精品解析：湖南新高考教学教研联盟2026届高三下学期3月第一次（二模）联考数学试题

高三数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，即， 因为，所以． 2. “”是“为第二象限角”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦函数在各个象限的符号结合充分条件、必要条件的概念即可判断. 【详解】若，则为第一象限、第二象限角或终边在轴正半轴上； 若为第二象限角，则， 所以“”是“为第二象限角”的必要不充分条件． 3. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为（ ） A. 1m B. 2m C. m D. m 【答案】B 【解析】 【详解】设这个圆锥底面半径为，母线为，则底面面积为，底面周长为，侧面展开图的半圆弧长为， 由弧度制的定义知，所以，则侧面积为， 所以这个圆锥的表面积为，所以，则直径为2m． 4. 化简（ ） A. B. C. 5 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】． 5. 国家能源集团研发的“擎源”大模型用于预测关键节点电价，研究人员利用模型对某节点连续8个小时的实际与预测电价数据进行记录，并利用上述数据绘制成实际值与预测值对比的折线图（两条折线）： 观察图表与数据，下列结论不能直接从中得出的是（ ） A. 实际电价与预测电价的变化趋势一致，均在下午时段（第5小时左右）达到峰值 B. 这8小时内，预测值与实际值的差异（两个值的差的绝对值）平均在10元/MWh左右 C. 模型对所有“价格下跌时段”（如第5-6小时）的预测都出现了滞后性（即预测反应慢于实际变化） D. 模型的预测精度较高，趋势与实际基本一致，对电网调度有重要参考价值 【答案】C 【解析】 【详解】由图可知：实际电价与预测电价的变化趋势一致，均在下午时段（第5小时左右）达到峰值，A正确； 对于B，差异平均值为，B正确； 由图可知两折线的趋势基本一致，且误差较小，故精确度高，D正确； 对于C，没有足够的理由说明预测变化慢于实际变化，C错误． 6. 若，且，则的最小值为（ ） A. 12 B. 16 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由基本不等式结合一元二次不等式求解即可解题. 【详解】因为，，所以， 令，所以，解得（舍去）或， 即，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 7. 已知圆与直线相切于点，与直线相交于两点，且，则圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据切点以及切线方程可知，再由点到直线距离以及弦长公式可求得圆的半径. 【详解】设圆心，由圆与相切于点可得，即， 所以圆心到直线的距离为，又弦长为4， 故圆的半径． 8. 如图，中，，为边靠近的三等分点，为中点，过作垂线交于点，，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】利用共线向量定理及平面向量基本定理用表示，再利用数量积运算律求解. 【详解】由为边靠近的三等分点，得， 不妨设，由三点共线得， 设，则， 又不共线，则有， 即，解得，即， 由，得，因，， 因此 ， 因， 所以. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知是复数，为的共轭复数，则下列计算结果一定为实数的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由共轭复数的概念，由复数代数形式的加法、减法运算可判断AB，乘除运算可判断CD.. 【详解】设，所以而不一定为实数，故 A正确，B错误； 而而不一定为实数．C正确，D错误. 10. 已知数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列为等差数列 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先利用与的递推关系求出数列的通项公式，再依次分析其对数数列的性质、前项和的范围，以及相关函数的取值范围，从而判断各选项的正误. 【详解】对于A：因为，当时，， 所以，则得， 又当时，，由，得，则，，故A错误； 对于B：因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 因此数列是首项为，公差为的等差数列，B正确； 对于C：， 当为奇数时，，因是递减数列，则； 当为偶数时，，因是递增数列，则， 所以，C正确； 对于D：因为在上单调递增，而， 则，D错误． 11. 已知双曲线有如下光学性质：从一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线通过另一个焦点．其几何事实为：若双曲线的两个焦点为，为双曲线上任意一点，则处的切线平分，已知椭圆的左、右焦点分别为，双曲线的左、右焦点分别为，过作直线与双曲线相切于点，与椭圆相交于点，且点均位于第一象限，若，则下列说法正确的是（ ） A. 直线的斜率为定值1 B. 椭圆的离心率为 C. 双曲线的离心率为 D. 为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】设出直线的方程并与椭圆联立，由判别式可求得直线的斜率为定值1，切点，故A正确，结合双曲线的光学性质以及角平分线定理、正弦定理可求得椭圆的离心率和双曲线的离心率，可判断选项BC，利用向量定比分点可求出点的坐标，代入椭圆方程可求得D正确，或作出辅助线利用椭圆第二定义判断D正确. 【详解】设椭圆的半焦距为，离心率为，双曲线的半焦距为，离心率为， 设直线为， 联立与，得， 由得，又点均位于第一象限，所以， 所以直线的斜率为定值1，切点，故A正确； 如下图所示： 由双曲线光学性质知，直线为的平分线，由角平分线定理知， 设，则，， 从而，椭圆的离心率为， 由选项A知，又，所以， 在中，由正弦定理知， 所以椭圆的离心率为，B正确； 因为，，所以，双曲线的离心率为，故C错误； 法一：设，又点， 由定比分点坐标公式知，代入椭圆的方程，得， 化简得，故，故D正确． 法二：切点，在椭圆的右准线上，过点作轴的垂线，交轴于点，过点作准线的垂线交准线于点， 由椭圆第二定义知，又，故，故D正确． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某电竞战队从张不同地图中选择3张，按顺序用于场比赛，且每张地图最多使用一次．若第一场比赛不能使用地图“峡谷之巅”，则不同的选择方案共有__________种． 【答案】 【解析】 【详解】考虑所有情况为种， 如果第一场选择“峡谷之巅”共有种， 那么第一场不选择“峡谷之巅”，则有种选法. 13. 如图所示，若，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设，利用余弦定理及三角恒等变换将表示为的函数，再利用正弦函数的性质求出最大值. 【详解】在中，，设，则，， 在中，，则， 由余弦定理得 ， 因，则， 故当，即时，， 所以的最大值为. 14. 函数的所有零点的和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，再判断其在，，，单调性，最后结合图象和对称性即可求解. 判断其对称性，再通过解析式、求导和对称性确定其单调性，即可求解. 【详解】令， 则， 所以，即的图象关于直线对称， 当时，在上单调递增， 当时，，则， 所以在上单调递减， 结合的图象关于直线对称可得： 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 又， 且当时，，当时，， 所以与有4个交点，且关于对称， 故有4个零点，且关于对称， 则所有零点的和为． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式，并写出的单调递减区间； （2）若，且，求的值． 【答案】（1），． （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象确定最小正周期，即可得的值，再代入求得的值，从而可得函数的解析式，根据正弦函数的单调性求得减区间即可； （2）结合（1）中函数求出，进而得到，根据二倍角公式和角的范围求解. 【小问1详解】 由图象可知，∴， 又∵，∴， 代入可知，即， 又因为，所以， 可知当时，单调递减， 所以的单调递减区间为． 【小问2详解】 ，又∵， 所以由二倍角公式可得：，解得， 又∵，∴， 所以． 16. 如图，在三棱锥中，． （1）证明：； （2）若和所在平面垂直，且平面与平面所成角的余弦值为，求． 【答案】（1） 取中点，连接． 因为，所以． 又由题，可得≌，则， 故． 因为平面，所以平面， 又平面，所以. （2）或． 【解析】 【分析】（1）取中点，求证，，再结合线面垂直的判定定理和定义求证； （2）法一：以点为坐标原点建系，设，分别计算两个平面的法向量，利用向量求出面面角即可得出；法二：过点作于点，过点作于点，证明为平面与平面所成的角，再在、中利用三角函数值建立关系即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：设， 由平面平面且平面平面，由面面垂直的性质定理可知， 可以点为坐标原点，过点垂直于平面的直线为轴，直线为轴， 过点垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系， 则有， 则， 设平面的一个法向量为， 则有，故可取， 易知平面的一个法向量为， 则，解得， 所以或， 法二：如图，过点作于点，过点作于点，连接． 因为平面平面且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以． 又，平面， 所以平面，即为平面与平面所成的角， 由题，可知． 设，则， 所以在中，，所以， 在中，， 所以，即， 所以或． 17. 已知椭圆过点，两个焦点坐标分别为． （1）求椭圆的方程． （2）已知为椭圆上异于的两点，且直线与轴围成一个以为顶点的等腰三角形． （i）求证：直线的斜率为定值； （ii）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）2． 