专题10.4 分式的乘除（知识梳理+8个考点讲练+真题演练+分层训练 共49题）-2025-2026学年苏科版数学八年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦分式的乘除运算核心知识点，系统梳理分式乘法法则、除法法则及乘方运算规则，覆盖分式乘除混合运算、化简求值、最值问题等内容，承接分式基本概念，为分式加减等后续学习搭建关键支架。 该资料以知识梳理（含易错点拨）、考点讲练（8个考点配典例与变式训练）、中考真题及分层训练（基础夯实与创新拓展）为特色，通过易错点拨培养推理意识，分层训练发展运算能力，中考真题强化应用意识。课中辅助教师精准教学，课后助力学生查漏补缺，提升综合解题能力。

2025-2026学年苏科版（新教材）数学八年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题10.4 分式的乘除 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共49题） 原卷版 【第十章 分式】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点01 分式的乘除法 1 知识点02 分式的乘方 2 重点难点 考点讲练 2 考点讲练一 分式乘法 2 考点讲练二 分式除法 3 考点讲练三 分式乘除混合运算 4 考点讲练四 分式乘方 4 考点讲练五 含乘方的分式乘除混合运算 5 考点讲练六 分式减乘除混合运算 6 考点讲练七 分式化简求值 7 考点讲练八 分式最值 7 中考真题 实战演练 9 难度分层 闯关训练 10 【基础夯实 能力提升】 10 【创新拓展 拔尖冲刺】 12 知识点01 分式的乘除法 1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。用字母表示为：，其中是整式，。 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：，其中是整式，。 【易错点拨】 （1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式。 （2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘。 （3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分。 （4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式。 知识点02 分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）。 【易错点拨】 （1）分式乘方时，一定要把分式加上括号。不要把写成 （2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负。 （3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分。 （4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体。 考点讲练一 分式乘法 【典例分析】（25-26八年级下·江苏盐城·月考）计算： (1)； (2)． 【变式训练1】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2)． 【变式训练2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 考点讲练二 分式除法 【典例分析】（25-26八年级下·河南南阳·月考）计算： (1) ； (2)． 【变式训练1】计算： (1) ； (2)． 【变式训练2】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）计算： (1) ； (2)． 考点讲练三 分式乘除混合运算 【典例分析】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）分解因式与计算 (1) (2) (2) (4) 【变式训练1】（25-26八年级下·江苏南京·月考）计算： (1) ； (2)． 【变式训练2】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）计算： (1) ； (2)． 考点讲练四 分式乘方 【典例分析】计算： (1) ； (2)． 【变式训练1】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1) ； (2)； (3)； (3) ； (5)． 【变式训练2】（2026八年级下·全国·专题练习）____． 考点讲练五 含乘方的分式乘除混合运算 【典例分析】（25-26八年级下·江苏常州·月考）化简： (1) (2) 【变式训练1】（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）化简： (1) ； (2)； (3)． 【变式训练2】（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1) ； (2)； (3)． 考点讲练六 分式减乘除混合运算 【典例分析】计算和化简 (1) (2) 【变式训练1】（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）计算： (1) ； (2)． 【变式训练2】（25-26八年级下·山东济南·月考）计算 (1) ； (2)． 考点讲练七 分式化简求值 【典例分析】先化简，再从1，0，中任选一个你喜欢的数作为x的值代入求值． 【变式训练1】（25-26八年级下·江苏盐城·月考）先化简，再求值：，其中． 【变式训练2】（25-26八年级下·陕西西安·月考）先化简：，然后从的范围内选一个合适的整数代入求值． 考点讲练八 分式最值 【典例分析】（25-26八年级上·吉林·期末）下面是八年级数学的拓展学习片段： 例题：求证：． 证明：∵， ∴， ∴． 认真学习例题后，解答下面问题： (1)求证：； (2)若，则的最小值为_____． 若，则的最大值为_____． (3) 的最小值为_____． 的最小值为_____． (4)有三个正方形，第一个正方形和第二个正方形面积的和为，第三个正方形的边长等于第一个正方形和第二个正方形边长的和，直接写出第三个正方形面积的最大值． 【变式训练1】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：______； （2）分式的最小值为______． 【变式训练2】（25-26八年级上·北京·月考）阅读下列材料，并解答问题： 【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如，，…这样的分式是假分式；如与…这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式． 例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 方法1：； 方法2：由分母为，可设（a，b为待确定的系数）， ， 对于任意x，上述等式均成立， ，解得， ． ， 这样，分式就被化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 【材料2】对于式子，由知的最小值为1，所以的最大值为3，所以的最大值为5． (1)分式是 分式（填“真”或“假”）； (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式； (3)当时，求分式的最大值． 【真题演练1】（2025·山东滨州·中考真题）已知，，． (1)若，求C的值； (2)当，且为整数时，求x的整数值． 【真题演练2】（2025·山东东营·中考真题）化简____________． 【真题演练3】（2025·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：，其中满足． 【真题演练4】（2025·江苏无锡·中考真题）先化简，再求值：．其中． 【真题演练5】（2024·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）计算：的结果为（   ） A． B． C． D． 2．动车提速后，平均速度变为原来的倍，若行驶同样路程，时间可缩短到原来的（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·重庆·期末）若，则的值为（    ） A．10 B．7 C． D． 4．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·江苏常州·月考）计算：________ 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知（其中，），则表示的分式是__________． 7．（2026九年级下·北京·专题练习）若，则代数式的值为________． 8．（2026·陕西西安·二模）先化简，再求值：，其中． 9．（25-26八年级下·四川内江·月考）化简求值： (1)先化简，再求值：，再从，，0，3中选择一个合适的数作为a的值代入求值． (2)先化简然后从中选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 10．化简求值： (1)先化简，再求值：，其中 (2)先化简，再求值：，其中，且x是整数，请从中选取一个合适的x的值代入求值． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（2026·河南驻马店·模拟预测）化简的结果是（） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南信阳·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）若运算的结果不是分式，则括号内的式子可能是（   ） A． B．b C． D．a 4．若，则______． 5．（25-26八年级下·四川宜宾·月考）已知是实数，并且，则代数式的值是____． 6．（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）已知，则的最小值是__________． 7．（25-26九年级下·四川甘孜·月考）化简： (1)； (2)． 8．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）设，先化简A，再从0，1，2三个数中选择一个合适的数代入a，并求出A的值． 9．（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）先化简，再求值：，其中． 10．（25-26八年级下·山西临汾·月考）综合与实践 定义：如果两个分式与的和为常数，则称与互为“和常分式”，常数称为“和常值”．例如：分式，，，则与互为“和常分式”，“和常值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和常分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出“和常值”． (2)已知分式，，若与互为“和常分式”，且“和常值”． ①求代数式（用含的式子表示）． ②若分式的值为正整数，求的值． (3)已知分式，（，为整数），若与互为“和常分式”，求“和常值”． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版（新教材）数学八年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题10.4 分式的乘除 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共49题） 解析版 【第十章 分式】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点01 分式的乘除法 1 知识点02 分式的乘方 2 重点难点 考点讲练 2 考点讲练一 分式乘法 2 考点讲练二 分式除法 4 考点讲练三 分式乘除混合运算 6 考点讲练四 分式乘方 8 考点讲练五 含乘方的分式乘除混合运算 11 考点讲练六 分式减乘除混合运算 13 考点讲练七 分式化简求值 15 考点讲练八 分式最值 16 中考真题 实战演练 21 难度分层 闯关训练 23 【基础夯实 能力提升】 23 【创新拓展 拔尖冲刺】 29 知识点01 分式的乘除法 1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。用字母表示为：，其中是整式，。 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：，其中是整式，。 【易错点拨】 （1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式。 （2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘。 （3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分。 （4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式。 知识点02 分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）。 【易错点拨】 （1）分式乘方时，一定要把分式加上括号。不要把写成 （2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负。 （3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分。 （4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体。 考点讲练一 分式乘法 【典例分析】（25-26八年级下·江苏盐城·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解：； （2）解： ． 【变式训练1】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了分式乘方以及分式乘法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算乘方再运算乘法，即可作答． （2）先运算乘方再运算乘法，即可作答． （3）先运算乘方再运算乘法，即可作答． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 考点讲练二 分式除法 【典例分析】（25-26八年级下·河南南阳·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）将除法化为乘法约分化简； （2）同分母加减法，分母不变分子相加减，再结合完全平方公式约分化简即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式训练2】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）除法变乘法，约分化简即可； （2）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简即可． 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：原式． 考点讲练三 分式乘除混合运算 【典例分析】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）分解因式与计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了因式分解，分式的乘除混合运算，同分母分式减法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先提公因式，再运用公式法进行因式分解，即可作答． （2）先运用完全平方公式进行因式分解，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （3）先运算乘方，把除法化为乘法，再化简，即可作答． （4）结合同分母分式减法法则计算，即可作答． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： ． 【变式训练1】（25-26八年级下·江苏南京·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查分式的乘除运算，解题思路为将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约去公因式，即可计算得到结果，用到分式乘除运算法则和因式分解的知识． 【规范解答】（1） 解： ． （2）解： ． 【变式训练2】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先进行乘方运算，再进行乘除运算即可解答； （2）先将括号内的分式通分，再进行减法运算，最后进行乘除运算即可解答． 【规范解答】（1）解： （2）解： ． 考点讲练四 分式乘方 【典例分析】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据积的乘方，分式混合运算法则，进行计算即可； （2）先计算括号内的分式加减运算，再根据分式除法运算法则进行计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练1】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【思路引导】本题考查了分式的乘方及乘除混合运算，解题的关键是先算乘方再算乘除，准确运用法则进行符号判断、因式分解与约分． （1）直接运用分式乘方法则，分子分母分别乘方，再化简． （2）运用分式乘方法则，注意系数的乘方及负数的奇次幂为负，再整理系数与字母的幂． （3）先对分子分母因式分解，再利用分式乘法法则约分，简化得到结果． （4）先算乘方（确定符号、幂的运算），再将除法转乘法，最后同底数幂运算和约分． （5）先算乘方，再将除法转乘法，统一成连乘形式后，合并同类项并约分． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 【变式训练2】（2026八年级下·全国·专题练习）____． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了分式的乘除，乘方，熟练掌握法则是解题的关键； 应用指数运算规则，先分别计算两个分式的乘方，再将除法转化为乘法运算，最后化简即可． 【规范解答】解： ， 故答案为：． 考点讲练五 含乘方的分式乘除混合运算 【典例分析】（25-26八年级下·江苏常州·月考）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先计算乘方，再计算乘除法即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练1】（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）根据分式的乘方进行计算，同时将除法转化为乘法进行计算，即可求解； （2）先计算括号内，同时将除法转化为乘法，再约分，即可求解； （3）先计算括号内，同时将除法转化为乘法，再约分，即可求解． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 【变式训练2】（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了分式的混合运算，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，再把除法变成乘法，最后计算分式乘法即可得到答案； （2）先通分，再把分子合并同类项即可得到答案； （3）先把对应分式的分子和分母分解因式，再约分，最后计算分式减法即可得到答案． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 考点讲练六 分式减乘除混合运算 【典例分析】计算和化简 (1) (2) 【答案】(1)1 (2)a 【思路引导】（1）利用负整数指数幂、立方根进行计算即可； （2）先计算括号内的分式加法再计算分式除法即可． 【规范解答】（1）解：原式 （2）解：原式 【变式训练1】（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2) 【思路引导】（1）根据计算即可； （2）根据分式的混合运算化简即可． 【规范解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式训练2】（25-26八年级下·山东济南·月考）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 考点讲练七 分式化简求值 【典例分析】先化简，再从1，0，中任选一个你喜欢的数作为x的值代入求值． 【答案】，当时，原式． 【思路引导】先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件确定x的值，进而代值计算即可得到答案． 【规范解答】解： ， ∵， ∴， ∴当时，原式． 【变式训练1】（25-26八年级下·江苏盐城·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【思路引导】先根据分式混合运算的法则进行化简，再代入求值即可． 【规范解答】解： ； 当时，原式． 【变式训练2】（25-26八年级下·陕西西安·月考）先化简：，然后从的范围内选一个合适的整数代入求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式；． 【思路引导】先对括号内通分作差，再将除法化为乘法，结合因式分解约分化简，再根据分式有意义的条件取合适的整数值代入计算求值即可． 【规范解答】解： ， ，， ，， ，且为整数， 的合适取值为2或3， 当时，原式；当时，原式． 考点讲练八 分式最值 【典例分析】（25-26八年级上·吉林·期末）下面是八年级数学的拓展学习片段： 例题：求证：． 证明：∵， ∴， ∴． 认真学习例题后，解答下面问题： (1)求证：； (2)若，则的最小值为_____． 若，则的最大值为_____． (3) 的最小值为_____． 的最小值为_____． (4)有三个正方形，第一个正方形和第二个正方形面积的和为，第三个正方形的边长等于第一个正方形和第二个正方形边长的和，直接写出第三个正方形面积的最大值． 【答案】(1)见解析； (2) ， ； (3) ， ； (4)． 【思路引导】本题主要考查了配方法的应用，完全平方公式的几何背景，熟练掌握并能灵活运用配方法是解题的关键． （）依据题意，由，则，从而，即可得解； （）依据题意，由，则，从而得解； 依据题意，由，又，可得，进而得解； （）依据题意得，，可得的最小值为，从而得解； 依据题意得，，则的最小值为，从而得解； （）依据题意，设第一个正方形和第二个正方形边长分别为，，则 ，第三个正方形的边长为，故第三个正方形的面积为，又，可得，即可得解． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：由题意，∵， ∴， 故答案为：； 由题意，∵， 又， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：； （3）解：由题意得，， ∴的最小值为， 故答案为：； 由题意得，， ∴的最小值为， 故答案为：； （4）解：由题意，设第一个正方形和第二个正方形边长分别为，， ∴，第三个正方形的边长为， ∴第三个正方形的面积为， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴第三个正方形面积的最大值为． 【变式训练1】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：______； （2）分式的最小值为______． 【答案】 3+ 3 【思路引导】此题考查分式的变形计算，分式的四则混合运算，同分母分式加法逆运算． （1）将分子化为分母的倍数与常数的和，然后拆分分式； （2）先将分式化为整式与常数分子的分式的和，再利用分母求最小值． 【规范解答】（1）解：； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，分式取得最小值3． 【变式训练2】（25-26八年级上·北京·月考）阅读下列材料，并解答问题： 【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如，，…这样的分式是假分式；如与…这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式． 例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 方法1：； 方法2：由分母为，可设（a，b为待确定的系数）， ， 对于任意x，上述等式均成立， ，解得， ． ， 这样，分式就被化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 【材料2】对于式子，由知的最小值为1，所以的最大值为3，所以的最大值为5． (1)分式是 分式（填“真”或“假”）； (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式； (3)当时，求分式的最大值． 【答案】(1)真 (2) (3)最大为1 【思路引导】本题主要考查了分式的基本概念、分式的基本性质、分式的混合运算和化简，阅读材料获得信息再进行化简计算是解题的关键． （1）根据分子次数为0，分母次数为1，可作出判断． （2）利用已知分式，将其转化为整数与真分数的和的形式，可得答案． （3）先求出的最小值，进而可求出 的最大值． 【规范解答】（1）解：是真分式． （2）解：设， 则 ， 解得， . （3）解：考虑，求其最小值， ∵，， 当时，最小为1 最大为1． 【真题演练1】（2025·山东滨州·中考真题）已知，，． (1)若，求C的值； (2)当，且为整数时，求x的整数值． 【答案】(1) (2)或4 【思路引导】本题考查分式的化简，分式的混合运算，熟练掌握分式的基本性质，分式的混合运算法则，是解题的关键： （1）化简，得到，根据混合运算法则求出，即可得出结果； （2）根据，结合，得到，进而得到，根据为整数得到，且，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴． ． ∴． ∵， ∴． （2）由（1），得：， ∴， 当时，． ∵与均为整数， ∴或． ∴， 又∵且， ∴且． ∴或4． 【真题演练2】（2025·山东东营·中考真题）化简____________． 【答案】 【思路引导】本题考查了分式的混合运算． 先对括号内的表达式进行通分相加，然后将除法运算转化为乘法运算，利用平方差公式分解因式并约分即可． 【规范解答】解： ． 故答案为：． 【真题演练3】（2025·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】； 【思路引导】本题考查分式的化简求值，运用整体思想是解题的关键；根据分式的运算法则先化简，由已知求出，再整体代入求值即可． 【规范解答】解：原式 ， ， ， ∴原式 ． 【真题演练4】（2025·江苏无锡·中考真题）先化简，再求值：．其中． 【答案】，2 【思路引导】本题考查了分式化简求值；先计算同分母分式加法，将分子进行因式分解，再进行约分化简，然后代值计算，即可求解． 【规范解答】解： ， 将代入，得： 原式． 【真题演练5】（2024·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【思路引导】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．先根据分式混合运算法则进行化简，然后代入数据进行求值即可． 【规范解答】解： ， 当时，原式． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）计算：的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据分式乘方、负整数指数幂的运算法则逐步化简计算即可得到结果． 【规范解答】解： ． 2．动车提速后，平均速度变为原来的倍，若行驶同样路程，时间可缩短到原来的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】路程一定时，时间与速度成反比，通过表示出提速前后的时间，即可求出提速后时间缩短到原来的多少． 【规范解答】解：设动车原来的平均速度为， ∵路程为， ∴原来行驶的时间为． ∵提速后平均速度变为原来的倍， ∴提速后速度为， ∴提速后行驶时间为， ∴提速后时间与原来时间的比值为． 即时间可缩短到原来的． 3．（25-26八年级上·重庆·期末）若，则的值为（    ） A．10 B．7 C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了分式的化简求值，通过已知分式等式变形得到与的关系，再将所求分式的分子、分母转化为含和的形式，最后代入计算即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 将代入中， 分子， 分母， ∴原式． 故选：A． 4．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】先将M、N统一分母，再根据分式运算法则计算各选项判断即可． 【规范解答】解：∵ ，． ∴A． ，A错误； B．， B错误； C．．与选项一致， C正确； D．，D错误． 5．（25-26八年级下·江苏常州·月考）计算：________ 【答案】 【思路引导】根据分式除法运算法则，将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约分即可得到结果． 【规范解答】解： ． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知（其中，），则表示的分式是__________． 【答案】 【思路引导】利用等式的性质表示，再根据分式的除法运算法则化简计算即可得到的表达式． 【规范解答】解：由， 根据等式的性质，得， ∴， 解得． 7．（2026九年级下·北京·专题练习）若，则代数式的值为________． 【答案】 【思路引导】先计算第二个小括号内分式的减法，再计算分式的除法并化简，然后将化为，再代入计算即可． 【规范解答】解： ， ∵，，， ∴，， ∴原式． 8．（2026·陕西西安·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【思路引导】先计算括号内分式的加法，然后将除法化为乘法，计算分式的乘法，最后代入求值即可． 【规范解答】解： 当时，原式． 9．（25-26八年级下·四川内江·月考）化简求值： (1)先化简，再求值：，再从，，0，3中选择一个合适的数作为a的值代入求值． (2)先化简然后从中选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 【答案】(1)，时，原式 (2)，时，原式 【规范解答】（1）解：原式 根据分母不为0得到且 ∴时，原式； （2）解：原式 ∵当和1时，会使分式分母，原式没有意义 当时，会使原式的除式，原式无意义 ∴从中选取一个整数，只能选，则原式 10．化简求值： (1)先化简，再求值：，其中 (2)先化简，再求值：，其中，且x是整数，请从中选取一个合适的x的值代入求值． 【答案】(1)； (2)； 【思路引导】（1）先根据分式四则混合运算法则进行化简，然后代入数据，进行求解即可； （2）先根据分式四则混合运算法则进行化简，然后代入数据，进行求解即可． 【规范解答】（1）解： 当时，原式； （2）解： ， ∵，且x是整数， ∴x取，0，1，2， 又∵，且， ∴， ∴原式． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（2026·河南驻马店·模拟预测）化简的结果是（） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】先根据分式的加减计算括号内的运算，再根据分式的除法法则计算即可． 【规范解答】解： ． 2．（25-26八年级上·河南信阳·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查幂的运算法则及完全平方公式的应用，根据相关法则逐一计算各选项判断正误即可． 【规范解答】解：∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，故A选项正确； ∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，故B选项错误； ∵完全平方公式为， ∴，故C选项错误； ∵分式的乘方，分子分母分别乘方， ∴，故D选项错误． 故选：A． 3．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）若运算的结果不是分式，则括号内的式子可能是（   ） A． B．b C． D．a 【答案】D 【思路引导】先设括号内的式子为，根据分式除法法则化简原式，分解因式后约分得到结果，再根据结果不是分式即可判断正确选项． 【规范解答】解：设括号内的式子为， 原式 ， 当时，原式，是分式，故A不符合题意； 当时，原式，是分式，故B不符合题意； 当时，原式，是分式，故C不符合题意； 当时，原式，不是分式，故D符合题意． 4．若，则______． 【答案】4 【思路引导】先利用异分母的分式加减法可得，再对原式变形后将整体代入求值即可． 【规范解答】解：∵， ∴，即， ∴原式． 5．（25-26八年级下·四川宜宾·月考）已知是实数，并且，则代数式的值是____． 【答案】2020 【思路引导】先由已知等式变形得到与，再将这两个关系代入所求代数式，通过化简计算得出结果． 【规范解答】解：， ， ． ∴ ． 6．（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）已知，则的最小值是__________． 【答案】 【思路引导】本题考查分式的混合运算、完全平方式的非负性、不等式的性质、分母有理化等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．先根据分式的混合运算法则得，设，根据完全平方式的非负性和分母有理化，结合不等式的性质求解即可． 【规范解答】解  ∵， ∴， ∴ ， 设，则， 当时取得等号， ∴， 解得：， ∴，． 因此，当，时，取得最小值． 故答案为：． 7．（25-26九年级下·四川甘孜·月考）化简： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【思路引导】（1）先根据分式的乘法法则计算，可得：原式，再根据分式的加法法则进行计算； （2）先根据分式的加法法则把括号里面的计算出来，可得：原式，再根据分式的乘法法则进行计算． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 8．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）设，先化简A，再从0，1，2三个数中选择一个合适的数代入a，并求出A的值． 【答案】，，原式． 【思路引导】先利用分式的混合运算法则进行化简，再根据分式有意义，将代入，即可求解． 【规范解答】解： ， 根据题意，可知a的值不可以为和， 将代入，原式． 9．（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【思路引导】先对分式的分子、分母进行因式分解，将除法运算转化为乘法运算，约分后进行通分、加法运算，完成化简，最后将代入化简后的式子求值． 【规范解答】解： ， 当时，原式． 10．（25-26八年级下·山西临汾·月考）综合与实践 定义：如果两个分式与的和为常数，则称与互为“和常分式”，常数称为“和常值”．例如：分式，，，则与互为“和常分式”，“和常值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和常分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出“和常值”． (2)已知分式，，若与互为“和常分式”，且“和常值”． ①求代数式（用含的式子表示）． ②若分式的值为正整数，求的值． (3)已知分式，（，为整数），若与互为“和常分式”，求“和常值”． 【答案】(1)与互为“和常分式”，“和常值” (2)①；②或 (3) 【思路引导】（1）计算，观察结果是否为整数即可； （2）①根据，计算出的表达式即可；②对分式D进行化简得，故是的因数，由此得出的可能值； （3）根据分式的加法计算法则表示出，根据与互为“和常分式”，列式后化简整理，然后对比系数列方程求解即可． 【规范解答】（1）解： 与互为“和常分式”． ∵，， ∴， “和常值”． （2）解：①∵与互为“和常分式”，且“和常值”， ∴． 两边同乘，得， ∴ ． ②． ∵分式的值为正整数， ∴是的因数， ∴或， ∴或． （3）解：∵与互为“和常分式”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得． 第 1 页 共 12 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