广东省期中专题2 第1～3章阶段综合模拟测试卷-2025～2026学年北师大版八年级下册

**基本信息** 广东省北师大版八年级下册期中模拟卷，聚焦第1-3章，以不等式、几何变换、一次函数为核心，通过“楚超”吉祥物平移、树苗购买等真实情境，融合基础运算与动态几何探究，体现抽象能力、模型意识与空间观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/20|不等式组整数解、角平分线性质、平移|结合2026年“楚超”热点考查平移性质（第4题）| |填空题|5/10|不等式解集、一次函数与不等式关系|通过函数图像交点求不等式解集（第13题）| |解答题|14/90|几何旋转证明、一次函数综合、方案优化|第26题以植树活动为背景设计购买方案，考查模型意识；第9题等边三角形旋转动态求AF最小值，培养空间观念|

广东省期中专题2 第1~3章阶段综合模拟测试卷-2025~2026北师大版八年级下册解析版 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）已知关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则a的取值范围是（　　） A．1＜a＜2 B．1＜a≤2 C．1≤a＜2 D．1≤a≤2 【考点】一元一次不等式组的整数解．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】根据题意得出一元一次不等式组的整数解是2，3，4，即可得出a的取值范围． 【解答】解：根据题意得一元一次不等式组的整数解是2，3，4， 所以a的取值范围是1≤a＜2， 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，正确计算是解题的关键． 2．（2分）如图，射线OC是∠AOB的角平分线，点D在OC上，DE⊥AO，DF⊥BO，若DE＝3，则DF的长度为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】角平分线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】C 【分析】利用角平分线的性质进行解答即可． 【解答】解：∵OC是∠AOB的角平分线，DE⊥OA，DF⊥OB， ∴DE＝DF＝3， 故选：C． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上点到角两边的距离相等． 3．（2分）如图，△ABC中，∠ABC＝56°，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F，若分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点M，作射线BM，再以点A为圆心，AB长为半径画弧交射线BM于点D，则∠BAD的度数为（　　） A．152° B．114° C．124° D．134° 【考点】作图—基本作图；角平分线的性质．版权所有 【专题】作图题． 【答案】C 【分析】由作图可得，BD平分∠ABC，AD＝AB，可得∠ADB＝∠ABD＝28°，再由三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：由作图可得，BD平分∠ABC，AD＝AB， ∴， ∴∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝124°， 故选：C． 【点评】本题主要考查了作图—基本作图，角平分线的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 4．（2分）2026年4月12日湖北省城市足球联赛（“楚超”）正式开赛，吉祥物“楚小焱”昂首握拳、目光有神，头戴銮金凤冠，尾羽似火焰，展现了湖北儿女敢闯敢拼的精神风貌，以下图案可以通过平移“楚小焱”得到的是（　　） A． B． C． D． 【考点】利用平移设计图案．版权所有 【专题】平移、旋转与对称． 【答案】B 【分析】平移只改变图形的位置，不改变图形的形状，大小和方向，据此可得答案． 【解答】解：由题意得，只有B选项中的图形可以由题干中的图形平移得到， 故选：B． 【点评】本题主要考查了利用平移设计图案，掌握其相关知识点是解题的关键． 5．（2分）关于x的不等式x﹣m≥﹣3的解集如图所示，则m的值为（　　） A．﹣3 B．5 C．3 D．4 【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】B 【分析】先用m表示出不等式的解集，再结合所给数轴得出关于m的等式，据此进行求解即可． 【解答】解：由x﹣m≥﹣3得， x≥m﹣3． 由数轴可知， 不等式的解集为x≥2， 所以m﹣3＝2， 解得m＝5． 故选：B． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，能根据题意得出关于m的等式是解题的关键． 6．（2分）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】根据解不等式组的方法求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来． 【解答】解：， 由①得：x≥﹣2， 由②得：x＜1， ∴一元一次不等式组的解集为﹣2≤x＜1， 在数轴上表示为： 故选：C． 【点评】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，关键是掌握不等式组的解法． 7．（2分）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为x，则可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式组．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】设小朋友人数为x，则苹果总数为5x+12，当每个小朋友分8个苹果时，前（x﹣1）个小朋友分得8（x﹣1）个苹果，最后一个小朋友分得的苹果数为5x+12﹣8（x﹣1），该值大于0且小于8，由此可列不等式组． 【解答】解：根据题意可列不等式组为， 故选：C． 【点评】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 8．（2分）如图，已知一次函数y＝ax+2与y＝mx+n图象的交点坐标为（﹣2，﹣4）．现有下列四个结论：①a＞0；②mn＞0；③方程ax+2＝mx+n的解是x＝﹣2；④若mx+n＜ax+2＜0，则．其中正确的结论是（　　） A．①③ B．③④ C．①②③④ D．①③④ 【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数与一元一次方程．版权所有 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】D 【分析】直接利用一次函数的性质对①②进行判断；利用一次函数y＝ax+2与y＝mx+n图象的交点坐标为（﹣2，﹣4）得到x＝﹣2时，ax+2＝mx+n，于是可对③进行判断；先确定一次函数y＝ax+2的解析式为y＝3x+2，再求出一次函数y＝ax+2与x轴的交点坐标为，然后结合函数图象，写出在x轴下方，直线y＝ax+2在直线y＝mx+n的上方所对应的自变量的范围，从而可对④进行判断． 【解答】解：∵一次函数y＝ax+2的图象经过第一、二、三象限， ∴a＞0，故①正确，符合题意； ∵一次函数y＝mx+n的图象经过第一、三、四象限，且与y轴的负半轴相交， ∴m＞0，n＜0， ∴mn＜0，故②错误，不符合题意； ∵一次函数y＝ax+2与y＝mx+n图象的交点坐标为（﹣2，﹣4）， ∴x＝﹣2时，ax+2＝mx+n，故③正确，符合题意； 把（﹣2，﹣4）代入y＝ax+2得﹣4＝﹣2a+2， 解得：a＝3， ∴一次函数y＝ax+2的解析式为y＝3x+2， 当y＝0时，3x+2＝0， 解得：， ∴一次函数y＝ax+2与x轴的交点坐标为， ∴当，ax+2＜0， ∴当时，mx+n＜ax+2＜0，故④正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 9．（2分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，则AF的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【考点】旋转的性质；等边三角形的性质．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；应用意识． 【答案】D 【分析】作DM⊥AC于M，FN⊥AC于N，如图，设DM＝x，则CMx，可计算出EMx+2，再利用旋转的性质得到ED＝EF，∠DEF＝90°，证明△EDM≌△FEN，当D在BC上时，DM＝EN＝x，EM＝NFx+2，接着利用勾股定理得到AF2＝（x+2）2+（2+x）2，配方得到AF2（x）2+4+2，此时AF2没有最小值，当D在BC的延长线上时，DM＝EN＝x，EM＝NFx+2，在Rt△AFN中，AF2＝（x+2）2+（2﹣x）2（x）2+4+2，然后利用非负数的性质得到AF的最小值． 【解答】解：作DM⊥AC于M，FN⊥AC于N，如图，设DM＝x， 在Rt△CDM中，CMDMx， 而EMx＝2， ∴EMx+2， ∵线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF， ∴ED＝EF，∠DEF＝90°， 易得△EDM≌△FEN， 当D在BC上时， ∴DM＝EN＝x，EM＝NFx+2， 在Rt△AFN中，AF2＝（x+2）2+（2+x）2（x）2+4+2， 此时x＝0时，AF2有最小值，最小值为8，AF的最小值为2， 当D在BC的延长线上时， ∴DM＝EN＝x，EM＝NFx+2， 在Rt△AFN中，AF2＝（x+2）2+（2﹣x）2（x）2+4+2， 当x时，AF2有最小值4+2， ∴AF的最小值为1． 综上所述，AF的最小值为1． 解法二：过点A作AJ⊥BC于J，过点F作FG⊥BC交BC的延长线于G，过点E作EM⊥BC于M，EN⊥FG于N，过点A作AH⊥FG于H． 证明△EMD≌△ENF，推出EN＝EM，推出点F的运动轨迹是直线FG， 当AF⊥FG时，AF的值最小，最小值＝AH＝JG＝1． 故选：D． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质． 10．（2分）如图，已知在△ABC中，BA＝BC＝10，AC＝12，将△ABC绕点A逆时针旋转．得到△AB'C'．点D是边AC的中点，点E为边BC上的动点，在△ABC绕点A逆时针旋转的过程中，点E的对应点是点E'，则线段DE′长度的最大值与最小值的差是（　　） A． B． C． D．18 【考点】旋转的性质；等腰三角形的性质；勾股定理．版权所有 【专题】动点型；平移、旋转与对称；应用意识． 【答案】C 【分析】如图，连接BD，作AH⊥B′C′于H，B′D′⊥AC′于D′．求出DE′的最小值以及最大值即可解决问题． 【解答】解：如图，连接BD，作AH⊥B′C′于H，B′D′⊥AC′于D′． ∵BA＝BC＝10，AD＝DC＝6， ∴BD⊥AC， ∴BD＝B′D′8， ∵S△AB′C′•B′C′•AH•AC′•B′D′， ∴AH， 在旋转过程中，当点E′与E″重合时，DE″的值最小，最小值6， 当点E′与C″重合时，DC″的值最大，最大值＝6+12＝18， ∴线段DE′长度的最大值与最小值的差＝18， 故选：C． 【点评】本题考查旋转变换，等腰三角形的性质，解直角三角形，动点问题等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题． 二．填空题（共5小题，满分10分，每小题2分） 11．（2分）如果关于x不等式x﹣3≤m的正整数解有4个，那么m的取值范围是　1≤m＜2　 ． 【考点】一元一次不等式的整数解．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力；推理能力． 【答案】1≤m＜2． 【分析】先解出不等式，再根据正整数解得到答案即可． 【解答】解：x﹣3≤m， ∴x≤m+3， 由关于x的不等式x﹣3≤m的正整数解有4个， ∴正整数解是1、2、3、4， ∴4≤m+3＜5， ∴m的取值范围是1≤m＜2． 故答案为：1≤m＜2． 【点评】本题考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 12．（2分）不等式的解集为x＜7　 ． 【考点】解一元一次不等式．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】x＜7． 【分析】利用不等式的性质求解即可． 【解答】解：去分母得2﹣（x﹣1）＞﹣4， 去括号得2﹣x+1＞﹣4， 移项、合并同类项得﹣x＞﹣7， 系数化为1得x＜7． 故答案为：x＜7． 【点评】本题考查了解一元一次不等式的解法，理解一元一次不等式的解法是解答此题的关键． 13．（2分）如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象相交于点P（2，﹣2），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是x＞2　 ． 【考点】一次函数与一元一次不等式；两条直线相交或平行问题．版权所有 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】x＞2． 【分析】从函数的角度看，就是寻求使y1＝x+b的值大于y2＝kx+4的值的自变量的取值范围，即在两直线交点的右侧部分自变量的值是不等式的解集，由此即得答案． 【解答】解：根据图象得：关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是x＞2． 故答案为：x＞2． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，正确理解一次函数与一元一次不等式间的关系是解题的关键． 14．（2分）已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝45°，，连接BD、AC，若∠ABD＝60°，，则BC的长为 　　 ． 【考点】勾股定理．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力． 【答案】 【分析】过点D作DH⊥BC于点H，过点A作AE⊥AC交HD的延长线于点E，连接CE．可证明△ABC∽△ADE，可得，求出AE，根据勾股定理求出CE，CH，HE，DE，最后利用可求出BC的长度． 【解答】解：过点D作DH⊥BC于点H，过点A作AE⊥AC交HD的延长线于点E，连接CE． ∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝90°， ∴∠BAC＝∠DAE， ∵∠BAD＝90°，∠ABD＝60°， ∴∠ADB＝∠180°﹣∠BAD﹣∠ABD＝180°﹣90°﹣60°＝30°， ∵∠ADE＝180°﹣∠ADB﹣∠BDH，∠ABC＝∠ABD+∠DBH， ∴∠ADE＝180°﹣30°﹣∠BDH＝150°﹣∠BDH，∠ABC＝60°+90°﹣∠BDH＝150°﹣∠BDH， ∴∠ADE＝∠ABC， ∴△ABC∽△ADE， ∴， ∵tan∠ABD＝tan60°，， ∴， ∴， 在Rt△ACE中， 根据勾股定理，得． ∵∠CHD＝90°，∠BCD＝45°， ∴△CHD是等腰直角三角形，即CH＝DH， ∵， ∴根据勾股定理，得CH2+DH2＝CD2，又CH＝DH， ∴2CH2＝CD2，即CH2CD2， ∴CH2， ∴CH＝DH＝2， 在Rt△ACE中， 根据勾股定理，得6， ∴DE＝HE﹣DH＝DE＝6﹣2＝4， ∵，，DE＝4， ∴BC． 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，能够作出辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键． 15．（2分）如图，在△ABC中，AC＝2+2，∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1，则线段EP1的最大值是 　4　 ，最小值是 　2　 ． 【考点】旋转的性质．版权所有 【专题】三角形；平移、旋转与对称；几何直观． 【答案】4，2． 【分析】过点B作BD⊥AC，D为垂足，当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小．当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，分别求出最大值，最小值即可． 【解答】解：如图，过点B作BD⊥AC，D为垂足， 在Rt△ABD中， ∵∠ADB＝90°，∠A＝45°， ∴AD＝BD， 设AD＝BD＝x， 在Rt△BDC中， ∵∠BDC＝90°，BD＝x，∠C＝30°， ∴CDBDx， ∵AD+CD＝AC， ∴xx＝2+2， 解得x＝2， ∴AD＝BD＝2，BC＝2BD＝4，ABAD＝2， 当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，如图： 此时EP1最小值为：EP1＝BP1﹣BE＝BD﹣BE＝2． 当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，如图： 此时EP1最大值为：EP1＝BC+BE＝4， 故答案为：4，2． 【点评】本题考查旋转变换，解直角三角形，最短问题等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考常考题型． 三．解答题（共14小题，满分90分） 16．（3.5分）解不等式组：． 【考点】解一元一次不等式组．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】﹣2＜x＜6． 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：， 解不等式①得：x＜6， 解不等式②得：x＞﹣2， ∴原不等式组的解集为：﹣2＜x＜6． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 17．（3.5分）（1）解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5． （2）解不等式：． 【考点】解一元一次不等式；解一元一次方程．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】（1）x＝3； （2）x＜3． 【分析】（1）分别移项、合并同类项、系数化为1即可得； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤进行求解即可． 【解答】解：（1）4x﹣1＝2x+5， 4x﹣2x＝5+1， 2x＝6， x＝3； （2）x﹣5+2＞2（x﹣3）， x﹣5+2＞2x﹣6， x﹣2x＞﹣6+5﹣2， ﹣x＞﹣3， x＜3． 【点评】本题主要考查解一元一次方程与一元一次不等式的能力，熟练掌握解一元一次方程、一元一次不等式的基本步骤和依据是解题的关键． 18．（4分）解不等式，并在如图所示的数轴上表示出该不等式的解集． 【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】x≥﹣3，． 【分析】根据解一元一次不等式的步骤进行求解即可． 【解答】解：， 5x﹣3+2≤6x+2， x≥﹣3， 数轴表示如下： ． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 19．（5分）已知两个一次函数y1＝x+1，y2＝2x﹣1，其中y1＝x+1的图象如图所示，请结合图象回答下列问题： （1）画出函数y2＝2x﹣1的图象； （2）若点A（m1，n1）和B（m2，n2）在一次函数y2＝2x﹣1的图象上，当m1＞m2时，判断n1与n2的大小，说明理由； （3）观察图象，当x＞2时，比较y1与y2的大小，说明理由． 【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的图象；一次函数的性质．版权所有 【专题】运算能力；推理能力． 【答案】（1）函数图象如下所示： ； （2）当m1＞m2时，n1＞n2， ∵y2＝2x﹣1，2＞0， ∴y2随x的增大而增大， ∵点A（m1，n1）和B（m2，n2）在一次函数y2＝2x﹣1的图象上，且m1＞m2， ∴n1＞n2； （3）当x＞2时，y1＜y2， 联立，解得， ∴一次函数y1＝x+1和y2＝2x﹣1的交点坐标为（2，3）， ∴由函数图象可知，当x＞2时，y1＜y2． 【分析】（1）先列表，再描点、连线，画出对应的函数图象即可； （2）根据一次函数的增减性求解即可； （3）求出两个一次函数的交点坐标，再结合函数图象即可得到答案． 【解答】解：（1）列表如下： x … 0 1 … y2＝2x﹣1 … ﹣1 1 … 函数图象如下所示： （2）当m1＞m2时，n1＞n2，理由如下： ∵y2＝2x﹣1，2＞0， ∴y2随x的增大而增大， ∵点A（m1，n1）和B（m2，n2）在一次函数y2＝2x﹣1的图象上，且m1＞m2， ∴若点A（m1，n1）和B（m2，n2）在一次函数y2＝2x﹣1的图象上，当m1＞m2时，n1＞n2； （3）当x＞2时，y1＜y2，理由如下： 联立，解得， ∴一次函数y1＝x+1和y2＝2x﹣1的交点坐标为（2，3）， ∴由函数图象可知，当x＞2时，y1＜y2． 【点评】本题主要考查了画一次函数图象，比较一次函数值的大小，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． 20．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在BA上，连接AF． （1）若∠BAC＝36°，求∠CBF的度数； （2）若AC＝12，BC＝9，求AF的长． 【考点】旋转的性质．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力． 【答案】（1）∠CBF的度数是108°． （2）AF的长是6． 【分析】（1）由∠C＝90°，∠BAC＝36°，由得∠ABC＝90°﹣∠BAC＝54°，由旋转得∠FBA＝∠FBE＝∠ABC＝54°，则∠CBF＝2∠ABC＝108°． （2）由∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，求得BA15，由旋转得FE＝AC＝12，BE＝BC＝9，∠BEF＝∠C＝90°，则AE＝BA﹣BE＝6，∠AEF＝90°，所以AF6． 【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝36°， ∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝54°， ∵将△ABC绕点B逆时旋转得到△FBE，点C的点E落在BA上， ∴∠FBA＝∠FBE＝∠ABC＝54°， ∴∠CBF＝∠FBA+∠ABC＝2∠ABC＝108°， ∴∠CBF的度数是108°． （2）∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝9， ∴BA15， 由旋转得FE＝AC＝12，BE＝BC＝9，∠BEF＝∠C＝90°， ∵点E在BA上， ∴AE＝BA﹣BE＝15﹣9＝6，∠AEF＝90°， ∴AF6， ∴AF的长是6． 【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、旋转的性质、勾股定理等知识，正确理解和应用旋转的性质是解题的关键． 21．（5分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，点A，B的对应点分别为点E，D，连接AE，点D恰好落在线段AE上． （1）求证：∠BAD＝90°； （2）连接BD，若AD＝5，DE＝2，求BD的长． 【考点】旋转的性质；勾股定理．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力． 【答案】（1）∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，点A，B的对应点分别为点E，D， ∴∠CAB＝∠CED， ∵∠ACE＝90°，且点D恰好落在线段AE上， ∴∠CAD+∠AEC＝90°， ∴∠CAD+∠CAB＝90°， ∴∠BAD＝90°； （2）． 【分析】（1）利用旋转性质得到∠CAB＝∠CED，结合∠ACE＝90° 推出∠CAD+∠CAB＝90°，从而证明∠BAD＝90°； （2）由旋转性质得AB＝DE＝2，在已证的Rt△ABD中，用勾股定理计算得BD． 【解答】（1）证明：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，点A，B的对应点分别为点E，D， ∴∠CAB＝∠CED， ∵∠ACE＝90°，且点D恰好落在线段AE上， ∴∠CAD+∠AEC＝90°， ∴∠CAD+∠CAB＝90°， ∴∠BAD＝90°； （2）解：由旋转的性质可知AB＝DE＝2， ∵∠BAD＝90°，AD＝5， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：． 【点评】本题考查旋转的性质，勾股定理，利用旋转性质转化条件是解题关键． 22．（5分）感知：如图①，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点B在线段AD上，点C在线段AE上，我们很容易得到BD＝CE，不需证明． 探究：如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转α（0＜α＜90°），连结BD和CE，此时BD＝CE是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由．应用：如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D落在BC的延长线上，连结CE．求： ①∠ACE的度数； ②若AB＝AC＝2，CD＝2，则线段DE的长是多少？ 【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】探究：成立，理由见解答； 应用：①45°； ②2． 【分析】探究：利用SAS证明△ABD≌△ACE，得BD＝CE； 应用：①同理可得△ABD≌△ACE（SAS），得∠ABD＝∠ACE＝45； ②由△ACE≌△ABD得，∠ACE＝∠ABD＝45°，则∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，再利用勾股定理可得答案． 【解答】解：探究：成立，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE， ∵将△ADE绕点A逆时针旋转α， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE； 应用：①∵AB＝AC，∠BAD＝CAE，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE＝45°； ②∵AB＝AC＝2， ∴BC4， ∵△ACE≌△ABD， ∴∠ACE＝∠ABD＝45°， ∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°， ∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE， ∴BC+CD＝BD＝CE＝4＝2＝6； ∴DE2． 【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明△ACE≌△ABD是解题的关键． 23．（5分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象分别与x轴和y轴相交于C、A（0，6）两点，且与正比例函数y2＝﹣2x的图象交于点B（﹣2，m）． （1）求一次函数的解析式； （2）当y1＞y2时，直接写出自变量x的取值范围； （3）点D是一次函数y1图象上一点，若S△OCD＝2S△OCB，求点D的坐标． 【考点】一次函数与一元一次不等式；两条直线相交或平行问题；一次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式．版权所有 【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力． 【答案】（1）y＝x+6； （2）x＞﹣2； （3）（2，8）或（﹣14，﹣8）． 【分析】（1）因一次函数与正比例函数交于点B（﹣2，m），可以将x＝﹣2代入y2＝﹣2x，求出m为4，再将点A（0，6），B（﹣2，4）代入y1＝kx+b即可求出一次函数的解析式； （2）当x＞﹣2时，直线y1＝kx+b（k≠0）在直线y2＝﹣2x的上方； （3）根据S△OCD＝2S△OCB，利用三角形面积公式即可求出|yD|＝8，得出D的纵坐标，代入y＝x+6即可求得横坐标． 【解答】解：（1）把B（﹣2，m）代入y＝﹣2x中得m＝4， ∴B（﹣2，4）， 把A（0，6）、B（﹣2，4）代入y＝kx+b得， 解得， ∴一次函数的解析式y＝x+6； （2）观察图象可知，当y1＞y2时，x＞﹣2； （3）由S△OCDOC•yDOC×|yD|，S△OCBOC×4， ∵S△OCD＝2S△OCB， ∴|yD|＝8， ∴yD＝±8， 代入y＝x+6得x＝2或x＝﹣14， ∴D点的坐标为（2，8）或（﹣14，﹣8）． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． 24．（7分）已知，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，点D是BC上一点，将AD绕点A逆时针旋转180°﹣2α得到AE，过点E作AC的垂线，分别交CA延长线于点F，BC于点G． （1）如图1，点D与点C重合，点G与点B重合，求证：EF＝BF； （2）如图2，用等式表示BG和CD的数量关系，并证明． 【考点】旋转的性质；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．版权所有 【专题】三角形；图形的全等；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力． 【答案】（1）∵EB⊥CF， ∴∠AFE＝∠AFB＝90°， 在Rt△AEF和Rt△ABF中， ， ∴△AEF≌△ABF（HL）， ∴EF＝BF； （2）BG＝CD，如图，连接CE， 由题意知，AE＝AD，∠EAD＝180°﹣2α， 在△BAC中，∠B＝α，AB＝AC， ∴∠C＝α， ∴∠BAC＝180°﹣2α＝∠EAD， ∠BAC﹣∠DAC＝∠EAD﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴CE＝BD，∠ECA＝∠B＝α＝∠FCG， ∵EG⊥CF， ∴∠CFE＝∠CFG＝90°， 在△ECF和△GCF中， ， ∴△ECF≌△GCF（ASA）， ∴CE＝CG， ∴CG＝BD， ∴BG＝CD． 【分析】（1）利用等腰三角形边相等的性质，结合直角三角形全等判定（HL），证明对应边相等； （2）先通过“SAS”证明三角形全等得到边与角的关系，再借助角平分线+垂线的条件，用“ASA”证明另一组三角形全等，进而推导边的数量关系． 【解答】（1）证明：∵EB⊥CF， ∴∠AFE＝∠AFB＝90°， 在Rt△AEF和Rt△ABF中， ， ∴△AEF≌△ABF（HL）， ∴EF＝BF； （2）用等式表示BG和CD的数量关系BG＝CD，证明如下： 如图，连接CE， 由题意知，AE＝AD，∠EAD＝180°﹣2α， 在△BAC中，∠B＝α，AB＝AC， ∴∠C＝α， ∴∠BAC＝180°﹣2α＝∠EAD， ∠EAD﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，即∠CAE＝∠BAD， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴CE＝BD，∠ECA＝∠B＝α＝∠FCG， ∵EG⊥CF， ∴∠CFE＝∠CFG＝90°， 在△ECF和△GCF中， ， ∴△GCF≌△ECF（ASA）， ∴CE＝CG， ∴CG＝BD， ∴BG＝CD． 【点评】本题考查等腰三角形性质与全等三角形的判定及性质，通过构造全等三角形、利用角度和边的关系推导是解题关键． 25．（7分）阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数． 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ 　150°　 ； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2； （3）能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值． 【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答； （2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，根据旋转的性质可得AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，再求出∠E′AF＝45°，从而得到∠EAF＝∠E′AF，然后利用“边角边”证明△EAF和△E′AF全等，根据全等三角形对应边相等可得E′F＝EF，再利用勾股定理列式即可得证． （3）将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB＝2AC，即A′B的长，再根据旋转的性质求出△BOO′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BO＝OO′，等边三角形三个角都是60°求出∠BOO′＝∠BO′O＝60°，然后求出C、O、A′、O′四点共线，再利用勾股定理列式求出A′C，从而得到OA+OB+OC＝A′C． 【解答】解：（1）∵△ACP′≌△ABP， ∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB， 由题意知旋转角∠PA P′＝60°， ∴△AP P′为等边三角形， P P′＝AP＝3，∠A P′P＝60°， 易证△P P′C为直角三角形，且∠P P′C＝90°， ∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°； 故答案为：150°； （2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′， 由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°， ∴∠EAF＝∠E′AF， 在△EAF和△E′AF中， ∴△EAF≌△E′AF（SAS）， ∴E′F＝EF， ∵∠CAB＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∴∠E′CF＝45°+45°＝90°， 由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2， 即EF2＝BE2+FC2． （3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2， ∴BC， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°， ∴△A′O′B如图所示； ∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°， ∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝2， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B， ∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO， ∴△BOO′是等边三角形， ∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°， ∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°， ∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°， ∴C、O、A′、O′四点共线， 在Rt△A′BC中，A′C， ∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C． 【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 26．（8分）“植树节”期间，某校组织八年级学生开展“共植一抹绿，一起上春山”活动．计划购买甲、乙两种树苗，已知购买2棵甲种树苗和3棵乙种树苗共需240元，购买3棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需210元． （1）求购买一棵甲种树苗、一棵乙种树苗各需要多少元； （2）学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？ 【考点】一元一次不等式的应用；一次函数的应用；二元一次方程组的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设购买一棵甲种树苗需要x元，一棵乙种树苗需要y元，根据购买2棵甲种树苗和3棵乙种树苗共需240元，购买3棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需210元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗（600﹣m）棵，根据购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，列出一元一次不等式，解得m≤400，再设总费用为w元，由题意列出w关于m的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【解答】解：（1）设购买一棵甲种树苗需要x元，一棵乙种树苗需要y元， 由题意得：， 解得：， 答：购买一棵甲种树苗需要30元，一棵乙种树苗需要60元； （2）设购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗（600﹣m）棵， 由题意得：m≤2（600﹣m）， 解得：m≤400， 设总费用为w元， 由题意得：w＝30m+60×0.9（600﹣m）＝﹣24m+32400， ∵﹣24＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m＝400时，w有最小值， 此时，600﹣m＝200， 答：购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，才能使购买树苗的总费用最少． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． 27．（8分）某超市销售A，B两种型号的篮球，已知采购3个A型篮球和2个B型篮球需要220元，采购1个A型篮球和4个B型篮球需要290元． （1）该超市采购1个A型篮球和1个B型篮球分别需要多少元？ （2）若该超市准备采购50个这两种型号的篮球，总费用不超过2550元，则最多可采购B型篮球多少个？ （3）在（2）的条件下，若该超市以每个A型篮球58元和每个B型篮球98元的价格销售完采购的篮球，能否实现利润不少于1540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】（1）该超市采购1个A型篮球需要30元，1个B型篮球需要65元； （2）最多可采购B型篮球30个； （3）能，该超市共有3种采购方案．方案1：采购A型篮球22个，B型篮球28个；方案2：采购A型篮球21个，B型篮球29个；方案3：采购A型篮球20个，B型篮球30个． 【分析】（1）设该超市采购1个A型篮球需要x元，1个B型篮球需要y元，根据采购3个A型篮球和2个B型篮球需要220元，采购1个A型篮球和4个B型篮球需要290元，列出方程组进行求解即可； （2）设采购B型篮球m个，则采购A型篮球（50﹣m）个，根据题意，列出不等式进行求解即可； （3）根据利润不少于1540元，列出不等式，求出m的范围，结合（2）中m的范围，即可得出结果． 【解答】解：（1）设该超市采购1个A型篮球需要x元，1个B型篮球需要y元． 根据题意，得 解得 即该超市采购1个A型篮球需要30元，1个B型篮球需要65元， 答：该超市采购1个A型篮球需要30元，1个B型篮球需要65元； （2）设采购B型篮球m个，则采购A型篮球（50﹣m）个． 根据题意，得30（50﹣m）+65m≤2550， 整理得，35m≤1050， 解得m≤30， 所以m的最大值为30． 答：最多可采购B型篮球30个． （3）根据题意列一元一次不等式得，（98﹣65）m+（58﹣30）（50﹣m）≥1540， 解得m≥28． 因为m≤30，且m为正整数，所以m可取28，29，30， 所以能实现利润不少于1540元的目标，该超市共有3种采购方案． 方案1：采购A型篮球22个，B型篮球28个； 方案2：采购A型篮球21个，B型篮球29个； 方案3：采购A型篮球20个，B型篮球30个． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，关键是根据题意找到关系式． 28．（11分）阅读以下材料：对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{﹣1，2，3}；min{﹣1，2，3}＝﹣1；min{﹣1，2，a}解决下列问题： （1）min{，，}＝　　 若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，则x的范围为 　0≤x≤1　 ； （2）①如果M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，求x； ②根据①，你发现了结论“如果M{a，b，c}＝min{a，b，c}，那么 a＝b＝c （填a，b，c的大小关系）”．证明你发现的结论； ③运用②的结论，填空： 若M{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}＝min{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}，则x+y＝　﹣4　 ． 【考点】一元一次不等式组的应用．版权所有 【专题】阅读型． 【答案】见试题解答内容 【分析】①M{a，b，c}表示这a，b，c三个数的平均数，即求的值； ②min{a，b，c}表示这a，b，c三个数中最小的数，即比较三个数的大小哪一个最小． 【解答】解：（1）min{，，}； 由min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，得，即0≤x≤1． （2）①∵M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，∴，即，∴x＝1 ②证明：由M{a，b，c}＝min{a，b，c}，可令，即b+c＝2a⑤； 又∵，解之 得：a+c≤2b ⑥，a+b≤2c⑦； 由⑤⑥可得c≤b；由⑤⑦可得b≤c； ∴b＝c；将b＝c代入⑤得c＝a； ∴a＝b＝c． ③据②可得， 解之得y＝﹣1，x＝﹣3， ∴x+y＝﹣4． 【点评】本题解决的关键是读懂题意，据题意结合方程和不等式去求解，考查综合应用能力． 29．（13分）为响应习总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，我州北部某市向南部某贫困县中小学捐赠一批书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套． （1）求书籍和实验器材各有多少套？ （2）现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该县．已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套．运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来． （3）在（2）的条件下，如果甲种型号的货车每辆需付运费1000元，乙种型号的货车每辆需付运费900元．假设你是决策者，应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？ 【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设书籍和实验器材分别为x、y套，根据题意书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套，列方程解答即可； （2）设安排甲型号的货车a辆，则安排乙型号的货车（8﹣a）辆，根据题意列不等式求a的取值范围，根据a取整数，可得a的取值为0，1，2，3，4，故有5种方案； （3）根据（2）中的5种方案和甲种型号的货车每辆需付运费1000元，乙种型号的货车每辆需付运费900元，分别求得运费，求出最少运费即可； 【解答】解：（1）设书籍和实验器材分别为x、y套． 根据题意得： 解得： 故书籍和实验器材分别为240套，120套． （2）设安排甲型号的货车a辆，则安排乙型号的货车（8﹣a）辆． 根据题意得： 解得：0≤a≤4 又∵a取非负整数， ∴a＝0，1，2，3，4 8﹣a＝8，7，6，5，4， ∴共有4种方案，如下： 方案一：甲0辆，乙8辆 方案二：甲1辆，乙7辆 方案三：甲2辆，乙6辆 方案四：甲3辆，乙5辆 方案五：甲4辆，乙4辆 （3）方案一所需运费：8×900＝7200（元） 方案二所需运费：1000+7×900＝7300（元） 方案三所需运费：2×1000+6×900＝7400（元） 方案四所需运费：3×1000+5×900＝7500（元） 方案五所需运费：4×1000+4×900＝7600（元） 故运输部门应选择方案一，他的运费最少，最少运费是7200元． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式组解决实际问题，找到题目的等式关系是解题的关键．广东省期中专题2 第1~3章阶段综合模拟测试卷-2025~2026北师大版八年级下册 解析版 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）已知关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则a的取值范围是（　　） A．1＜a＜2 B．1＜a≤2 C．1≤a＜2 D．1≤a≤2 【考点】一元一次不等式组的整数解．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】根据题意得出一元一次不等式组的整数解是2，3，4，即可得出a的取值范围． 【解答】解：根据题意得一元一次不等式组的整数解是2，3，4， 所以a的取值范围是1≤a＜2， 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，正确计算是解题的关键． 2．（2分）如图，射线OC是∠AOB的角平分线，点D在OC上，DE⊥AO，DF⊥BO，若DE＝3，则DF的长度为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】角平分线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】C 【分析】利用角平分线的性质进行解答即可． 【解答】解：∵OC是∠AOB的角平分线，DE⊥OA，DF⊥OB， ∴DE＝DF＝3， 故选：C． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上点到角两边的距离相等． 3．（2分）如图，△ABC中，∠ABC＝56°，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F，若分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点M，作射线BM，再以点A为圆心，AB长为半径画弧交射线BM于点D，则∠BAD的度数为（　　） A．152° B．114° C．124° D．134° 【考点】作图—基本作图；角平分线的性质．版权所有 【专题】作图题． 【答案】C 【分析】由作图可得，BD平分∠ABC，AD＝AB，可得∠ADB＝∠ABD＝28°，再由三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：由作图可得，BD平分∠ABC，AD＝AB， ∴， ∴∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝124°， 故选：C． 【点评】本题主要考查了作图—基本作图，角平分线的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 4．（2分）2026年4月12日湖北省城市足球联赛（“楚超”）正式开赛，吉祥物“楚小焱”昂首握拳、目光有神，头戴銮金凤冠，尾羽似火焰，展现了湖北儿女敢闯敢拼的精神风貌，以下图案可以通过平移“楚小焱”得到的是（　　） A． B． C． D． 【考点】利用平移设计图案．版权所有 【专题】平移、旋转与对称． 【答案】B 【分析】平移只改变图形的位置，不改变图形的形状，大小和方向，据此可得答案． 【解答】解：由题意得，只有B选项中的图形可以由题干中的图形平移得到， 故选：B． 【点评】本题主要考查了利用平移设计图案，掌握其相关知识点是解题的关键． 5．（2分）关于x的不等式x﹣m≥﹣3的解集如图所示，则m的值为（　　） A．﹣3 B．5 C．3 D．4 【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】B 【分析】先用m表示出不等式的解集，再结合所给数轴得出关于m的等式，据此进行求解即可． 【解答】解：由x﹣m≥﹣3得， x≥m﹣3． 由数轴可知， 不等式的解集为x≥2， 所以m﹣3＝2， 解得m＝5． 故选：B． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，能根据题意得出关于m的等式是解题的关键． 6．（2分）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】根据解不等式组的方法求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来． 【解答】解：， 由①得：x≥﹣2， 由②得：x＜1， ∴一元一次不等式组的解集为﹣2≤x＜1， 在数轴上表示为： 故选：C． 【点评】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，关键是掌握不等式组的解法． 7．（2分）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为x，则可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式组．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】设小朋友人数为x，则苹果总数为5x+12，当每个小朋友分8个苹果时，前（x﹣1）个小朋友分得8（x﹣1）个苹果，最后一个小朋友分得的苹果数为5x+12﹣8（x﹣1），该值大于0且小于8，由此可列不等式组． 【解答】解：根据题意可列不等式组为， 故选：C． 【点评】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 8．（2分）如图，已知一次函数y＝ax+2与y＝mx+n图象的交点坐标为（﹣2，﹣4）．现有下列四个结论：①a＞0；②mn＞0；③方程ax+2＝mx+n的解是x＝﹣2；④若mx+n＜ax+2＜0，则．其中正确的结论是（　　） A．①③ B．③④ C．①②③④ D．①③④ 【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数与一元一次方程．版权所有 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】D 【分析】直接利用一次函数的性质对①②进行判断；利用一次函数y＝ax+2与y＝mx+n图象的交点坐标为（﹣2，﹣4）得到x＝﹣2时，ax+2＝mx+n，于是可对③进行判断；先确定一次函数y＝ax+2的解析式为y＝3x+2，再求出一次函数y＝ax+2与x轴的交点坐标为，然后结合函数图象，写出在x轴下方，直线y＝ax+2在直线y＝mx+n的上方所对应的自变量的范围，从而可对④进行判断． 【解答】解：∵一次函数y＝ax+2的图象经过第一、二、三象限， ∴a＞0，故①正确，符合题意； ∵一次函数y＝mx+n的图象经过第一、三、四象限，且与y轴的负半轴相交， ∴m＞0，n＜0， ∴mn＜0，故②错误，不符合题意； ∵一次函数y＝ax+2与y＝mx+n图象的交点坐标为（﹣2，﹣4）， ∴x＝﹣2时，ax+2＝mx+n，故③正确，符合题意； 把（﹣2，﹣4）代入y＝ax+2得﹣4＝﹣2a+2， 解得：a＝3， ∴一次函数y＝ax+2的解析式为y＝3x+2， 当y＝0时，3x+2＝0， 解得：， ∴一次函数y＝ax+2与x轴的交点坐标为， ∴当，ax+2＜0， ∴当时，mx+n＜ax+2＜0，故④正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 9．（2分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，则AF的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【考点】旋转的性质；等边三角形的性质．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；应用意识． 【答案】D 【分析】作DM⊥AC于M，FN⊥AC于N，如图，设DM＝x，则CMx，可计算出EMx+2，再利用旋转的性质得到ED＝EF，∠DEF＝90°，证明△EDM≌△FEN，当D在BC上时，DM＝EN＝x，EM＝NFx+2，接着利用勾股定理得到AF2＝（x+2）2+（2+x）2，配方得到AF2（x）2+4+2，此时AF2没有最小值，当D在BC的延长线上时，DM＝EN＝x，EM＝NFx+2，在Rt△AFN中，AF2＝（x+2）2+（2﹣x）2（x）2+4+2，然后利用非负数的性质得到AF的最小值． 【解答】解：作DM⊥AC于M，FN⊥AC于N，如图，设DM＝x， 在Rt△CDM中，CMDMx， 而EMx＝2， ∴EMx+2， ∵线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF， ∴ED＝EF，∠DEF＝90°， 易得△EDM≌△FEN， 当D在BC上时， ∴DM＝EN＝x，EM＝NFx+2， 在Rt△AFN中，AF2＝（x+2）2+（2+x）2（x）2+4+2， 此时x＝0时，AF2有最小值，最小值为8，AF的最小值为2， 当D在BC的延长线上时， ∴DM＝EN＝x，EM＝NFx+2， 在Rt△AFN中，AF2＝（x+2）2+（2﹣x）2（x）2+4+2， 当x时，AF2有最小值4+2， ∴AF的最小值为1． 综上所述，AF的最小值为1． 解法二：过点A作AJ⊥BC于J，过点F作FG⊥BC交BC的延长线于G，过点E作EM⊥BC于M，EN⊥FG于N，过点A作AH⊥FG于H． 证明△EMD≌△ENF，推出EN＝EM，推出点F的运动轨迹是直线FG， 当AF⊥FG时，AF的值最小，最小值＝AH＝JG＝1． 故选：D． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质． 10．（2分）如图，已知在△ABC中，BA＝BC＝10，AC＝12，将△ABC绕点A逆时针旋转．得到△AB'C'．点D是边AC的中点，点E为边BC上的动点，在△ABC绕点A逆时针旋转的过程中，点E的对应点是点E'，则线段DE′长度的最大值与最小值的差是（　　） A． B． C． D．18 【考点】旋转的性质；等腰三角形的性质；勾股定理．版权所有 【专题】动点型；平移、旋转与对称；应用意识． 【答案】C 【分析】如图，连接BD，作AH⊥B′C′于H，B′D′⊥AC′于D′．求出DE′的最小值以及最大值即可解决问题． 【解答】解：如图，连接BD，作AH⊥B′C′于H，B′D′⊥AC′于D′． ∵BA＝BC＝10，AD＝DC＝6， ∴BD⊥AC， ∴BD＝B′D′8， ∵S△AB′C′•B′C′•AH•AC′•B′D′， ∴AH， 在旋转过程中，当点E′与E″重合时，DE″的值最小，最小值6， 当点E′与C″重合时，DC″的值最大，最大值＝6+12＝18， ∴线段DE′长度的最大值与最小值的差＝18， 故选：C． 【点评】本题考查旋转变换，等腰三角形的性质，解直角三角形，动点问题等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题． 二．填空题（共5小题，满分10分，每小题2分） 11．（2分）如果关于x不等式x﹣3≤m的正整数解有4个，那么m的取值范围是　1≤m＜2　 ． 【考点】一元一次不等式的整数解．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力；推理能力． 【答案】1≤m＜2． 【分析】先解出不等式，再根据正整数解得到答案即可． 【解答】解：x﹣3≤m， ∴x≤m+3， 由关于x的不等式x﹣3≤m的正整数解有4个， ∴正整数解是1、2、3、4， ∴4≤m+3＜5， ∴m的取值范围是1≤m＜2． 故答案为：1≤m＜2． 【点评】本题考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 12．（2分）不等式的解集为x＜7　 ． 【考点】解一元一次不等式．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】x＜7． 【分析】利用不等式的性质求解即可． 【解答】解：去分母得2﹣（x﹣1）＞﹣4， 去括号得2﹣x+1＞﹣4， 移项、合并同类项得﹣x＞﹣7， 系数化为1得x＜7． 故答案为：x＜7． 【点评】本题考查了解一元一次不等式的解法，理解一元一次不等式的解法是解答此题的关键． 13．（2分）如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象相交于点P（2，﹣2），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是x＞2　 ． 【考点】一次函数与一元一次不等式；两条直线相交或平行问题．版权所有 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】x＞2． 【分析】从函数的角度看，就是寻求使y1＝x+b的值大于y2＝kx+4的值的自变量的取值范围，即在两直线交点的右侧部分自变量的值是不等式的解集，由此即得答案． 【解答】解：根据图象得：关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是x＞2． 故答案为：x＞2． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，正确理解一次函数与一元一次不等式间的关系是解题的关键． 14．（2分）已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝45°，，连接BD、AC，若∠ABD＝60°，，则BC的长为 　　 ． 【考点】勾股定理．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力． 【答案】 【分析】过点D作DH⊥BC于点H，过点A作AE⊥AC交HD的延长线于点E，连接CE．可证明△ABC∽△ADE，可得，求出AE，根据勾股定理求出CE，CH，HE，DE，最后利用可求出BC的长度． 【解答】解：过点D作DH⊥BC于点H，过点A作AE⊥AC交HD的延长线于点E，连接CE． ∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝90°， ∴∠BAC＝∠DAE， ∵∠BAD＝90°，∠ABD＝60°， ∴∠ADB＝∠180°﹣∠BAD﹣∠ABD＝180°﹣90°﹣60°＝30°， ∵∠ADE＝180°﹣∠ADB﹣∠BDH，∠ABC＝∠ABD+∠DBH， ∴∠ADE＝180°﹣30°﹣∠BDH＝150°﹣∠BDH，∠ABC＝60°+90°﹣∠BDH＝150°﹣∠BDH， ∴∠ADE＝∠ABC， ∴△ABC∽△ADE， ∴， ∵tan∠ABD＝tan60°，， ∴， ∴， 在Rt△ACE中， 根据勾股定理，得． ∵∠CHD＝90°，∠BCD＝45°， ∴△CHD是等腰直角三角形，即CH＝DH， ∵， ∴根据勾股定理，得CH2+DH2＝CD2，又CH＝DH， ∴2CH2＝CD2，即CH2CD2， ∴CH2， ∴CH＝DH＝2， 在Rt△ACE中， 根据勾股定理，得6， ∴DE＝HE﹣DH＝DE＝6﹣2＝4， ∵，，DE＝4， ∴BC． 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，能够作出辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键． 15．（2分）如图，在△ABC中，AC＝2+2，∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1，则线段EP1的最大值是 　4　 ，最小值是 　2　 ． 【考点】旋转的性质．版权所有 【专题】三角形；平移、旋转与对称；几何直观． 【答案】4，2． 【分析】过点B作BD⊥AC，D为垂足，当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小．当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，分别求出最大值，最小值即可． 【解答】解：如图，过点B作BD⊥AC，D为垂足， 在Rt△ABD中， ∵∠ADB＝90°，∠A＝45°， ∴AD＝BD， 设AD＝BD＝x， 在Rt△BDC中， ∵∠BDC＝90°，BD＝x，∠C＝30°， ∴CDBDx， ∵AD+CD＝AC， ∴xx＝2+2， 解得x＝2， ∴AD＝BD＝2，BC＝2BD＝4，ABAD＝2， 当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，如图： 此时EP1最小值为：EP1＝BP1﹣BE＝BD﹣BE＝2． 当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，如图： 此时EP1最大值为：EP1＝BC+BE＝4， 故答案为：4，2． 【点评】本题考查旋转变换，解直角三角形，最短问题等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考常考题型． 三．解答题（共14小题，满分90分） 16．（3.5分）解不等式组：． 【考点】解一元一次不等式组．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】﹣2＜x＜6． 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：， 解不等式①得：x＜6， 解不等式②得：x＞﹣2， ∴原不等式组的解集为：﹣2＜x＜6． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 17．（3.5分）（1）解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5． （2）解不等式：． 【考点】解一元一次不等式；解一元一次方程．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】（1）x＝3； （2）x＜3． 【分析】（1）分别移项、合并同类项、系数化为1即可得； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤进行求解即可． 【解答】解：（1）4x﹣1＝2x+5， 4x﹣2x＝5+1， 2x＝6， x＝3； （2）x﹣5+2＞2（x﹣3）， x﹣5+2＞2x﹣6， x﹣2x＞﹣6+5﹣2， ﹣x＞﹣3， x＜3． 【点评】本题主要考查解一元一次方程与一元一次不等式的能力，熟练掌握解一元一次方程、一元一次不等式的基本步骤和依据是解题的关键． 18．（4分）解不等式，并在如图所示的数轴上表示出该不等式的解集． 【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】x≥﹣3，． 【分析】根据解一元一次不等式的步骤进行求解即可． 【解答】解：， 5x﹣3+2≤6x+2， x≥﹣3， 数轴表示如下： ． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 19．（5分）已知两个一次函数y1＝x+1，y2＝2x﹣1，其中y1＝x+1的图象如图所示，请结合图象回答下列问题： （1）画出函数y2＝2x﹣1的图象； （2）若点A（m1，n1）和B（m2，n2）在一次函数y2＝2x﹣1的图象上，当m1＞m2时，判断n1与n2的大小，说明理由； （3）观察图象，当x＞2时，比较y1与y2的大小，说明理由． 【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的图象；一次函数的性质．版权所有 【专题】运算能力；推理能力． 【答案】（1）函数图象如下所示： ； （2）当m1＞m2时，n1＞n2， ∵y2＝2x﹣1，2＞0， ∴y2随x的增大而增大， ∵点A（m1，n1）和B（m2，n2）在一次函数y2＝2x﹣1的图象上，且m1＞m2， ∴n1＞n2； （3）当x＞2时，y1＜y2， 联立，解得， ∴一次函数y1＝x+1和y2＝2x﹣1的交点坐标为（2，3）， ∴由函数图象可知，当x＞2时，y1＜y2． 【分析】（1）先列表，再描点、连线，画出对应的函数图象即可； （2）根据一次函数的增减性求解即可； （3）求出两个一次函数的交点坐标，再结合函数图象即可得到答案． 【解答】解：（1）列表如下： x … 0 1 … y2＝2x﹣1 … ﹣1 1 … 函数图象如下所示： （2）当m1＞m2时，n1＞n2，理由如下： ∵y2＝2x﹣1，2＞0， ∴y2随x的增大而增大， ∵点A（m1，n1）和B（m2，n2）在一次函数y2＝2x﹣1的图象上，且m1＞m2， ∴若点A（m1，n1）和B（m2，n2）在一次函数y2＝2x﹣1的图象上，当m1＞m2时，n1＞n2； （3）当x＞2时，y1＜y2，理由如下： 联立，解得， ∴一次函数y1＝x+1和y2＝2x﹣1的交点坐标为（2，3）， ∴由函数图象可知，当x＞2时，y1＜y2． 【点评】本题主要考查了画一次函数图象，比较一次函数值的大小，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． 20．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在BA上，连接AF． （1）若∠BAC＝36°，求∠CBF的度数； （2）若AC＝12，BC＝9，求AF的长． 【考点】旋转的性质．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力． 【答案】（1）∠CBF的度数是108°． （2）AF的长是6． 【分析】（1）由∠C＝90°，∠BAC＝36°，由得∠ABC＝90°﹣∠BAC＝54°，由旋转得∠FBA＝∠FBE＝∠ABC＝54°，则∠CBF＝2∠ABC＝108°． （2）由∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，求得BA15，由旋转得FE＝AC＝12，BE＝BC＝9，∠BEF＝∠C＝90°，则AE＝BA﹣BE＝6，∠AEF＝90°，所以AF6． 【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝36°， ∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝54°， ∵将△ABC绕点B逆时旋转得到△FBE，点C的点E落在BA上， ∴∠FBA＝∠FBE＝∠ABC＝54°， ∴∠CBF＝∠FBA+∠ABC＝2∠ABC＝108°， ∴∠CBF的度数是108°． （2）∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝9， ∴BA15， 由旋转得FE＝AC＝12，BE＝BC＝9，∠BEF＝∠C＝90°， ∵点E在BA上， ∴AE＝BA﹣BE＝15﹣9＝6，∠AEF＝90°， ∴AF6， ∴AF的长是6． 【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、旋转的性质、勾股定理等知识，正确理解和应用旋转的性质是解题的关键． 21．（5分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，点A，B的对应点分别为点E，D，连接AE，点D恰好落在线段AE上． （1）求证：∠BAD＝90°； （2）连接BD，若AD＝5，DE＝2，求BD的长． 【考点】旋转的性质；勾股定理．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力． 【答案】（1）∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，点A，B的对应点分别为点E，D， ∴∠CAB＝∠CED， ∵∠ACE＝90°，且点D恰好落在线段AE上， ∴∠CAD+∠AEC＝90°， ∴∠CAD+∠CAB＝90°， ∴∠BAD＝90°； （2）． 【分析】（1）利用旋转性质得到∠CAB＝∠CED，结合∠ACE＝90° 推出∠CAD+∠CAB＝90°，从而证明∠BAD＝90°； （2）由旋转性质得AB＝DE＝2，在已证的Rt△ABD中，用勾股定理计算得BD． 【解答】（1）证明：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，点A，B的对应点分别为点E，D， ∴∠CAB＝∠CED， ∵∠ACE＝90°，且点D恰好落在线段AE上， ∴∠CAD+∠AEC＝90°， ∴∠CAD+∠CAB＝90°， ∴∠BAD＝90°； （2）解：由旋转的性质可知AB＝DE＝2， ∵∠BAD＝90°，AD＝5， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：． 【点评】本题考查旋转的性质，勾股定理，利用旋转性质转化条件是解题关键． 22．（5分）感知：如图①，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点B在线段AD上，点C在线段AE上，我们很容易得到BD＝CE，不需证明． 探究：如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转α（0＜α＜90°），连结BD和CE，此时BD＝CE是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由．应用：如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D落在BC的延长线上，连结CE．求： ①∠ACE的度数； ②若AB＝AC＝2，CD＝2，则线段DE的长是多少？ 【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】探究：成立，理由见解答； 应用：①45°； ②2． 【分析】探究：利用SAS证明△ABD≌△ACE，得BD＝CE； 应用：①同理可得△ABD≌△ACE（SAS），得∠ABD＝∠ACE＝45； ②由△ACE≌△ABD得，∠ACE＝∠ABD＝45°，则∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，再利用勾股定理可得答案． 【解答】解：探究：成立，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE， ∵将△ADE绕点A逆时针旋转α， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE； 应用：①∵AB＝AC，∠BAD＝CAE，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE＝45°； ②∵AB＝AC＝2， ∴BC4， ∵△ACE≌△ABD， ∴∠ACE＝∠ABD＝45°， ∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°， ∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE， ∴BC+CD＝BD＝CE＝4＝2＝6； ∴DE2． 【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明△ACE≌△ABD是解题的关键． 23．（5分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象分别与x轴和y轴相交于C、A（0，6）两点，且与正比例函数y2＝﹣2x的图象交于点B（﹣2，m）． （1）求一次函数的解析式； （2）当y1＞y2时，直接写出自变量x的取值范围； （3）点D是一次函数y1图象上一点，若S△OCD＝2S△OCB，求点D的坐标． 【考点】一次函数与一元一次不等式；两条直线相交或平行问题；一次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式．版权所有 【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力． 【答案】（1）y＝x+6； （2）x＞﹣2； （3）（2，8）或（﹣14，﹣8）． 【分析】（1）因一次函数与正比例函数交于点B（﹣2，m），可以将x＝﹣2代入y2＝﹣2x，求出m为4，再将点A（0，6），B（﹣2，4）代入y1＝kx+b即可求出一次函数的解析式； （2）当x＞﹣2时，直线y1＝kx+b（k≠0）在直线y2＝﹣2x的上方； （3）根据S△OCD＝2S△OCB，利用三角形面积公式即可求出|yD|＝8，得出D的纵坐标，代入y＝x+6即可求得横坐标． 【解答】解：（1）把B（﹣2，m）代入y＝﹣2x中得m＝4， ∴B（﹣2，4）， 把A（0，6）、B（﹣2，4）代入y＝kx+b得， 解得， ∴一次函数的解析式y＝x+6； （2）观察图象可知，当y1＞y2时，x＞﹣2； （3）由S△OCDOC•yDOC×|yD|，S△OCBOC×4， ∵S△OCD＝2S△OCB， ∴|yD|＝8， ∴yD＝±8， 代入y＝x+6得x＝2或x＝﹣14， ∴D点的坐标为（2，8）或（﹣14，﹣8）． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． 24．（7分）已知，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，点D是BC上一点，将AD绕点A逆时针旋转180°﹣2α得到AE，过点E作AC的垂线，分别交CA延长线于点F，BC于点G． （1）如图1，点D与点C重合，点G与点B重合，求证：EF＝BF； （2）如图2，用等式表示BG和CD的数量关系，并证明． 【考点】旋转的性质；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．版权所有 【专题】三角形；图形的全等；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力． 【答案】（1）∵EB⊥CF， ∴∠AFE＝∠AFB＝90°， 在Rt△AEF和Rt△ABF中， ， ∴△AEF≌△ABF（HL）， ∴EF＝BF； （2）BG＝CD，如图，连接CE， 由题意知，AE＝AD，∠EAD＝180°﹣2α， 在△BAC中，∠B＝α，AB＝AC， ∴∠C＝α， ∴∠BAC＝180°﹣2α＝∠EAD， ∠BAC﹣∠DAC＝∠EAD﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴CE＝BD，∠ECA＝∠B＝α＝∠FCG， ∵EG⊥CF， ∴∠CFE＝∠CFG＝90°， 在△ECF和△GCF中， ， ∴△ECF≌△GCF（ASA）， ∴CE＝CG， ∴CG＝BD， ∴BG＝CD． 【分析】（1）利用等腰三角形边相等的性质，结合直角三角形全等判定（HL），证明对应边相等； （2）先通过“SAS”证明三角形全等得到边与角的关系，再借助角平分线+垂线的条件，用“ASA”证明另一组三角形全等，进而推导边的数量关系． 【解答】（1）证明：∵EB⊥CF， ∴∠AFE＝∠AFB＝90°， 在Rt△AEF和Rt△ABF中， ， ∴△AEF≌△ABF（HL）， ∴EF＝BF； （2）用等式表示BG和CD的数量关系BG＝CD，证明如下： 如图，连接CE， 由题意知，AE＝AD，∠EAD＝180°﹣2α， 在△BAC中，∠B＝α，AB＝AC， ∴∠C＝α， ∴∠BAC＝180°﹣2α＝∠EAD， ∠EAD﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，即∠CAE＝∠BAD， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴CE＝BD，∠ECA＝∠B＝α＝∠FCG， ∵EG⊥CF， ∴∠CFE＝∠CFG＝90°， 在△ECF和△GCF中， ， ∴△GCF≌△ECF（ASA）， ∴CE＝CG， ∴CG＝BD， ∴BG＝CD． 【点评】本题考查等腰三角形性质与全等三角形的判定及性质，通过构造全等三角形、利用角度和边的关系推导是解题关键． 25．（7分）阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数． 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ 　150°　 ； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2； （3）能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值． 【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答； （2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，根据旋转的性质可得AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，再求出∠E′AF＝45°，从而得到∠EAF＝∠E′AF，然后利用“边角边”证明△EAF和△E′AF全等，根据全等三角形对应边相等可得E′F＝EF，再利用勾股定理列式即可得证． （3）将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB＝2AC，即A′B的长，再根据旋转的性质求出△BOO′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BO＝OO′，等边三角形三个角都是60°求出∠BOO′＝∠BO′O＝60°，然后求出C、O、A′、O′四点共线，再利用勾股定理列式求出A′C，从而得到OA+OB+OC＝A′C． 【解答】解：（1）∵△ACP′≌△ABP， ∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB， 由题意知旋转角∠PA P′＝60°， ∴△AP P′为等边三角形， P P′＝AP＝3，∠A P′P＝60°， 易证△P P′C为直角三角形，且∠P P′C＝90°， ∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°； 故答案为：150°； （2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′， 由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°， ∴∠EAF＝∠E′AF， 在△EAF和△E′AF中， ∴△EAF≌△E′AF（SAS）， ∴E′F＝EF， ∵∠CAB＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∴∠E′CF＝45°+45°＝90°， 由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2， 即EF2＝BE2+FC2． （3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2， ∴BC， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°， ∴△A′O′B如图所示； ∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°， ∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝2， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B， ∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO， ∴△BOO′是等边三角形， ∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°， ∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°， ∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°， ∴C、O、A′、O′四点共线， 在Rt△A′BC中，A′C， ∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C． 【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 26．（8分）“植树节”期间，某校组织八年级学生开展“共植一抹绿，一起上春山”活动．计划购买甲、乙两种树苗，已知购买2棵甲种树苗和3棵乙种树苗共需240元，购买3棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需210元． （1）求购买一棵甲种树苗、一棵乙种树苗各需要多少元； （2）学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？ 【考点】一元一次不等式的应用；一次函数的应用；二元一次方程组的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设购买一棵甲种树苗需要x元，一棵乙种树苗需要y元，根据购买2棵甲种树苗和3棵乙种树苗共需240元，购买3棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需210元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗（600﹣m）棵，根据购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，列出一元一次不等式，解得m≤400，再设总费用为w元，由题意列出w关于m的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【解答】解：（1）设购买一棵甲种树苗需要x元，一棵乙种树苗需要y元， 由题意得：， 解得：， 答：购买一棵甲种树苗需要30元，一棵乙种树苗需要60元； （2）设购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗（600﹣m）棵， 由题意得：m≤2（600﹣m）， 解得：m≤400， 设总费用为w元， 由题意得：w＝30m+60×0.9（600﹣m）＝﹣24m+32400， ∵﹣24＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m＝400时，w有最小值， 此时，600﹣m＝200， 答：购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，才能使购买树苗的总费用最少． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． 27．（8分）某超市销售A，B两种型号的篮球，已知采购3个A型篮球和2个B型篮球需要220元，采购1个A型篮球和4个B型篮球需要290元． （1）该超市采购1个A型篮球和1个B型篮球分别需要多少元？ （2）若该超市准备采购50个这两种型号的篮球，总费用不超过2550元，则最多可采购B型篮球多少个？ （3）在（2）的条件下，若该超市以每个A型篮球58元和每个B型篮球98元的价格销售完采购的篮球，能否实现利润不少于1540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】（1）该超市采购1个A型篮球需要30元，1个B型篮球需要65元； （2）最多可采购B型篮球30个； （3）能，该超市共有3种采购方案．方案1：采购A型篮球22个，B型篮球28个；方案2：采购A型篮球21个，B型篮球29个；方案3：采购A型篮球20个，B型篮球30个． 【分析】（1）设该超市采购1个A型篮球需要x元，1个B型篮球需要y元，根据采购3个A型篮球和2个B型篮球需要220元，采购1个A型篮球和4个B型篮球需要290元，列出方程组进行求解即可； （2）设采购B型篮球m个，则采购A型篮球（50﹣m）个，根据题意，列出不等式进行求解即可； （3）根据利润不少于1540元，列出不等式，求出m的范围，结合（2）中m的范围，即可得出结果． 【解答】解：（1）设该超市采购1个A型篮球需要x元，1个B型篮球需要y元． 根据题意，得 解得 即该超市采购1个A型篮球需要30元，1个B型篮球需要65元， 答：该超市采购1个A型篮球需要30元，1个B型篮球需要65元； （2）设采购B型篮球m个，则采购A型篮球（50﹣m）个． 根据题意，得30（50﹣m）+65m≤2550， 整理得，35m≤1050， 解得m≤30， 所以m的最大值为30． 答：最多可采购B型篮球30个． （3）根据题意列一元一次不等式得，（98﹣65）m+（58﹣30）（50﹣m）≥1540， 解得m≥28． 因为m≤30，且m为正整数，所以m可取28，29，30， 所以能实现利润不少于1540元的目标，该超市共有3种采购方案． 方案1：采购A型篮球22个，B型篮球28个； 方案2：采购A型篮球21个，B型篮球29个； 方案3：采购A型篮球20个，B型篮球30个． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，关键是根据题意找到关系式． 28．（11分）阅读以下材料：对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{﹣1，2，3}；min{﹣1，2，3}＝﹣1；min{﹣1，2，a}解决下列问题： （1）min{，，}＝　　 若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，则x的范围为 　0≤x≤1　 ； （2）①如果M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，求x； ②根据①，你发现了结论“如果M{a，b，c}＝min{a，b，c}，那么 a＝b＝c （填a，b，c的大小关系）”．证明你发现的结论； ③运用②的结论，填空： 若M{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}＝min{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}，则x+y＝　﹣4　 ． 【考点】一元一次不等式组的应用．版权所有 【专题】阅读型． 【答案】见试题解答内容 【分析】①M{a，b，c}表示这a，b，c三个数的平均数，即求的值； ②min{a，b，c}表示这a，b，c三个数中最小的数，即比较三个数的大小哪一个最小． 【解答】解：（1）min{，，}； 由min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，得，即0≤x≤1． （2）①∵M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，∴，即，∴x＝1 ②证明：由M{a，b，c}＝min{a，b，c}，可令，即b+c＝2a⑤； 又∵，解之 得：a+c≤2b ⑥，a+b≤2c⑦； 由⑤⑥可得c≤b；由⑤⑦可得b≤c； ∴b＝c；将b＝c代入⑤得c＝a； ∴a＝b＝c． ③据②可得， 解之得y＝﹣1，x＝﹣3， ∴x+y＝﹣4． 【点评】本题解决的关键是读懂题意，据题意结合方程和不等式去求解，考查综合应用能力． 29．（13分）为响应习总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，我州北部某市向南部某贫困县中小学捐赠一批书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套． （1）求书籍和实验器材各有多少套？ （2）现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该县．已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套．运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来． （3）在（2）的条件下，如果甲种型号的货车每辆需付运费1000元，乙种型号的货车每辆需付运费900元．假设你是决策者，应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？ 【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设书籍和实验器材分别为x、y套，根据题意书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套，列方程解答即可； （2）设安排甲型号的货车a辆，则安排乙型号的货车（8﹣a）辆，根据题意列不等式求a的取值范围，根据a取整数，可得a的取值为0，1，2，3，4，故有5种方案； （3）根据（2）中的5种方案和甲种型号的货车每辆需付运费1000元，乙种型号的货车每辆需付运费900元，分别求得运费，求出最少运费即可； 【解答】解：（1）设书籍和实验器材分别为x、y套． 根据题意得： 解得： 故书籍和实验器材分别为240套，120套． （2）设安排甲型号的货车a辆，则安排乙型号的货车（8﹣a）辆． 根据题意得： 解得：0≤a≤4 又∵a取非负整数， ∴a＝0，1，2，3，4 8﹣a＝8，7，6，5，4， ∴共有4种方案，如下： 方案一：甲0辆，乙8辆 方案二：甲1辆，乙7辆 方案三：甲2辆，乙6辆 方案四：甲3辆，乙5辆 方案五：甲4辆，乙4辆 （3）方案一所需运费：8×900＝7200（元） 方案二所需运费：1000+7×900＝7300（元） 方案三所需运费：2×1000+6×900＝7400（元） 方案四所需运费：3×1000+5×900＝7500（元） 方案五所需运费：4×1000+4×900＝7600（元） 故运输部门应选择方案一，他的运费最少，最少运费是7200元． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式组解决实际问题，找到题目的等式关系是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省期中专题2 第1~3章阶段综合模拟测试卷-2025~2026北师大版八年级下册 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）已知关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则a的取值范围是（　　） A．1＜a＜2 B．1＜a≤2 C．1≤a＜2 D．1≤a≤2 2．（2分）如图，射线OC是∠AOB的角平分线，点D在OC上，DE⊥AO，DF⊥BO，若DE＝3，则DF的长度为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2分）如图，△ABC中，∠ABC＝56°，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F，若分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点M，作射线BM，再以点A为圆心，AB长为半径画弧交射线BM于点D，则∠BAD的度数为（　　） A．152° B．114° C．124° D．134° 第2题图 第3题图 4．（2分）2026年4月12日湖北省城市足球联赛（“楚超”）正式开赛，吉祥物“楚小焱”昂首握拳、目光有神，头戴銮金凤冠，尾羽似火焰，展现了湖北儿女敢闯敢拼的精神风貌，以下图案可以通过平移“楚小焱”得到的是（　　） A． B． C． D． 5．（2分）关于x的不等式x﹣m≥﹣3的解集如图所示，则m的值为（　　） A．﹣3 B．5 C．3 D．4 6．（2分）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（2分）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为x，则可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 8．（2分）如图，已知一次函数y＝ax+2与y＝mx+n图象的交点坐标为（﹣2，﹣4）．现有下列四个结论：①a＞0；②mn＞0；③方程ax+2＝mx+n的解是x＝﹣2；④若mx+n＜ax+2＜0，则．其中正确的结论是（　　） A．①③ B．③④ C．①②③④ D．①③④ 9．（2分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，则AF的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 10．（2分）如图，已知在△ABC中，BA＝BC＝10，AC＝12，将△ABC绕点A逆时针旋转．得到△AB'C'．点D是边AC的中点，点E为边BC上的动点，在△ABC绕点A逆时针旋转的过程中，点E的对应点是点E'，则线段DE′长度的最大值与最小值的差是（　　） A． B． C． D．18 第8题图 第9题图 第10题图 二．填空题（共5小题，满分10分，每小题2分） 11．（2分）如果关于x不等式x﹣3≤m的正整数解有4个，那么m的取值范围是　 　 ． 12．（2分）不等式的解集为　 　 ． 