, ……4分 ∴2A-=2B-+2kπ或2A-+2B-=π+2kπ,k∈Z, ……5分 又∵A,B为三角形的内角且A≠B,∴A+B=,∴C=. ……7分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026届高三4月7-9日考试 数 学 25 (2)若AB2+AC2=6,D为BC中点,且AD=1,求△ABC的面积. 【解析】(2)法一:在△ABD中,由余弦定理,得cos∠ADB=, ……8分 在△ACD中,由余弦定理,得cos∠ADC=, ……9分 又因为∠ADC+∠ADB=π,D为BC中点,所以cos∠ADB+cos∠ADC=0,BD=CD, 所以2AD2+BD2+CD2-AB2-AC2=0,故BD2=CD2==2, ……11分 在△ACD中,由正弦定理,得sin∠DAC=sin C=1,所以∠DAC=90°,AC=1, ……13分 所以S△ADC=AC·AD=,S△ABC=2S△ADC=1. ……15分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026届高三4月7-9日考试 数 学 26 法二:在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos C=AC2+BC2-AC·BC,① ……8分 在△ACD中,因为D为BC中点,所以CD=, 由余弦定理,得AD2=AC2+CD2-2AC·CD·cos C=AC2+-AC·BC,② ……9分 由②×2-①,得2AD2-AB2=AC2-,③ ……10分 将AD=1,AB2+AC2=6代入③式,解得BC2=8,BC=2, ……11分 将AD=1,BC=2代入②式,解得AC=1, ……13分 所以△ABC的面积S△ABC=AC·BC·sin C=×1×2×=1. ……15分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026届高三4月7-9日考试 数 学 27 17.(15分)如图,EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=2DC=2,AC=2,F是EB的中点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026届高三4月7-9日考试 数 学 28 (1)证明:DF∥平面ABC; No. 【解析】(1)取AB的中点M,连接CM,FM, ∵F,M分别是EB和AB的中点,∴FM AE; ……1分 ∵EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=2DC, ∴DC AE, ……2分 ∴FM DC,∴四边形FMCD为平行四边形,∴DF∥CM, ……4分 又∵DF⊄平面ABC,CM⊂平面ABC,∴DF∥平面ABC. ……6分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 2026届高三4月7-9日考试 数 学 29 (2)若四棱锥B-ACDE的体积为3,求平面DEF与平面ABC夹角的余弦值的最大值. 【解析】(2)设B到平面ACDE的距离为d, 则=SACDE·d=×d=3,故d=3. ……8分 法一:由于DC垂直于平面ABC,建立如图空间直角坐标系C-xyz, ……9分 ∵EA=2DC=2,AC=2, ∴C(0,0,0),D(0,0,1),A(0,2,0),E(0,2,2), 设B(3,t,0),则F, =,=(0,2,1), ……10分 设平面DEF的法向量为m=(x,y,z),则由得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026届高三4月7-9日考试 数 学 30 取x=t+2,得y=-3,z=6,因此平面DEF的一个法向量m=(t+2,-3,6). ……12分 由于DC垂直于平面ABC,因此n=(0,0,1)是平面ABC的一个法向量. ……13分 设平面DEF与平面ABC的夹角为θ, 则cos θ=|cos<m,n>|==≤, ∴平面DEF与平面ABC夹角的余弦值的最大值为. ……15分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026届高三4月7-9日考试 数 学 31 法二:延长ED和AC交于点N,过A作AH⊥BN于H, ∵EA⊥平面ABC,∴EA⊥BN,又∵AH⊥BN且AH∩EA=A, ∴BN⊥平面AHE,∴BN⊥HE, ∴∠AHE为平面DEF与平面ABC的夹角, ……11分 由S△ABN=AN·d=BN·AH,得BN·AH=12, 而BN≥3,所以AH≤4,当且仅当BN⊥AN时等号成立; ……13分 ∴tan∠AHE==≥,cos∠AHE≤, ∴平面DEF与平面ABC夹角的余弦值的最大值为. ……15分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026届高三4月7-9日考试 数 学 32 18.(17分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1,F2,右顶点为A,△AF1F2为锐角三角形且面积为a2. (1)求椭圆E的离心率. 【解析】(1)法一:因为=AF1·AF2sin∠F1AF2=a2sin∠F1AF2=a2, ……2分 所以sin∠F1AF2=,又△AF1F2为锐角三角形, 所以∠F1AF2=60°,即△AF1F2为等边三角形, 所以2c=a,即e=. ……4分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026届高三4月7-9日考试 数 学 33 法二:由题意得消去b得(a2-c2)c2=a4, ……2分 同除以a4得-=,即e4-e2+=0,解得e=或e=, 因为△AF1F2为锐角三角形,所以b>c,即e<,故e=. ……4分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026届高三4月7-9日考试 数 学 34 (2)过F1的直线l交椭圆E于P,Q两点(P在Q的左侧),且△QF1F2的面积与△QF1A的面积相等. (ⅰ)求直线l的斜率; No. 【解析】(ⅰ)∵=,∴A和F2到直线l的距离相等, 当A和F2在直线l同侧时,AF2∥l,直线l的斜率为; ……6分 当A和F2在直线l异侧时,直线l过AF2的中点M, 直线l的斜率k==-, 综上,直线l的斜率为或-. ……8分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 2026届高三4月7-9日考试 数 学 35 (ⅱ)若|AQ|-|PF1|=,求椭圆E的方程. 【解析】(ⅱ)当直线l的斜率为时,设直线l的方程为y=x+c,P(x1,y1),Q(x2,y2), 联立消去y,得5x2+2cx-9c2=0, 解得或所以P(-c,0),Q, ……10分 |AQ|-|PF1|=-2c=c-2c<0(不合题意,舍去); ……11分 (另解:在△AF1Q中,∠QF1A=60°,∠QAF1<60°,故∠AQF1>60°,从而|AQ|<|AF1|=|PF1|,不合题意) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026届高三4月7-9日考试 数 学 36 当直线l的斜率为-时,设直线l的方程为y=-x+c,P(x1,y1),Q(x2,y2), 联立消去y,得13x2-6cx-9c2=0, 故x1+x2=,x1·x2=-. ……13分 |PQ|=2|x1-x2|=2=2==, ……14分 由(ⅰ)知PQ垂直平分AF2,故|AQ|=|QF2|, 所以|AQ|-|PF1|=|QF2|-|PF1|=2a-|QF1|-|PF1|=2a-|PQ|==, 故a=4, ……16分 此时椭圆E的方程为+=1, 综上所述:椭圆E的方程为+=1. ……17分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026届高三4月7-9日考试 数 学 37 19.(17分)已知函数f (x)=sin x-mcos x-1,x∈. (1)当m<0时,证明f '(x)有唯一极值点; 【解析】(1)f '(x)=(1-m)cos x+msin x,令g(x)=f '(x), 则g'(x)=-(1-m)sin x+msin x+mcos x=(2m-1)sin x+mcos x, ……1分 ①当x∈时,2m-1<0,sin x>0,mcos x<0,故g'(x)<0; ……2分 ②当x∈时,令h(x)=g'(x),h'(x)=(3m-1)cos x-msin x, 因为3m-1<0,cos x>0,-msin x<0,故h'(x)<0,h(x)=g'(x)单调递减, 因为g'=1-2m>0,g'(0)=m<0,所以∃α∈,使得g'(α)=0, 且当x∈时g'(x)>0,当x∈时g'(x)<0, ……4分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026届高三4月7-9日考试 数 学 38 综合①②,得g'(α)=0,且当x∈时g'(x)>0,当x∈时g'(x)<0, 所以g(x)有唯一极值点,即f '(x)有唯一极值点. ……5分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026届高三4月7-9日考试 数 学 39 (2)讨论f (x)的零点个数; 【解析】(2)①当m<0时,由(1)知f '(x)在上单调递增,在上单调递减, ∵f '=0,∴f '(α)>0,又f '=mπ<0,∴∃β∈使得f '(β)=0, 且当x∈时f '(x)>0,f (x)单调递增,当x∈时f '(x)<0,f (x)单调递减, ∵f =0,∴当x∈时,f (x)>0, ∴f (β)>0,又∵f =-2<0,∴存在唯一x0∈,使得f (x0)=0, 因此f (x)有2个零点x0和; ……7分 ②当m=0时,f (x)=sin x-1,x∈,f (x)有唯一零点; ……8分 ③当m>0时,当x∈时,-mcos x<0,sin x-1<0,f (x)<0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026届高三4月7-9日考试 数 学 40 又f =-2<0,f =0,∴f (x)有唯一零点. ……9分 综上所述:当m<0时,f (x)有2个零点;当m≥0时,f (x)有1个零点. ……10分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026届高三4月7-9日考试 数 学 41 (3)若存在t>0,当x∈时,总有|f (x)|<-2x+π,求符合条件的m的最小值. 【解析】(3)原问题等价于存在t>0,当x∈时,总有2x-π<f (x)<-2x+π. 设φ(x)=f (x)+2x-π,则φ'(x)=f '(x)+2=(1-m)cos x+msin x+2, 设μ(x)=f (x)-2x+π,则μ'(x)=f '(x)-2=(1-m)cos x+msin x-2, ……11分 若m=0,φ'(x)=f '(x)+2=cos x+2>0,φ(x)单调递增, 当x∈时,φ(x)<φ=0,即f (x)<-2x+π, μ'(x)=f '(x)-2=cos x-2<0,μ(x)单调递减, 当x∈时,μ(x)>μ=0,即f (x)>2x-π,命题成立. ……12分 下面仅需考虑m<0的情况: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026届高三4月7-9日考试 数 学 42 由(1)知f '(x)在上单调递减,其中α∈,故φ'(x),μ'(x)在上均单调递减, φ'(0)=f '(0)+2=3-m>0,φ'=f '+2=mπ+2, ①如果-≤m<0,即φ'≥0, 则φ'(x)≥0,φ(x)单调递增,φ(x)<φ=0,即f (x)<-2x+π, 又μ'(0)=f '(0)-2=-1-m<0,μ'(x)在上单调递减,故μ'(x)<0,所以μ(x)在上单调递减, 所以μ(x)>μ=0,即f (x)>2x-π, 故取t=,当x∈时,总有2x-π<f (x)<-2x+π,命题成立. ……14分 ②如果m<-,即φ'<0,故由零点存在定理知∃γ∈,使得φ'(γ)=0,且当x∈时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减,φ(x)>φ=0,即f (x)>-2x+π(不合题意,舍去). ……16分 综上:m的最小值为-. ……17分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026届高三4月7-9日考试 数 学 43 数学 2026届高三4月7-9日考试 感 谢 观 看 ！ 44 $