命题大赛 湖北武汉市2025-2026学年高二下学期期中考试数学练习

**基本信息** 武汉海淀外校高二下学期数学期中卷，以原创题为主，融入“五一”旅游选景点、骰子抛掷等现实情境，考查排列组合、导数、立体几何等核心知识，注重数学眼光观察与思维表达。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|11题58分|排列组合、导数几何意义、圆外切、条件概率|原创情境题（如游客4景点选法），多空题区分度高| |填空|3题15分|二项式系数、切线方程、导数不等式|结合抽象函数构造（如(x+2023)²f(x+2023)不等式）| |解答|5题77分|概率（不放回摸球）、数列（等差与等比综合）、立体几何（空间角与二面角）、椭圆方程与面积、导数单调性及恒成立|综合题注重逻辑推理（如概率中条件概率计算），导数题考查数学思维严谨性|

武汉市高二下学期数学期中考试 高二数学试卷 解析 命题学校：武汉海淀外校 命题教师：蒋首攀 考试时间：下午14:00——16:00 试卷满分：150 分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试 卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、“五一”期间3位亳州游客来江夏旅游，分别从4个景点中任选一处游览，不同选法的种数是（    ） A．24 B． C． D．12 【分析】利用分步乘法计数原理计算可得. 【详解】解：每位游客有4种选择，由分步乘法计数原理知不同选法的种数是. 故选：B 2、若函数可导，且则等于（    ） A．3 B．1 C．-1 D．-3 【答案】A 【分析】根据导数的定义即可求解. 【详解】=- =3 故选：A 3、已知圆与圆外切，则m的值为（    ） A．1 B．9 C．10 D．16 【答案】D 【分析】直接利用圆心距等于两圆的半径之和列方程即可求解. 【详解】因为圆C与圆O外切，所以两圆的圆心距等于两圆的半径之和，解得m=16． 故选：D． 4、二项式展开式中的系数为（    ） A．- 40 B．60 C．40 D． 【答案】C 【详解】二项展开式的通项为， 令，即r=2 则展开式中的系数为 故选：C． 5、小海把一枚骰子连续抛掷两次，记事件为“两次所得点数均为奇数”，为“至少有一次点数是5”，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】事件为“两次所得点数均为奇数”，则事件为，，，，，，，，，故；为“至少有一次点数是5”，则事件为，，，，，，所以.故选：B. 6、已知等差数列满足,则（    ） A．84 B．64 C．32 D．36 【答案】D 【详解】等差数列性质：也是成等差数列。故选D 7、如图，在正方体中，分别为棱，，的中点，则与MN所成角的正弦值为（    ）    A．– B．– C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，设出正方体边长为2，从而利用向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体边长为2，则， 故， 则与MN所成角的余弦值为，正弦值    故选：C 8、函数的最小值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】B 【分析】分，，三种情况结合导数分析函数单调性求解即可. 【详解】当时，， 则， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则； 当时，， 函数在上单调递增，则； 当时，， 则，函数在上单调递增， 则. 综上所述，函数的最小值为6. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用基本初等函数的求导公式，逐项计算判断作答. 【详解】对于A，,A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确. 对于D，，D错误； 故选：AC 10．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A．如果甲乙必须相邻，且甲在乙左边，那么不同的排法有48种 B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C．甲乙不相邻的排法种数为72种 D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 【答案】BCD 【详解】对于A，如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有种，A不正确； 对于B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，若最左端排甲，有种排法；若最左端排乙，有种排法，合计不同的排法共有42种，B正确； 对于C，甲乙不相邻的排法种数有种，C正确； 对于D，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，D正确. 11、已知直线与双曲线交于两点，为的中点，为坐标原点，若直线的斜率于，则双曲线的离心率可能为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】BD 【分析】易知，即，设，联立双曲线方程，利用韦达定理表示出，结合中点坐标公式和两点坐标表示斜率公式计算即可求解. 【详解】由题意知，即，所以，设， 由，得， ， 则，， 得，所以， 即，可得且. 故选：BD    3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12、 则n= ________． 【答案】 8 13、曲线在处的切线方程是 ． 【答案】 14、设函数f(x)是定义在(–∞，0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且有2f(x)＋xf′(x)> x2， 则不等式(x＋2 023)2 f(x＋2 023)–4f(–2)>0的解集为________． 【答案】　(–∞，–2 025) 解析　由2f(x)＋xf′(x)>x2，x<0，得2xf(x)＋x2·f′(x)<x3，即[x2f(x)]′<x3<0，令F(x)＝x2f(x)，则当x<0时，F′(x)<0，即F(x)在(－∞，0)上是减函数． 因为F(x＋2 023)＝(2 023＋x)2f(x＋2 023)，F(－2)＝4f(－2)，所以F(2 023＋x)－F(－2)>0， 即F(2 023＋x)>F(－2)． 又F(x)在(－∞，0)上是减函数，所以2 023＋x<－2，即x<－2 025. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、袋中装有5个球，其中3个黄球（Y₁, Y₂, Y₃）和2个白球（W₁, W₂）。现从中依次不放回地摸出2个球，设事件 A 为“第一次摸到黄球”，事件 B 为“第二次摸到黄球”。 (1) 求两次都摸到黄球的概率 ； (2) 求在第一次摸到黄球的条件下，第二次摸到黄球的概率 。 【解析】解答：(1) 古典概型计算 总基本事件数： 5 × 4 = 20 （种）。 第一次摸黄球有3种可能，第二次从剩余2个黄球中摸取，共 3 ×2 = 6 （种）。 = = .............................................6分 (2) 条件概率求解 方法一：缩小样本空间 第一次摸到黄球后，剩余4个球（2黄2白）， = = 方法二：公式法 =（第一次摸黄球的概率）， 由(1)知 =， 代入公式： = = =........................13分 16、已知公差不为0的等差数列 ，首项为，且成等比数列。 （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前n项和. 【答案】（1）；（2） =. 【详解】解：（1）成等比数列 ，即 解得: \ ................................................8分 （2） 分组求和，= =.......................15分 17、在三棱锥中，已知，，为的中点，平面，，为中点． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）若点在上，满足，求平面两平面夹角的余弦值． 【分析】（1）由题意画出图形，连接，由已知可得，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到，，设直线与所成角为，由两向量所成角的余弦值，可得直线与所成角的余弦值； （2）由，得，设，，，由向量等式求得，，，进一步求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得 【详解】解：（1）如图，连接，，为的中点，． 以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系． ，，则． ，0，，，0，，，2，，，0，， 是的中点，，1，， ，． 设直线与所成角为， 则 即直线与所成角的余弦值为；..............................7分 （2），， 设，，，则，，，，，，，． ，，． 设平面的一个法向量为， 由，取，得； 设平面的一个法向量为， 由，取，得． ． 即平面两平面夹角的余弦值为.........................15分 18、椭圆经过四个点（，）， （）， （）， （），左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点． (1)求椭圆的方程； (2)当的面积为时，求直线的方程． 【答案】 (1) (2)或 【详解】(1) 和关于y轴对称，椭圆C经过 和 又由,椭圆不经过。把（，）， （）代入，解得：=4，=3 椭圆的方程为： ...................6分 (2)①当直线的倾斜角为时，取． |不适合题意．......................9分 ②当直线的倾斜角不为时，设直线方程， 代入得： 设，则 ． 点到直线的距离 化为，解得， 直线方程为：或．...............................17分 19、已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)设，不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，在定义域单调递减；当时，函数的单调递增区间为，递减区间为，； （2）. 【详解】(1)函数定义域为，且， 令，得，， 当时，，函数在定义域单调递减； 当时，由，得；由，得或， 所以函数的单调递增区间为，递减区间为，. 综上所述， 当时，在定义域单调递减； 当时，函数的单调递增区间为，递减区间为，..............8分 (2)由(1)知当时，函数在区间单调递减，所以当时，，. 问题等价于：对任意的，恒有成立，即. 因为，则，∴， 设，则当时，取得最小值， 所以，实数的取值范围是. ...........................17分 【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，是一道综合题 学科网（北京）股份有限公司 $ 应用场景：期中 武汉市高二下学期数学期中考试 高二数学试卷 命题学校：武汉海淀外校 命题教师：蒋首攀 考试时间：下午14:00-16:00 试卷满分：150 分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试 卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （原创）1、“五一”期间3位安徽亳州游客来江夏旅游，分别从4个景点中任选一处游览，不同选法的种数是（    ） A．24 B． C． D．12 （原创）2、若函数可导，且则等于（    ） A．3 B．1 C．-1 D．-3 （原创）3、已知圆与圆外切，则m的值为（    ） A．1 B．9 C．10 D．16 （原创）4、二项式展开式中的系数为（    ） A．- 40 B．60 C．40 D． （原创）5、小海把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M为“两次所得点数均为奇数”，N为“至少有一次点数是5”，则P（N｜M）等于（ ） A． B． C． D． （原创）6、已知等差数列满足,则（    ） A．84 B．64 C．32 D．36 （原创）7、如图，在正方体中，分别为棱，，的中点，则与MN所成角的正弦值为（    ）    A．– B．– C． D． 8、函数的最小值为（    ） A． B． 6 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． （原创）9、下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． （原创）10、甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A．如果甲乙必须相邻，且甲在乙左边，那么不同的排法有48种 B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C．甲乙不相邻的排法种数为72种 D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 11、已知直线与双曲线交于两点，为的中点，为坐标原点，若直线的斜率于，则双曲线的离心率可能为（    ） A．2 B．3 C． D． 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． （原创）12、 则n= ________． （原创）13、曲线在处的切线方程是________． ． （原创）14、设函数f(x)是定义在(–∞，0)上的可导函数，其导函数为f ′(x)，且有 2f(x)＋xf ′(x)> x2，则不等式(x＋2 023)2 f (x＋2 023)–4 f (–2)>0的解集为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （原创）15、袋中装有5个球，其中3个黄球（Y₁, Y₂, Y₃）和2个白球（W₁, W₂）。现从中依次不放回地摸出2个球，设事件 为“第一次摸到黄球”,事件 为“第二次摸到黄球”. (1) 求两次都摸到黄球的概率 ; (2) 求在第一次摸到黄球的条件下，第二次摸到黄球的概率 . （原创）16、已知公差不为0的等差数列 ，首项为，且成等比数列。 （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前n项和. （改编）17、在三棱锥中，已知，，为的中点， 平面，，为中点． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）若点在上，满足 求平面两平面夹角的余弦值． （原创）18、椭圆经过四个点（，）， （）， （）， （）中的三个点，左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点． (1)求椭圆的方程； (2)当的面积为时，求直线的方程． 19、已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)设，不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 高二数学试卷第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 排列运算 0.8 2 单选题 5 导数定义 0.8 3 单选题 5 圆与圆的位置关系 0.8 4 单选题 5 二项式系数的求法 0.8 5 单选题 5 条件概率的计算 0.8 6 单选题 5 数列通项求法 0.6 7 单选题 5 异面直线的夹角 0.6 8 单选题 5 导数的最值 0.4 9 多选题 6 导数的运算 0.67 10 多选题 6 排列组合的计算 0.67 11 多选题 6 圆锥曲线离心率的求法 0.3 12 填空题 5 二项式计算 0.8 13 填空题 5 切线方程求法 0.7 14 填空题 5 构造函数 0.3 15（1） 解答题 6 古典概率求法 0.83 15（2） 解答题 7 条件概率的计算 0.86 16（1） 解答题 8 数列求通项 0.7 16（2） 解答题 7 错位相减法求和 0.8 17（1） 解答题 7 异面直线成角求法 0.7 17（2） 解答题 8 二面角求法 0.6 18（1） 解答题 6 标准方程求法 0.8 18（2） 解答题 11 面积求法 0.6 19（1） 解答题 8 单调性 0.6 19（2） 解答题 9 最值问题 0.22 Sheet2 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 向量的基本概念（零向量、单位向量、共线向量等） 0.85 2 单选题 5 向量共线定理及三点共线的向量表示 0.8 3 单选题 5 余弦定理在实际测量（航海问题）中的应用 0.75 4 单选题 5 向量的投影向量的概念与计算 0.75 5 单选题 5 平面向量的线性运算及几何图形性质综合 0.65 6 单选题 5 正弦定理与解三角形中解的个数判断 0.7 7 单选题 5 向量的数量积、圆与正多边形的向量最值综合问题 0.45 8 单选题 5 正余弦定理、三角恒等变换与边角范围问题 0.5 9 单选题 5 向量的坐标运算、模的最值、夹角与共线问题 0.6 10 单选题 5 正余弦定理、三角形面积公式及三角形形状判断 0.55 11 填空题 6 向量垂直的坐标表示、向量夹角余弦值的计算 0.75 12 填空题 6 向量新定义运算、向量数量积与模的最值求法 0.55 13 填空题 6 余弦定理与基本不等式结合求最值 0.5 14 解答题 13 向量的坐标运算、向量平行的坐标表示 0.8 15 解答题 15 平面向量基本定理、三点共线定理的推论及应用 0.7 16 解答题 16 正余弦定理的综合应用、三角形周长最值问题 0.65 17 解答题 18 开放性条件选择、正余弦定理、面积公式及几何最值 0.55 18 解答题 20 向量新定义（仿射坐标系）、充要条件证明、恒成立与最值 0.35 $