【解析】 【分析】（1）根据点以及焦点坐标，解方程可求得椭圆的方程； （2）（i）法一：设直线的方程为，并与椭圆方程联立，结合韦达定理由可得直线的斜率； 法二：设直线的方程为，联立椭圆方程可解得，同理可得，化简可知直线的斜率； 法三：由，可设直线为，不同时为0，联立直线与椭圆方程化简得，可得，即直线的斜率为定值． （ii）设直线为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理知 法一：易知，当时，的面积取最大值2． 法二：由弦长公式可知，又点到直线的距离，所以，当时，的面积取最大值2． 【小问1详解】 设椭圆的方程为， 显然， 将点代入椭圆方程，即，解得或（舍去） 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 （i）法一： 设直线的方程为（由对称性知存在），如下图： 联立得，化简得， 由知，则， 因为，所以，即， 化简得，因为直线不过点，所以， 故． 法二： 设直线的方程为， 联立，得，化简， 得， 由知，即，则， 又，所以， 因为直线与轴围成一个以为顶点的等腰三角形，所以， 同理可得， 由此可知， 则直线的斜率， 故直线的斜率为定值． 法三： 因为直线与轴围成一个以为顶点的等腰三角形，所以， 因为为椭圆上异于的两点， 所以可设直线为，不同时为0， 联立与， 得， 等式两边同时除以，记， 化简得， 由于，所以，说明直线的斜率为定值． （ii）设直线为， 联立与，得， 因为，所以． 由韦达定理知 法一： 过点作轴的垂线交直线于点，则点的坐标为， ，即， 化简得． 当且仅当时，的面积取最大值2． 法二： 易知， 点到直线的距离， 所以， 当且仅当时，的面积取最大值2． 18. 某研究团队为分析社交网络中的消费行为传播规律，构建如下概率模型：研究团队选定人进行研究，假设每人对消费行为的“基础易感性”参数均相同，记为，该值越高表示越容易被影响．传播逐天进行，规则如下：第一天，研究团队随机选择其中（，且）人推送广告，每位被选中的人被成功影响（称为“感染者”）的概率为，且是否被影响是相互独立的，从第二天起，每一天，每一位当前的“感染者”会尝试影响每一位当前的“非感染者”（即人中还未被成功影响的人），且一旦被影响即称为“感染者”，并参与后续的影响传播． （1）求第一天结束时，被影响的人数的数学期望； （2）求第一天结束时，被影响的人数为偶数的概率； （3）对于任意一位“非感染者”，若某天有位“感染者”尝试影响他，则他当天被成功影响的概率为，当时，求在两天后，甲被成功影响的概率（用含的式子表示）；基于此模型，简要说明为什么在实际社交网络中，某种消费行为有时会突然“爆发式”传播． 【答案】（1） （2） （3）甲被成功影响的概率为，“爆发式传播”的原因：随着感染者人数增加，使得非感染者被影响的概率迅速提高，传播速度急剧加快，形成爆发态势． 【解析】 【分析】（1）第一天被影响人数服从二项分布，利用性质直接求解期望. （2）利用二项分布奇偶项概率的对称性，构造方程求解. （3）按“甲第一天是否被选中”及“第一天感染者人数”分类讨论，用全概率公式累加各路径概率. 【小问1详解】 设表示第一天结束时被影响的人数，则， 由二项分布的期望公式得． 【小问2详解】 由（1）可知，考虑二项展开： ， ， 两式作和，， 当为偶数时，；当为奇数时，. 设第一天结束时，被影响的人数为偶数的概率为， 所以， 故． 【小问3详解】 情形一： 甲被推送广告的概率是，甲在两天后被成功影响有两种情形： ①第一天被影响，概率为； ②第一天未被影响，概率为，且第二天被影响， 若甲第二天被影响，则第一天另一位初始被选中者乙一定被影响，乙作为感染者尝试影响甲， 甲被影响的概率为， 故甲在第一天未被影响，第二天被成功影响的概率为， 因此，在甲是初始选中的两人之一的条件下，甲在两天后被成功影响的概率为：． 情形二：若甲不是初始选中的两人，其概率为，甲在两天后被成功影响有两种情形： ①第一天有1人被成功影响，再由此人成功感染甲， 概率为：； ②第一天有2人被成功影响，甲在第二天被成功影响，概率为：， 因此，在甲不是初始选中的两人的条件下，甲在两天后被成功影响的概率为：． 综上，甲在两天后被成功影响的概率为． “爆发式传播”的原因：随着感染者人数增加，每天尝试影响非感染者的感染者人数增大， 使得非感染者被影响的概率迅速提高，传播速度急剧加快，形成爆发态势． 19. 已知． （1）若，证明：恒成立． （2）令，且，有唯一的正零点． （i）求的取值范围； （ii）当时，证明：． 【答案】（1） 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以有，即， 当时，恒成立． （2）（i）； （ii）由题意可知，也即， 由（1）知，则，即，且， 因此有， 即，也即，可得， 所以有， 故， 又因为，所以有， 根据题意有， 从而有， 即，可得，进一步得， 又，所以，所以，故， 所以， 由可得，也即， 令得，进一步得， 所以， 故， 综上有． 【解析】 【分析】（1）证明恒成立，再将x替换为放缩证明原不等式即可； （2）（i）令，求导研究的单调性，证明在有唯一零点，最后再对a的范围进行分类讨论即可；（ii）结合（1）中推得，并结合（i）中的零点对应的等式，放缩可得，进一步得到，再结合裂项相消法即可证明原不等式左边，对于不等式右边，由不等式，令代入，并结合（i）中的零点对应的等式，可证明，根据，令代入，可证，最后结合两者放缩即可证明原不等式右边． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由题意有有唯一的正零点， 因为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，；，， 当时，， 由零点存在性定理可知，在有唯一零点， 当时，，则满足题意； 当时，要保证，则只要， 即，恒成立，所以， 综合可得． （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“为第二象限角”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为（ ） A. 1m B. 2m C. m D. m 4. 化简（ ） A. B. C. 5 D. 3 5. 国家能源集团研发的“擎源”大模型用于预测关键节点电价，研究人员利用模型对某节点连续8个小时的实际与预测电价数据进行记录，并利用上述数据绘制成实际值与预测值对比的折线图（两条折线）： 观察图表与数据，下列结论不能直接从中得出的是（ ） A. 实际电价与预测电价的变化趋势一致，均在下午时段（第5小时左右）达到峰值 B. 这8小时内，预测值与实际值的差异（两个值的差的绝对值）平均在10元/MWh左右 C. 模型对所有“价格下跌时段”（如第5-6小时）的预测都出现了滞后性（即预测反应慢于实际变化） D. 模型的预测精度较高，趋势与实际基本一致，对电网调度有重要参考价值 6. 若，且，则的最小值为（ ） A. 12 B. 16 C. D. 7. 已知圆与直线相切于点，与直线相交于两点，且，则圆的半径为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，为边靠近的三等分点，为中点，过作垂线交于点，，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 8 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知是复数，为的共轭复数，则下列计算结果一定为实数的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列为等差数列 C. D. 11. 已知双曲线有如下光学性质：从一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线通过另一个焦点．其几何事实为：若双曲线的两个焦点为，为双曲线上任意一点，则处的切线平分，已知椭圆的左、右焦点分别为，双曲线的左、右焦点分别为，过作直线与双曲线相切于点，与椭圆相交于点，且点均位于第一象限，若，则下列说法正确的是（ ） A. 直线的斜率为定值1 B. 椭圆的离心率为 C. 双曲线的离心率为 D. 为定值 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某电竞战队从张不同地图中选择3张，按顺序用于场比赛，且每张地图最多使用一次．若第一场比赛不能使用地图“峡谷之巅”，则不同的选择方案共有__________种． 13. 如图所示，若，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为______． 14. 函数的所有零点的和为__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式，并写出的单调递减区间； （2）若，且，求的值． 16. 如图，在三棱锥中，． （1）证明：； （2）若和所在平面垂直，且平面与平面所成角的余弦值为，求． 17. 已知椭圆过点，两个焦点坐标分别为． （1）求椭圆的方程． （2）已知为椭圆上异于的两点，且直线与轴围成一个以为顶点的等腰三角形． （i）求证：直线的斜率为定值； （ii）求面积的最大值． 18. 某研究团队为分析社交网络中的消费行为传播规律，构建如下概率模型：研究团队选定人进行研究，假设每人对消费行为的“基础易感性”参数均相同，记为，该值越高表示越容易被影响．传播逐天进行，规则如下：第一天，研究团队随机选择其中（，且）人推送广告，每位被选中的人被成功影响（称为“感染者”）的概率为，且是否被影响是相互独立的，从第二天起，每一天，每一位当前的“感染者”会尝试影响每一位当前的“非感染者”（即人中还未被成功影响的人），且一旦被影响即称为“感染者”，并参与后续的影响传播． （1）求第一天结束时，被影响的人数的数学期望； （2）求第一天结束时，被影响的人数为偶数的概率； （3）对于任意一位“非感染者”，若某天有位“感染者”尝试影响他，则他当天被成功影响的概率为，当时，求在两天后，甲被成功影响的概率（用含的式子表示）；基于此模型，简要说明为什么在实际社交网络中，某种消费行为有时会突然“爆发式”传播． 19. 已知． （1）若，证明：恒成立． （2）令，且，有唯一的正零点． （i）求的取值范围； （ii）当时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $