精品解析：湖北武汉市黄陂区第六中学2025-2026学年高二下学期数学期中训练题

高二数学训练题 第一部分（选择题） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列满足（），且，则数列的前6项之和为（ ） A. 12 B. 32 C. 36 D. 72 2. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 育才中学举行志愿者爱心活动，选派高二年级5名同学到，，三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1名同学，其中甲同学不去服务点，则不同的安排方法共有（ ） A. 80种 B. 90种 C. 100种 D. 120种 4. 二项式展开式中含的项是（ ） A. 第7项 B. 第8项 C. 第9项 D. 第10项 5. 古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施2子安贝（古印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月31天计算，记此人第日布施了子安贝（其中，），数列的前项和为．若关于的不等式恒成立，则实数的最大整数为（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 32 6. 已知函数在区间存在单调递减区间,则的取值范围是 A. B. C. D. 7. 设满足，则（ ） A. 120 B. C. 40 D. 8. 若二次函数的图象与曲线存在公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若m，n为正整数且，则（ ） A. B. C. D. 10. 设，函数，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，函数为增函数 B. 点为函数图象的对称中心 C. 存在a，使得函数有且仅有一个极值点 D. 函数至少有一个零点 11. （多选题）已知数列的前项和为，，，则（ ） A. 数列是递减数列 B. 数列可以是等比数列 C. D. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 将由1，2，3，4，5组成的无重复数字的5位正整数按从小到大的顺序排列，则32154是第______个数． 13. 已知数列的前项和为，且，，（，），则______． 14. 已知函数，若方程有三个相异的实根，则实数的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为参加武汉市高中生足球友谊赛，某校决定从高一年级的学生中挑选11名球员组建校足球队. （1）若将校足球队的11个名额分到7个班级，每个班级至少1个名额，问有多少种分配方法？ （2）学校教练计划比赛前将除指定的守门员外的其他10名队员，进行分组训练.若其中一组4人，另外两组每组3人，问有多少种不同的分组方式？ （3）比赛入场式时工作人员会为11名队员拍集体照，若要求拍照时、、三人必须相邻，、、、四人均不相邻，问有多少种不同的排法？ 16. 已知，且. （1）求的值； （2）若时，求被4整除的余数. 17. 已知函数. （1）求曲线的斜率等于的切线方程： （2）求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积的最小值. 18. 正项数列中，已知，． （1）证明：数列是等差数列； （2）设，求数列的前项和； （3）若不等式对都成立，求的取值范围． 19. 已知函数. （1）求的值； （2）求函数的单调区间； （3）若不等式对任意都成立（其中是自然对数的底数），求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学训练题 第一部分（选择题） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列满足（），且，则数列的前6项之和为（ ） A. 12 B. 32 C. 36 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得数列是等差数列，利用等差数列性质计算即可得. 【详解】由数列满足，故数列是等差数列， 则， 故数列的前6项之和. 2. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助基本初等函数的导数公式计算即可得. 【详解】，则. 3. 育才中学举行志愿者爱心活动，选派高二年级5名同学到，，三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1名同学，其中甲同学不去服务点，则不同的安排方法共有（ ） A. 80种 B. 90种 C. 100种 D. 120种 【答案】C 【解析】 【详解】将5名同学按和分组分别有种和种分法， 再将含有同学甲的一组安排到或服务点，最后安排另两组，安排方法有种， 所以不同的安排方法共有种. 4. 二项式展开式中含的项是（ ） A. 第7项 B. 第8项 C. 第9项 D. 第10项 【答案】B 【解析】 【详解】由题设，二项式的展开式通项为，， 令，可得，故含的项是第8项. 5. 古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施2子安贝（古印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月31天计算，记此人第日布施了子安贝（其中，），数列的前项和为．