13．（2分）如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象相交于点P（2，﹣2），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是　 　 ． 14．（2分）已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝45°，，连接BD、AC，若∠ABD＝60°，，则BC的长为 　 　 ． 15．（2分）如图，在△ABC中，AC＝2+2，∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1，则线段EP1的最大值是 　 　 ，最小值是 　 　 ． 第13题图 第14题图 第15题图 三．解答题（共14小题，满分90分） 16．（3.5分）解不等式组：． 17．（3.5分）（1）解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5． （2）解不等式：． 18．（4分）解不等式，并在如图所示的数轴上表示出该不等式的解集． 19．（5分）已知两个一次函数y1＝x+1，y2＝2x﹣1，其中y1＝x+1的图象如图所示，请结合图象回答下列问题： （1）画出函数y2＝2x﹣1的图象； （2）若点A（m1，n1）和B（m2，n2）在一次函数y2＝2x﹣1的图象上，当m1＞m2时，判断n1与n2的大小，说明理由； （3）观察图象，当x＞2时，比较y1与y2的大小，说明理由． 20．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在BA上，连接AF． （1）若∠BAC＝36°，求∠CBF的度数； （2）若AC＝12，BC＝9，求AF的长． 21．（5分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，点A，B的对应点分别为点E，D，连接AE，点D恰好落在线段AE上． （1）求证：∠BAD＝90°； （2）连接BD，若AD＝5，DE＝2，求BD的长． 22．（5分）感知：如图①，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点B在线段AD上，点C在线段AE上，我们很容易得到BD＝CE，不需证明． 探究：如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转α（0＜α＜90°），连结BD和CE，此时BD＝CE是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由．应用：如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D落在BC的延长线上，连结CE．求： ①∠ACE的度数； ②若AB＝AC＝2，CD＝2，则线段DE的长是多少？ 23．（5分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象分别与x轴和y轴相交于C、A（0，6）两点，且与正比例函数y2＝﹣2x的图象交于点B（﹣2，m）． （1）求一次函数的解析式； （2）当y1＞y2时，直接写出自变量x的取值范围； （3）点D是一次函数y1图象上一点，若S△OCD＝2S△OCB，求点D的坐标． 24．（7分）已知，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，点D是BC上一点，将AD绕点A逆时针旋转180°﹣2α得到AE，过点E作AC的垂线，分别交CA延长线于点F，BC于点G． （1）如图1，点D与点C重合，点G与点B重合，求证：EF＝BF； （2）如图2，用等式表示BG和CD的数量关系，并证明． 25．（7分）阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数． 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ 　 　 ； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2； （3）能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值． 26．（8分）“植树节”期间，某校组织八年级学生开展“共植一抹绿，一起上春山”活动．计划购买甲、乙两种树苗，已知购买2棵甲种树苗和3棵乙种树苗共需240元，购买3棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需210元． （1）求购买一棵甲种树苗、一棵乙种树苗各需要多少元； （2）学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？ 27．（8分）某超市销售A，B两种型号的篮球，已知采购3个A型篮球和2个B型篮球需要220元，采购1个A型篮球和4个B型篮球需要290元． （1）该超市采购1个A型篮球和1个B型篮球分别需要多少元？ （2）若该超市准备采购50个这两种型号的篮球，总费用不超过2550元，则最多可采购B型篮球多少个？ （3）在（2）的条件下，若该超市以每个A型篮球58元和每个B型篮球98元的价格销售完采购的篮球，能否实现利润不少于1540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 28．（11分）阅读以下材料：对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{﹣1，2，3}；min{﹣1，2，3}＝﹣1；min{﹣1，2，a}解决下列问题： （1）min{，，}＝　 　 若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，则x的范围为 　 　 ； （2）①如果M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，求x； ②根据①，你发现了结论“如果M{a，b，c}＝min{a，b，c}，那么 　 　 （填a，b，c的大小关系）”．证明你发现的结论； ③运用②的结论，填空： 若M{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}＝min{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}，则x+y＝　 　 ． 29．（13分）为响应习总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，我州北部某市向南部某贫困县中小学捐赠一批书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套． （1）求书籍和实验器材各有多少套？ （2）现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该县．已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套．运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来． （3）在（2）的条件下，如果甲种型号的货车每辆需付运费1000元，乙种型号的货车每辆需付运费900元．假设你是决策者，应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？ 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2期中综合考点卡片（重点知识、步骤剖析） 1．解一元一次方程 （1）解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化． （2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号． （3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负． 2．二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 3．在数轴上表示不等式的解集 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【规律方法】不等式解集的验证方法 某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立． 4．解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 5．一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 6．一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 7．解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 8．一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 9．由实际问题抽象出一元一次不等式组 由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目． 10．一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 11．一次函数的图象 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 12．一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 13．待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 14．一次函数与一元一次方程 一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标． 15．一次函数与一元一次不等式 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x． 16．两条直线相交或平行问题 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合． （1）两条直线的交点问题 两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解． （2）两条直线的平行问题 若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同． 例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2． 17．一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 18．三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 19．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 20．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 21．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 22．等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 23．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 24．作图—基本作图 基本作图有： （1）作一条线段等于已知线段． （2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线． 25．利用平移设计图案 确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案． 通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩． 26．旋转的性质 （1）旋转的性质： 　　 　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　 　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　 　　③旋转前、后的图形全等．　　 （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　 　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 学科网（北京）股份有限公司 $工作室内部资源审核情况表 精品 审核：检验组（检验组审核员）。 作者：广东省揭阳市培优教研组名师工作室室长。 结果：经检验合格。 授权上传至学科网（授权人）：郑思怡。 资料名称：广东省期中专题2第13章阶段综合模拟测试卷-2025~2026北师大版八年级下册 级别：精品（有独家版权保护）。 注意：本工作室联盟作者己与学科网合作精品资源创作教师。审核证据如下： (全学科)精品资源创作教师 2026-02-27 已录用 合同在本简介最下方！！！ 检验员：陆夕祥 合格号：QQWWWsx806,时间：2026年5月5日13：32：46 原创授权签名：林应，话为祥 有效期：永久有效。证人：林升 工作室授权证人签名：林应 广东省数学 授权方盖章 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