湖南新高考教学教研联盟2026届高三4月第二次联考数学试题

高三数学 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上 无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 阁 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.若集合M={xWx<4},N={xly=ln(x+1)},则M∩N= A.(-1,16) B.(-∞,16) C.(0,16) D.[0,16) 2.已知复数二在复平面内对应的点为(一1,1),则2= A一司2 B-2+2 c+2 n 3.已知单位向量a,b,c满足a一b十2c=0,则a b= A-2 B.-1 C.1 D.2 超 4.直线y=kx十4与圆M:(x-3)2+(y一4)2=16的交点为A,B,若∠AMB=120 ,则k的值为 A 9 B.土2√3 C 25 5 D. 25 5.已知函数f(x)=cos2+ )的图象向左平移(g>0)个单位长度后关于原点对称,则?的最 小值为 A是 B晋 c.罩 n设 6.已知数列{am}的通项公式为an=n一l,数列{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列,则a,+ ah,十…十abo= A.1013 B.1014 C.502 D.503 7.已知f)是定义在R上的奇函数,f(2x十2)的图象关于x=一对称,f(-1)=-3,则 f(985)= A.0 B.-3 C.3 D.4 数学试卷第1页(共5页) 8.已知随机事件A,B,C发生的概率均为号,且两两独立,那么这三个事件同时发生的概率可 能为 A司 c号 D.青 二、选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.若0<a<b<1,则下列结论正确的是 A.(1ogb)2<1 B.logab+logia2 C.logab<logia D.1oga6+loga>10g 6+logia 10.在舞台上,智能机器人M从舞台中心出发,伴着音乐节拍,每秒随机向正东、正西、正南、正北 四个方向之一移动1米,仿佛在跳一支充满不确定性的“随机舞”.与此同时,另一台机器人N 从舞台中心正东方向2米的位置起步,移动规则与M相同,若相遇,则继续独立移动.下列说 法中正确的是 A.机器人N移动4秒来到舞台中心的路径条数为12 B.已知机器人N移动4秒到达舞台中心,则其在4秒移动中至少存在一步向正南移动的概 率为 C机器人M在移动3秒来到舞台中心的正北方向上的概率为号 D.移动1秒后机器人M与N的距离为2米的概率为4 11.如图,对每个正整数n,A.(xn,ym)是抛物线x2=4y上的点, Y 过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点Bn(sm,t),并记Cn 为抛物线上分别以A与Bm为切点的两条切线的交点.则 A.xmsn=-4(n≥1) B.A.B |FCn|=|A.C |B.Cn B B2 B C.若xn=3n,则|FCn|的最小值为2 D.若x=,则FC+|FCa++FC=3+1一马 4X3m4 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知f(x)=√x一2nx,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 13.如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=√3,AD=2,BD=1,现将 ABD沿BD折起,得到 三棱锥A-BCD,且三棱锥A-BCD外接球的表面积为7 ,则AC= 0 数学试卷第2页(共5页) 14.已知数列an=14n+1,令a,u=10xm十ym其中xn,yn∈N,且yn<10,定义(-1) dn=x+1 则觉d =1 四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)在脑机接口技术实验中,研究人员为验证不同思维任务下,两个大脑的信号同步性是 否独立,研究人员选取了200组观测数据,聚焦于“逻辑推理”与“创造性想象”两类任务,记录 了两位受试者脑电信号的同步情况,得到了如下列联表: 信号同步性 思维任务类型 合计 信号同步 信号不同步 逻辑推理 42 58 100 创造性想象 28 72 100 合计 70 130 200 (1)分别计算两类任务中信号同步的频率,根据频率,你认为思维任务类型与信号同步性有关 吗?