若关于的不等式恒成立，则实数的最大整数为（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】先求出和，然后参变分离求出的范围，即可得. 【详解】由题意，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故， 所以， ， 由，得， 整理得对任意，且恒成立. 又，当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的最大整数为. 6. 已知函数在区间存在单调递减区间,则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求导可得,则可转化问题为在上有解,进而求解即可 【详解】由题,, 因为,则若函数在区间存在单调递减区间, 即在上有解, 即存在,使得成立, 设,则, 当时,, 所以,即, 故选:B 【点睛】本题考查利用导函数处理函数的单调性问题,考查已知函数单调性求参数,考查转化思想 7. 设满足，则（ ） A. 120 B. C. 40 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用赋值法令可计算得出，再令求出，构造方程组计算可得. 【详解】因为， 令，即可得， 令，即可得，可得，所以； 令，即可得， 得，得， 所以. 故选：A. 8. 若二次函数的图象与曲线存在公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设公切线与、的切点坐标，由导数几何意义、斜率公式列出方程化简，分离出后构造函数，利用导数求出函数的单调区间、最值，即可求出实数的取值范围． 【详解】设公切线与的图象切于点， 与曲线切于点， 因为，，则， 化简可得，得或， ，且， ，则，即，且， 设，则， 则时，时， 在上单调递增，在上单调递减， ， 综上，实数的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若m，n为正整数且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据组合数和排列数的计算公式和性质，对每个选项逐一计算即可判断. 【详解】对A：由组合数性质：可知，A正确； 对B：，故B错误； 对C：，，左右两边不相等，故C错误； 对D：，故D正确. 故选：AD 10. 设，函数，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，函数为增函数 B. 点为函数图象的对称中心 C. 存在a，使得函数有且仅有一个极值点 D. 函数至少有一个零点 【答案】BD 【解析】 【分析】根据可判断B，利用导函数的性质与图象，结合零点存在性定理可判断ACD. 【详解】由题意，，， 因为对，有， 所以点为函数图象的对称中心，故B正确； 函数的导函数，， ①当时，恒成立，此时函数是上的减函数， 则函数没有极值点，又，， 所以由零点存在性定理可知，此时函数有一个零点； ②当时，，则方程有唯一解， 当时，，当时，，所以函数是上的减函数， 则函数没有极值点，又，， 所以由零点存在性定理可知，此时函数有一个零点； ③当时，由，得，即， 因为，所以方程有两个不相等的根，不妨设，， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 此时，函数有两个极值点， 又时，，时，， 所以由零点存在性定理可知，此时函数至少有一个零点； 综上所述，当时，函数为减函数，故A错误， 当时，函数没有极值点，且有一个零点，当时，函数有两个极值点，且至少有一个零点，故C错误，D正确； 故选：BD. 11. （多选题）已知数列的前项和为，，，则（ ） A. 数列是递减数列 B. 数列可以是等比数列 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件求得，数列是递减数列判断A、C，假设是等比数列，求得矛盾判断B，化为，利用累加法判断D. 【详解】因为，整理有，又，由此可得， 对于A选项，因为，所以数列为递减数列，所以A正确； 对于B选项，若是等比数列，则由可知为定值， 又因为，所以，所以，即， 与矛盾，所以数列不可以是等比数列，所以B错误； 对于C，因为，且为递减数列，又，所以， 所以C正确； 对于D，由，，两边取倒数有， 整理有：， 即，，，， 累加得： ， 即，又，所以， 整理得：，所以D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于对已知条件变形、分析，得到数列的性质. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 将由1，2，3，4，5组成的无重复数字的5位正整数按从小到大的顺序排列，则32154是第______个数． 【答案】 【解析】 【分析】应用排列数及分类讨论求出小于等于所有无重复数字的5位正整数的个数，即可得. 【详解】当万位数是1或2时，共有个， 当万位数是3， 若千位数是1时，有个， 若千位数是2，百位数是1时，有个，分别为， 综上，32154是第个数. 13. 已知数列的前项和为，且，，（，），则______． 【答案】 【解析】 【分析】先通过递推公式构造等比数列求出通项，再利用分组求和与等比数列的求和公式即可求解. 【详解】因为，，所以， 又因为， 所以是首项为3，公比为3的等比数列， 即， 所以， 所以 . 14. 已知函数，若方程有三个相异的实根，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数以及二次函数的性质，可得函数的单调区间，并作图，根据方程与函数的关系，可得答案. 【详解】当时，，求导可得， 令，解得， 当时，；当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 且时恒成立，时，， 当时，， 易知在上单调递增，在上单调递减，函数大致图象如下： 由方程存在三个根，等价于直线与函数的图象存在三个交点， 由图知：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为参加武汉市高中生足球友谊赛，某校决定从高一年级的学生中挑选11名球员组建校足球队. （1）若将校足球队的11个名额分到7个班级，每个班级至少1个名额，问有多少种分配方法？ （2）学校教练计划比赛前将除指定的守门员外的其他10名队员，进行分组训练.若其中一组4人，另外两组每组3人，问有多少种不同的分组方式？ （3）比赛入场式时工作人员会为11名队员拍集体照，若要求拍照时、、三人必须相邻，、、、四人均不相邻，问有多少种不同的排法？ 【答案】（1）210 （2）2100 （3）259200 【解析】 【分析】（1）将11个名额看成11个相同的小球，排成一排后，有10个空位，利用隔板法分析可得答案； （2）根据题意，由平均分组和不平均分组公式分析可得答案； （3）根据题意相邻元素捆绑，不相邻元素插空法，由分步计数原理计算可得答案． 【小问1详解】 将校足球队的个名额分到7个班级，每个班级至少个名额， 问题等价于将个完全相同的小球分7组，每组至少一个小球， 由隔板法可知，不同的分配方法种数为． 【小问2详解】 将除指定的守门员外的其他名队员，进行分组训练，若其中一组人，另外两组每组人， 则不同的方法种数为种. 【小问3详解】 将、、三人进行捆绑，与除、、、四人以外的人进行全排， 然后将、、、四人进行插空， 所以，不同的排法种数为种． 16. 已知，且. （1）求的值； （2）若时，求被4整除的余数. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）根据已知组合数及排列数计算得出，再求导函数结合赋值法求值； （2）应用二项式计算得出余数. 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴. 两边同时求导数 ∴， 令， ∴. 【小问2详解】 时， ， ∴被4整除的余数为3. 17. 已知函数. （1）求曲线的斜率等于的切线方程： （2）求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，设切点坐标为，利用导数的几何意义求出，即可求出切点坐标，从而求出切线方程； （2）先求出三角形的面积表达式，利用导数可求最小值. 【小问1详解】 因为，所以， 设切点坐标为，则，解得， 所以切点坐标为， 可得切线方程为，即. 【小问2详解】 由，曲线在点处的切线方程为， 令，得，令，得， 所以，， 所以， 由得，由得， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以. 18. 正项数列中，已知，． （1）证明：数列是等差数列； （2）设，求数列的前项和； （3）若不等式对都成立，求的取值范围． 【答案】（1）证明:因为，则， 因为是正项数列，则，即， 所以数列是等差数列. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）化简得，结合等差数列的定义即可判断； （2）求出，再分奇偶讨论并结合等差数列的前项和公式求出即可； （3）构造数列，求其单调性，得其最大值即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）可知，数列是以为首项，1为公差的等差数列， 则，即，则. 当为偶数时， ， 当为奇数时，， 故. 【小问3详解】 因对都成立， 则对都成立， 令， 则 ， 当时，，即，即， 当时，，即，即， 则数列的最大值为， 则，得， 所以的取值范围为. 【点睛】第（1）问通过配方将递推式转化为，从而证明为等差数列，这是整个题目的突破口，后两问分别用奇偶分组求和与数列单调性求最值即可解决问题. 19. 已知函数. （1）求的值； （2）求函数的单调区间； （3）若不等式对任意都成立（其中是自然对数的底数），求实数a的取值范围. 【答案】（1）0 （2）单调递增区间为，单调递减区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）直接求导数计算导数值； （2）设，对函数求出导函数，设，利用导数判断单调性； （3）利用分离参数法得到． 设，利用导数判断出在上单调递减，求出最小值，得到的最大值为． 【小问1详解】 的定义域为， ， ∴. 【小问2详解】 （）， 设， ∴， 设， ∴， 在单调递增，单调递减，又， ∴，，∴， 在单调递减，又， ∴，，，， ∴，，，， 单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问3详解】 不等式， 等价于不等式，由， ∴， 设，， ， 由（2）知：， ∴， ∴， ∴在上单调递减， ∴，∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $