10.4《分式的乘除》分层讲义 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

乘除之道，分式之魂——分式乘除法全面突破 ——苏科版数学八年级下册 第10章第4节第1课时《分式的乘除》分层讲义 一、知识导航 1. 分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母。 用字母表示为：× = 2. 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 用字母表示为：÷ = 3. 分式的乘方法则:分式的乘方，把分子、分母分别乘方。 用字母表示为：（n为正整数） 4. 分式的乘除混合运算 运算顺序：分式的乘除混合运算，要按从左到右的顺序进行。 运算策略： 1. 统一为乘法：将除法转化为乘法（除式颠倒分子分母），按从左到右的顺序逐项相乘； 2. 先分解因式：分子、分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分； 3. 先约分后乘：对于分子分母可直接约分的情况，先约分再相乘，可简化计算。 要点 说明 乘除顺序 从左到右，除法变乘法 符号处理 先定符号，再进行运算 因式分解 多项式先分解，再约分 结果要求 化为最简分式或整式 5. 分式乘除与约分的关系 分式乘除法的运算，归根到底是乘法运算。运算过程中可随时约分（先约分再相乘），以减少计算量。计算结果必须化为最简分式或整式。 二、新知讲授 题型一：分式的乘法——分子乘分子，分母乘分母 解法口诀：分式乘法最简单，分子分母分别乘；能约先约再相乘，结果最简才算成！ 例题 1（基础）——单项式型分式乘法 题目：（2025泰州海陵期中）计算 ·的结果是（ ） A. 　　B. 4xy　　C. 　D. 答案：A 变式训练 1-1 计算：· 【答案】 变式训练 1-2 计算：· 的结果是（ ） A. 　　B. -　　C. 　　D. 【答案】B 变式训练1-3 计算：· 【答案】 题型二：分式的除法——颠倒相乘是关键 解法口诀：分式除法变乘法，除式分子分母倒；颠倒之后再相乘，约分化简结果好！ 例题 2（基础）——分式除法 题目：计算 ÷ 的结果是（ ） A. 　　B. 　　C. 　　D. ab 答案：B 变式训练 2-1 计算：÷ 【答案】 6xy 变式训练2-2 （2025南京期中）计算 ÷ 的结果是（ ） A. 1　　B. 　　C. 　　D. 0 【答案】B 变式训练2-3 计算： ÷ 【答案】 题型三：多项式型分式的乘除——先分解，再约分 解法口诀：多项式别着急，因式分解是前提；公因式快约去，结果务必最简齐！ 例题 3（中等）——多项式型分式乘除 题目（2025苏州相城月考改编）：计算 · 的结果是（ ） A. 　　B. 　C. 　D. 答案：A 变式训练 3-1 计算：· 【答案】 变式训练3-2 计算： ÷ 【答案】 x+1 变式训练3-3 计算：÷ 【答案】 1 题型四：分式的乘方——分子分母分别乘方 解法口诀：分式乘方也不难，分子分母各自乘；符号看指数奇偶，负号奇次保留住！ 例题 4（中等）——分式乘方 题目（2025南师大附中期中改编）：计算 ·()2 ÷ 答案：（x ≠ y，x ≠ 0） 变式训练 4-1 计算：()3 ·() 2 ÷() 2 【答案】 变式训练4-2 计算： 2 ÷ 3×4 【答案】 y 变式训练4-3 （2025南通海安期中改编）计算：(-)2·3 ÷() 4 【答案】 a 题型五：分式的乘除混合运算——从左到右，统乘约简 解法口诀：乘除混合左到右，除法统统变乘法；统乘之后再约分，阶梯递进不迷路！ 例题 5（提优）——乘除混合运算 题目（2025苏州四市期中改编）：计算 ÷· 答案：- 变式训练 5-1 计算：÷· 【答案】 a 变式训练5-2 计算：÷ 【答案】 1 题型六：创新拓展——规律探索与条件求值 解法口诀：规律问题分层找，分子分母分开瞧；条件求值先化简，整体代入效率高！ 例题 6（提优）——分式乘除与条件求值 题目：已知 6ab，且 a > b > 0，求 的值。 【解析】 由条件 6ab整理变形。 6 - 6 = 0 + 2 = 8 ()2 = 8 = =（a>0,b>0） = 4 ()2 = 4 ( =（a>b>0） 所以 = = 变式训练 6-1 已知 x + = 3，求的值。 【答案】 变式训练6-2 （2025泰州姜堰期末改编）若 = = （abc ≠ 0），且 a ≠ b，求 ÷ 的值。 【答案】 1 变式训练6-3 （新定义问题）定义运算“△”：x△y = 。求 6△4 的值。 【答案】 三、分层达标检测 ★ 基础巩固 1. 计算 · 的结果是__________。 2. （2025南京期中）下列运算正确的是（ ） A. ÷= 　 B. · = m C. ÷= 　　D. · = 3. 计算() 2 的结果是__________。 4. 计算· 的结果是__________。 ★★ 能力进阶 5. （2025镇江丹阳月考改编）计算 ÷ · 的结果是（ ） A. 　　B.　　C. 　D. 1 6. 计算： ÷ · 7. （2025南通海安期中改编）先化简，再求值：÷，其中 a = 3，b = 1。 ★★★ 思维拓展（15分） 8. （2025江苏南通期中改编）已知 x^2 - 4x + 1 = 0，求 (x^2)/(x^4+x^2+1) 的值。 四、解题方法口诀大全 题型 口诀 分式乘法 分子分母分别乘，能约先约再相乘，结果最简才算成 分式除法 除式分子分母倒，颠倒之后再相乘，约分化简得答案 分式乘方 分子分母分别乘方，符号看指数奇偶，负号奇次要保留 多项式乘除 多项式先分解因式，公因式约去再乘除，一步一核对防出错 乘除混合运算 乘除混合左到右，除法统统变乘法；统乘之后再约分，阶梯递进不迷路 化简求值 先化简来再求值，因式分解要彻底；条件可变形代入，整体代换最简便 符号处理 先定符号再运算，负负得正记分明；奇数个负结果为负，偶数个负结果为正 教师寄语： 分式的乘除法是分式运算的核心技能，也是后续学习分式加减混合运算和分式方程的基础。从乘法到除法，从乘方到混合运算，每一个环节都需要同学们熟练掌握因式分解这一基本功。记住：看到多项式，先分解因式；能约先约再乘，结果务必最简！ 希望同学们在分式的乘除之道上越走越稳，练就一双发现公因式的“火眼金睛”！ 五、答案解析 基础巩固 1. 2. C 3. 4. x 能力进阶 5. A 6. 7. ，当 a=3，b=1 时，原式 = 8. 学科网（北京）股份有限公司 $