简述理由 (2)根据小概率值 =0.01的独立性检验,分析思维任务类型与信号同步性有关吗? n(ad-bc)2 附:X=(a十b)c十dD(a+c)b十d' 0.050 0.010 0.001 Ta 3.841 6.635 10.828 数学试卷 第3页(共5页) 16.(15分)在 ABC中,已知cos2A-cos2B=sin Acos A-siniBcos B,且A≠B. (1)求角C的大小; (2)若AB2+AC=6,D为BC中点,且AD=1,求 ABC的面积. 17.(15分)如图;EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=2DC=2,AC=2,F是 EB的中点 (1)证明:DF∥平面ABG (2)若四棱锥B-ACDE的体积为3,求平面DEF与平面ABC夹角的余弦 值的最大值. 数学试卷:第4页(共5页) 18(17分)已知椭圆E:苦+芹=1(o>>0)的上、下焦点分别为E,F,右顶点为A, A,R 为锐角三角形且面积为。, (1)求椭圆E的离心率, (2)过F1的直线1交椭圆E于P,Q两点(P在Q的左侧),且 QFF2的面积与 QFA的 面积相等. ( )求直线1的斜率; 《1)若1AQ1-PR,=是,求椭圆E的方程。 19.(17分)已知函数f(x)=sinx-m(x+)cosx-1,x∈[-受,]: (1)当m<0时,证明f(x)有唯一极值点; (2)讨论f(x)的零点个数: (3)若存在>0,当x∈(受-t,)时,总有fx)川<-2x十 ,求符合条件的m的最小值. 数学试卷.第5页(共5页)高三数学参考答案 题号 ? 3 6 8 9 10 11 答案 D B B D A C ABC BD ABD 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1.D【解析】由元<4解得0≤x<16,由x十1>0解得x>-1,故得M∩N=[0,16). 2B【解析】由-1中解得=一日-2则=一名十名 3.B【解析】由a一b+2c=0得b-a=2c,则(b-a)2=b+a2-2a·b=2-2a·b=(2c)2=4c2=4,解得a·b=-1. 4.C【解析】在△AMB中，∠AMB=120°，圆的半径为4，可得圆心M(3,4)到直线的距离为2， 由2=136+4二4，解得=±25 √1十 5 5.D【解析】函数f()=cos(2x+)的图象向左平移g个单位长度后得到画数g()=c0s(2x十2g十），由其图象 关于原点对称得29十=吾十m(∈0，解得g一是十受（∈0，又p>0,得g的最小值为受一臣-受 6.A【解析】由题意bn=2r1,故6=2m-1-1,a6十a%十…十a6.=(2°+2十…+2)-10=1013. 7.C【解析】由题得f(x)=-f(-x),f(2x十2)=f[2(-1-x)+2]=f(-2x),即f(x+2)=f(-x)=-f(x), f(x十4)=-f(x十2)=f(x),得到函数f(x)的一个周期为4，故f(985)=f(1)=-f(-1)=3. 8.C【解析】由两个事件相互独立得到P(AB)=P(A)P(B)=号=P(AC=P(BC,设P(ABC)=x,则P(AUBUC) =P(A)+P(B)+P(CO-P(AB)-P(AC-P(BC)+P(ABC)=号×3-号X3+x=号+x∈[0,1]，解得z∈ [0,号]，又考虑PABC)=P)-PAB)-PAO+PAB0)-号-音×2+x=-号∈[0,1，解得[号，1]， 综上得xe[号，] 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） g.AC【解折】由于0a<1,则0<og<bga=1,loga>6g=1,所以A,C正确logb+lbea=logb+5b >2W1=2,B正确.|logb|+|loga=|logb+loga|,D错误。 10.BD【解析】机器人N移动4秒到达舞台中心，则机器人N需要有两步向西，剩下两步为东西各一步或者南北各一 步，那么路径条数共有CC十C=16种，故A错误；机器人N移动4秒到达舞台中心，由A可知，在4秒移动中存 在一步向正南移动的可能情况是两步句西且南北各一步，故所求概率为品是，故B正扇：移动3秽机器人M移动 到正北方向上，即移动到正北方向距离舞台中心1米、3米处，则距离为3米可能的情况有1种，距离为1米可能的 情沉有向北两多向南一少，向北一多向百一步向东一变，即CC+G心C=9种，故所求概率为1毕-最故C餐 误；移动1秒后机器人M与N的距离为W2米，即M向北N向西、M向东N向北、M向东N向南、M向南N向西， 共4种情况，而M与N在移动1秒后有42=16种情况，故所求概率为，故D正确。 11.ABD【解析】设直线ABn的方程为y-1=kx,将它与抛物线方程x2=4y联立，得x2-4kx一4=0， 由一元二次方程根与系数的关系得xnsm=一4(n≥1)，所以A正确. 对任意固定的n心1，利用导数知识易得抛物线父=4y在A,处的切线的斜率1-受， 故t=4y在A,处的切线方程为：y以=受（红一x),① 类似地，可求得士=4y在B,处的切线方程为：0y一，=受(x一)，② 数学参考答案一1 2 将⑤代入①并注意乙s.=一4得交点C的坐标为（仁士产，-1 向么·红--1可知，△AB.C,是克角三角多，且k=尘-名CLAB 0-3十 2 由射影定理，知AnBn|·FCn|=|ACn|·|BCn|,B正确. 由两点间的短高公或，得1C.1=(色)°+4-季+至+2=季+老十2=（受+2）°→C=l+2 当x=3则C=受十品由对勾禹数性质知，=1时，（停+品）-得C结民。 若x一寻，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得： IG+IC1++|BC1=2a+a++xD+2(安十安++由) =号（会++…+）+28+3+…+3)=31丈g共，放D正璃 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12+y5=0【g1肉a=-2周了a22兰瑞以了)-号2=是又0-1， 所以y=f)在点1，I》处的切线方程为y一1=-多（红-1D,即3x十2y-5=0, 13.W7【解析】如图，过B作BF∥CD,且BF=CD,过D作DE∥AB,且DE=AB, 连接AE,AF,CF,CE,根据题意可知BD∥AE∥FC,BD=AE=FC, 由题意知BD⊥AB,BD⊥CD,BF∥CD,所以BD⊥BF, 又AB,BF是平面ABF内的两条相交直线，所以BD⊥平面ABF, 所以三棱柱ABF-EDC为直三棱柱， D 则三棱锥A-BCD与直三棱柱ABF-EDC的外接球相同，设其半径为R. 由S4R=7x,如R=吾，设三角形ABF的外接周丰径为，影R=r+(罗)厂，求得写 设AC=x,则AF=√x2-1,在△ABF中，设∠ABF=0,AB=BF=√3， 则s0-A-7千m0-, 2·AB·BF 「2r√6 代入sin0+cos20=1,解得x2=7或x2=1(舍)，∴.x=√7. 14.2【解析】由题意知14n十1=10xm十y.,x%,yn∈N,且y.<10,所以ym是14n十1的个位数. 由于n=1,y=5;n=2,y2=9;n=3,3=3;n=4,y4=7;n=5,%=1;n=6,y%=5,… 以此类推可知，{yn}周期为5， 下分析，设cn=(一1)”·dn=xn+1一xn,对每个yn,先计算cn, 14n+1=10xn+5, yn=5时， 14(n+1)+1=10x+1+9 、相减得cn=x+1一xn=1; 14n+1=10xn+9, yn=9时， 相减得cn=xn+1一xn=2; 14(n十1)+1=10x+1+3, 14n+1=10xn+3, 。=3时140+1D+1=10x41+7, 相减得cn=xm+1一x=1, 同理可计算yn=7与yn=1时，cn=2与cn=1, 故{cm}是以1,2,1,2,1循环的周期数列，{dn}是以-1,2，-1,2，-1,1，-2,1，-2,1循环的周期数列. 故24.=202X(-1+2-1+2-1+1-2+1-2+1D+2=2 数学参考答案一2 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.【解析】(1)逻辑推理任务中信号同步的频率：42÷100=0.42；…2分 创造性想象任务中信号同步的频率：28÷100=0.28；… …4分 思维任务类型与信号同步性有关，因为两类任务的同步频率存在明显差异(0.42≠0.28).…6分 (2)零假设H:思维任务类型与信号同步性无关，…7分 根据表中教据可得，X二200X42X7228X58》-≈4.308<6.635=.01…1分 70×130×100×100 根据小概率值α=0.01的独立性检验，没有充分证据推断H。不成立，因此可以认为H。成立，即思雏任务类型与信 号同步性无关。… …13分 16.【解析】(1)，cos2A-cos2B=sin Acos A-sin Bcos B, .1+c9s2A_1十c9s2B_in,2A_sin,25,即sin2A-cos2A=5in2B-cos2B,…2分 2 2 2 2 ∴w2sin(2A-f）=2sin(2B-f), …4分 2A-平=2B-年+2kx或2A-平+2B-至=元十2km,k∈Z, …5分 又A,B为三角形的内角且A≠B,A十B-3开，.C=牙.…7分 (2)法-：在△ABD中，由余孩定理，得cOs∠ADB=AD十BD二AB 2AD·BD …8分 在△ACD中，由余弦定理，得cos∠ADC=AD十CD一AC 2AD·CD …9分 又因为∠ADC+∠ADB=π，D为BC中，点，所以cos∠ADB十cos∠ADC=O,BD=CD, 所以2AD+BD+CD-AB-AC=0,故BD=CD=AB+AG-2AD=2,1分 2 在△ACD中，由正孩定里，得sn∠DAC-%nC=1,所以∠DAC=90,AC=1,…13分 所以Sam=2AC.AD=7,S6e=2Sc=L.… …15分 法二：在△ABC中，由余弦定理，得AB=AC十BC-2AC·BC·cOsC=AC+BC-√2AC·BC,①…8分 在△ACD中，因为D为BC中点，所以CD=BC 2 由余孩定理，得AD=AC+CD-2AC.CD.cmsC=AC+BC-号AC·BC,② …9分 由@X2-D,得2AD-A=AC-BS,@ ……10分 将AD=1,AB2十AC2=6代入③式，解得BC2=8,BC=2W2,…11分 将AD=1,BC=2W2代入②式，解得AC=1,… 13分 积SA=号AC·BC·sinC7X1X2W2X21. 2 [第(1)问用和差化积公式解答以及第(2)问用中线公式解答可酌情给分] 17.【解析】(1)取AB的中点M,连接CM,FM, F,M分别是EB和AB的中点，FML2AE;…1分 :EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=2DC,DCLTAE,…2分 .FMLDC,.四边形FMCD为平行四边形，∴.DF∥CM,…4分 又DFt平面ABC,CMC平面ABC,.DF∥平面ABC.…6分C (2)设B到平面ACDE的距离为d, 则Veat=号Sam·d=号×1+2》X24=3,敢4=3. …8分 2 数学参考答案一3 法一：由于DC垂直于平面ABC,建立如图空间直角坐标系C-xyz, …9分 .EA=2DC=2,AC=2, .C(0,0,0),D(0,0,1),A(0,2,0),E(0,2,2), 设B3,40,则F(号告，1 D=(号，是0)，D流=02,10， …10分 设平面DEF的法向量为m=(x,y,x),则由 r2y=0, D成.m=0 (2y十=0, 取x=t十2，得y=一3，之=6，因此平面DEF的一个法向量m=(t十2，一3,6).…12分 由于DC垂直于平面ABC,因此n=(0,0,1)是平面ABC的一个法向量.…13分 设平面DEF与平面ABC的夹角为O, 则cos0=-|cos<m,n川=m·n√+2)2+45 m·n 6 2√5 5’ 平面DEF与平面ABC夹角的余弦值的最大值为25 5· …15分 法二：延长ED和AC交于点N,过A作AH⊥BN于H, EA⊥平面ABC,.EA⊥BN,又，AH⊥BN且AH∩EA=A, .BN⊥平面AHE,.BN⊥HE, D ∠AHE为平面DEF与平面ABC的夹角，…11分 由SaM=7AN·d=号BN·AH,得BN·AH=12, 而BN≥3，所以AH≤4，当且仅当BN⊥AN时等号成立；…13分 a∠AHB-器-希7m∠AHB<2S, ·平面DEF与平面ABC夹角的余孩值的最大值为25 5· …15分 18【解折I1法-：周为S月=合A·AE,sn∠RA,=合csn∠R,A5=号&， …2分 所以sn∠RAR:-复，又△AFR,为锐角三角形，所以∠RAR=60,即△AR,F为等边三角形， 所以2c=a,即g=受 4分 法二：由题意得 e-,消去6得d--, 2分 6+c2=a2, 同除以口得后总一品即心+器-0，解得e号成- C4 2 因为△A为锐商三商形，所以6>c,即e<号，故e=2 …4分 (2)(1),S△ae,R=S△e,A,.A和F2到直线1的距离相等， 当A和在直线1同侧时AE/L,直线1的斜率为3，… 6分 当A和F,在直线1异侧时，直线过AF:的中点M(台，一)， 直线l的斜率=krM=一√3， 综上，直线1的斜幸为号或一区。 8分 数学参考答案一4 (1)当直线1的斜率为号时，设直线1的方程为y-。 =3x+c,P(x,y),Q(2), ,3 联立y=3x+c, 消去y,得5.2+23cx-9c2=0, 3y2+4x2=12c2 33 解得 y=0 所以P(-5,0.Q(, 10分 y= 5c, 1AQ1-PR-√(3。-°+()-2c-2。-2<0(不合题意，合去) …11分 (另解：在△AFQ中，∠QF1A=60°，∠QAF1<60°，故∠AQF1>60°，从而|AQ<AF|=|PFl,不合题意) 当直线l的斜率为一√3时，设直线l的方程为y=一√3x十c,P(1,y),Q(x2,y2), 联5十，消去，得13x-6v3cx-92-0, 3y2+4x2=12c2 故十管·=器 13 …13分 1Q1=21=2a+-4石-2√(9-4(-)--0 …14分 由(i)知PQ垂直平分AF2,故|AQI=|QF2, 所以AQ-PE=1Q-PF=2a-QR-PF=2a-PQ1-号-是故a=4,…16分 此时描圆E的方程为若+后-1， 综上所迷：椭圆E的方程为治十一1. …17分 19.【解折】1)f(=(1-m)cosx+m(x+)sin,令g(x)=f(x, 则g(x)=-(1-m)sin+msin+m(z+乏)cosx=(2m-1)sinx+m(z+5)cosx,…1分 ①当x∈(0,5)时，2m-1<0,sinx>0,m(x+乏)osx<0,故g'(x)<0; …2分 ②当x∈(-受，0）时，令h(x)=g'(z),'(）=(3m-1)cosx-m(x+罗)sinx, 因为3m-1<0,cosx>0,-m(x十5)sinx<0,故h'(x)<0,h(x)=g(x)单调递减， 因为g(-受)=1-2m>0,g(0)=受m<0,所以3∈(-受，0），使得g(a)=0, 且当x∈(-，a)时g'()>0,当x∈(a,0)时g(x)<0, …4分 综合①②，得g(a)=0(a∈(-，0)，且当x∈(-，a)时g'(x)>0,当x∈(a,)时g(x)<0, 所以g(x)有唯一极值点，即(x)有唯一极值点. 5分 (2)①当m<0时，由(1)知f(x)在(-乏，a)上单调递增，在(Q,5)上单调递减， “f(-受）=0，∴fa)>0,又f(受）=mm<0,3c(a,受)使得f()=0, 且当x(-受，)时f'()>0,f()单调递增，当x(,受)时f()<0,f(单调递减， “f(受)=0，当xe[A,)时，fx)>0, ∴fg>0,又“f(-受）=-2<0，存在唯一(-受)，使得f)=0, 数学参考答案-5 因此f代x有2个零点西和受；。 …7分 ②当m=0时，fx）=sin一1，x[-受，受]，fx)有唯一零点受： 8分 ③当m>0时，当x∈(-罗，)时，-m(x+)cosx<0,sinx-l<0,f(x)<0, 又f(-5)=-2<0,f(5)=0,f(x)有唯一零点5 …9分 综上所述：当m<0时，f(x)有2个零点；当m≥0时，f(x)有1个零点.… …10分 (3)原问题等价于存在>0，当x(受-t,受)时，总有2x-<f()<-2x十元 设g(x)=f(x)+2x-元，则p(x)=f(x)+2=(1-m)cosx+m(z+5)sinx+2, 设pμ(x)=f(x)-2x十元，则k'(x)=f(x)-2=(1-m)cosx+m(z+5)sinx-2, …11分 若m=0,9(x)=f(x)十2=cosx十2>0，p(x)单调递增， 当xe(受-t）时，g(x)<g(受）=0，即f)<-2z十 (x)=f(x)-2=cosx一2<0,4(x)单调递减， 当x(受-，受）时(x>(受）=0，即fx)>2x-元，命题成立，… …12分 下面仅需考虑m<0的情况： 由(1)知f(x)在(a,)上单调递减，其中a∈(-受，0)，故(x(x)在(0，牙)上均单调递减， p(0)=f(0)+2=3-m>0,9(5）=f(交)+2=mx+2, ①如果-是≤m<0,即g(受）≥0， 则p(x)>≥0，p(x)单调递增，p(x)<(受)=0，即fx)<-2x十， 又(0)=f(0)-2=-1-m<0,(x)在(0，)上单调递减，故k(x)<0,所以μ(x)在(0，)上单调递减， 所以(x)>(）=0,即f(x)>2x-, 故取1=受，当x(受-，受）时，总有2x一<f()<-2x十元，命题成立.… …14分 ②如果m<-品，即g(受）<0，故由零点存在定理知3y(0,受），使得p()=0,且当x(,受）时，g()<0, ()单调递减，g(x)>(）=0,即f(x)>-2x十元（不合题意，舍去）. …16分 综上：m的最小值为一是 …17分 数学参考答案一6